1、 专题专题 15 15 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1如果关于反比例函数 =（k 是常数， 0） ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小，那么一次函数 = 2的图像一定经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、三、四象限 C第二、三、四象限 D第一、二、四象限 2已知反比例函数 y=（k0） ，且在各自象限内，y 随 x 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A （2，3） B （-2，3） C （3，0） D （-3，0） 3在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（ ） 图像经过点 (1，1) ；图像经过第三象限；当 0 时，y 的值随 x 的值增大而增大
2、A = 2+ 2 B = C = 2 + 3 D =1 4 （2022 长宁模拟）关于反比例函数 y4，下列说法中错误的是（ ） Ay 的值随 x 的值增大而减小 B它的图象在第一、三象限 C它的图象是双曲线 D若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上 5 （2022 八下 嘉定期中）函数 =和 = ( + 1)( 0)在同一直角坐标系中的大致图像是（ ） A B C D 6 （2021 八上 徐汇期末）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、 C 为反比例函数 y=（k0）上不同的三点，连接 OA、OB、OC，过点 A 作 ADy 轴于点 D，过点 B、C 分别作
3、 BE，CF 垂直 x轴于点 E、F，OC 与 BE 相交于点 M，记AOD、BOM、四边形 CMEF 的面积分别为 S1、S2、S3， 则（ ） AS1=S2+S3 BS2=S3 CS3S2S1 DS1S2S32 7 （2021 八上 徐汇期末）如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为（3，-4） ，那么另一个交点的坐标为（ ） A （-3，-4） B （3，4） C （3，4） D （-4，3） 8 （2021 九上 奉贤期末）在平面直角坐标系 xOy 中， 下列函数的图象过点（-1，1）的是（ ） A = 1 B = + 1 C =1 D = 2 9 （2021 八上 浦东期
4、末）在反比例函数 y2的图像上有三点 A1（x1，y1） 、A2(x2，y2)、A3(x3，y3)，已知 x1 x20 x3则下列各式中，正确的是（ ） Ay1y2y3 By3 y2 y1 Cy2 y1 y3 Dy3 y1 0 ）的图像相交 x 于点 C， 过直线 上的点 (1，3) ， 作 轴于点 B， 交反比例函数图象于点 D，且 = 2 ，那么点 C 的坐标为 . 12 （2022 宝山模拟）如果反比例函数 =(是常数， 0)的图象经过点(-1，3)，那么当 0时，y的值随 x 的值增大而 .(填“增大”或“减小”) 13 （2022 浦东模拟）已知反比例函数 =3，如果在每个象限内，y
5、 随自变量 x 的增大而增大，那么a 的取值范围为 14 （2022 徐汇模拟）如图，已知点 (0，8) 和点 (4，8) ，点 B 在函数 =( 0) 的图像上，点 C 是 AB 的延长线上一点，过点 C 的直线交 x 轴正半轴于点 E、交双曲线于点 D如果 CDDE，那么线段 CE 长度的取值范围是 15 （2022 九下 虹口期中）已知点 P 位于第三象限内，且点 P 到两坐标轴的距离分别为 3 和 2若反比例函数图象经过点 P，则该反比例函数的解析式为 16 （2022 九下 虹口期中）已知() =221，则(3) = 17 （2021 九上 静安期末）已知反比例函数 =1的图像上的三
6、点(2，1)，(1，2)，(1，3)，判断1，2，3的大小关系： （用“”连接） 18 （2021 八上 徐汇期末）若(1， )1、(12， )2两点都在函数 =的图像上，且1 0)的图像交于点(，5)点 C 为函数 =12 + 4的图像上一点，过点 C 作 轴，交反比例函数 =的图像于点 D （1）求反比例函数 =的解析式； （2）如果 = ，求点 C 的坐标； （3）如果 = ，求点 D 的坐标 22 （2022 上海市）一个一次函数的截距为 1，且经过点 A（2，3） （1）求这个一次函数的解析式； （2）点 A，B 在某个反比例函数上，点 B 横坐标为 6，将点 B 向上平移 2 个单
7、位得到点 C，求 cosABC 的值 23 （2022 嘉定模拟）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道木板对地面的压强 P（Pa）是木板面积 S（m2）的反比例函数，其图象如图所示 （1）求出 P 与 S 之间的函数表达式； （2）如果要求压强不超过 3000Pa，木板的面积至少要多大？ 24 （2022 九下 普陀期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 =( 0)的图像与正比例函数 y = 2x 的图像的交点 A 在第一象限，点 A 的纵坐标比横坐标大 1 （1）求点 A 的坐标和反比例函
8、数的解析式 （2）点 P 在射线 OA 上，过点 P 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B如果点 B 的纵坐标为 1，求PAB的面积 25（2022 九下 虹口期中）已知反比例函数 =12的图像和一次函数 = 7的图像都经过点(，2) （1）求这个一次函数的解析式； （2）如果等腰梯形 ABCD 的顶点 A、B 在这个一次函数的图象上，顶点 C、D 在这个反比例函数 的图象上，两底 AD、BC 与 y 轴平行，且 A 和 B 的横坐标分别为 a 和 + 2，求 a 的值 26 （2021 九上 奉贤期末）如图， 在平面直角坐标系 中， 矩形 的顶点 (4，0) 和 B 在 x 轴的正半轴上， 反比
9、例函数 = 在第一象限内的图像经过点 D， 交 于点 . =2， =34 （1）求反比例函数的解析式； （2）连接， 求 的正切值 27 （2021 八上 松江期末）如图，在直角坐标平面内，正比例函数 = 3的图像与一个反比例函数图象在第一象限内的交点为点 A，过点 A 作 ABx 轴，垂足为点 B，AB=3 （1）求反比例函数的解析式； （2）在直线 AB 上是否存在点 C，使点 C 到直线 OA 的距离等于它到点 B 的距离？若存在，求点 C的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点 P 在直线 AB 上，如果AOP 是等腰三角形，请直接写出点 P 的坐标 28 （2021 八上 浦东期
10、末）如图，在平面直角坐标系内，双曲线 =8( 0)上有 A，B 两点，且与直线 = ( 0)交于第一象限内的点 A，点 A 的坐标为(4，2)，点 B 的坐标为(，1)，过点 B 作 y轴的平行线，交 x 轴于点 C，交直线 = ( 0)与点 D （1）求：点 D 的坐标； （2）求： 的面积； （3） 在 x 轴正半轴上是否存在点 P， 使 是以 OA 为腰的等腰三角形？若不存在， 请说明理由；若存在，请直接写出 P 的坐标 29 （2021 八上 杨浦期中）如图，正比例函数 y 12x 的图像与反比例函数 y （k0）的图像交于 A（a，2） 、B 两点 （1）求反比例函数的解析式和点 B
11、 的坐标 （2）点 P 为第一象限内反比例函数图象上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 AB 于点 C，连接PO，如果POC 的面积为 3，求点 P 的坐标 30 （2021 八下 黄浦期末）已知： 如图， 平面直角坐标系中有一个等腰梯形 ， 且 /， = ，点 在 轴正半轴上，点 、 在 轴上（点 在点 的左侧)，点 在第一象限， = 3， = 11 ， 梯形的高为 2 双曲线 = 经过点 ， 直线 = + 经过 、 两点 （1）求双曲线 = 和直线 = + 的解析式； （2）点 在双曲线上，点 在 轴上，如果四边形 、 是平行四边形，请直接写出点 的坐标 答案解析部分答案解析部分
12、1 【答案】B 【解析】【解答】解：反比例函数 =（k 是常数， 0）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小， k0， 又b20， ykx2 图象经过第一，三，四象限 故答案为：B 【分析】 在每一个象限内， y随x的增大而减小 ， 根据反比例函数的性质可得k0， 一次函数的 b0，所以图象经过第第一，三，四象限. 2 【答案】B 【解析】【解答】解：反比例函数 y=（k0） ，且在各自象限内，y 随 x 的增大而增大， k=xy0，点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、-2 30，点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、3 0=0，点（2，3）不可
13、能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、-3 0=0，点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故答案为：B 【分析】利用反比例函数的性质先求出 k=xy0，再对每个选项一一判断即可。 3 【答案】A 【解析】【解答】解：A、当 x=1 时 y=1，图象经过点（1，1） ， 抛物线 y=-x2+2 的对称轴为 y 轴，顶点坐标为（0，2） ， 图象经过第三象限，且当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大， 故 A 符合题意； B、当 x=1 时 y=-1，图象不经过点（1，1） ，故 B 不符合题意； C、一次函数 y=-2x+3 的图象经过第一、二、四象限，不经过第
14、三象限，故 C 不符合题意； D、反比例函数的图象在第一、三象限，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而减小，故 D 不符合题意. 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征和性质、一次函数图象上点的坐标特征和性质、反比例函数图象上点的坐标特征和性质，逐项进行判断，即可得出答案. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：A在每一象限内，y 的值随 x 的增大而减小，符合题意； Bk=40，图象位于一、三象限，不符合题意； C反比例函数 =4的图像是双曲线，不符合题意； Dab=ba， 若点（a，b）在它的图像上，则点（b，a）也在它的图像上，不符合题意 故答案为：A 【分析】利用反比例函数图象及性质
15、判断即可。 5 【答案】B 【解析】【解答】k0， 函数 =的图象在第二、四象限，函数 = ( + 1)也必经过第二、四象限， 又函数 = ( + 1)过点（-1，0） ， = ( + 1)的图象在第二、三、四象限， 故答案为：B 【分析】根据反比例函数的图象、一次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。 6 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得： ， ， 的面积都等于2， 1=2，2= 3=2 ， A、1与2+ 3不一定相等，此项不符合题意； B、2= 3，此项符合题意； C、3= 2 22= 22= 32，此项不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据反比例函数系数 k 的几何意义得出2=
16、3，即可得出结论。 7 【答案】C 【解析】【解答】设正比例函数解析式为 = ，反比例函数解析式为 = 联立得 = = ，解得2=， = = 或 = = 正比例函数和反比例函数交点关于原点对称 如果正比例函数图象与反比例函数图象的一个交点的坐标为 （3， -4） ， 那么另一个交点的坐标为 （3，4） 故答案为：C 【分析】根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，再结合关于原点对称的点坐标的特征求解即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：当 x=-1 时， = 1 1 = 2 1， = 1图象不过点(1，1)，选项 A 不合题意； 当 x=-1 时， = (1) + 1 = 1 +
17、1 = 2 1， = + 1图象不过点(1，1)，选项 B 不合题意； 当 x=-1 时， =1=11= 1 1， =1图象不过点(1，1)，选项 C 不合题意； 当 x=-1 时， = (1)2= 1， = 2图象过点(1，1)，选项 D 合题意； 故答案为：D 【分析】根据一次函数的图象以及反比例函数的图象判断即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：k=20， 函数图象分布在一三象限， 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小， x1x20 x3， y2 y1 y3 故答案为：C 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系可得：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，再利用此性质求解即可。
18、 10 【答案】A 【解析】【解答】解：函数 =中，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， k0， 双曲线在第二、四象限， 函数 y=-kx 的图象经过第一、三象限， 故答案为：A 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系及反比例函数的图象与系数的关系求解即可。 11 【答案】( 33，3 ) 【解析】【解答】解：A（1，3） ，ABx 轴， AB=3， AD=2BD， BD=1， D（1，1） ， 点 D 在反比例函数 y=的图象上， k=1， 反比例函数的解析式为 y=1， 直线 AC 过原点且平行于直线 y=3x-1， 直线 AC 的解析式为 y=3x， 联立方程组 = 3 =1， 解得
19、 =33 =3， 点 C 的坐标为： （33，3）. 故答案为： （33，3）. 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据两直线平行 k 值相等，得出直线 AC 的解析式，联立方程组，求出方程组的解，即可得出答案. 12 【答案】增大 【解析】【解答】解：反比例函数 =的图象经过点(-1，3)， = 1 3 = 3， = 3 0时，y 的值随 x 的值增大而增大， 故答案为：增大 【分析】将点（-1，3）代入 =求出 k 的值，再根据反比例函数的性质与系数的关系可得答案。 13 【答案】 3 【解析】【解答】解：根据题意，得3 3， 故答案为： 3 【分析】利用反比例函数的性质与系数
20、的关系可得3 0，再求出 a 的取值范围即可。 14 【答案】8 0) 上， 8 4 k32 过点 D 作 DFOA 于点 F，如图， 则 DFAB A（0，8） ， OA8 CDDE， AFOF 12OA4， 点 D 的纵坐标为 4， 点 D 在在双曲线 y 32 上， x8 D（8，4） 当 ECx 轴时，此时 EC 最小，ECOA8； 当点 E 与点 O 重合时，此时 EC 最大， CDDE， 点 C（16，8） EC8 5 点 E 在 x 轴正半轴， 8EC8 5 ， 故答案为： 8 85 【分析】先求出反比例函数的解析式，当 ECx 轴时，此时 EC 最小，当点 E 与点 O 重合时
21、，此时 EC最大，分别求出 EC 的最大值和最小值即可得到 EC 的取值范围。 15 【答案】 =6 【解析】【解答】解：点 P 位于第三象限内，且点 P 到两坐标轴的距离分别为 3 和 2， P 点坐标为： （-3，-2）或（-2，-3） ， 设反比例函数的解析式为 = = (3) (2) = 6 则该反比例函数的解析式为： =6 故答案为： =6 【分析】根据题目已知条件，可知 P 点有两个位置，系数 k 为 2 3=6 16 【答案】1 【解析】【解答】解：当 = 3时， (3) =2(3)21=231=22= 1 故答案为：1 【分析】已知 f(x)，代入求值即可。 17 【答案】2
22、1 3 【解析】【解答】解： =1， 当 = 2时，1= 12； 当 = 1时，2= 1； 当 = 1时，3= 1 2 1 3 故答案为：2 1 3 【分析】先利用反比例函数的解析式求出各点的 y 值，再比较大小即可。 18 【答案】k0 【解析】【解答】解：1 12 ，且12， 随 的增大而增大， 0 故答案为： 0 【分析】根据1 12 ，且12，可得 随 的增大而增大，再利用反比例函数的性质与其系数的关系可得 0。 19 【答案】 0，点 B 的纵坐标为 1， = 2 (2，1) 轴，在 = 2( 0)上， 则(2，4)， = 4 1 = 3 =12 | | =12 3 1 =32 【解
23、析】【分析】 （1）已知一次函数表达式和 A 点满足的条件，求出 A 的坐标，用待定系数法求出反比例函数表达式 （2）根据 B 点的纵坐标求出 B 点坐标和 P 点坐标，再根据三角形面积公式求出答案 25 【答案】（1）解：点 P（m，2）在函数 =12的图象上， m=6， 一次函数 y=kx-7 的图象经过点 P（6，2） ， 得 6k-7=2， k=32， 所求的一次函数解析式是 y=32x-7； （2）解：过 B 作 BFAD，过 C 作 CEAD， 点 A、B 的横坐标分别是 a 和 a+2， 可得，(，32 7)，( + 2，32 4)，( + 2，12+2)，(，12)， AB=C
24、D， 在 RtCDE 与 RtABF 中， 由勾股定理得：2= 2+ 2= 22+ (1212+2)2， AB2=AF2+BF2=22+32， 四边形 ABCD 是等腰梯形， AB=CD，即22+ 32= 22+ (1212+2)2， 即12+212= 3， 由12+212= 3，化简得 a2+2a+8=0，方程无实数根， 由12+212= 3，化简得 a2+2a-8=0， a1=-4，a2=2 经检验，a1=-4，a2=2 均为所求的值 所以，a 的值是-4 或 2 【解析】【分析】 （1）已知反比例函数表达式，代入求出 P 点具体坐标，再求一次函数解析式 （2） 由题意知等腰梯形ABCD的
25、顶点AB在一次函数上， 求出4个点的坐标， 根据等腰梯形知AB=CD，再根据两点间距离公式求 a 26 【答案】（1）解：A(4，0) OA=4 tan =34 AD=3 点 D 的坐标为(4，3) 把点 D 的坐标代入 =中，得3 =4 k=12 反比例函数的解析式为 =12 （2）解： 四边形 ABCD 是矩形 BC=AD=3 CE=2BE =13 = 1 即点 E 的纵坐标为 1 点 E 在反比例函数 =12的图象上 12= 1 x=12 即 OB=12 在 RtOBC 中，tan =312=14 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据矩形的性质的性质
26、得出 BC=AD=3，得出点 E 的纵坐标，根据点 E 在反比例函数 =12的图象上得出 x 的值，即可得出结论。 27 【答案】（1）解： ABx 轴，AB=3， = 3， 3= 3， 则=3， 设反比例函数为 =， = 3 3 = 33， 所以反比例函数为 =33. （2）解：存在，(3，1)或(3， 3)；理由如下： 如图，作的角平分线交于， 过 C 作 于 T， 而 轴，则 = ， (3，3)， 则 = 3， =(3)2+ 32= 23， 而=1212=1212， =， =233= 2， =11+2 3 = 1，(3，1)， 如图，作的角平分线交于 C， 过 C 作 于 T， 交 x
27、轴于 G ， 则 = ， 而 = ， = = 90， ， = = 3， 而 = = 90， = ， ， = = 3， = = 23， 设 = = ， (3 + )2= 2+ (23 + 3)2， 解得： = 3， (3， 3)， 综上：(3，1)或(3， 3) （3）(3，23 + 3)或(3，3 23)或(3， 3)或(3，1) 【解析】【解答】解：(3)如图， = 23， 为等腰三角形， 当1= = 23时，1 = 23+ 3，1(3，23+ 3)， 当2= = 23时，2 = 23 3，2(3，3 23)， 当3= = 23时，3 = = 3，3(3， 3)， 当4 = 4时，设4(3，
28、)， (3)2+ 2= (3 )2， 解得： = 1，4(3，1). 综上：P 的坐标为：(3，23 + 3)或(3，3 23)或(3， 3)或(3，1) 【分析】 （1） （1）根据 ABx 轴，AB=3，得出=3， 设反比例函数为 =， 得出 m 的值，即可得出答案； （2）作的角平分线交于， 过 C 作 于 T， 而 轴，则 = ，作的角平分线交于C， 过C作 于T， 交x轴于G ， 则 = ， 而 = ， = =90，分两种情况讨论即可； （3）当1= = 23时，当2= = 23时，当3= = 23时，当4 = 4时，分四种情况讨论即可。 28 【答案】（1）解：直线 = ( 0)与
29、双曲线 =8( 0)交于(4，2)点， =12 直线 OA 函数解析式为 =12 点(，1)在双曲线 =8上， = 8 (8，1) 过点 B 的直线 CD 平行于 y 轴， 点 C，点 D 的横坐标都是 8代入 =12 可得点 D 坐标为(8，4) （2）解：如图，联结 AB、OB，过 A 作 根据题意可得点 C 坐标为(8，0)，(4，2)，(8，4)，(8，1) = 8， = 4， = 3， = 1， = 4 = = 16 4 6 = 6 （3）解：的坐标为(8，0)或(25，0) 【解析】【解答】解： （3）由 是以 OA 为腰的等腰三角形， 当 = 时， = 2 即1(8，0) 当 =
30、 时 (4，2)，(0，0) 2(25，0) 综上所述的坐标为(8，0)或(25，0) 【分析】 （1）先求出直线 OA 的解析式 =12，再求出点 B 的坐标，再将点 D 的横坐标代入直线 OA的解析式即可得到点 D 的坐标； （2）利用割补法= 求解即可； （3）分两种情况，再利用等腰三角形的性质求解即可。 29 【答案】（1）解：把 A（a， 2）代入 =12 ，可得 a= 4， A（ 4， 2） ， 把 A（ 4， 2）代入 = ，可得 k=8， 反比例函数的表达式为 =8 ， 点 B 与点 A 关于原点对称， B（4，2） ； （2）如图所示，过 P 作 PEx 轴于 E，交 AB
31、于 C， 设 P（m， 8 ） ，则 C（m， 12 ） ， POC 的面积为 3， 12 m | 12 m 8 |=3， 解得 m= 27 或 2， P（ 27 ， 477 ）或（2，4） 【解析】【分析】 （1） 把 A（a， 2）代入 =12 中求出 a 值，再把点 A 坐标代入 =中，求出k 值即可； （2）过 P 作 PEx 轴于 E，交 AB 于 C，设 P（m， 8 ） ，则 C（m， 12 ） ，根据POC 的面积=12 m| 12 m 8 |=3，解出 m 值即可. 30 【答案】（1）解：如图 1，过点 作 轴于点 / ， = ， 四边形 是等腰梯形， 轴， 四边形 是矩形
32、， = ， = ， = = 90 ， 在 和 中， = = ， () = ， 梯形的高为 2， = = 2 = 3 ， = 11 ， = 4 ， = 7 (0，2) ， (4，0) ， (7，0) ， (3，2) ， 双曲线 = 经过点 (3，2) ， = = 6 双曲线的解析式为： =6 ， 直线 = + 经过 (0，2) 、 (4，0) 两点， 得： = 24 + = 0 ， 解得： =12 = 2 直线的解析式为： =12 + 2 （2）解：如图 2， 四边形 是平行四边形 / 且 = 点 在 轴上， 过点 作 轴的垂线与双曲线 = 的交点即为点 点 的坐标为 (4，32) ， =32 = =32 ， = =12 ， 点 的坐标为 (0，12) 【解析】【分析】 （1）首先过点 D 作 DH 垂直 x 轴于点 H，由 AD/BC，AB=CD，易得四边形 AOHD时矩形， 证得 ， 又由 AD=3， BC=11， 梯形的高为 2， 求出各点坐标， 由双曲线 =过点 D，直线 y=kx+b 过点 A、B，直接利用待定系数法求解即可求得答案； （2） 由四边形 ABMN 是平行四边形， 可得点 M 的横坐标为-4， 继而求得点 M 的坐标， 又由 AN=BM，求得答案