1、 专题专题 14 14 一次函数一次函数 一、单选题一、单选题 1一次函数 y=3（x1）在 y 轴上的截距是（ ） A1 B1 C3 D3 2在下列函数中，同时具备以下三个特征的是（ ） 图像经过点 (1，1) ；图像经过第三象限；当 0 时，y 的值随 x 的值增大而增大 A = 2+ 2 B = C = 2 + 3 D =1 3函数 =和 = ( + 1)( B C = D无法确定 5 （2021 九上 奉贤期末）在平面直角坐标系 xOy 中， 下列函数的图象过点（-1，1）的是（ ） A = 1 B = + 1 C =1 D = 2 6（2021 八上 松江期末）已知正比例函数 = 的
2、图像经过点 （2， 4） 、（1， 1） 、（1， 2） ， 那么1与2的大小关系是（ ） A1 2 D无法确定 7 （2021 八上 浦东期末）已知函数 =( 0)中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数 = ( 0)在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ） A B C D 8 （2021 八上 松江期中）点 (1，1) 、 点 (2，2) 在正比例函数 = 4 的图像上， 当 1 2 时，则 1 与 2 的大小关系是（ ） A1 2 C1= 2 D无法判断 9 （2020 八下 金山期末）下列一次函数中函数值 y 随 x 的增大而减小的是（ ） Ay2x1 By2x1 Cy12x
3、 Dy 12x1 10 （2021 八下 青浦期末）如果一次函数 = + 的图像经过第一、三、四象限，那么 、 应满足的条件是（ ） A 0 ，且 0 ； B 0 ，且 0 ； C 0 ； D 0 ，且 0） 之间的函数关系如图 9 中折线 OABCD 所示根据图像提供的信息，回答下列问题 （1）这条登山路的全长为 米；小李在山顶休息了 分钟； （2）如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚 27 （2022 九下 普陀期中）在等腰梯形 ABCD 中，DC/AB，AB= 6，tan = 22，过点 A 作 AHBC，垂足为点 H （1）当点 C
4、与点 H 重合时（如图） ，求线段 BC 的长； （2）当点 C 不与点 H 重合时，联结 AC，作ACH 的外接圆 O 当点 C 在 BH 的延长线上时（如图） ，设 CH=x，CD = y，求 y 与 x 的函数解析式，并写出定义域； 延长 CD 交圆 O 于点 G，如果ACH 与ACG 全等， 求 CD 的长 28 （2021 九上 静安期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2+ 经过点 A（2，0）和点(1，)，顶点为点 D （1）求直线 AB 的表达式； （2）求 tanABD 的值； （3）设线段 BD 与轴交于点 P，如果点 C 在轴上，且 与 相似，求点 C 的坐标
5、29 （2021 八上 徐汇期末）接种疫苗是预防控制传染病最有效的手段甲、乙两地分别对本地各 40 万人接种新冠病毒疫苗甲地在前期完成 5 万人员接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种甲地经过 a天接种后，由于情况变化，接种速度放缓图中的折线 BCD 和线段 OA 分别反映了甲、乙两地的接种人数 y（万人）与接种时间 x（天）之间的函数关系根据图像所提供的信息回答下列问题 （1）乙地比甲地提前了 天完成疫苗接种工作 （2）试写出乙地接种人数2（万人）与接种时间 x（天）之间的函数解析式 （3）当甲地放缓接种速度后，每天可接种 万人 30 （2021 八上 松江期末）小王上午 8 时自驾小汽车从家
6、里出发，到“番茄农庄”游玩，小汽车离家的距离 s（千米）与对应的时刻 t（时）的关系可以用图中的折线表示，根据图像提供的有关信息，解答下列问题： （1）“番茄农庄”离小王家 千米； （2）小王在“番茄农庄”游玩了 小时； （3）在去“番茄农庄”的过程中，小汽车的平均速度是 千米/小时； （4）小王回到家的时刻是 时 分 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：y=3（x1）=3x3， 当 x=0 时，y=3， 一次函数 y=3（x1）在 y 轴上的截距是：3 故答案为：D 【分析】 直接求出一次函数与 y 轴交点即可. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：A、当 x=1
7、时 y=1，图象经过点（1，1） ， 抛物线 y=-x2+2 的对称轴为 y 轴，顶点坐标为（0，2） ， 图象经过第三象限，且当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而增大， 故 A 符合题意； B、当 x=1 时 y=-1，图象不经过点（1，1） ，故 B 不符合题意； C、一次函数 y=-2x+3 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故 C 不符合题意； D、反比例函数的图象在第一、三象限，当 x0 时，y 的值随 x 的值增大而减小，故 D 不符合题意. 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征和性质、一次函数图象上点的坐标特征和性质、反比例函数图象上点的坐标特征和性质，逐项进行判
8、断，即可得出答案. 3 【答案】B 【解析】【解答】k0， 函数 =的图象在第二、四象限，函数 = ( + 1)也必经过第二、四象限， 又函数 = ( + 1)过点（-1，0） ， = ( + 1)的图象在第二、三、四象限， 故答案为：B 【分析】根据反比例函数的图象、一次函数的图象与系数的关系逐项判断即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：k=120 y 随 x 的增大而增大 -3-1 ab 故答案为：B 【分析】利用一次函数的性质求解即可。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：当 x=-1 时， = 1 1 = 2 1， = 1图象不过点(1，1)，选项 A 不合题意； 当 x=-1
9、时， = (1) + 1 = 1 + 1 = 2 1， = + 1图象不过点(1，1)，选项 B 不合题意； 当 x=-1 时， =1=11= 1 1， =1图象不过点(1，1)，选项 C 不合题意； 当 x=-1 时， = (1)2= 1， = 2图象过点(1，1)，选项 D 合题意； 故答案为：D 【分析】根据一次函数的图象以及反比例函数的图象判断即可。 6 【答案】A 【解析】【解答】解：正比例函数 = 的图像经过点（2，4） 、代入解析式得4 = 2 解得 = 2 正比例函数为 = 2 = 20， y 随 x 的增大而减小， 由于-11，故 y1y2 故答案为：A 【分析】先求出正比例
10、函数的解析式，再求出1与2的值，再比价大小即可。 7 【答案】A 【解析】【解答】解：函数 =中，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大， k0， 双曲线在第二、四象限， 函数 y=-kx 的图象经过第一、三象限， 故答案为：A 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系及反比例函数的图象与系数的关系求解即可。 8 【答案】B 【解析】【解答】正比例函数 = 4 中 y 随 x 增大而减小 当 1 2 故答案为：B 【分析】根据正比例函数 = 4 ，可知 y 随 x 增大而减小，结合1 2。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：一次函数中函数值 y 随 x 的增大而减小， y=kx+b 中，k0
11、故答案为：C 【分析】因为一次函数中函数值 y 随 x 的增大而减小，得出 k0 10 【答案】B 【解析】【解答】一次函数 = + 的图像经过第一、三、四象限 当 = 0 时， = 0 0 故答案为：B 【分析】先求出当 = 0 时， = 0，最后求解即可。 11 【答案】56 【解析】【解答】解：设 AB 的解析式为 = + ， 将(2，40)，(4，72)代入得， 2 + = 404 + = 72， 解得： = 16 = 8， = 16 + 8， 当 = 3时， = 16 3 + 8 = 56 故答案为：56 【分析】用待定系数法先求出 AB 的解析式，然后代入当 x=3 时求出即可.
12、12 【答案】 = + 2（答案不唯一） 【解析】【解答】直线 = + 过第一象限且函数值随着 x 的增大而减小， 0， 0， 符合条件的一条直线可以为： = + 2（答案不唯一） 【分析】根据题意先求出 4 【解析】【解答】解：一次函数 = (4 ) + 3（k 是常数）中 y 随 x 的增大而减小， 4k4， 故答案为：k4 【分析】根据一次函数的性质与系数的关系可得 4k 0 ， y 的值随 x 的增大而增大， 故答案为：增大 【分析】利用待定系数法求出平移后的函数解析式，再利用一次函数的性质与系数的关系求解即可。 19 【答案】4537 【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图： A
13、BO=90 ，OB=3，AB=4，ABOCDO， OD=OB=3，CD=AB=4， 点 A(-4，-3) ，B(0，-3) ，C(3，-4) ，D(3，0)， 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b， 4+ = 33 + = 0 ，解得 =37 = 97 ， 直线 AD 的解析式为 =37 97 ， 设直线 OC 的解析式为 y=mx， 把 C(3，-4)代入， 3m=-4，解得 m=- 43 ， 直线 OC 的解析式为 y=- 43x， 联立 =37 97 = 43 ，解得 =2737 = 3637 ， (2737，3637) ， = (2737)2+ (3637)2=4537 ， 故答案为
14、： 4537 【分析】 先建立平面直角坐标系， 再求出直线 AD 和直线 OC 的解析式， 然后联立方程组 =37 97 = 43求出 x、y 的值，即可得到点 E 的坐标，最后利用两点之间的距离公式可得 OE 的长。 20 【答案】1 【解析】【解答】解：正比例函数 y（k1）x 的图像经过第一、三象限， k-10， 解得 k1， 故答案为：1 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系可得 k-10，再求出 k 的取值范围即可。 21 【答案】（1）解：设这个一次函数的解析式 y=kx+1， 把 A（2，3）代入，得 3=2k+1， 解得：k=1， 这个一次函数的解析式为 y=x+1； （2）
15、解：如图， 设反比例函数解析式为 y=， 把 A（2，3）代入，得 3=2， 解得：m=6， 反比例函数解析式为 y=6， 当 x=6 时，则 y=66=1， B（6，1） ， AB=(6 2)2+ (1 3)2= 25， 将点 B 向上平移 2 个单位得到点 C， C（6，3） ，BC=2， A（2，3） ，C（6，3） ， ACx 轴， B（6，1） ，C（6，3） ， BCx 轴， ACBC， ACB=90 ， ABC 是直角三角形， cosABC=225=55 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出 m=6， 再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
16、22 【答案】（1）解：设甲车原计划的速度为 x 千米/小时 由题意得，60010600= 2 解得 x1=-50 x2=60 经检验，x1=-50 x2=60 都是原方程的解，但 x1=-50 不符合题意，舍去 x=60， 答：甲车原计划的速度为 60 千米/小时； （2） （4，240） ； （12，600） ；y=45x+60 【解析】【解答】解： （2）4 60=240， 所以点 A 的坐标为（4，240） ； 点 B 的坐标为（12，600） ； 4 小时后的 y 与 x 的函数关系式为 y=45x+60； 故答案为（4，240） ； （12，600） ；y=45x+60 【分析】
17、（1）设甲车原计划的速度为 x 千米/小时，根据图象列出方程解答即可； （2）根据图象得出坐标和关系式即可。 23 【答案】（1）解：当 x=0 时，y=3； y=0 时 x=4， 点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 坐标为（0，3） ， = 32+ 42= 5， BD=AB=5， 点 D 坐标为（0，-2） ， 设点 C 坐标为（a，0） ，依题意有 CD=AC， 4 + 2= 4 ， 解得 =32， 点 C 坐标为(32，0)； （2）解：设直线 BC 的表达式为 = + ， 3 = 0 + 0 =32 + ， 解得 = 2 = 3， 直线 BC 的表达式为 = 2 + 3 【解析】【分
18、析】 （1）将 x=0 和 y=0 分别 = 34 + 3求出点 B、A 的坐标， 再设点 C 坐标为（a，0） ，根据 CD=AC 可得方程4 + 2= 4 求出 a 的值，即可得到点 C 的坐标； （2）利用待定系数法求出直线 BC 的解析式即可。 24 【答案】（1） 解： 根据表中数据， 随着天数的增加， 日销售量的增加量是固定不变的， 都是 20 千克， 选择一次函数模型来确定 y 与 x 的函数关系式，设 = + ( 0) ，选择 (1，380) 和 (2，400) ，代入解析式，联立方程组得： 380 = + 400 = 2 + ，解得 = 20 = 360 ， y 与 x 的函
19、数关系式为 = 20 + 360 ； （2）解：设公司对第一批次每天的销售定量是 m 千克，则 6000=6000+100+ 2 ， 去分母得 6000( + 100) = 6000 + 2( + 100) ， 即 2+ 100 600000 = 0 ， ( 500)( + 600) = 0 ， 解得 = 600 （舍） ， = 500 ， 经检验： = 500 是原分式方程的解， 答：公司对第一批次每天的销售定量是 500 千克 【解析】【分析】 （1）设 = + ( 0)，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设公司对第一批次每天的销售定量是 m 千克，根据题意列出方程6000=
20、6000+100+ 2求出 m 的值即可。 25 【答案】（1）解：直线 = + 经过点 A、B， 有2 + = 0 + = 3 解得 = 1 = 2 直线的表达式为 = + 2 （2）解： = 2 = 2 4 + = ( 2)2+ 2 4 顶点坐标为（2，2-4a） 顶点不在第一象限 2 4 0 12 （3）解：依题意有 = + 2 = 2 4 + 2，解得 = 0 = 2或 = 4 +1 = 6 +1 抛物线与已知直线交于（0，2） 、(4 +1，6 +1) 两点 顶点 P 坐标为（2，2-4a）且点 C 在点 D 的右侧 点 C(4 +1，6 +1)，点 D（0，2） 过点 P 作 PH
21、 垂直 AB 于点 H，设点 H 坐标为（m，m+2） = ( + 4)2+ ( 2)2， = 22 直线 DP 与直线 AB 所成夹角的余切cot =22(+4)2+(2)2= 3 设直线 PH 的表达式为 = + ，直线 PH 过点 P、H， 有2+ = 2 4+ = + 2 解得=+42 = 1 即+42= 1 联立，解得 = 3 = 1 或 =32 = 14 当 = 14时，点 C 坐标为（0，2）与点 D 重合，不符合题意 = 1 抛物线的表达式为 = 2+ 4 + 2 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可求出直线 = + 的表达式； （2）根据抛物线的解析式求出顶点坐标为（2
22、，2-4a） ，根据顶点不在第一象限，可得2 4 0，解之即可； （3）根据题意求出抛物线和直线的交点坐标，再求出点 C、点 D 的坐标，过点 P 作 PH 垂直 AB 于点H，设点 H 坐标为（m，m+2） ，可得 = ( + 4)2+ ( 2)2， = 22 ，则 cot =22(+4)2+(2)2= 3 ， 设直线 PH 的表达式为 = + ，直线 PH 过点 P、H， 利用待定系数法求出=+42 ，根据 = 1 可得+42= 1 ， 联立， 解之选取合适的a值， 即可求出抛物线的表达式 。 26 【答案】（1）600；10 （2）解：下山小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所
23、行的路程之比为 2：3，总路程为 600 米，则段的路程为25 600 = 240米， 速度为240 (48 30) =403米每分钟 如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变， 所花的时间为600 403= 45分钟 实际所花时间为60 30 = 30分钟 45 30 = 15分钟 答：小李实际提前了 15 分钟回到山脚 【解析】【解答】解： （1）根据函数图象可知，这条登山路的全长为 600 米；小李在山顶休息了 10 分钟 故答案为：600，10 【分析】 （1）根据函数图象可得 （2）求出按照原定速度需要的时间，减去实际花费的时间就可以得到答案 27 【答案】（1）解：
24、，AB= 6，tan = 22，点 C 与点 H 重合时， = tan = 设 = ，则 = 22 = 2+ 2= 82+ 2= 3 = 6 = 2 = 2 （2）解：如图，过点，分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形， = = ， = = = 90， = ， = = 中，tan = 22 =， 设 = ，则 = 22， =2+ (22)2= 3 = + = 2 + =13(2 + ) = = 2 = 6 2 13(2 + ) = 23 +143 即y = 23x +143 0 23 +143 0 7 0 7 = 23 +143(0 7) 如图， ，共线， = 90，ACH 与ACG 全等
25、= 90， ACHACG = = = = ，/ = tan = 22 设 = ， = 22， = 3 =13 = = 2 + =13(2 + ) = = = 13(2 + ) = 23 +143 23 +143= 13(2 + ) 解得 = 4 = 23 4 +143= 2 【解析】【分析】 （1）根据题意解直角三角形即可 （2）过点 C、D 分别作 AB 的垂线，垂足为 E、F，则四边形 CDFE 为矩形，解直角三角形 CBE 表示出 BE，根据 y=CD 写出关于 x 的表达式，由于 CD0，写出定义域 根据等腰梯形的性质可得ADG=B，进而得 GD，写出 CD 的关系表达式并与的结论结合
26、可得x，代入的解析式求解即可 28 【答案】（1）解：抛物线 = 2+ 经过点 A（2，0） ， 22+ 2 = 0 ，解得： = 2 ， 抛物线解析式为 = 2 2， 当 = 1 时， = 3 ， 点 B 的坐标为(1，3) ， 设直线 AB 的解析式为 = + ( 0) ， 把 A（2，0） ，(1，3)，代入得： 2 + = 0 + = 3 ，解得： = 1 = 2 ， 直线 AB 的解析式为 = + 2； （2）解：如图，连接 BD，AD， = 2 2 = ( 1)2 1， 点 D 的坐标为(1， 1) ， A（2，0） ，(1，3)， 2= (1 2)2+ 32= 18，2= (2
27、1)2+ (1)2= 2，2= (1 1)2+ (1 3)2= 20 ， 2+ 2= 2 ， ABD 为直角三角形， tan =218=13 （3）解：设直线 BD 的解析式为 = 1 + 1(1 0) ， 把点(1， 1)，(1，3)代入得： 1+ 1= 11+ 1= 3 ，解得：1= 21= 1 ， 直线 BD 的解析式为 = 2 + 1 ， 当 = 0 时， =12 ， 点 P 的坐标为(12，0) ， 当ABPABC 时，ABC=APB， 如图，过点 B 作 BQx 轴于点 Q，则 BQ=3，OQ=1， ABPABC， ABD=BCQ， 由（2）知tan =13， tan =13， =
28、13 ， CQ=9， OC=OQ+CQ=10， 点 C 的坐标为(10，0) ； 当ABPABC 时，APB=ACB，此时点 C 与点 P 重合， 点 C 的坐标为(12，0)， 综上所述，点 C 的坐标为(10，0)或(12，0) 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）利用勾股定理判定 ABD 为直角三角形， 即可求解； （3） 求出点 P 的坐标， 当ABPABC 时， ABC=APB， 由 （2） 知tan =13， OC=OQ+CQ=10，当ABPABC 时，APB=ACB，此时点 C 与点 P 重合， 得出从而得出点 C 的坐标即可。 29 【答案】（
29、1）20 （2）2=12 （3）0.25 【解析】【解答】解： （1）看图像，乙地用 80 天完成，甲地用 100 天，提前 100-80=20（天） ， 故答案为：20 （2）乙地接种人数2（万人）与接种时间 x（天）成正比， 设2=mx， 函数经过点（80，40） ， 40=80m， 解得 m=12， 2=12x， 故答案为：2=12x （3）2=12x， =12x+b， B（0，5） ， b=5， =12x+5， 25=12a+5， a=40， C（40，25） ，D（100，40） ， 设=kx+n， 40 + = 25100+ = 40， 解得 = 0.25 = 15， 设=0.25
30、x+15， 故答案为：0.25 【分析】 （1）根据函数图象中的数据可以计算出乙地比甲地提前了几天完成疫苗接种工作； （2）根据函数图象中的数据可以计算出乙地接种人数与接种时间之间的函数解析式； （3）根据（2）中的函数解析式可以得出乙的接种速度，计算出 a 的值，再利用计算即可得出当甲地放缓接种速度后每天可接种的人数。 30 【答案】（1）90 （2）4 （3）45 （4）16；15 【解析】【解答】解：(1)小王上午 8 时自驾小汽车从家里出发，10 时到“番茄农庄”游玩，共行驶 90 千米， “番茄农庄”离小王家 90 千米， 故答案为：90； (2)根据图像 10 时至 14 时，距离
31、没有变化，一直在“番茄农庄” 小王在“番茄农庄”游玩了 4 小时； 故答案为：4 (3)在去“番茄农庄”的过程中，一共行驶 90 千米，花费时间为 10-8=2 小时， 小汽车的平均速度是 90 2=45 千米/小时； 故答案为 45； (4)14 时开始回家，14 时 30 分，行驶了 90-70=20 千米， 返回时小汽车速度为 203060= 40千米/时， 返回时所用时间为：90 40=214时， 小王回到家的时刻是 14+214= 1614时=16 时 15 分， 故答案为 16，15 【分析】 （1）由图像可得番茄农庄里小王家 90 千米； （2）根据函数图象的横坐标，即可得出答案； （3）根据平均速度的意义，即刻得出答案； （4）根据待定系数法可得出函数关系式，根据自变量与函数值的对应关系，即可得出答案