1、 苏科版八年级苏科版八年级上上数学期末综合复习压轴题优生辅导训练数学期末综合复习压轴题优生辅导训练 1如图 1，在ABC 中，BOAC 于点 O，AOBO3，OC1，过点 A 作 AHBC 于点 H，交 BO 于点P （1）求线段 OP 的长度； （2）连接 OH，求证：OHP45； （3）如图 2，若点 D 为 AB 的中点，点 M 为线段 BO 延长线上一动点，连接 MD，过点 D 作 DNDM交线段 OA 延长线于 N 点，则 SBDMSADN的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值 2如图，AD 是ABC 的角平分线，点 F，E 分别在边 AC，AB 上，且
2、 FDBD （1）求证：B+AFD180； （2）如果B+2DEA180，探究线段 AE，AF，FD 之间满足的等量关系，并证明 3在等边三角形 ABC 中，AB6，点 D 是 BC 边上的一点，点 P 是 AB 边上的一点，连接 PD，以 PD 为边作等边三角形 PDE，连接 BE （1）如图 1，当点 P 与点 A 重合时， 找出图中的一对全等三角形，并证明； BE+BD ； （2）如图 2，若 AP1，请计算 BE+BD 的值 4在ABC 中，BAC45，CDAB 于点 D，AEBC 于点 E，连接 DE （1）如图 1，当ABC 为锐角三角形时， 依题意补全图形，猜想BAE 与BCD
3、之间的数量关系并证明； 用等式表示线段 AE，CE，DE 的数量关系，并证明； （2）如图 2，当ABC 为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段 AE，CE，DE 的数量关系 5已知，在ABC 中，ACBC，分别过 A、B 点作互相平行的直线 AM、BN，过点 C 的直线分别交直线AM、BN 于点 D、E （1）AMAB； 若 DEAM，直接写出 CD、CE 的数量关系； 如图 1，DE 与 AM 不垂直，判断上述结论是否还成立，并说明理由； （2）如图 2，90ABN120，ABCDEB60，ECnDC，求 6如图，已知COD90，直线 AB 与 OC 交于点 B，与 OD 交于点 A，射线
4、 OE 和射线 AF 交于点 G （1）若 OE 平分BOA，AF 平分BAD，OBA36，则OGA ； （2）若GOABOA，GADBAD，OBA36，则OGA ； （3）将（2）中“OBA36”改为“OBA” ，其余条件不变，求OGA 的度数（用含 的代数式表示） ； （4） 若 OE 将BOA 分成 1： 2 两部分， AF 也将BAD 分成 1： 2 两部分， ABO （3090） ，则OGA 的度数 （用含 的代数式表示） 7ABC 中，三个内角的平分线交于点 O，过点 O 作ODCAOC，交边 BC 于点 D （1）如图 1，求BOD 的度数； （2）如图 2，作ABC 外角ABE
5、 的平分线交 CO 的延长线于点 F 求证：BFOD； 若F50，求BAC 的度数； 若FABC50，将BOD 绕点 O 顺时针旋转一定角度 （0360）后得BOD，BD所在直线与 FC 平行，请直接写出所有符合条件的旋转角度 的值 8如图，已知ABC 中，ABAC，BD、CD 分别平分ABE、ACE，BD 交 AC 于点 F，连接 AD （1）当BAC40时，求BDC 的度数 （2）请直接写出BAC 与BDC 的数量关系，并给出证明 （3）求证：ADBE 9如图，在ABC 中，点 D 是边 BC 上一点，CDAB，点 E 在边 AC 上，且 ADDE，BADCDE （1）如图 1，求证：BD
6、CE； （2） 如图 2， 若 DE 平分ADC， 在不添加辅助线的情况下， 请逐一找出图中与ADE 相等的角 （ADE除外） ，并说明理由 10 在解决线段数量关系的问题中， 如果条件中有角平分线， 经常采用下面构造全等三角形的思路来解决 在图 1 中，若 C 是MON 的平分线 OP 上一点，点 A 在 OM 上，此时，在射线 ON 上截取 OBOA，连结BC，根据三角形全等的判定方法（SAS） ，容易构造出全等三角形OBC 和OAC，参考上面的方法，解答下列问题： （1）如图 2，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，E，F 分别为 AB，AC 上的点，且AED+AFD180求证：DE
7、DF （2）如图 3，在非等边ABC 中，B60，AD，CE 分别是BAC，BCA 的平分线，且 AD，CE交于点 F，猜想 AC，AE，CD 有怎样的数量关系，并说明理由 11如图，在等腰 RtABC 中，ACB90，D 为 BC 的中点，DEAB，垂足为 E，过点 B 作 BFAC交 DE 的延长线于点 F，连接 CF （1）求证：ADCF； （2）连接 AF，试判断ACF 的形状，并说明理由 12在ABC 中，AD 平分BAC 交 BC 于 D （1）如图 1，MDN 的两边分别与 AB、AC 相交于 M、N 两点，过 D 作 DFAC 于 F，DMDN，证明：AM+AN2AF； （2）
8、如图 2，若C90，BAC60，AC9，MDN120，NDAB，求四边形 AMDN 的周长 13如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0，a） 、B（b，0）且 a、b 满足+|a2b+2|0 （1）求证：OABOBA； （2）如图 1，若 BEAE，求AEO 的度数； （3）如图 2，若 D 是 AO 的中点，DEBO，F 在 AB 的延长线上，EOF45，连接 EF，试探究 OE和 EF 的数量和位置关系 14如图 1，在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上 （1） 如图 1， 点 A 与点 C 关于 y 轴对称， 点 E、 F 分别是线段 AC、 AB 上的点 （点 E
9、不与点 A、 C 重合） ，且BEFBAO若BAO2OBE，求证：AFCE； （2）如图 2，若 OAOB，在点 A 处有一等腰AMN 绕点 A 旋转，且 AMMN，AMN90连接BN，点 P 为 BN 的中点，试猜想 OP 和 MP 的数量关系和位置关系，说明理由 15在ABC 中，ABAC，点 D 是射线 CB 上的一动点（不与点 B、C 重合） ，以 AD 为一边在 AD 的右侧作ADE，使 ADAE，DAEBAC，连接 CE （1）如图 1，当点 D 在线段 CB 上，且BAC90时，那么DCE 度； （2）设BAC，DCE 如图 2， 当点 D 在线段 CB 上，BAC90时， 请你
10、探究 与 之间的数量关系， 并证明你的结论； 如图 3，当点 D 在线段 CB 的延长线上，BAC90时，请将图 3 补充完整，并直接写出此时 与 之间的数量关系（不需证明） 16 【问题背景】 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且EAF60，试探究图中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是：延长 FD 到点 G，使 DGBE，连接 AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 【探索延伸】如图 2， 若在四边形 ABCD 中， ABAD，B+D180， E、 F 分
11、别是 BC， CD 上的点，且EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由 【学以致用】 如 图 3 ， 四 边 形 ABCD 是 边 长 为 5 的 正 方形 ， EBF 45 ，直 接 写 出 DEF 的周长 17如图 1，ABC 的边 BC 在直线 l 上，ACBC，且 ACBC；EFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EFFP（备注：当 EFFP，EFP90时，PEFFPE45，反之当PEFFPE45时，当 EFFP） （1）在图 1 中，请你通过观察、测量、猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系 （2）将EFP 沿直线 l 向左平移到图
12、 2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连接 AP，BQ猜想并写出 BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； （3） 将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q， 连接 AP、 BQ 你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，请说明理由 18如图，等腰 RtACB 中，ACB90，ACBC，E 点为射线 CB 上一动点，连接 AE，作 AFAE 且AFAE （1）如图 1，过 F 点作 FGAC 交 AC 于 G 点，求证：AGFECA； （2）如图 2，连接 BF 交 AC 于 D
13、 点，若3，求证：E 点为 BC 中点； （3） 如图3， 当E点在CB的延长线上时， 连接BF与AC的延长线交于D点， 若， 则 19如图，直线 AB 交 x 轴于点 A（a，0） ，交 y 轴于点 B（0，b） ，且 a、b 满足|a+b|+（a5）20 （1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； （2）如图，若点 C 的坐标为（3，2） ，且 BEAC 于点 E，ODOC 交 BE 延长线于 D，试求点 D的坐标； （3）如图，M、N 分别为 OA、OB 边上的点，OMON，OPAN 交 AB 于点 P，过点 P 作 PGBM 交AN 的延长线于点 G，请写出线段 AG、OP 与 P
14、G 之间的数量关系并证明你的结论 20已知四边形 ABCD 中，AC90，ABBC，ABC120，MBN60，MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时（如图 1） ，易证 AE+CFEF； 当MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 21在直角坐标系中，ABCBDE90，BCDE，ACBE，M、N 分别是 AB、BD 的中点，连接MN 交 CE 于点 K （1）如图
15、1，已知 A 点的坐标为（3，0） ，C 点的坐标为（4，2） ，求 D 点的坐标 （2）如图 2，当 C、B、D 共线，AB2BC 时，探究 CK 与 EK 之间的数量关系，并证明 （3）如图 3，当 C、B、D 不共线，ABBC 时， （2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 22如图 1，ABAC，BAC90，直线 AE 是经过点 A 的直线，BDAE 于 D，CEAE 于 E，则ADBCEA （1）线形训练如图 2，RtABC 中，ABAC，BAC90，直线 AE 是经过点 A 的任一直线，BDAE 于 D，CEAE 于 E，证明：BDDE+CE （2）问题创设如图
16、 3，在ABC 中，ABAC，若顶点 A 在直线 m 上，点 D，E 也在直线 m 上，如果BACADBAEC100，那么（1）中结论还成立吗？如果不成立，BD，DE，CE 三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论 （3）发散探究如图 4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点 H 在y 轴正半轴上，顶点 G 在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，若另一顶点 K（a，2a+6）落在第四象限，求 a 的值 参考答案参考答案 1 （1）解：BOAC，AHBC， AOPBOCAHC90， OAP+COBC+C90， OAPOBC， 在OAP 和OBC 中， OAPOBC（A
17、SA） ， OPOC1； （2）过 O 分别作 OMCB 于 M 点，作 ONHA 于 N 点，如图 1 所示： 在四边形 OMHN 中，MON36039090， COMPON90MOP 在COM 与PON 中， COMPON（AAS） ， OMON OMCB，ONHA， HO 平分CHA， OHPAHC45； （3）SBDMSADN的值不发生改变，等于理由如下： 连接 OD，如图 2 所示： AOB90，OAOB，D 为 AB 的中点， ODAB，BODAOD45，ODDABD OAD45，MOD90+45135， DAN135DOM MDND， 即MDN90， MDONDA90MDA 在O
18、DM 和ADN 中， ODMADN（ASA） ， SODMSADN， SBDMSADNSBDMSODMSBODSAOBAOBO33 2解： （1）在 AB 上截取 AGAF AD 是ABC 的角平分线， FADDAG 在AFD 和AGD 中， AFDAGD（SAS） ， AFDAGD，FDGD， FDBD， BDGD， DGBB， B+AFDDGB+AGD180； （2）AEAF+FD 过点 E 作DEHDEA，点 H 在 BC 上 B+2DEA180， HEBB B+AFD180， AFDAGDGEH， GDEH GDEDEHDEG GDGE 又AFAG， AEAG+GEAF+FD 3解：
19、（1）ACDABE， 理由如下： ABC，ADE 是等边三角形， ABAC，AEAD，EADBAC60， BAECAD， BAECAD（SAS） ， BAECAD， BECD， BE+BDCD+BDBC6， 故答案为：6； （2）如图 2，过点 P 作 PQAC，交 BC 于点 Q， ABC 是等边三角形， ABBCAC6， ACABC60， PQAC， BPQA60，CBQP60ABC， BPQ 是等边三角形， BPBQPQ，BPQEPD60， BPEQPD， 又BPPQ，PEPD， BPEQPD（SAS） ， BEDQ， BE+BDDQ+BDBQBPABAP615 4解： （1）依题意补全
20、图形，如图 1 所示： 猜想BAEBCD，理由如下： CDAB 于点 D，AEBC 于点 E， CDBCDAAEB90， B+BAEB+BCD90， BAEBCD； AECE+DE，理由如下： 作 DGDE，交 AE 于 G，如图 11 所示： 则EDG90CDA， ADGCDE， BAC45， ACD 是等腰直角三角形， ADCD， 由得：DAGDCE， 在ADG 和CDE 中， ADGCDE（ASA） ， AGCE，DGDE， DEG 是等腰直角三角形， EGDE， AEAG+EG， AECE+DE； （2）依题意补全图形如图 2 所示：CEAE+DE，理由如下： 作 DGDE，交 AE
21、的延长线于 G， 则EDG90CDA， ADGCDE， BAC45， ACD 是等腰直角三角形， ADCD， 同得：DAGDCE， 在ADG 和CDE 中， ADGCDE（ASA） ， AGCE，DGDE， DEG 是等腰直角三角形， EGDE， AGAG+EG， CEAE+DE 5解： （1）ACBC， CABCBA， AMDE，AMBN， ADCBEC90， AMAB，DEAM， ABDE， DCACAB，CBABCE， DCABCE，且 ACBC，ADCBEC90， ADCBEC（AAS） DCCE； 结论仍然成立， 理由如下：如图 1，延长 AC 交 BN 于点 F， ACBC， CA
22、BCBA， 又ABAM， BAM90， 又AMBN， BAM+ABN180， ABN90， BAF+AFB90，ABC+CBF90， CBFAFB， BCCF， ACFC， 又AMBN， DAFAFB， 在ADC 和FEC 中， ， ADCFEC（ASA） ， DCEC； （2）如图 2，在 EB 上截取 EHEC，连 CH， ACBC，ABC60， ABC 为等边三角形， DEB60， CHE 是等边三角形， CHE60，HCE60， BHC120， AMBN， ADC+BEC180， ADC120， DAC+DCA60， 又DCA+ACB+BCH+HCE180， DCA+BCH60， DA
23、CBCH， 在DAC 与HCB 中， ， DACHCB（AAS） ， ADCH，DCBH， 又CHCEHE， BEBH+HEDC+AD， ECnDC， 设 DCa，ECnaCHHEAD， BEna+a（n+1）a， 6解： （1）BOA90，OBA36， BADBOA+ABO126， AE 平分BAD，OE 平分BOA，BOA90， GADBAD63，EOABOA45， OGAGADEOA634518， 故答案为：18； （2）BOA90，GOA36， BADBOA+ABO126， BOA90，GOABOA，GADBAD， GAD42，EOA30， OGAGADEOA423012， 故答案为：
24、12； （3）BOA90，OBA， BADBOA+ABO90+， BOA90，GOABOA，GADBAD， GAD30+，EOA30， OGAGADEOA； （4）当EOD：COE1：2 时，EOD30， BADABO+BOA+90， AF 将BAD 平分， FADBAD， FADEOD+OGA， 230+2OGA+90， OGA+15， 当EOD：COE2：1 时， EOD60， 同理可得OGA15， 综上所述，OGA 的度数为+15或15 7解： （1）三个内角的平分线交于点 O， OAC+OCA（BAC+BCA）（180ABC） ， OBCABC， AOC180（OAC+OCA）90+A
25、BC90+OBC， ODCBOD+OBCAOC， BOD90； （2）三个内角的平分线交于点 O， EBFABE（180ABC）90DBO， ODB90OBD， FBEODB， BFOD； 三个内角的平分线交于点 O， EBFABE（BAC+ABC） ， FCBACB， FFBEBCF（BAC+ACB）ACBBAC， F50， BAC2F100； FABC50， 由可知，BAC100， ACB30， OC 平分ACB， OCD15，COD50， BDOCOD+OCD65，DOF130， 将BOD 绕点 O 顺时针旋转一定角度 （0360）后得BOD， BDOBDO65， BDFC， CODBD
26、O65， DODCODCOD15， 即此时旋转角度为 15， BDFC， FODBOD65， DOF+FOD130+65195， BOD 绕点 O 顺时针旋转 15或 195后得BOD，BD所在直线与 FC 平行 8 （1）解：ABAC，BAC40， ABCACB（18040）70， ACE110， BD，CD 分别平分EBA，ECA， DBCABC35，ECDACE55， BDCECDDBC20； （2）解：BDCBAC BD、CD 分别平分EBA、ECA，BD 交 AC 于 F， BDC+ABCACE，BAC+ABCACE， BDC+ABCBAC+ABC， BDCBAC； （3）证明：作
27、DMBG 于 M，DNAC 于 N，DHBE 于 H，如图所示， BD、CD 分别平分EBA、ECA， DMDH，DNDH， DMDN， AD 平分CAG，即GADCAD， GAD+CAD+BAC180，BAC+ABC+ACB180， GAD+CADABC+ACB， ABAC， ABCACB， GADABC， ADBE 9 （1）证明：在ABD 和DCE 中， ， ABDDCE（SAS） ， BDCE； （2）解：ABDDCE， BC， DE 平分ADC， ADECDEBAD， ADCB+BADADE+CDE， BADEBADEDCC， 与ADE 相等的角有EDC，BAD，B，C 10 （1）
28、证明：如图，过点 D 作 DGAB，DHAC 于点 G，H， AD 是BAC 的平分线， DGDH， AED+AFD180，DFH+AFD180， AEDDFH， 在DEG 和DFH 中， ， DEGDFH（AAS） ， DEDF； （2）解：ACAE+CD理由如下： 如图，在 AC 上截取 AGAE，连接 FG， AD，CE 分别是BAC，BCA 的平分线， 12，34， 在AEF 和AGF 中， ， AEFAGF（SAS） ， AFEAFG， B60， BAC+ACB120， 2+3（BAC+ACB）60， AFE2+3CFD， AFECFDAFG60， CFG180CFDAFG60， C
29、FDCFG， 在CFG 和CFD 中， ， CFGCFD（ASA） ， CGCD， ACAG+CGAE+CD 11 （1）证明：在等腰直角三角形 ABC 中， ACB90， CBACAB45 又DEAB， DEB90 BDE45 又BFAC， CBF90 BFD45BDE BFDB 又D 为 BC 的中点， CDDB 即 BFCD 在CBF 和ACD 中， ， CBFACD（SAS） BCFCAD 又BCF+GCA90， CAD+GCA90 即 ADCF （2）ACF 是等腰三角形，理由为： 连接 AF，如图所示， 由（1）知：CBFACD，CFAD， DBF 是等腰直角三角形，且 BE 是D
30、BF 的平分线， BE 垂直平分 DF， AFAD， CFAD， CFAF， ACF 是等腰三角形 12证明： （1）过点 D 作 DGAB 于 G，如图 1， AD 平分BAC，DFAC， DFDG， 在 RtDFN 和 RtDGM 中， RtDFNRtDGM（HL） ， MGNF 又AGAF， AM+ANAG+MG+ANAF+NF+AN2AF； （2）过点 D 作 DEAB 于 E，如图 2， 在四边形 ACDE 中，EDC360609090120， EDN+MDE120， 又EDN+NDC120， MDENDC， AD 平分BAC， DEDC， 在MDE 和NDC 中， ， MDENDC
31、（ASA） ， DMDN， NDAB， NDCB30，DNC60， MDB1801203030， MDB 为等腰三角形， MBMD， ADM90， AM2DM， 在 RtABC 中，B30， AB2AC18，AMAB12，BMABDM6， 同理：ANDNDM6， 四边形 AMDN 的周长为 12+6+6+630 13解： （1）a、b 满足+|a2b+2|0 ， A（0，2） 、B（2，0） ， OAOB， AOB 为等腰直角三角形 OABOBA45， （2）如图 1，过点 O 作 OFOE 交 AE 于 F， AOF+BOF90，BOE+BOF90 AOFBOE， BEAE， AEB90 又
32、AOB90 OBEOAF 在OBE 和OAF 中， OBEOAF（ASA） OEOF OEF 为等腰直角三角形 AEO45 （3）过点 F 作 FGOF 交 OE 的延长线于 G，过点 F 作 FHFB 交 x 轴于 H，延长 DE 交 HG 于 I， EOF45，HBFABO45， OFG、HFB 为等腰直角三角形， HFG+GFB90，BFO+GFB90 HFGBFO， 在HFG 和BFO 中， HFGBFO（SAS） GHOBOA 又GHFOBF135 GHO90 HIODIG 在EIG 和EDO 中， EIGEDO（AAS） EGEO FEEO 且 FEEO（三线合一） 14证明： （
33、1）如图 1， 设OBE，AEF， BAOBEF2， 点 A、C 关于 y 轴对称， BABC， BAOBCO2 AEB2+BCO+EBC EBC， 即EBCAEF BFEBAO+FEA2+ 又ABOCBO+ FBE+2+ BFEFBE EBEF， 在AEF 和CBE 中 AEFCBE（AAS） AFCE （2）OPMP 且 OPMP， 理由如下： 延长 MP 至 C，且使 PCMP，连接 BC、MO，延长 AM 交 BC 于 D，连接 CO，NO， 点 P 为 BN 的中点， PNPB， 在MPN 和CPB 中 MPNCPB（SAS） BCMNAM，MNPCBP， MNBC， AMN90 A
34、DBC， MAOCBO， MOACOB，MOCO， MOCMOB+BOCMOB+MOAAOB90 MOC 为等腰直角三角形， MPCP， OPMP 且 OPMP 15解： （1）BAD+DAC90，DAC+CAE90， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， ACEB， B+ACB90， DCEACE+ACB90； 故答案为 90 （2）BAD+DAC，DAC+CAE， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， ACEB， B+ACB180， DCEACE+ACB180， +180； （3）作出图形， BAD+BAE，BAE+C
35、AE， BADCAE， 在BAD 和CAE 中， ， BADCAE（SAS） ， AECADB， ADE+AED+180，CDE+CED+180， CEDAEC+AED， 16 （1）解：如图 1， 在ABE 和ADG 中， ， ABEADG（SAS） ， AEAG，BAEDAG， EAFBAD， GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF， EAFGAF， 在AEF 和GAF 中， ， AEFAGF（SAS） ， EFFG， FGDG+DFBE+DF， EFBE+DF； 故答案为：EFBE+DF （2）解：结论 EFBE+DF 仍然成立； 理由：如图 2，延长 FD 到点 G使 D
36、GBE连接 AG， 在ABE 和ADG 中， ， ABEADG（SAS） ， AEAG，BAEDAG， EAFBAD， GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF， EAFGAF， 在AEF 和GAF 中， ， AEFAGF（SAS） ， EFFG， FGDG+DFBE+DF， EFBE+DF； （3）解：如图 3，延长 DC 到点 G，截取 CGAE，连接 BG， 在AEB 与CGB 中， ， AEBCGB（SAS） ， BEBG，ABECBG EBF45，ABC90， ABE+CBF45， CBF+CBG45 在EBF 与GBF 中， ， EBFGBF（SAS） ， EFGF，
37、DEF 的周长EF+ED+DFAE+CF+DE+DFAD+CD5+510 17解： （1）ABAP；ABAP； 证明：ACBC 且 ACBC， ABC 为等腰直角三角形， BACABC（180ACB）45， 又ABC 与EFP 全等， 同理可证PEF45， BAP45+4590， ABAP 且 ABAP； （2）BQAP；BQAP 证明：由已知，得 EFFP，EFFP， EPF45 又ACBC， CQPCPQ45 CQCP 在 RtBCQ 和 RtACP 中， BCAC，BCQACP90，CQCP， BCQACP（SAS） ， BQAP 如图，延长 BQ 交 AP 于点 M RtBCQRtAC
38、P， 12 在 RtBCQ 中，1+390，又34， 2+41+390 QMA90 BQAP； （3）成立 证明：如图，EPF45， CPQ45 又ACBC， CQPCPQ45 CQCP 在 RtBCQ 和 RtACP 中， BCAC，CQCP，BCQACP90， RtBCQRtACP BQAP 如图，延长 QB 交 AP 于点 N，则PBNCBQ RtBCQRtACP， BQCAPC 在 RtBCQ 中，BQC+CBQ90， 又CBQPBN， APC+PBN90 PNB90 QBAP 18证明： （1）FAG+CAE90，FAG+F90， CAEF， 在AGF 和ECA 中， ， AGFEC
39、A（AAS） ； （2）过 F 点作 FGAC 交 AC 于 G 点， AGFECA， FGACBC， 在FGD 和BCD 中， ， FGDBCD（AAS） ， DGCD， 3， 2， ， AGCE，ACBC ， E 点为 BC 中点； （3）过 F 作 FGAD 的延长线交于点 G，如图 3， ，BCAC，CECB+BE， ， 由（1） （2）知：AGFECA，DGFDCB， CDDG，AGCE， ， ， ， 故答案为 19解： （1）|a+b|+（a5）20， a5，b5， 点 A 的坐标为（5，0） ，点 B 的坐标为 （0，5） ， 故答案为： （5，0） ； （0，5） ； （2）过
40、 C 作 CKx 轴，过 D 作 DFy 轴， AEDBOK90， DBOOAC， AOB+BOCBOK+BOC90+BOC， AOCBOD， 在AOC 与BOD 中， ， AOCBOD（ASA） ， OCOD， 在OCK 与ODF 中， ， OCKODF（AAS） ， DFCK，OKOF， D（2，3） ； （3）延长 GP 到 L，使 PLOP，连接 AL， 在AON 与BOM 中， ， AONBOM， OANOBM， MBANAB， PGBM，OPAN， NAB+OPAMBA+GPB90， OPAGPBAPL， 在OAP 与PAL 中， ， OAPPAL， POAL，OAPPAL45，
41、OAL90， POA90POB，GAL90OAN， POB+AOP90，AOP+OAN90， POBOAN， POAGAL， POAGALL， AGGL， AGGLGP+PLGP+OP 20.解：ABAD，BCCD，ABBC，AECF， 在ABE 和CBF 中， ， ABECBF（SAS） ； ABECBF，BEBF； ABC120，MBN60， ABECBF30， AEBE，CFBF； MBN60，BEBF， BEF 为等边三角形； AE+CFBE+BFBEEF； 图 2 成立，图 3 不成立 证明图 2 延长 DC 至点 K，使 CKAE，连接 BK， 在BAE 和BCK 中， 则BAEB
42、CK， BEBK，ABEKBC， FBE60，ABC120， FBC+ABE60， FBC+KBC60， KBFFBE60， 在KBF 和EBF 中， KBFEBF， KFEF， KC+CFEF， 即 AE+CFEF 图 3 不成立， AE、CF、EF 的关系是 AECFEF 21解（1）如图 1，在 RtBDE 和 RtABC 中， ， RtBDERtABC， BDAB， C（4，2） ，ABC90， B（4，0） A（3，0） ， AB7， BD7 D（4，7） ； （2）如图 2，CKEK 理由：连 EM、CN， AB2BC，ABBD， BD2BC， M、N 分别是 AB、BD 的中点，
43、 AB2BM，BD2BN2ND， BCBMBNDN， DEBC， DEDN ABCBDE90， DENDNEBNMBMN45， MNE180454590， 在MBN 和NDE 中， ， MBNNDE（SAS） ， MNEN， MNE 是等腰直角三角形， NME45， BME90， 四边形 BDEM 是矩形， EMDB，BDEM， EMNCCEMNCE，NMEMNC， 在EMK 和CNK 中， ， EMKCNK， CKEK （3）如图 3，MN 交 BE、AC 于 F、G，过 E、C 作 MN 的垂线，垂足为 Q、P，连接 CM、EN， EQNEQKCPM90 ABBD，M、N 是 AB、BD
44、的中点， DNBNBMAM， 2BMN， 1BMN， 21 在EDN 和CBM 中 ， EDNCBM（SAS） ， ENCM 在BNE 和AMC 中 ， BNEAMC（SSS） ， 78，ENBCMA， ENB2CMA1， 即34 在EQN 和CPM 中， ， EQNCPM（AAS） ， EQCP 在EQK 和CPK 中， ， EQKCPK（AAS） ， EKCK ， 22 （1）证明：BAD+CAD90，ABD+BAD90， ABDCAD， 在ABD 和CAE 中， ， ABDCAE（AAS） BDAE，ADCE， AEAD+DE， BDDE+CE； （2）结论不成立，DECE+BD，理由如
45、下： BAD+CAD180ADB80，EAC+BAD180BAC80， ABDEAC， 在ABD 和CAE 中， ， ABDCAE（AAS） ， BDAE，ADCE， DEAD+AE， DECE+BD； （3）如图 4，过点 G 作 GNy 轴于 N，过点 K 作 KPy 轴于 P， 设 OHb， GNHKPHGHK90， HGN+GHNGHN+KHP90， NGHKHP， 又HGHK， GHNHKP（AAS） ， NGHP，NHPK， 顶点 G 在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，顶点 K（a，2a+6）落在第四象限， GNNO，PKa，OP2a6， NHPKa，HP2a6+bNG， a+b2a6+b， a6