1、 专题专题 12 12 分式方程分式方程 一、单选题一、单选题 1在下列方程中，有实数根的是（ ） Ax2+3x+1=0 B4+ 1 =-1 Cx2+2x+3=0 D1=11 2去分母，解关于的方程32=2产生增根，则的值是（ ） A2 B1 C-1 D以上答案都不对 3下列方程，有实数解的是（ ） A 2 + 1 = 0 B2=22 C( + 2)4 1 = 0 D 4 + 3 = 0 4 （2021 八下 长宁期末）下列方程中有实数解的方程是（ ） A22=2 ； B3 + 5 = 2 ； C3+ 1 = 0 ； D2+ + 1 = 0 5 （2021 八下 松江期末）下列方程中，有实数解
2、的是（ ） A2+ 1 = 0 B +1= 1 C2 + 3 = D+22+2= 0 6 （2021 八下 嘉定期末）用换元法解分式方程 +1+6+1= 5 ，如果设 +1= ，将原方程化为关于 y 的整式方程，那么这个整式方程是（ ） A +6= 5 B2+ 5 +6 = 0 C2 5 + 6 = 0 D2+ 6 5 = 0 7 （2021 八下 黄浦期末）下列方程中，有实数解的是（ ） A24+ 1 = 0 B 2 + 3 = 0 C2 + 2 = 0 D1=121 8 （2021 八下 虹口期末）下列方程中，有实数根的是（ ） A2+2=4+2 B 2 + = 0 C2+ 2 = 0 D
3、2+ + 2 = 0 9 （2021 八下 崇明期末）下列方程中，有实数根的方程是（ ） A4+ 16 = 0 B2+ 2 + 3 = 0 C + 1 = 0 D283=13 10 （2021 八下 上海期中）用换元法解分式方程 2+1(+1)2+ 1 = 0 时，如果设 2+1= ，那么原方程可以变形为整式方程（ ） A2 3 1 = 0 B2+ 3 1 = 0 C2 1 = 0 D2+ 1 = 0 二、填空题二、填空题 11 （2022 八下 徐汇期末）用换元法解分式方程2+1+22+1= 3时，如果设2+1= ，那么原方程可以化为关于 y 的整式方程是 12 （2022 八下 嘉定期中）
4、用换元法解方程2(+1)+14+ 1 = 0时，可设+1= ，则原方程可化为关于 y 的整式方程 13 （2022 八下 嘉定期中）某公司承担了制作 500 个上海世博会道路交通指引标志的任务，原计划 x 天完成，实际平均每天多制作了 12 个，因此提前 5 天完成任务那么根据题意，可以列出的方程是： 14 （2022 八下 嘉定期中）甲乙两人加工一批零件，甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了 10 天完成，如果甲乙两人一起加工，6 天可加工完，如设甲、乙两人单独加工完成这批零件各需x 天y 天可列方程组为 15 （2021 八下 徐汇期末）用换元法解方程 12+221= 3 时，
5、如果设 =12 ，那么原方程化成关于 的整式方程是 16 （2021 八下 青浦期末）某校八年级学生到离学校 15 千米的青少年营地举行庆祝 14 岁生日活动，先遣队与大部队同时出发， 已知先造队的行进速度是大部队行进速度的 1.2 倍， 预计比大部队早半个小时到达目的地，如果设大部队的行进速度为 千米/时，那么根据题意，列出的方程为 17 （2021 八下 普陀期末）用换元法解方程 2+1+52+1= 6 时，如果设 =2+1 ，那么原方程化成关于 的整式方程是 18 （2021 八下 浦东期末）已知方程 2+12+1= 3 ，如果设 2+1= ，那么原方程可以变形为 19 （2021 八下
6、 长宁期末）用换元法解方程 1+21= 3 ，如果设 =1 ，那么原方程可以化为关于 y 的整式方程是 20 （2021 八下 杨浦期末）方程 2= 0 的根是 三、综合题三、综合题 21 （2022 浦东模拟）甲、乙两车需运输一批货物到 600 公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多 10 千米，这样甲车将比乙车早到 2 小时实际甲车以原计划的速度行驶了 4 小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达 x（小时）y（千米） （1）求甲车原计划的速度； （2）如图是甲车行驶的路程 y（千米）与时间 x（小时）的不完整函数图象，那么点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ，4 小时后
7、的 y 与 x 的函数关系式为 （不要求写定义域） 22 （2022 徐汇模拟）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了 4 天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表： 时间 x（天） 第 1 天 第 2 天 第 3 天 第 4 天 日销售量 y（千克） 380 400 420 440 （1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定 y与 x 的函数关系式，并说明选择的理由 （2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批 6000 千克海产品很快销售一空，对于第二批次 6000 千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加
8、 100 千克定量销售，结果还是比第一批次提前 2 天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？ 23（2021 八下 静安期末）我国水资源人均占有量远低于世界平均水平 某小区居民响应号召节约用水，现在日均用水量比原来减少了 3 吨，300 吨的水比原来 400 吨还可多用 10 天，求该小区原日均用水量多少吨 24 （2020 八下 宝山期末）甲，乙两名摩托车选手在匀速状态下进行赛道训练，已知两名选手先后从起点 A 地驶往相距 60 千米的终点 B 地 如果甲的速度比乙的速度慢 1 千米/分钟 甲比乙早出发 1 分钟，最后乙先到达终点 B 地设甲的行驶时间为 x（分钟） ，甲、乙的行驶
9、路程 甲 、 乙 （千米）与 x之间的函数图象如图所示 （1）根据图像，回答问题： 当乙到达终点 B 地时， 甲= 千米； （2）求甲、乙两名摩托车选手的速度； （3）求 乙 关于 x 的函数解析式 25 （2021 上海）现在 5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产 80 万部 5G 手机，三个月生产情况如下图 （1）求三月份共生产了多少部手机? （2） 5 手机速度很快，比 4 下载速度每秒多 95 ，下载一部 1000 的电影， 5 比 4 要快 190 秒，求 5 手机的下载速度 26 （2021 八下 杨浦期中）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长 8 千米的公路如果
10、平均每天的修建费 y（万元）与修建天数 x（天）之间在 50 x100 时具有一次函数关系，如表所示： x（天） 60 80 100 y（万元） 45 40 35 （1）直接写出 y 关于 x 的函数解析式是 ； （2） 后来在修建的过程中计划发生改变， 政府决定多修 3 千米， 因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了 21 天，求原计划每天的修建费？ 27 （2021 金山模拟）A、B 两地相距 18 千米，甲工程队要在 A、B 两地间铺设一条输送天然气的管道，乙工程队要在 A、B 两地间铺设一条输油管道，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设 1 千米 （1）若两队同时开工，甲工程
11、队每天铺设 3 千米，求乙工程队比甲工程队提前几天完成？ （2）若甲工程队提前 3 天开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两队每天各铺设管道多少千米？ 28 （2020 七上 宝山期末）为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工 12000 个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的 1.5 倍，从而提前 2 天完成任务 （1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？ （2）如果该企业按原计划的工作效率加工了 个口罩后，才将效率提高到原来的 1.5 倍，则该企 业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有 的代数式表示： 为大于零的整数） 答案解析部分答案解
12、析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：A、=32-4 1 1=50，方程有实数根，故 A 符合题意； B、4 + 10，方程4 + 1=-1 没有实数根，故 B 不符合题意； C、=22-4 1 30，方程没有实数根，故 C 不符合题意； D、方程两边同乘 x-1，得 x=1， 检验：当 x=1 时，x-1=0， 原方程没有实数根，故 D 不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式的非负性、解分式方程，逐项进行判断，即可得出答案. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：方程两边乘以 x2 得，x3m， 分式方程有增根， x20，即 x2， 23m， m1 故
13、答案为：C 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将 x=2 代入整式方程求解即可。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：A、 2 + 1 = 0 ， 2 = 1 ， 2 是非负数， 原方程无实数解，故本选项不符合题意； B、 2=22 ， 方程两边都乘以 x-2，得 x=2， 检验：当 x=2 时，x-2=0，所以 x=2 是增根， 即原方程无实数解，故本选项不符合题意； C、（x+2）4-1=0， （x+2）4=1， x+2= 14 ， x1=-2+1=-1，x2=-2-1=-3，即方程有实数解，故本选项符合题意； D、 4 + 3 = 0 ， x-4=0 且 x-3=0， x 不存在， 即
14、原方程无实数解，故本选项不符合题意； 故答案为：C 【分析】对每个选项一一计算判断求解即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：A、 22=2 ， 方程两边都乘以 x-2，得 2=x， 即 x=2， 经检验 x=2 是增根，即原方程无实数根，故本选项不符合题意； B、 3 + 5 = 2 ， 移项得： 3 = 2 5 ， 两边平方得： 3 = 4 4 5 + 5 ， 整理得： 2 5 = 2 ， 两边平方得：4（x-5）=x2-4x+4， 即 x2-8x+24=0， =（-8）2-4 1 24=-320， 此方程无实数解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C、x3+1=0， 移项，得
15、 x3=-1， 解得：x=-1， 即原方程有实数解，故本选项符合题意； D、x2+x+1=0， =12-4 1 1=-30， 此方程无实数解，故本选项不符合题意； 故答案为：C 【分析】利用解方程的方法对每个选项一一求解即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：A、由 x2+1=0，得 x2=-1， x20， 原方程无实数根， 故 A 选项不符合题意； B、 +1= 1 得 x2-x+1=0， 而 x2-x+1=0 的判别式 =-30， 原方程无实数根， 故 B 选项不符合题意； C、由 2 + 3 = 得 x2-2x-3=0， 解得 x=3 或 x=-1， 经检验，x=-1 是原方程的根，
16、 故 C 符合题意； D、由 +22+2= 0 得 x=-2， 经检验：x=-2 是原方程增根， 原方程无实数根， 故 D 不符合题意， 故答案为：C 【分析】分别解各个方程即可得到结论。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：设 +1= ，则 +1=1 ， 因此方程 +1+6+1= 5 可变为， +6= 5 ， 两边都乘以 得， 2+ 6 = 5 ， 2 5 + 6 = 0 故答案为：C 【分析】利用换元法的计算方法直接代入计算即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解： 24+ 1 = 0 ， 24= 1 ， 4 0 ， 24+ 1 = 0 无实数解； 2 + 3 = 0 ， 2 = 3 ，
17、 2 0 ， 2 + 3 = 0 无实数解； 2 + 2 = 0 ， = (1)2 4 1 2 = 7 0 ， 2 + 2 = 0 无实数解； 1=121 ， 解得 = 5212 ， 1=121 有实数解， 故答案为：D 【分析】利用分式方程、一元二次方程和无理方程分别求解，并逐项判断即可。 8 【答案】A 【解析】【解答】解：A、 2+2=4+2 ， 方程两边都乘以 x+2 得：x2=4， 解得：x= 2， 经检验 x=2 是原方程的解，x=-2 是增根，舍去， 即方程有实数根，故本选项符合题意； B、 2 + = 0 ， 移项，得 2 = ， 两边平方，得 x-2=x2， 即 x2-x+2
18、=0， =（-1）2-4 1 2=-70， 此方程无解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C、 2+ 2 = 0 ， 移项，得 x2=-2， 不论 x 为何值，x2都是非负数， 此方程无解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； D、 2+ + 2 = 0 ， =12-4 1 2=-70， 此方程无解， 即方程无实数根，故本选项不符合题意； 故答案为：A 【分析】利用分式方程、无理方程、一元二次方程的解法分别求解，再判定即可。 9 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 4+ 16 = 0 ， 移项，得 4= 16 ， 不论 为何值， 4 0 ， 此方程无实数根，故本选项不符合题意；
19、B、 2+ 2 + 3 = 0 ， = 22 4 1 3 = 8 0 ， 此方程无解， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； C、 + 1 = 0 ， = 0 且 1 = 0 ， 此时 不存在， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意； D、 283=13 ， 方程两边都乘以 3 ，得 2 8 = 1 ， 解得： = 3 ， 经检验 = 3 是增根， = 3 是原方程的解， 即原方程有实数根，故本选项符合题意； 故答案为：D 【分析】利用无理方程、一元二次方程和分式方程的解法分式求解判断即可。 10 【答案】C 【解析】【解答】解： 2+1(+1)2+1 = 0 变形为： 2+12+1 1 =
20、 0 设 2+1= ，则原方程化为 y- 1 -1=0，去分母得，y2-y-1=0 故答案为：C 【分析】根据换元法，把2+1= ，再整理即可得出。 11 【答案】22 3 + 1 = 0 【解析】【解答】解：设2+1= ，则2+1=1， 2+1+22+1= 3可化为：1+ 2 = 3， 去分母得：1 + 22= 3， 整理为：22 3 + 1 = 0， 故答案为：22 3 + 1 = 0 【分析】设2+1= ，则2+1=1，替换之后把分式方程转换成整式方程即可得到答案 12 【答案】82+ 4 + 1 = 0 【解析】【解答】设+1= ， 则原方程变为：2 +14+ 1 = 0， 两边同时乘
21、以 4y，即可得：82+ 4 + 1 = 0； 故答案为：82+ 4 + 1 = 0 【分析】利用换元法求解即可。 13 【答案】5005-500=12 【解析】【解答】解：根据题意，原计划每天制作500个，实际每天制作5005个， 由实际平均每天多制作了 12 个，可得 5005-500=12 故答案为：5005-500=12 【分析】先求出原计划每天制作500个，实际每天制作5005个，再根据“实际平均每天多制作了 12 个”，列出方程5005-500=12 即可。 14 【答案】 121+121= 106(1+1) = 1 【解析】【解答】解：由题意，得 121+121= 106(1+1
22、) = 1， 故答案为： 121+121= 106(1+1) = 1 【分析】根据“ 甲先加工了一半，然后乙加工了剩下部分，前后共用了 10 天完成，如果甲乙两人一起加工，6 天可加工完 ”列出方程组 121+121= 106(1+1) = 1即可。 15 【答案】y -3y+2=0 【解析】【解答】解：12+221= 3 ， 1212+ 2 = 3 12 ， 设 12= ， 则原方程可化成 y -3y+2=0. 故答案为 y -3y+2=0. 【分析】先求出1212+ 2 = 3 12 ，再令12= ，最后求解即可。 16 【答案】15151.2=12 【解析】【解答】设大部队的行进速度为
23、千米/时，则需要的时间为 15 小时， 先遣队的速度为 1.2 千米/时，则需要的时间为 151.2 ， 根据先遣队比大部队早半个小时到， 列方程为： 15151.2=12 故答案为： 15151.2=12 【分析】 根据先造队的行进速度是大部队行进速度的 1.2 倍， 预计比大部队早半个小时到达目的地， 列方程求解即可。 17 【答案】2 6 + 5 = 0 【解析】【解答】解：设 =2+1 ，则 2+1=1 ， 原方程可化为：y+ 5 =6， 去分母，得：y2-6y+5=0， 故答案为：y2-6y+5=0 【分析】先求出 y+ 5 =6，再求出 y2-6y+5=0，即可作答。 18 【答案
24、】2+ 3 1 = 0 【解析】【解答】解： 2+12+1= 3 ， 设 2+1= ， 则 1 = 3 ， 即 1-y2=3y， 所以 y2+3y-1=0， 故答案为：y2+3y-1=0 【分析】先求出1 = 3 ，再求出 1-y2=3y，最后计算求解即可。 19 【答案】2y2-3y+1=0 【解析】【解答】解：设 =1 ，则 1=1 ， 原方程可变为 1+ 2 = 3 ， 两边都乘以 y 得， 2y2-3y+1=0， 故答案为：2y2-3y+1=0 【分析】先求出1+ 2 = 3 ，再求解即可。 20 【答案】x=1 【解析】【解答】解：去分母得， x2-x=0， 即 x（x-1）=0，
25、所以 x1=0，x2=1， 经检验：x1=0 是原方程的增根，x2=1 是原方程的根， 所以原方程的根为 x=1， 故答案为：x=1 【分析】先求出 x1=0，x2=1，再检验求解即可。 21 【答案】（1）解：设甲车原计划的速度为 x 千米/小时 由题意得，60010600= 2 解得 x1=-50 x2=60 经检验，x1=-50 x2=60 都是原方程的解，但 x1=-50 不符合题意，舍去 x=60， 答：甲车原计划的速度为 60 千米/小时； （2） （4，240） ； （12，600） ；y=45x+60 【解析】【解答】解： （2）4 60=240， 所以点 A 的坐标为（4，2
26、40） ； 点 B 的坐标为（12，600） ； 4 小时后的 y 与 x 的函数关系式为 y=45x+60； 故答案为（4，240） ； （12，600） ；y=45x+60 【分析】 （1）设甲车原计划的速度为 x 千米/小时，根据图象列出方程解答即可； （2）根据图象得出坐标和关系式即可。 22 【答案】（1） 解： 根据表中数据， 随着天数的增加， 日销售量的增加量是固定不变的， 都是 20 千克， 选择一次函数模型来确定 y 与 x 的函数关系式，设 = + ( 0) ，选择 (1，380) 和 (2，400) ，代入解析式，联立方程组得： 380 = + 400 = 2 + ，解得
27、 = 20 = 360 ， y 与 x 的函数关系式为 = 20 + 360 ； （2）解：设公司对第一批次每天的销售定量是 m 千克，则 6000=6000+100+ 2 ， 去分母得 6000( + 100) = 6000 + 2( + 100) ， 即 2+ 100 600000 = 0 ， ( 500)( + 600) = 0 ， 解得 = 600 （舍） ， = 500 ， 经检验： = 500 是原分式方程的解， 答：公司对第一批次每天的销售定量是 500 千克 【解析】【分析】 （1）设 = + ( 0)，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设公司对第一批次每天的销售
28、定量是 m 千克，根据题意列出方程6000=6000+100+ 2求出 m 的值即可。 23 【答案】解：设该小区原日均用水量为 吨，则现在日均用水量为 ( 3) 吨， 根据题意得： 3003400= 10 ， 解得： = 8 或 = 15 （舍去） ， 经检验 = 8 是原方程的解， 答：该小区原日均用水量为 8 吨 【解析】【分析】设该小区原日均用水量为 吨，则现在日均用水量为 ( 3) 吨， 根据题意列出方程，解之再检验即可。 24 【答案】（1）52 （2）解：设乙的速度是 x 千米/分钟， 由题意， 60+1=52 1 ， 解得：x1=-13，x2=4， 经检验，x1=-13，x2=
29、4 是原方程的解， x1=-13，不合题意，舍去， 乙的速度是 4 千米/分钟，甲的速度是 5 千米/分钟 （3）解：乙的行驶时间为 60 5=12（分钟） ， 设 y乙关于 x 的函数解析式为 y=kx+b，根据题意得， + = 012 + = 60 ， 解得： =6011 = 6011 ， y乙关于 x 的函数解析式为 =6011 6011 （1x12） 【解析】【解答】解： （1）观察图象知当乙到达终点 B 地时，y甲=52 千米， 故答案为：52； 【分析】 （1）由图像可直接得出答案； （2）设乙摩托车选手的速度为 v 千米/分钟，根据路程、速度与时间的关系，即可解答； （3）利用待
30、定系数法求解即可。 25 【答案】（1）3 月份的百分比= 1 30% 25% = 45% 三月份共生产的手机数= 80 45% = 36 （万部） 答：三月份共生产了 36 万部手机 （2）设 5 手机的下载速度为 x /秒，则 4 下载速度为 ( 95) /秒， 由题意可知： 1000951000= 190 解得： = 100 检验：当 = 100 时， ( 95) 0 = 100 是原分式方程的解 答： 5 手机的下载速度为 100 /秒 【解析】【分析】 （1）由扇形统计图求出三月份所占百分比，再乘以总数即得结论； （2） 设5手机的下载速度为 x /秒，则4下载速度为 ( 95) /
31、秒，根据“下载一部 1000的电影， 5 比 4 要快 190 秒”列出方程，求解并检验即可. 26 【答案】（1）y 14+60 （2）解：设原计划修完这条路需要 m 天， 根据题意得： 8=11+21 解得 m56， 经检验 m56 是原方程的根， 50m100， y 14 56+6046（万元） ， 答：原计划每天的修建费是 46 万元 【解析】【解答】解： （1）设 y 关于 x 的函数解析式为 ykx+b（k0） ， 图象过点（60，45） ， （80，40） ， 60+ = 4580+ = 40， 解得： = 14 = 60； y 关于 x 的函数解析式为 y 14+60 故答案为
32、：y 14+60； 【分析】 （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2） 设原计划修完这条路需要 m 天， 根据计划前后每天的工作量不变建立方程并求解，即得计划的时间，然后将其代入（1）的解析式中即可得解. 27 【答案】（1）解：甲工程队完成任务所需时间为 18 36（天） ， 乙工程队完成任务所需时间为 18 （3+1）4.5（天） 64.51.5（天） 答：乙工程队比甲工程队提前 1.5 天完成 （2）解：设甲工程队每天铺设管道 x 千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米， 依题意得： 1818+1= 3 ， 整理得：x2+x60， 解得：x13，x22， 经检验，x13，
33、x22 是原方程的解，x13 不符合题意舍去，x22 符合题意， x+13（千米） 答：甲工程队每天铺设管道 2 千米，乙工程队每天铺设管道 3 千米 【解析】【分析】 （1）利用工作时间=工作总量 工作效率，可分别求出甲、乙两工程队完成任务所需的时间，比较即可； （2）设甲工程队每天铺设管道 x 千米，则乙工程队每天铺设管道（x+1）千米，由工作时间=工作总量 工作效率，再根据甲工程队所需的时间比乙工程队所需的时间多 3 天，列出分式方程，解之并检验即可. 28 【答案】（1）解：设企业原计划每天生产 个口罩，则提高效率后每天生产 1.5 个口罩， 根据题意可得 12000120001.5= 2 解得：x=2000 经检验：x=2000 是原方程的解，且符合题意 答：企业原计划每天生产 2000 个口罩 （2）解：根据题意，该企业完成这批口罩工作任务共用 2000+120001.52000= (6000+ 4) （天） 答：该企业完成这批口罩工作任务共用了 (6000+ 4) 天 【解析】【分析】 （1）先求出 ，再求出 x=2000 ，最后检验求解即可； （2）先求出 2000+120001.52000= (6000+ 4) （天） ，再作答即可