1、 专题专题 24 24 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1在Rt中， = 90，的余弦是（ ） A B C D 2如果锐角 A 的度数是 25 ，那么下列结论中正确的是（ ） A0 sin 12 B0 cos 32 C33 tan 1 D1 cot 3 3在ABC 中，C90 ，AB2，AC1，则 cosB 的值是（ ） A12 B22 C32 D2 4 （2021 九上 宝山期末）如图， 已知 Rt ，是斜边边上的高， 那么下列结论正确的是 （ ） A = B = C = D = 5 （2021 九上 黄浦期末） 中， = 90，若 = 2， = 3，下列各式中正确的是 ()
2、 A =23 B =23 C =23 D =23 6 （2021 九上 嘉定期末）在 中， = = 10，cos =25，那么的长是（ ） A4 B8 C221 D421 7 （2021 九上 松江期末）已知在 RtABC 中，C90 ，ABc，ACb，那么下列结论一定成立的是（ ） AbctanA BbccotA CbcsinA DbccosA 8 （2021 九上 嘉定期末）在 中， = 90， = 6， = 2，那么下列各式中正确的是（ ） Atan =13 Bcot =13 Csin =13 Dcos =13 9 （2021 九上 杨浦期末）在 Rt 中， = 90，如果 = ， =
3、1，那么等于（ ） A B C1 D1 10 （2021 九上 虹口期末）在 Rt 中， = 90， = 12， = 5，那么cot等于（ ） A513 B1213 C125 D512 二、填空题二、填空题 11（2022 宝山模拟）如图 1， 内有一点 P， 满足 = = ， 那么点 P 被称为 的“布洛卡点”如图 2，在 中， = ， = 90，点 P 是 的一个“布洛卡点”，那么 = 12 （2022 浦东模拟）如图，一个高为3米的长方体木箱沿坡比为1：3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时， = 3米，则木箱端点 E 距地面的高度为 米 13 （2022 宝山模拟）如图，在 中， = 45
4、， = 2，cos =35.的垂直平分线交于点 E，那么：的值是 14 （2022 徐汇模拟）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点 D 处后进球，已知小明与篮板底的距离 BC5 米，眼睛与地面的距离 AB1.7 米，视线 AD 与水平线的夹角为 ，已知 tan 的值为0.3，则点 D 到地面的距离 CD 的长为 米 15 （2022 青浦模拟）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了 100 米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米 16 （2022 青浦模拟）如图，已知中，点是上一点， ，若 = ，tan =12，则= 17
5、 （2021 九上 宝山期末）如图，一段铁路路基的横断面为等腰梯形，路基的上底宽 AD 为 3 米，路基高为 1 米，斜坡 AB 的坡度= 1：1.5，那么路基的下底宽 BC 是 米 18 （2021 九上 宝山期末）计算：230245 19 （2021 九上 宝山期末）在 Rt 中， = 90，如果=34，那么的值是 20 （2021 九上 静安期末）如果在 A 点处观察 B 点的仰角为，那么在 B 点处观察 A 点的俯角为 （用含的式子表示） 三、综合题三、综合题 21 （2022 上海市）一个一次函数的截距为 1，且经过点 A（2，3） （1）求这个一次函数的解析式； （2）点 A，B
6、在某个反比例函数上，点 B 横坐标为 6，将点 B 向上平移 2 个单位得到点 C，求 cosABC 的值 22 （2022 上海市）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆 AB 的长 （1）如图 1 所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 AB 底部 a 米的点 D 处，测角仪高为 b 米，从 C点测得 A 点的仰角为 ，求灯杆 AB 的高度 （用含 a，b，的代数式表示） （2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图 2 所示，现将一高度为 2 米的木杆 CG 放在灯杆 AB 前，测得其影长 CH 为 1 米，再将木杆沿着 BC 方向移动 1.8 米
7、至DE 的位置，此时测得其影长 DF 为 3 米，求灯杆 AB 的高度 23 （2022 闵行模拟）直角三角形中一个锐角 大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示.类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对.如图， 在 中， = ， 顶角 A 的正对记作 ，这时 =底边腰= . 仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： （1）60 值为（ ）. A12 ； B1； C32 ； D2. （2）对于 0 180 ， 的正对值 的取值范围是 . （3）如果 sin =817 ，其中 为锐角，试求 的值. 2
8、4 （2022 长宁模拟）已知：如图，AO 是O 的半径，AC 为O 的弦，点 F 为的中点，OF 交 AC 于点 E，AC=10，EF=3 （1）求 AO 的长； （2）过点 C 作 CDAO，交 AO 延长线于点 D，求 OD 的长 25 （2022 长宁模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机.某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面 20 米处要盖一栋高25米的新楼， 已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29（参
9、考数据： sin290.48；cos290.87；tan290.55） （1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数） 26 （2022 宝山模拟）如图，在梯形中，=90 ， = = 5， = 2， （1）求的长； （2）若的平分线交于点 E，连结，求的正切值 27 （2022 徐汇模拟）如图，ABC 中，ABBC13，AC10，ABC 的平分线与边 AC 交于点 F，且与外角ACD 的平分线 CE 交于点 E （1）求 sin 的值； （2）求 EF 的长 28（2022 青浦模拟）梯形中， ， 于点，
10、 = 10， tan =43， 1以为直径， 2以为直径，直线12与 1交于点，与 2交于点（如图） ，设 = （1）记两圆交点为、（在上方） ，当 = 6时，求的值； （2）当 2与线段1交于、时，设 = ，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，线段与 2交于点，分别连接、2，若与2相似，求的值 29 （2021 九上 宝山期末）如图，在 中， = = 5， = 6 （1）求 tanB 的值； （2）延长 BC 至点 D，联结 AD，如果ADB30 ，求 CD 的长 30 （2021 九上 崇明期末）如图，小明同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用无人机测量他所住小区的
11、楼房 BC 的高度，当无人机在地面 A 点处时，测得小区楼房 BC 顶端点 C 处的仰角为30 ， 当无人机垂直向上飞行到距地面60米的D点处时， 测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45 （1）求小区楼房 BC 的高度； （2）若无人机保持现有高度沿平行于 AB 的方向，并以 5 米/秒的速度继续向前匀速飞行，问：经过多少秒后，无人机无法观察到地面上点 A 的位置（计算结果保留根号） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：在Rt中， = 90，则cos =； 故答案为：C 【分析】根据余弦的定义可得。 2 【答案】A 【解析】【解答】解：0 25 30 0 sin251
12、2 0 sin 12 故答案为：A 【分析】根据 0 25 30 可得0 sin2512，即可得到答案。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示：C90 ，AB2，AC1， BC2 23 cosB=32 故答案为：C 【分析】先利用勾股定理求出 BC 的长，再利用余弦的定义求解即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解：A = ，故 A 错； = ，故错； = ，故错； = =BC ，故 D 符合题意； 故答案为：D 【分析】利用解直角三角形性质逐项判断即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解： = 90， = 2， = 3， = 13， A. =213=21313，故此选项不符合题意
13、； B. =31313，故此选项不符合题意； C. =23，故此选项符合题意； D. =32，故此选项不符合题意 故答案为：C 【分析】利用锐角三角函数的定义逐项判断即可。 6 【答案】B 【解析】【解答】解：作 ADBC 于 D = = 10，cos =25， BDABcosB10254， BC2BD8 故答案为：B 【分析】利用锐角三角函数先求出 BD=4，再计算求解即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，C90 ，ABc，ACb， 则 cosA=， bccosA， 故答案为：D 【分析】先求出 cosA=， 再求解即可。 8 【答案】A 【解析】【解答】解：C=9
14、0 ，BC=6，AC=2， AB=62+ 22= 210， A.tan =26=13，符合题意； B.cot =62= 3，故不符合题意； C.sin =2210=1010，故不符合题意； D.cos =6210=31010，故不符合题意； 故答案为：A 【分析】先根据勾股定理求出 AB 的长，再根据三角函数的定义逐项判断即可。 9 【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示： A，AC1， cos=1， 故 AB1cos 故答案为：D 【分析】先求出A，AC1，再利用锐角三角函数求解即可。 10 【答案】C 【解析】【解答】解：直角三角形 中， = 12， = 5， 则cot =125， 故答
15、案为：C 【分析】利用锐角三角函数的定义列出cot =求解即可。 11 【答案】12 【解析】【解答】解：DEDF，EDF90 ， EF2DE2DF，DEFDFE45 ， 点 P 是DEF 的一个“布洛卡点”， EDPPEFDFP， PDFDFPPDFEDPEDF90 ， DEPPEF45 ，PFEPEFPFEDFPDFE45 ， DEPPFE， DEPEFP， =12 ， DP12PE，PF2PE， tanDFP=12 ， 故答案为：12 【分析】先证明DEPEFP，可得=12，求出 DP12PE，PF2PE，再利用正切的定义可得 tanDFP=12 。 12 【答案】3 【解析】【解答】解
16、：设、交于点 D， 斜坡的坡比为1：3， tan =13=33， = 30， = 90 30 = 60， = 60， 在 中，sin =， 3=32， 解得， = 2（米） ， = 1（米） ， = = 2（米） ， 在 中， = 30， =12 = 1（米） ， = + = 3（米） ， 故答案为：3 【分析】根据坡度的概念求出 = 30，根据正弦的定义求出 DE，进而求出 BD，即可得出答案。 13 【答案】7 【解析】【解答】解：过点 A 作 于 H，作的垂直平分线交于点 E、交于 F， 在 中， =， = 2， 则2=35， 解得： =65， 由勾股定理得： = 2 2=85， 在 中
17、， = 45， 则 = =85， = + =145， 是的垂直平分线， =75， = =15， ， ， /， = 7， 故答案为：7 【分析】过点 A 作 于 H，作的垂直平分线交于点 E、交于 F，根据余弦的定义求出CH，根据勾股定理求出 AH，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可。 14 【答案】3.2 【解析】【解答】解：由题意可得： = = 5 ， = = 1.7 tan =5= 0.3 解得 = 1.5 = + = 3.2 故答案为 3.2 【分析】根据正切的定义可得tan =5= 0.3，求出 = 1.5，再利用线段可得和差可 得 CD=CE+DE=3.2m。 15 【答
18、案】100tantantantan 【解析】【解答】解：如图，CD 为树高，点 C 为树顶，则 = ， = ，BD=AD-100 依题意，有= tan100= tan 由得 =tan 将代入，解得 =100tantantantan 故答案为：100tantantantan 【分析】根据题意可得 CD 为树高，点 C 为树顶，则 = ， = ，BD=AD-100，根据乳胶三角函数的定义可得方程组= tan100= tan ，解之即可。 16 【答案】2 【解析】【解答】解： = ， = ， ， =， ， tan =12， = 2； 故答案为 2 【分析】证明 ，根据相似三角形的性质可得=，再根据
19、tan =12，可得= 2。 17 【答案】6 【解析】【解答】解：如图，过 A 作 AEBC，过 D 作 DFBC， AE=DF=1 米，AD=EF=3 米， 坡度=11.5， BE=CF=1.5 米， BC=BE+EF+CF=1.5+3+1.5=6 米 故答案为 6 【分析】 过 A 作 AEBC， 过 D 作 DFBC， 先根据坡度可求出 BE=CF=1.5 米， 再利用 BC=BE+EF+CF计算即可。 18 【答案】34 【解析】【解答】解：230245(12)2+ (22)2=14+24=34 故答案为：34 【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。 19 【答案】45
20、【解析】【解答】解：如图 在 Rt 中， = 90，=34 设 = 3， = 4， = 2+ 2= 5 sin =45 故答案为：45 【分析】设 = 3， = 4，再求出 AB=5a，最后利用正弦的性质求解即可。 20 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示：在 A 点处观察 B 点的仰角为，即 = ， ， = = ， 在 B 点处观察 A 点的俯角为， 故答案为： 【分析】顶点在 x 轴上，根据平行线的性质得出 = = ，即可得出答案。 21 【答案】（1）解：设这个一次函数的解析式 y=kx+1， 把 A（2，3）代入，得 3=2k+1， 解得：k=1， 这个一次函数的解析式为 y=x+
21、1； （2）解：如图， 设反比例函数解析式为 y=， 把 A（2，3）代入，得 3=2， 解得：m=6， 反比例函数解析式为 y=6， 当 x=6 时，则 y=66=1， B（6，1） ， AB=(6 2)2+ (1 3)2= 25， 将点 B 向上平移 2 个单位得到点 C， C（6，3） ，BC=2， A（2，3） ，C（6，3） ， ACx 轴， B（6，1） ，C（6，3） ， BCx 轴， ACBC， ACB=90 ， ABC 是直角三角形， cosABC=225=55 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出 m=6， 再利用勾股定理和锐角三角函数计算
22、求解即可。 22 【答案】（1）解：如图 由题意得 BD=a，CD=b，ACE= B=D=CEB=90 四边形 CDBE 为矩形， 则 BE=CD=b，BD=CE=a， 在 RtACE 中，tan= ， 得 AE=CE=CEtan=a tan 而 AB=AE+BE， 故 AB= a tan+b 答：灯杆 AB 的高度为 atan+b 米 （2）解：由题意可得，ABGCED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于 ABED， ABFEDF， 此时= 即23=+1.8+3， ABGC ABHGCH， 此时=， 21=+1 联立得 +4.8=23+1= 2， 解得： = 3.8 =
23、0.9 答：灯杆 AB 的高度为 3.8 米 【解析】【分析】 （1）利用锐角三角函数计算求解即可； （2）利用相似三角形的判定与性质计算求解即可。 23 【答案】（1）B （2）0preA2 （3）解： 21717 【解析】【解答】解： （1）AB=AC，A=60 ， ABC 是等边三角形， AB=BC=AC， pre60 =1， 故答案为：B； （2）AB=AC， 0BC2AC， preA=， 0preA2， 故答案为：0preA2； （3）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，在 AB 上取点 D，使 AD=AC，连接 CD，过点 D 作 DHAC 于点 H， sinA=817， 设
24、 BC=8k，AB=17k， AD=AC=2 2=15k， sinA=817， DH=12017k， AH=22517k， CH=AC-AH=3017k， CD=2+ 2=301717， preA=30171715=21717. 【分析】 （1）先证出ABC 是等边三角形，得出 AB=BC=AC，再根据顶角的正对的定义即可得出pre60 =1； （2）根据三角形三边关系得出 0BC2AC，再根据顶角的正对的定义得出 preA=，即可得出 0preA2； （3）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，在 AB 上取点 D，使 AD=AC，连接 CD，过点 D 作 DHAC 于点 H，根据锐角三
25、角函数的定义设 BC=8k，AB=17k，求出 AC=15k，CD=301717，根据顶角的正对的定义即可得出 preA=21717. 24 【答案】（1）解：O 是圆心，且点 F 为 AC 的中点， OFAC， AC10， AE5， EF=3 设圆的半径为 r，即 OAOFr， 则 OEOFEFr3， 由 OA2AE2OE2得 r252（r3）2， 解得：r173，即 AO173； （2）解：OAECAD，AEOADC90 ， AOEACD， 则 sinACDsinAOE=5173=1517 = sin = 10 1517=15017 = =15017173=16151 【解析】【分析】 （
26、1）根据垂径定理和勾股定理即可得出 OA 的值； （2）根据题意和相似三角形的判定方法可得出AOEACD，则 sinACDsinAOE=5173=1517，再根据题中的数据和（1）的结果，即可得出 OD 的长。 25 【答案】（1）解：居民住房会受影响，理由如下， 沿着光线作射线 AF 交 CD 于点 F，过点 F 作 FGAB 于点 G， 由题意，在 RtAFG 中，GF=BC=20，AFG=29 ， AG=GFtan29=200.55=11 米， GB=FC=25-11=14 米， 146， 居民住房会受影响 （2）解：沿着光线作射线 AE 交直线 BC 于点 E 由题意，在 RtABE
27、中，AB=20，AEB=29 ， BEtan29=250.5545 米， 至少要相距 45 米 【解析】【分析】（1） 沿着光线作射线AF交CD于点F， 过点F作FGAB于点G， 根据题意得出GF=BC=20，AFG=29 ，利用锐角三角函数的定义求出 AG，从而得出 GB，进行比较，即可得解； (2)沿着光线作射线 AE 交直线 BC 于点 E，根据题意得出 AB=20，AEB=29 ，在 RtABE 中，利用锐角三角函数的定义求出 BE 的长即可。 26 【答案】（1）解：过点 A 作 AFBC 垂足为 F， 由题意得 FC=AD=2，AF=CD，. BC=5， BF=5-2=3， 在 R
28、tAFB 中： 2= 2+ 2 （勾股定理） ， 即：52= 32+ 2 解得 AF=4， CD=4； （2）解：由 AB=BC，ABE=CBE，BE=BE， 得到（SAS） ， AEB=CEB（全等三角形对应边相等） ， AE=EC（全等三角形对应边相等） ， 设 AE=EC=x， 则 DE=4 ， 在 RtADE 中， 2= 2+ 2 2= (4 )2+ 22， 解得 =52， tan = tan =552= 2 【解析】【分析】 （1）过点 A 作 AFBC，垂足为 F，求得 BF 的长，在 RtAFB 中得出 AF 的长，即可得出答案； （2）证得（SAS） ，在 RtADE 中，利用
29、勾股定理求得 DE 的长，利用锐角三角函数的定义即可得出答案。 27 【答案】（1）解：AB=BC，BF 平分ABC， BFAC， = =12 = 5 ， AFB=CFB=90 ， = 2 2= 12 ， sin =1213 ； （2）解：如图所示，过点 E 作 EHBD 于 H， CE 平分ACD，BECF，CHEH， EF=EH， BF 平分ABF， ABF=CBF， sin = sin = sin =513 ， +12=513 ， =152 【解析】【分析】 （1）先求出 AF 的长，再利用勾股定理求出 BF 的长，最后利用正弦的定义求出sin =1213即可； （2） 过点E作EHBD
30、于H， 先利用sin = sin = sin =513可得+12=513，再求出 =152。 28 【答案】（1）解：过点 A 作 AGBC，连接 O1E，O2E 由题意得12垂直平分 EF，12 又 12 ，EHO2=EHO1=90 ，EH=12EF=3 又 AGBC， AGC=AGB=90 ，DCG=90 12 AIO2=AIO1=90 ，DO2I=O1O2C=ADO2=90 四边形 ADCG 和四边形 ADO2I 是矩形 DC=AG，DA=CG= IO2，DO2=AI O2是 DC 的中点 I 是 AG 的中点 O1是 AB 的中点 O1I 是ABG 的中位线 O1I=12BG = 10
31、，tan =43 AG=8，BG=6 O1I=12BG=12 6=3 在 RtO1HE 和 RtO2HE 中 O1H=12 2=52 32=4 O2H=22 2=42 32=7 O1 O2= O1H + O2H=4+7 AD=IO2= O1 O2- O1I=4+7-3=1+7 （2）解：由（1）可知，O1 O2= AD+O1I=x+3 过点 O2作 O2GPQ 于点 G PG=12PQ=12y 在 RtO2PG 中 O2G=2 2=42 (12)2=16142 12 O2O1G=B 又tan =43 tanO2O1G=43 sinO2O1G=45 又 O1 O2= x+3 16142+3=45
32、 2=-6425(x+3)2+64（1x2） （3）解：MN=O2N+O1M-O1O2 MN=4+5-（3+x）=6-x 由2，得 2=2 由2=2，得 MN=GN=6-x GMN=MGN 又 O1A= O1M GMN=O1AM O1AM=MGN AM O1为公共角 AMO1GMN AMO12 12= AM=54（6-x） 12 12= 又tan =43 tan12= tan =43 过点 A 作 AHMN 又 O1A=5 O1H=3，AH=4 HM=O1M-O1H=5-3=2 在 RtAHM 中 AM=2+ 2=42+ 22=25 54（6-x）=25 解得 x=6-855 【解析】【分析】
33、 （1）过点 A 作 AGBC，连接 O1E，O2E ，可证12 ，则四边形 ADCG 和四边形 ADO2I 是矩形 ，根据矩形的性质可得 O1I=12BG ， 在 RtO1HE 和 RtO2HE 中 ，根据勾股定理可得 O1H=12 2， O2H=22 2， 则 O1 O2= O1H + O2H， 即可得 AD=IO2= O1 O2- O1I ； （3） 先证2， 由2=2， 得 MN=GN=6-x ， 再证AMO1GMN， 则AMO12，12= AM=54（6-x） ，根据 12 可得tan12= tan =43，过点 A 作 AHMN，在 RtAHM中 ，根据勾股定理可得 54（6-x）
34、=25 ，解之即可。 29 【答案】（1）解：作 AEBC 于 E， AB=AC，BC=6， BE=CE=3， = 2 2= 52 32= 4， tanB=43 （2）解：ADB30 ，AE=4， AD=2AE=8， DE=2 2=82 42= 43， CD=DE-CE=43 3 【解析】【分析】 （1） 作 AEBC 于 E， 根据题意知 AB=AC，BC=6， 得出 BE=CE=3， 利用勾股定理得出 AE 的值，即可得出答案； （2）根据题意 ADB30 ，AE=4， 得出 AD=2AE=8， 利用勾股定理得出 DE 的值，从而得出CD 的值。 30 【答案】（1）解：如图，过点 C 作
35、 CEAD 于点 E， 根据题意得：ADAB，BCAB，AD=60 米，BAC=30 ，CDE=45 ， ADBC，ABCE， 四边形 ABCE 为平行四边形， AB=CE，AE=BC，ACE=30 ， 在 中，ACE=30 ， =tan30= 3 ， 在 中，CDE=45 ， DCE=45 ， CDE=DCE， DE=CE， 60 = 3 ，解得： = 30(3 1) 米， 即小区楼房 BC 的高度为30(3 1) 米； （2）解：如图，设直线 DM 交 AC 延长线于点 F，则 DFAB， F=BAC=30 ， 在 中， =tan30= 603 米， 603 5 = 123 秒， 即经过123 秒后，无人机无法观察到地面上点 A 的位置 【解析】【分析】 （1）过点 C 作 CEAD 于点 E，得到矩形 ABCE，再根据含 30 角的直角三角形的性质求解即可； （2）直线 DM 交 AC 的延长线于点 F，根据含 30 角的直角三角形的性质求出 DF 的长，进而可以解决问题