1、 专题专题 8 8 一元一次方程一元一次方程 一、单选题一、单选题 1如果关于 x 的方程 axb 无解，那么 a、b 满足的条件（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 2如果关于 x 的方程 axb 有无数个解，那么 a、b 满足的条件是（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca0，b0 Da0，b0 3下列说法正确的是（ ） Ax2x0 是二元一次方程 B123= 4是分式方程 C22 2 =3是无理方程 D2x2y4 是二元二次方程 4 （2021 八下 奉贤期中）下列方程中，有实数根的方程是（ ） Ax4+160 Bx3+90 C121= 0 D+30 5（202
2、1 八下 浦东期中）如果关于 的方程 ( 3) = 2021 有解， 那么实数 的取值范围是 （ ） A 3 D 3 6 （2021 崇明模拟）下列方程中，没有实数根的是（ ） Ax+10 Bx210 C +10 D+ 1 0 7 （2021 六下 浦东月考）下列方程中，解为 x4 的方程是（ ） Ax+22 B4x1 C2（x1）1 D4x13x+3 8 （2020 九上 浦东月考）已知 ax=by，且所有字母均表示正实数，则下列各式不成立的是( ) A= B= C= D= 9 （2020 八下 浦东期末）下列方程中，一定有实数解的是（ ） A4+ 9 = 0 B2 2 3 = 0 C+21
3、=31 D+ 1 + 1 = 0 10 （2019 八下 嘉定期末）如果关于 的方程 ( 3) = 2020 的解为负数，那么实数 的取值范围是（ ） A 3 D 3 二、填空题二、填空题 11 （2022 闵行模拟）明代数学家程大位编撰的 算法统宗 记载了“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长 5 尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短 5 尺，那么竿长 尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1 托=5 尺） 12 （2022 徐汇模拟）九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
4、足四，问人数、物价各几何？译文是：今有人合伙购物，每人出 8 钱会多 3 钱；每人出 7 钱又会差 4 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 x 人，列出的方程为 （无需化简） 13 （2021 八下 浦东期末）关于 的方程 ( 3) = 1 （ 0 ）的解为 14 （2021 六下 杨浦期末）若线段 AB6cm， 反向延长 AB 到 C， 使 BC4AC 则 AC cm 15 （2021 六下 杨浦期末）方程 23 124= 2 ，去分母得 16 （2021 六下 浦东期末）若含 x 的式子 213 与 x3 互为相反数，则 x 17 （2021 八下 杨浦期中）当 m 取 时，关于 x
5、的方程 mx+m2x 无解 18 （2021 八下 奉贤期中）关于 x 的方程 bxx+1（b1）的根是 19 （2021 八下 闵行期中）如果一个多边形内角和是外角和的 2 倍，那么这个多边形的边数是 20 （2021 六下 浦东月考）已知 x1 是方程 2axa3 的解，则 a 三、计算题三、计算题 21 （2021 六下 杨浦期末）解方程： 2(+1)3=5(+1)6 1 22 （2021 六下 浦东期末）解方程： +13 26 1 23 （2021 六下 奉贤期末）解方程： 2135+12 1 = 0 24 （2021 八下 松江期中）解关于 x 的方程： 3 = 2(2 ) 四、综合
6、题四、综合题 25 （2022 九下 普陀期中）某山山脚到山顶有一条登山路， 登山爱好者小李沿此路上山走到山顶，休息了一会儿后再原路返回在下山途中，小李收到消息，需及时回到山脚，于是加速下山，小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为 2： 3， 其间小李离开山脚的路程 y （米）与离开山脚的时间 x （分） （x0） 之间的函数关系如图 9 中折线 OABCD 所示根据图像提供的信息，回答下列问题 （1）这条登山路的全长为 米；小李在山顶休息了 分钟； （2）如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚 26 （2020 七上
7、宝山期末）为了应对特殊时期，某口罩生产企业需要在若干天内加工 12000 个口罩，在实际生产中，由于提高了生产技术水平，每天加工的个数为原来的 1.5 倍，从而提前 2 天完成任务 （1）问该企业原计划每天生产多少个口罩？ （2）如果该企业按原计划的工作效率加工了 个口罩后，才将效率提高到原来的 1.5 倍，则该企业完成这批口罩工作任务共用了多少天？（所得结果用含有 的代数式表示： 为大于零的整数） 27 （2021 七上 杨浦期中）如图为 2021 年 11 月的日历： （1）在日历上任意圈出一个竖列上相邻的 3 个数： 设中间的一个数为 a，则另外的两个数为 ， ； 若已知这三个数的和为
8、60，则这三个数在星期 （2）在日历上用一个小正方形任意圈出其中的 9 个数，设圈出的 9 个数的中心的数为 b，若这 9 个数的和为 153，求 b21 的值 28一辆汽车的油箱中现有汽油 50 升，如果不再加油，那么油箱中的余油量 y(单位：升)随行驶里程x(单位：千米)的增加而减少，平均每千米的耗油量为 0.1 升 （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； （2）汽车最多可行驶多少千米? （3）汽车行驶 200 千米时，油箱中还有多少油? （4）写出自变量 x 的取值范围； 29 （2020 青浦模拟）某湖边健身步道全长 1500 米，甲、乙两人同时从同一起点匀速向终点步行甲先到达终点
9、后立刻返回，在整个步行过程中，甲、乙两人间的距离 y（米）与出发的时间 x（分）之间的关系如图中 OAAB 折线所示 （1）用文字语言描述点 A 的实际意义； （2）求甲、乙两人的速度及两人相遇时 x 的值 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：关于 x 的方程 ax=b 无解， a=0，b0， 故答案为：D 【分析】根据方程无解，可知含 x 的系数为 0，常数不为 0，据此可得。 2 【答案】A 【解析】【解答】解：方程 ax=b 有无数个解， 未知数 x 的系数 a=0， b=0 故答案为：A 【分析】根据方程有无数个解，可知含 x 的性质为 0，b=0，据此求解。
10、 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 2 = 0是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、 123= 4是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、 22 2 =3是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、 22 = 4是二元二次方程，故此选项符合题意； 故答案为：D 【分析】根据二元一次方程、分式方程、无理方程及二元二次方程的定义逐项判断即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：A、x40，x4+160，方程 x4+160 没有实数解； B、移项得，x39，两边开立方得，x 93，故方程的解为 x 93= 93； C、分子 10，121 0，原方程没有实数解； D、0， + 3 0，原
11、方程没有实数解 故答案为：B 【分析】利用分式方程及无理方程的解法逐项判断即可。 5 【答案】D 【解析】【解答】解：方程有解 a-30 a3 故答案为：D. 【分析】根据题意，由方程有意义，即可得到未知数的系数不为 0，求出 a 的值即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：方程 x+10 的解是 x1，A 有实数根； 方程 x210 的解是 x 1，B 有实数根； 方程 +10 移项后得 1，因为算术平方根不能为负，C 没有实数根； 方程 + 1 0 的解为 x1，D 有实数根 故答案为：C 【分析】分别去解各选项的方程，然后判断即可. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：A、当 x4
12、时，左边+26右边，不符合题意； B、当 x4 时，左边16右边，不符合题意； C、当 x4 时，左边6右边，不符合题意； D、当 x4 时，左边4 411，右边3 4+315，则左边右边，则 x4 是方程的解，选项符合题意； 故答案为：D 【分析】将 x=4 分别代入各选项的方程判断即可。 8 【答案】A 【解析】【解答】解：A.原式可变为 ay=xb，式子不成立； B.原式可变为 ax=by，式子成立； C.原式可变为 ax=by，式子成立； D.原式可变为 ax=by，式子成立。 故答案为：A. 【分析】根据等式的基本性质，分别进行判断即可。 9 【答案】B 【解析】【解答】A. 通过移
13、项得 4= 9 , 原方程有实数解，故本选项不符合题意， B.方程 2 2 3 = 0 ，=160，原方程有实数解，故本选项符合题意， C.解方程得 = 1 ，此时最简公分母为 0，原方程没有实数解，故本选项不符合题意， D.通过移项可知任何数的算术平方根都不可能为负数，故等式不成立，故本选项不符合题意. 故答案为：B. 【分析】首先逐个对每一项的方程分析求解，即可得出结论 10 【答案】A 【解析】【解答】解：关于 x 的方程(a-3)x=2020 的解为负数， a-30， 解得 a3， 故答案为：A 【分析】由方程的解为负数直接得出 a-30，解不等式即可得出答案 11 【答案】15 【解
14、析】【解答】解：设竿长为 x 尺， 根据题意得：+52= 5， 解得 x=15， 竿长为 15 尺. 故答案为：15. 【分析】设竿长为 x 尺，根据题意列出方程，解方程求出 x 的值，即可得出答案. 12 【答案】8x3=7x+4 【解析】【解答】解：根据等量关系式：第一次分配时的物价=第二次分配的物价， 即：8x3=7x+4， 故答案为：8x3=7x+4 【分析】根据等量关系式：第一次分配时的物价=第二次分配的物价，直接列出方程 8x3=7x+4 即可。 13 【答案】 =1+ 3 【解析】【解答】解： ( 3) = 1 （ 0 ） 3 =1 =1+ 3 ； 故答案为： =1+ 3 【分析
15、】先求出 3 =1，再求出 =1+ 3即可作答。 14 【答案】2 【解析】【解答】解：设 AC 的长为 x， 则：x+64x， 解得 x2， AC 的长度为 2cm， 故答案为 2 【分析】设 AC 的长为 x，根据 BC=4AC 列出方程 x+64x 求解即可。 15 【答案】8x3（12x）24 【解析】【解答】解：方程两边都乘 12 得：8x3（12x）24， 故答案为：8x3（12x）24 【分析】方程两边同时乘 12 即可得到答案。 16 【答案】2 【解析】【解答】解：含 x 的式子 213 与 x3 互为相反数， 213 +x30， x2， 故答案为：2 【分析】先根据题意列出
16、方程213 +x30，再利用一元一次方程的解法求解即可。 17 【答案】2 【解析】【解答】解：移项得：mx2xm， 合并同类项得： （m2）xm 关于 x 的方程 mx+m2x 无解， m20 解得：m2 故答案为：2 【分析】先将方程变形为（m2）xm，再根据方程无解，求出 m 的值即可。 18 【答案】11 【解析】【解答】解：移项，得：bxx1， 即(b1)x1， b1 时， b10， 方程的解为：x 11 故答案为： 11 【分析】利用一元一次方程的解法求解即可。 19 【答案】6 【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为 n， 根据题意得： （n-2） 180 =2 360 ， 解
17、得：n=6， 这个多边形的边数为 6. 【分析】设这个多边形的边数为 n，根据题意列出方程，解方程求出 n 的值，即可得出答案. 20 【答案】1 【解析】【解答】解：将 x1 代入方程得：2aa3， 解得：a1 故答案为：1 【分析】将 x=-1 代入方程 2axa3 得到关于 a 的一元一次方程，再解方程即可。 21 【答案】解：去分母得：4（x+1）5（x+1）6， 去括号得：4x+45x+56， 移项、合并得：x5， 系数化为 1 得：x5 【解析】【分析】去分母、去括号、移项、合并、系数化为 1 即可得出答案。 22 【答案】解：解方程： +13 26 1 解：去分母得：2x+2x+
18、26， 解得：x2 【解析】【分析】先去掉分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为 1 即可。 23 【答案】解：-1 【解析】【解答】去分母 2（2x-1）-3(5x+1)-6=0， 去括号：4x-2-15x-3-6=0， 移项合并：-11x=11， 系数化为 1：x=-1. 【分析】利用去分母、去括号、移项合并、系数化为 1 进行解方程即可. 24 【答案】解：mx-3x=2（2-x） ， 去括号，得 mx-3x=4-2x， 移项，得 mx-3x+2x=4， 合并同类项，得（m-1）x=4， 当 m-10，即 m1 时，方程的解是 x=41， 当 m-1=0，即 m=1 时，方程无
19、解 【解析】【分析】利用去括号、移项、合并同类项可得（m-1）x=4，再分情况求解即可。 25 【答案】（1）600；10 （2）解：下山小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为 2：3，总路程为 600 米，则段的路程为25 600 = 240米， 速度为240 (48 30) =403米每分钟 如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变， 所花的时间为600 403= 45分钟 实际所花时间为60 30 = 30分钟 45 30 = 15分钟 答：小李实际提前了 15 分钟回到山脚 【解析】【解答】解： （1）根据函数图象可知，这条登山路的全长为 600
20、米；小李在山顶休息了 10 分钟 故答案为：600，10 【分析】 （1）根据函数图象可得 （2）求出按照原定速度需要的时间，减去实际花费的时间就可以得到答案 26 【答案】（1）解：设企业原计划每天生产 个口罩，则提高效率后每天生产 1.5 个口罩， 根据题意可得 12000120001.5= 2 解得：x=2000 经检验：x=2000 是原方程的解，且符合题意 答：企业原计划每天生产 2000 个口罩 （2）解：根据题意，该企业完成这批口罩工作任务共用 2000+120001.52000= (6000+ 4) （天） 答：该企业完成这批口罩工作任务共用了 (6000+ 4) 天 【解析】
21、【分析】 （1）先求出 ，再求出 x=2000 ，最后检验求解即可； （2）先求出 2000+120001.52000= (6000+ 4) （天） ，再作答即可。 27 【答案】（1） 7； + 7；六 （2）解：根据题意，设圈出的 9 个数的中心的数为 b，则这 9 个数分别为 8， 7， 6， 1， + 1， + 6， + 7， + 8 ，他们的和为 9 9 = 153 解得 = 17 2 1 = 172 1 = 289 1 = 288 【解析】【解答】 （1）设中间的一个数为 a，则另外的两个数为 7， + 7 故答案为： 7， + 7 7 + + + 7 = 60 解得 = 20 根
22、据日历可得这三个数在星期六 故答案为：六 【分析】 （1）根据日历中的规律：竖列上相邻的数相差 7 可求出答案；将三数相加等于 60 列方程，解方程即可得出答案； （2）根据日历中的规律列方程，解方程可求解 b 的值，再代入计算可求解。 28 【答案】（1）解：根据题意，每行程 x 千米，耗油 0.1 升，即总油量减少 0.1 升， 则油箱中的油剩下 (50 0.1) 升， 与 x 的函数关系式为： = 50 0.1 ； （2）解：当 = 0 时， 50 0.1 = 0 ， 解得 = 500 ， 所以汽车最多可行驶 500 千米； （3）解：当 = 200 时，代入 x，y 的关系式： = 5
23、0 0.1 200 = 30 所以，汽车行驶 200 时，油桶中还有 30 升汽油； （4）解：因为 x 代表的实际意义为行驶里程，所以 x 不能为负数，即 0 ； 又行驶中的耗油量为 0.1 ，不能超过油箱中现有汽油量的值 50， 即 0.1 50 ， 解得， 500 综上所述，自变量 x 的取值范围是 0 500 【解析】【分析】 （1）根据题意，列式表示出方程即可； （2）令 y=0，即可得到汽车行驶的最长里程； （3）令 x=200，求出 y 的值即可； （4）根据方程的中 x 和 y 的实际意义，求出 x 的取值范围即可。 29 【答案】（1）解：点 A 的实际意义为：20 分钟时，甲乙两人相距 500 米 （2）解：根据题意得， 甲=150020= 75 （米/分） ， 乙=100020= 50 （米/分） ， 依题意，可列方程：75（x20）+50（x20）500， 解这个方程，得 x24， 答：甲的速度是每分钟 75 米，乙的速度是每分钟 50 米，两人相遇时 x 的值为 24 【解析】【分析】 （1）根据题意结合图象解答即可； （2）根据图象分别求出两人的速度，再根据题意列方程解答即可