1、 学科网（北京）股份有限公司 专题专题 23 23 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1将宽为 2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕 AB 的长是( ) A433cm B22cm C4cm D233cm 2在 中， = 90，tan = 2，则sin的值是（ ） A23 B13 C255 D55 3如图，某停车场入口的栏杆从水平位置绕点 O 旋转到的位置已知 = 4米，若栏杆的旋转角 = 47，则栏杆端点 A 上升的垂直距离为（ ） A4sin47米 B4cos47米 C4tan47米 D4sin47米 4如图，在 中， = 90若 = 4， = 3，则sin的值
2、为（ ） A35 B34 C43 D45 5已知A 为锐角，且 sinA12，那么A 等于（ ） A15 B30 C45 D60 6 （2021 九上 平谷期末）如图，角在边长为 1 的正方形网格中，则tan的值是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A23 B31313 C21313 D32 7 （2021 东城模拟）如图，PA，PB 是 的切线，切点分别为 A，B， PO 的延长线交 于点C，连接 OA，OB，BC若 = 2, = 4 ，则 等于（ ） A20 B30 C45 D60 8 （2021 九下 海淀月考）九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，其中方田章给出计算弧田面积所用公式为：
3、弧田面积 12 （弦 矢矢2） ，弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB，“矢”等于半径长与圆心 O 到弦的距离之差在如图所示的弧田中，“弦”为 8，“矢”为 3，则 cosOAB（ ） A35 B2425 C45 D1225 9 （2020 九上 顺义期末）在 RtABC 中， = 90 ， = 5 ， = 2 ，则 tanB 的值为（ ） A12 B2 C55 D255 10 （2021 九上 北京月考）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容： 学科网（北京）股份有限公司 设铁塔顶端到地面的高度 为 xm，根据以上条件，可以列出的方程为( ) A = (
4、10)tan50 B = ( 10)cos50 C 10 = tan50 D = ( + 10)sin50 二、填空题二、填空题 11 （2022 门头沟模拟）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处如图，如果该摩天轮的直径为 88 米，最高点 A 距地面 100 米，匀速运行一圈所需的时间是 18 分钟但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于 34 米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为 分钟 12 （2022 九下 北京市开学考）在ABC 中， C90 ， 若 AB3， BC1， 则 cosA 的值为 13 （2021 九上 密云期末）如
5、图 1 是一种手机平板支架，图 2 是其侧面结构示意图托板 AB 固定在支撑板顶端的点C处， 托板AB可绕点C转动， 支撑板CD可绕点D转动 如图2， 若量得支撑板长CD=8cm，CDE=60 ，则点 C 到底座 DE 的距离为 cm（结果保留根号） 学科网（北京）股份有限公司 14 （2021 九上 顺义期末）如图，在中，sin =13，tan =22， = 3，则的长为 15在ABC 中， = 90，tan =43， = 8，那么的长为 16北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段 AB已知坡 AB 的长为 30m，坡
6、角约为 37 ，则坡 AB 的铅直高度AH 约为 m （参考数据：sin37 0.60，cos37 0.80，tan37 0.75 ） 17 （2021 九上 平谷期末）在 RtABC 中， C=90 ， 如果 cosA=13， AC=2， 那么 AB 的长为 18 （2021 九上 北京月考）如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点 A 逆时针旋转得到 ，则 tan 的值为 19 （2021 九上 北京月考）如图，将矩形 沿 折叠，点 B 恰好落在 的 F 处，若 ： = 2：3 ，则 cos 值为= 学科网（北京）股份有限公司 20 （2021 朝阳模拟）利用热气球探测建
7、筑物高度 （如图所示） ， 热气球与建筑物的水平距离 AD=100m，则这栋建筑物的高度 BC 约为 m（ 2 1.4,3 1.7 ，结果保留整数） 三、综合题三、综合题 21 （2022 昌平模拟）如图，在 中， = 90，与 交于点，为 直径，点在上，连接， = （1）求证：是 的切线； （2）若sin =35， 的半径为 3，求的长 22 （2022 海淀模拟）如图，在 RtABC 中，A =90 ，点 D，E，F 分别为 AB，AC，BC 的中点，连接 DF，EF （1）求证：四边形 AEFD 是矩形； （2）连接 BE，若 AB = 2，tan C =12，求 BE 的长 学科网（北
8、京）股份有限公司 23（2022八下 大兴期中）在平面直角坐标系 xOy中， 点 A （4， 0） ， 点B 位于y轴正半轴， = 42， 点 C位于 x 轴正半轴， = 30 （1）求点 B，C 的坐标； （2）垂直于 y 轴的直线 l 与线段 AB，BC 分别交于点 D，E，过点 D 作 DFAC，垂足为 F，过点E 作 EGAC，垂足为 G横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记四边形 DFGE 围成的区域（不含边界）为 W若点 D 的纵坐标为，当区域 W 内整点个数达到最多时，直接写出的取值范围 24 （2022 北京模拟）如图， 为 的直径，点 C 在 上，过点 C 作 的切线 ，过点 A
9、 作 于点 D，交 的延长线于点 E （1）求证： = ； （2）若 = 10 ， =35 ，求 的长 25 （2022 平谷模拟）如图，ABC 中，ACB90 ，点 D 为 AB 边中点，过 D 点作 AB 的垂线交 BC于点 E，在直线 DE 上截取 DF，使 DFED，连接 AE、AF、BF 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：四边形 AEBF 是菱形； （2）若 cosEBF 35 ，BF5，连接 CD，求 CD 的长 26 （2022 门头沟模拟）我们规定：在平面直角坐标系 中，如果点 P 到原点 O 的距离为 ，点M 到点 P 的距离是 a 的整数倍，那么点 M 就是点 P 的
10、 k 倍关联点 （1）当点 1 的坐标为 (1.5，0) 时， 如果点 1 的 2 倍关联点 M 在 x 轴上，那么点 M 的坐标是 ； 如果点 (，) 是点 1 的 k 倍关联点，且满足 = 1.5 ， 3 5 那么 k 的最大值为 ； （2）如果点 2 的坐标为 (1，0) ，且在函数 = + 的图象上存在 2 的 2 倍关联点，求 b的取值范围 27如图，BE 是O 直径，点 A 是O 外一点：OAOB，AP 切O 于点 P，连接 BP 交 AO 于点 C 学科网（北京）股份有限公司 （1）求证：PAO=2PBO； （2）若O 的半径为 5，tan =34，求 BP 的长 28 （202
11、2 朝阳模拟）如图，为 的直径，C 为 上一点，和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D （1）求证：平分； （2）若cos =45， = 5，求的长 29 （2022 朝阳模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AD=10，tanAEB=34，点 E 为 BC 上的一点，ED 平分AEC， （1）求 BE 的值； （2）求 sinEDC 30 （2022 朝阳模拟）如图，已知 中， = 60， 23 3，解得3 2， 2 4 4 3， 即2 23 3 求出 x 范围，再求出 4-x 的范围即得结论. 24 【答案】（1）证明：连结 ， 是 的切线， 为 的半径 学科网（北京）股份有限公司 ， 又 ，
12、 / = = = = = ； （2）解：连接 ， 为 的直径 = = 90 在 中， = 10 ， cos =35 = 6 ， = 102 62= 8 ， + = + = 90 = cos = cos = cos =35 又 = 8 ， =245 【解析】【分析】 （1）连接 OC，根据切线的性质得到 OCCD，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明即可； （2） 连接 AC， 根据余弦的定义求出 BC， 根据勾股定理求出 AC， 根据余弦的定义计算即可得到答案。 25 【答案】（1）证明：D 是 AB 的中点， AD=BD， DE=DF， 四边形 AEBF 是平行四边形， 学科网（
13、北京）股份有限公司 EFAB， 四边形 AEBF 是菱形； （2）解：四边形 AEBF 是菱形， ，AE=BF=BE=5， AEC=EBF， ACB=90 ， cos = cos =35 ， CE=3， = 2 2= 4 ，BC=CE+BE=8， = 2+ 2= 45 ， D 是 AB 的中点，ACB=90 ， =12 = 25 【解析】【分析】 （1）先证明四边形 AEBF 是平行四边形，再结合 EFAB，即可得到四边形 AEBF 是菱形； （2）先求出 AC 和 BC 的长，然后根据勾股定理求出 AB 的长，最后利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案。 26 【答案】（1） （1.5，0）
14、或（4.5 ，0） ；3 （2）解：点 2 的坐标为 (1，0) a1， 2 的 2 倍关联点在以点 2(1，0) 为圆心，半径为 2 的圆上 在函数 = + 的图象上存在 2 的 2 倍关联点， 当直线 = + 与 2 相切时，即直线 = + 1 和 = + 2 ，b 分别取最大值 b1和最小值 b2，如图所示， 在 Rt 2 AB 中， 2 AB90 ，AB 2 45 ，A 2 2 学科网（北京）股份有限公司 sinAB 2 22 2 =2sin45= 22 点 B 的坐标是（1 22 ，0） 代入 = + 1 得 （1 22 ）b10 解得 b11 22 直线 AB 为 = + 1 +
15、22 在 Rt 2 CD 中， 2 DC90 ，DC 2 45 ，D 2 2 sinDC 2 22 2 =2sin45= 22 点 C 的坐标是（1 22 ，0） 代入 = + 2 得 （1 22 ）b20 解得 b21 22 直线 CD 为 = + 1 22 1 22 b1 22 【解析】【解答】解：(1)点 1 的坐标为 (1.5，0) ， 点 1 到原点的距离为 1.5， a1.5， 点 1 的 2 倍关联点 M 在 x 轴上 2a3 点 M 的横坐标为-1.531.5 或1.534.5 点 M 的坐标是（1.5，0）或（4.5 ，0） 故答案为： （1.5，0）或（4.5 ，0） 点
16、(，) 是点 1 的 k 倍关联点，且满足 = 1.5 ， 3 5 a1.5 点 M 的坐标是（-1.5，1.5k） 当 3 0 时，即 0 1.5 3 ，解得 0 2 ， 当 0 5 时，即 0 1.5 5 ，解得 0 103 ， k 的取值范围为 0 103 ， 学科网（北京）股份有限公司 k 是整数， k 的最大值是 3 故答案为：3 【分析】 （1）根据 k 倍关联点的定义即可求出答案； 根据 k 倍关联点的定义，以及点 M 与点 P 的横坐标相同，可知 y=4.5 时，k 值最大，列方程求解即可； （2）当直线 = + 与 2 相切时，即直线 = + 1 和 = + 2 ，b 分别取
17、最大值b1和最小值 b2，根据题意列出方程求出 b1和 b2的值即可得到答案。 27 【答案】（1）证明：连接 切O 于点 + = 90 + = 90 = OP=OB OPB=PBO = 2 = 2 （2）解：过点作 于点 tan =34 tan =34 设 = 3， = 4 由勾股定理得： = 5 学科网（北京）股份有限公司 O 半径为 5 = = 5 = 1 = 3， = 4 = + = 9 在 中， = 90 = 2+ 2= 310 【解析】【分析】 （1）连接，根据切线的性质得出 + = 90，再利用等角的余角相等得出 = ，再根据圆周角定理得出 = 2，即可得出结论； （2） 过点作
18、 于点， 得出tan =34， 设 = 3， = 4， 由勾股定理得： = 5， 得出 k 的值，推出 = 3， = 4，再利用勾股定理计算 BP 的长。 28 【答案】（1）证明：如图 1，连接 OC， CD 为 切线， ， ， /， = ， 又 = ， = ， = ，即平分； （2）解：如图 2，连接 BC， 学科网（北京）股份有限公司 为 的直径， = 90， = ， cos = cos，即5=45， 解得 = 4， cos =45， =45 =45 4 =165， = 2 2= 42 (165)2=125 【解析】【分析】 （1）先证明/，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出 = ，即
19、可得出结论； （2）连接 BC，由为 的直径，得出 = 90，推出cos = cos，得出 AC 的值，再得出 AD 的值，利用勾股定理求解即可。 29 【答案】（1）解： ED 平分AEC， = ， 四边形是矩形， /， = 90， = ， = ， = ， tanAEB=34， 设 = 3，则 = 4， = (3)2+ (4)2= 5， = = 10， 学科网（北京）股份有限公司 = 2， = 6， = 8， （2）解：四边形是矩形， = ， = ， = 90， = = 10， = 8， = = 2， = = 6， = 2+ 2= 22+ 62= 210 sin =2210=1010 【解析
20、】【分析】（1） 证明 = ， 则 = ， 再根据 tanAEB=34， 设 = 3， 则 = 4，由勾股定理得 = 5，则 = 2， 即可求解； （2） 由 （1） 得 = 6， = 8， 求出 = = 2， 再根据勾股定理求出 DE， 再求出 sinEDC。 30 【答案】（1）解：如图，即为所求（过点作 ） （2）解：如图，由（1）得 = = 90， = 45， = 45， 在 中， = = sin45 = 42 22= 4， 在 中， = 30， = tan30 = 4 33=433， = + = 4 +433=12+433 【解析】【分析】 （1）过点作 于 P 即可； （2）解直角三角形求出 AP、PC 即可