1、 专题专题 21 21 圆圆 一、单选题一、单选题 1有一个正 n 边形旋转90后与自身重合，则 n 为（ ） A6 B9 C12 D15 2 （2022 浦东模拟）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，联结 BE，如果 AB=6，BC=4，那么分别以 AD、BE 为直径的M 与N 的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内切 3已知两圆相交， 当每个圆的圆心都在在另一个圆的圆外时， 我们称此两圆的位置关系为“外相交” 已知两圆“外相交”，且半径分别为 2 和 5，则圆心距的取值可以是（） A4 B5 C6 D7 4下列命题中，正确的是（ ） A正多边形都是中心对称图形
2、B正多边形一个内角的大小与边数成正比例 C正多边形一个外角的大小与边数成反比例 D边数大于 3 的正多边形的对角线长都相等 5（2022九下 虹口期中）已知圆1、 圆2的半径不相等， 圆1的半径长为5， 若圆2上的点A满足1= 5，则圆1与圆2的位置关系是（ ） A相交或相切 B相切或相离 C相交或内含 D相切或内含 6 （2021 上海）如图， 已知长方形 中， = 4, = 3 ， 圆 B 的半径为 1， 圆 A 与圆 B 内切，则点 , 与圆 A 的位置关系是（ ） A点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 内 B点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 外 C点 C 在圆 A 上，点 D
3、 在圆 A 内 D点 C 在圆 A 内，点 D 在圆 A 外 7 （2021 嘉定模拟）已知点 (4,0) ， (0,3) ，如果A 的半径为 2，B 的半径为 7，那么A 与B 的位置关系（ ） A内切 B外切 C内含 D外离 8 （2021 闵行模拟）如图，在 中， = 90 ， = ， = 8 ，点 P 在边 上， 的半径为 3， 的半径为 2， 如果 和 相交， 那么线段 长的取值范围是 （ ） A0 8 B1 5 C1 7 D4 8 9 （2021 松江模拟）已知O 的半径 OA 长为 3，点 B 在线段 OA 上，且 OB2，如果B 与O 有公共点，那么B 的半径 r 的取值范围是
4、（ ） Ar1 Br5 C1r5 D1r5 10 （2021 崇明模拟）已知同一平面内有O 和点 A 与点 B，如果 O 的半径为 3cm，线段 OA5cm，线段 OB3cm，那么直线 AB 与O 的位置关系为（ ） A相离 B相交 C相切 D相交或相切 二、填空题二、填空题 11 （2022 上海市）如图所示，小区内有个圆形花坛 O，点 C 在弦 AB 上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 （结果保留） 12 （2022 闵行模拟）如图，点 G 为等腰 的重心， = ，如果以 2 为半径的圆 分别与 、 相切，且 = 25 ，那么 的长为 . 13 （2022 闵行模拟
5、）如图， 已知点 G 是正六边形 对角线 上的一点， 满足 = 3 ，联结 ，如果 的面积为 1，那么 的面积等于 . 14 （2022 浦东模拟）如图，在 中， = 90，cos =45，为边上的中线， = 5，以点 B 为圆心，r 为半径作 如果 与中线有且只有一个公共点，那么 的半径 r 的取值范围为 15 （2022 长宁模拟）已知正六边形外接圆的半径为 3，那么它的边心距为 16（2022 长宁模拟）如图， O 的半径为 10cm， ABC 内接于O， 圆心 O 在ABC 内， 如果 AB=AC，BC=12cm，那么ABC 的面积为 cm2 17 （2022 长宁模拟）如图， 四边形
6、 ABCD 是O 的内接矩形， 将矩形 ABCD 沿着直线 BC 翻折， 点 A、点 D 的对应点分别为 A、D，如果直线 AD与O 相切，若 AB=2，那么 BC 的长为 18 （2022 徐汇模拟）已知正多边形的内角是外角大小的 2 倍，这个正多边形的边数是 19 （2022 徐汇模拟）如图，在 中，B70 ，BC6，以 AD 为直径的O 交 CD 于点 E，则劣弧 的长为 （结算结果保留 ） 20 （2022 嘉定模拟）如图，已知O 中，直径 AB 平分弦 CD，且交 CD 于点 E，如果 OE=BE，那么弦CD 所对的圆心角是 度 三、综合题三、综合题 21 （2021 九上 长宁期末
7、）已知， 在 中， = = 5， = 8， 点 E 是射线 上的动点， 点 O 是边 上的动点，且 = ， 射线 交射线 于点 D （1）如图 1， 如果 = 2， 求 的值； （2）联结， 如果 是以为腰的等腰三角形，求线段的长； （3）当点 E 在边上时， 联结、， = ， 求线段的长 22 （2022 九下 普陀期中）在等腰梯形 ABCD 中，DC/AB，AB= 6，tan = 22，过点 A 作 AHBC，垂足为点 H （1）当点 C 与点 H 重合时（如图） ，求线段 BC 的长； （2）当点 C 不与点 H 重合时，联结 AC，作ACH 的外接圆 O 当点 C 在 BH 的延长线上
8、时（如图） ，设 CH=x，CD = y，求 y 与 x 的函数解析式，并写出定义域； 延长 CD 交圆 O 于点 G，如果ACH 与ACG 全等， 求 CD 的长 23（2022 青浦模拟）梯形中， ， 于点， = 10， tan =43， 1以为直径， 2以为直径，直线12与 1交于点，与 2交于点（如图） ，设 = （1）记两圆交点为、（在上方） ，当 = 6时，求的值； （2）当 2与线段1交于、时，设 = ，求关于的函数关系式，并写出定义域； （3）连接，线段与 2交于点，分别连接、2，若与2相似，求的值 24 （2022 徐汇模拟）如图，已知线段 AB4，以 AB 为直径作半圆，过
9、圆心 O 作 AB 的垂线 OQ 交半圆于点 E，P 是 上的点，连结 AP 并延长交 OQ 于点 C，连结 PB 交 OQ 于点 F （1）我们知道APB90 ，证明方法如下： 联结 OP，OAOP，PAOAPO，OBOP，OPBOBP 在APB 中，PAOAPOOPBOBP180 ， APOOPB90 ，即APB90 请再用一种其他方法证明APB90 （2）如图 2，以 PB，PC 为邻边作 ，当 CD 与O 相切时，求 PC 的长； （3）已知点 M 为 AC 上的点，且 =12 当MFP 与ABP 相似时，求 的值 25 （2022 宝山模拟）如图，在半径为 3 的圆 O 中，、都是圆
10、 O 的半径，且 = 90，点 C是劣弧 上的一个动点(点 C 不与点 A、B 重合)，延长交射线于点 D （1）当点 C 为线段中点时，求的大小； （2）如果设 = ， = ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当 =185时，点 E 在线段上，且 = 1，点 F 是射线上一点，射线与射线交于点 G，如果以点 A、G、F 为顶点的三角形与 相似，求的值 26 （2022 闵行模拟）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2+ + 4 与 x 轴相交于点 (1，0) ， (3，0) ，与 y 轴交于点 C.将抛物线的对称轴沿 x 轴的正方向平移，平移后交 x 轴于点D，交线段
11、 于点 E，交抛物线于点 F，过点 F 作直线 的垂线，垂足为点 G. （1）求抛物线的表达式； （2） 以点G为圆心， 为半径画 ； 以点E为圆心， 为半径画 .当 与 内切时. 试证明 与 的数量关系； 求点 F 的坐标. 27 （2022 长宁模拟）在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+2bx+c 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B的右侧） ，且与 y 轴交于点 C，已知点 A（3，0） ，O 为坐标原点， （1）当 B 的坐标为（5，0）时，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，以 A 为圆心，OA 长为半径画A，以 C 为圆心，AB 长为半径画C，通过计算说明A 和C 的
12、位置关系； （3）如果BAC 与AOC 相似，求抛物线顶点 P 的坐标 28 （2022 嘉定模拟）在半圆 O 中，AB 为直径，AC，AD 为两条弦，且CADDAB90 （1）如图 1，求证： 等于 ； （2）如图 2，点 F 在直径 AB 上，DF 交 AC 于点 E，若 AEDE，求证：AC2DF； （3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BC，若 AF2，BC6，求弦 AD 的长 29 （2022 浦东模拟）如图，已知 RtABC 中，ACB=90 ，BC=2，AC=3，以点 C 为圆心、CB 为半径的圆交 AB 于点 D，过点 A 作 AECD，交 BC 延长线于点 E. （1）求
13、CE 的长； （2）P 是 CE 延长线上一点，直线 AP、CD 交于点 Q. 如果ACQ CPQ，求 CP 的长； 如果以点 A 为圆心，AQ 为半径的圆与C 相切，求 CP 的长. 30 （2022 长宁模拟）已知：如图，AO 是O 的半径，AC 为O 的弦，点 F 为的中点，OF 交 AC 于点 E，AC=10，EF=3 （1）求 AO 的长； （2）过点 C 作 CDAO，交 AO 延长线于点 D，求 OD 的长 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，90是30的 3 倍，则可以旋转得到 A. B. C. D. 观察四个正多边形
14、的中心角，可以发现正 12 边形旋转 90 后能与自身重合 故答案为：C 【分析】先求出90是30的 3 倍，则可以旋转得到，再作图一一判断即可。 2 【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示：连接 MN， 可得 M 是 AD 的中点，N 是 BE 的中点， 则 MN 是梯形 ABED 的中位线， 则 MN=12（AB+DE）=4.5， EC=3，BC=AD=4， BE=5， 则N 的半径为 2.5， M 的半径为 2， 则 2+2.5=4.5 故M 与N 的位置关系是：外切 故答案为：B 【分析】利用已知得出两圆的半径，进而得出两圆的位置关系。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：设圆心距为
15、 d，由题意得，圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和，即 5d5+2 5d7 A.45，不符合题意； B，55，不符合题意； C.567，符合题意； D.77，不符合题意 故答案为：C 【分析】 设圆心距为 d， 由题意得， 圆心距是大于较大圆的半径且小于两个圆的半径之和， 即 5d5+2，求出 5d7，再逐项判断即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：A 当正多边形的边数是偶数时，正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，当正多边形的边数是奇数时，正多边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故正多边形不一定是中心对称图形，不符合题意； B正多边形一个内角的大小是(2)180，不符
16、合正比例的关系，不符合题意； C正多边形一个外角等于360，正多边形一个外角的大小与它的边数成反比例，符合题意； D边数大于 3 的正多边形的对角线长不一定相等，不符合题意 故答案为：C 【分析】根据正多边形的对称性、内角和、外角和以及对角线等知识逐项判断 5 【答案】A 【解析】【解答】解：当两圆外切时，切点 A 能满足 AO1=5，当两圆相交时，交点 A 能满足 AO1=5， 当两圆内切时，切点 A 能满足 AO1=5， 所以，两圆相交或相切 故答案为：A 【分析】根据 AO1的长度画出草图，可知两圆的位置关系为相交或相切 如果相离，则长度大于半径 5，内含则小于半径 5，均不符合题意 6
17、 【答案】C 【解析】【解答】 圆 A 与圆 B 内切， = 4 ，圆 B 的半径为 1 圆 A 的半径为 5 = 3 5 点 D 在圆 A 内 在 RtABC 中， = 2+ 2= 42+ 32= 5 点 C 在圆 A 上 故答案为：C 【分析】根据两圆内切，可得圆 A 的半径为 5，由点与圆的位置关系可得点 D 在圆 A 内，在 RtABC中，利用勾股定理求出 AC=5，利用点与圆的位置关系可得点 C 在圆 A 上，据此判断即可. 7 【答案】A 【解析】【解答】解：点 A（4，0） ，B，0，3） ， AB= 42+ 32 =5， A 与B 的半径分别为：2 与 7， 半径差为：7-2=
18、5， 这两圆的位置关系是：内切 故答案为：A 【分析】求出 AB=5，根据圆心距=半径之差，即可判断 8 【答案】C 【解析】【解答】如图，当P 第一次与C 外切时，根据两圆外切的性质， 1 =5， 过点 C 作 COAB，垂足为点 O， = 90 ， = ， = 8 ， CO=OA=OB=4， 在直角三角形 1 O 中， 1=12 2= 52 42= 3 ， AP 的最小值为 OA- 1= 4 3 =1；根据等腰直角三角形的对称性， 2= 3 ， AP 的最大值为 OA+ 2= 3 + 4 = 7 ， 线段 长的取值范围是 1 7 , 故答案为：C 【分析】 如图， 当P 第一次与C 相切时
19、， 根据两圆外切的性质， 确定 1 =5， 过点 C 作 COAB，垂足为点 O，根据等腰直角三角形的性质，得到 CO=4，运用勾股定理计算 1= 3 ,从而得到 AP 的最小值；根据等腰直角三角形的对称性，确定 2= 3 ，从而确定 AP 的最大值，答案自然得出 9 【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 当B 在O 内部且有唯一公共点时，B 的半径为：3-2=1， 当O 在B 内部且有唯一公共点时，B 的半径为 3+25， 如果B 与O 有公共点，那么B 的半径 r 的取值范围是 1r5， 故答案为：D 【分析】当B 内切于O 时，求出B 的半径；当O 内切于B 时，求出B 的半径，从而得
20、出其范围. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：O 的半径为 3cm，线段 OA5cm，线段 OB3cm 点 A 在以 O 为圆心 5cm 长为半径的圆上，点 B 在以 O 圆心 3cm 长为半径的O 上 当 ABOB 时，如左图所示，由 OB=3cm 知，直线 AB 与O 相切； 当 AB 与 OB 不垂直时，如右图所示，过点 O 作 ODAB 于点 D，则 ODOB，所以直线 AB 与O 相交； 直线 AB 与O 的位置关系为相交或相切 故答案为：D 【分析】 根据直线与圆的位置关系， 求出当 ABOB 时， 直线 AB 与O 相切； 当 AB 与 OB 不垂直时，可求出点 O 到 AB
21、 的距离，可得出点 O 到 AB 的距离小于 OB，从而得出直线 AB 与O 相交；据此判断即可. 11 【答案】400 【解析】【解答】解：过点 O 作 ODAB 于 D，连接 OB，如图， AC=11，BC=21， AB=AC+BC=32， ODAB 于 D， AD=BD=12AB=16， CD=AD-AC=5， 在 RtOCD 中，由勾股定理，得 OD=2 2=132 52=12， 在 RtOBD 中，由勾股定理，得 OB=2+ 2=162+ 122=20， 这个花坛的面积=202=400， 故答案为：400 【分析】先求出 CD=5，再利用勾股定理计算求解即可。 12 【答案】35 【
22、解析】【解答】解：如图，延长 CG 交 AB 于点 D，设 AC 切圆 G 的切点为 E，连接 GE， G 为ABC 的重心，AC=BC， CDAB，AD=BD，CG=23CD， CD=32CG=32 25=35， AC 切圆 G 的切点为 E， CEG=90 ，GE=2， CE=2 2=4， CEG=ADC=90 ，GCE=ACD， CEGCDA， =， 4=2， AD=12CD=352， AB=2AD=35. 故答案为：35. 【分析】延长 CG 交 AB 于点 D，设 AC 切圆 G 的切点为 E，连接 GE，根据等腰三角形的性质和三角形重心的性质得出 AD=BD， CD=32CG=35
23、， 根据切线的性质得出CEG=90 ， 根据勾股定理求出 CE=4，再证出CEGCDA，得出=，得出 AD=352，从而得出 AB=2AD=35，即可得出答案. 13 【答案】4 【解析】【解答】解：六边形 ABCDEF 是正六边形， AB=BC=AF=EF，BAF=ABC=AFE=120 ， ABF=AFB=30 ， GFE=GBC=90 ， EFG 的面积=1， 12EF FG=1， EF FG=2， BG=3FG， BF=4FG， FBC 的面积=12BC BF=12EF 4FG=2EF FG=4. 故答案为：4. 【分析】根据正六边形的性质得出 AB=BC=AF=EF，BAF=ABC=
24、AFE=120 ，根据等腰三角形的性质得出ABF=AFB=30 ， 从而得出GFE=GBC=90 ， 再根据三角形的面积公式得出 EF FG=2，从而得出FBC 的面积=12BC BF=2EF FG=4，即可得出答案. 14 【答案】5 6或 =245 【解析】【解答】解：在 中， = 90，为边上的中线， = 5， = 10， = = 5， cos =45， = 8， = 2 2= 102 82= 6， 边的高= 6 8 2 2 2 5 =245， 与中线有且只有一个公共点， 的半径 r 的取值范围为5 6或 =245 故答案为：5 0 =1+136 =3+3=13()+3=5136 当MF
25、PA 时， PFCA MFPPFC 点 M 与点 C 重合，此种情况不成立， 综上， 的值为 23 或 12 或 5136 【解析】【分析】 （1）利用圆周角定理证明即可； （2）设 CD 切O 于点 H，连接 OH 交 BP 于点 G，证明AOCAPB 可得=，将数据代入可得424=24化简变为2 6 + 4 = 0，再求出 x 的值即可； （3）分三种情况讨论： 当PMFABP 时，MFPBAP，当PFMABP 时，MFPABP，当点 P 在线段 AM 上时，若PFMABP，MFPABP，再分别利用相似三角形的性质求解即可。 25 【答案】（1）解：如图1，连接， 点 C 为线段中点， =
26、 90， = = ， = ， = = ， 是等边三角形， = 60， = 90 = 90 60 = 30； （2）解：如图2，连接，过点 O 作 于点 H， = ， ， = ， =12 =12， = 2 2=9 142=1236 2， + = + = 90， = ， = = 90， ， =， = ，ODy3， 1212362=3+3， =33623， 点 C 是劣弧上的一个动点(点 C 不与点 A、B 重合)， 0 ， = 2+ 2= 32+ 32= 32， 0 32， y 关于 x 的函数解析式为 =33623，定义域为0 32； （3）解：如图 3， 当 =185时，由(2)可知， =33
27、6(185)23185185= 1， = 1， = 3， = 2， = 3， = 4， ， = ， = ， = ， = ， ， =， 4=13， =43， = = 3 43=53， ， = ()2= (533)2=2581 【解析】【分析】 （1）利用直角三角形的性质得出 = = ，进而证明 是等边三角形，得出 = 60，即可得出答案； （2） 连接， ， 过点O作 于点H， 由等腰三角形的性质以及勾股定理得出 =12 =12， = 2 2=9 142=1236 2，再证明 ，得出=，即可得出 =33623，因为点 C 是劣弧上的一个动点(点 C 不与点 A、B 重合)，得出0 ，即可求出定义
28、域； （3）当 =185时，由(2)可知， =336(185)23185185= 1，进而得出 = 2， = 3， = 4，由 ， 证明 ， 得出=， 得出 =43， 得出 = = 3 43=53，得出 = = 3 43=53，由相似三角形的性质得出= ()2= (533)2=2581. 26 【答案】（1）解： 抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴交于点 A（-1，0）和点 B（3，0） ， + 4 = 09 + 3 +4 = 0， = 43 =83， 抛物线的解析式为 y=-43x2+83x+4； （2）解：BE=EF， 理由如下： G 的半径为 GB，G 与E 内切， 切点为 B，
29、E 的半径为 EF， BE=EF； 设点 F 的坐标为（m，-43m2+83m+4） ， BD=OB-OD=3-m，DF=-43m2+83m+4， DFCO， BDEBOC， =， 3=4， DE=43BD， BE=2+ 2=53BD， EF=BE=53BD， DF=DE+FE=3BD， -43m2+83m+4=3（3-m） ， 4m2-17m+15=0， （4m-5） （m-3）=0， m=54或 m=3（不符合题意，舍去） ， m=54， -43m2+83m+4=214， F（54，214）. 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据两圆相内切的性质得出切
30、点为 B，从而得出 BE 为E 的半径，即可得出 BE=EF； 设点 F 的坐标为（m，-43m2+83m+4） ，得出 BD=OB-OD=3-m，DF=-43m2+83m+4，证出 BDEBOC，得出=，从而得出 DE=43BD，EF=BE=53BD，DF=DE+FE=3BD，从而得出-43m2+83m+4=3（3-m） ，得出 m=54，-43m2+83m+4=214，即可得出点 F 的坐标. 27 【答案】（1）解：A（3，0） ，B 的坐标为（5，0） ，代入 yx2+2bx+c 9 +6 + = 025 10 + = 0 解得 = 1 = 15 抛物线的解析式为： = 2 2 + 1
31、5 （2）解：由 = 2 2 + 15，令 = 0，解得 = 15，即(0，15) (3，0)，(5，0) = 3， = 8， = 152 32= 66 的半径为3， 的半径为 8 3 + 8 = 11 P， ACQ=P 又AECD， ACQ=CAE， CAE=P， ACE PCA， 2= ， 即32=54 ， =365 设 CP=t，则 = 54 ACB=90 ， = 9 + 2 AECD， =，即2+9=5454=545， =52+945 若两圆外切，那么 =52+945= 1，此时方程无实数解 若两圆内切，那么 =52+945= 5， 152 40 + 16 = 0 ， 解得： =204
32、1015 又 54， =20+41015 【解析】【分析】 （1）设 CE=x，则 AE=BE=x+2，得出2+ 2= 2 ，代入数值计算即可； （2）由ACQ CPQ，QACP，得出ACQ=P，求证出ACE PCA，得出2= ，即可得出 CP 的值； 设 CP=t， 则 = 54 ， 得出 AQ 的值， 若两圆外切， 那么 =52+945= 1， 此时方程无实数解 若两圆内切，那么 =52+945= 5，即可得出 t 的值。 30 【答案】（1）解：O 是圆心，且点 F 为 AC 的中点， OFAC， AC10， AE5， EF=3 设圆的半径为 r，即 OAOFr， 则 OEOFEFr3， 由 OA2AE2OE2得 r252（r3）2， 解得：r173，即 AO173； （2）解：OAECAD，AEOADC90 ， AOEACD， 则 sinACDsinAOE=5173=1517 = sin = 10 1517=15017 = =15017173=16151 【解析】【分析】 （1）根据垂径定理和勾股定理即可得出 OA 的值； （2）根据题意和相似三角形的判定方法可得出AOEACD，则 sinACDsinAOE=5173=1517，再根据题中的数据和（1）的结果，即可得出 OD 的长