1、 专题专题 14 14 二次函数二次函数 一、单选题一、单选题 1用长为 2 米的绳子围成一个矩形，它的一边长为 x 米，设它的面积为 S 平方米，则 S 与 x 的函数关系为（ ） A正比例函数关系 B反比例函数关系 C一次函数关系 D二次函数关系 2正方形的面积 y 与它的周长 x 满足的函数关系是（ ） A正比例函数 B一次函数 C二次函数 D反比例函数 3 （2021 九上 海淀期末）在平面直角坐标系 xOy 中，下列函数的图象经过点(0，0)的是（ ） A = + 1 B = 2 C = ( 4)2 D =1 4在求解方程2+ + = 0(a 0)时，先在平面直角坐标系中画出函数 =
2、 2+ + 的图象，观察图象与 x 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（ ） A1= 3，2= 2 B1= 3，2= 3 C1= 2，2= 2 D1= 2，2= 3 5 （2021 九上 密云期末）如图，一个矩形的长比宽多 3cm，矩形的面积是 Scm2设矩形的宽为 xcm，当 x 在一定范围内变化时，S 随 x 的变化而变化，则 S 与 x 满足的函数关系是（ ） AS=4x+6 BS=4x-6 CS=x2+3x DS=x2-3x 6 （2021 九上 昌平期末）关于二次函数 y=-（x -2）23，以下说法正确的是（ ） A当 x-2
3、时，y 随 x 增大而减小 B当 x-2 时，y 随 x 增大而增大 C当 x2 时，y 随 x 增大而减小 D当 x2 时，y 随 x 增大而增大 7 （2021 九上 通州期末）已知二次函数 = 2+ + ( 0)的图象如图所示，关于 a，c 的符号判断正确的是（ ） Aa0，c0 Ba0，c0 Ca0，c0 Da0，c0 8（2021 九上 大兴期末）将二次函数 = 2 4 + 5用配方法化为 = ( )2+ 的形式， 结果为 （ ） A = ( 4)2+ 1 B = ( 4)2 1 C = ( 2)2 1 D = ( 2)2+ 1 9 （2021 九上 丰台期末）抛物线 = ( 4)2
4、+ 1的对称轴是（ ） A = 4 B = 1 C = 1 D = 4 10 （2022 九下 北京市开学考）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为 P，篮框中心点为 Q，他可以选择让篮球在运行途中经过 A，B，C，D 四个点中的某一点并命中 Q，忽略
5、其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 11 （2021 九上 海淀期末）若点(1，1)，(2，2)在抛物线 = 22上，则1，2的大小关系为：1 2（填“”，“=”或“”） 12 （2021 九上 通州期末）如图，过点 A(0，4)作平行于 x 轴的直线 AC 分别交抛物线1= 2( 0)与 2=142( 0)于 B、C 两点，那么线段 BC 的长是 13（2021 九上 朝阳期末）某件商品的销售利润 y （元） 与商品销售单价 x （元） 之间满足 = 2+ 6 7，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为 元 14 （2021
6、九上 大兴期末）已知抛物线 = 2 3经过点(2，1)、(3，2)，则1与2的大小关系是 15 （2021 九上 丰台期末）已知抛物线 = 2+ + ( 0)上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表： x -2 -1 0 1 2 3 y 5 0 -3 -4 -3 0 那么该抛物线的顶点坐标是 16（2022九下 北京市开学考）如果抛物线 = 32向下平移2 个单位， 所得到的抛物线是 17 （2021 九上 丰台期末）中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得 7 金 5 银 12 枚奖牌的好成绩某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，该运动员起跳点 A
7、 距离水面 10m，运动过程中的最高点 B 距池边 2.5m，入水点 C 距池边 4m，根据上述信息，可推断出点 B 距离水面 m 18 （2021 九上 顺义期末）若二次函数 = 2+ + 4配方后为 = ( 1)2+ ，则 b ， k 19 （2021 九上 北京市月考）若二次函数 y2x23 的图象上有两个点 A(1，m)，B(2，n)，则 m n(填“”) 20某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现 1-8 月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断 月份出售这种
8、药材获利最大 月份 . 3 6 . 每千克售价 . 8 6 . 三、综合题三、综合题 21 （2021 九上 海淀期末）在平面直角坐标系中，点(4，3)在抛物线 = 2+ + 3( 0)上 （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知 0，当2 2 + 2时，y 的取值范围是1 3，求 a，m 的值； （3） 在 （2） 的条件下， 是否存在实数 n， 当 2 时， y 的取值范围是3 3 3 + 5， 若存在，直接写出 n 的值；若不存在，请说明理由 22 （2021 九上 丰台期末）在平面直角坐标系 xOy 中，(1，1)，(2，2)是抛物线 = 2 2 +2 1上任意两点 （1）求抛物线的顶点
9、坐标（用含 m 的式子表示） ； （2）若1= 2，2= + 2，比较1与2的大小，并说明理由； （3）若对于1 1 4，2= 4，都有1 2，直接写出 m 的取值范围 23 （2022 九上 昌平期中）已知二次函数 = 2+ 2 3 （1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）求该二次函数的图象与 x 轴交点 24 （2021 九上 昌平期末）在平面直角坐标系 xOy 中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数 yx2bx的图象上 （1）当 m-3 时 求这个二次函数的顶点坐标； 若点（-1，y1） ， （a，y2）在二次函数的图象上，且 y2y1，则 a 的取值范围是 ； （2）当
10、mn0 时，求 b 的取值范围 25 （2021 九上 西城期末）已知二次函数 = 2+ 4 + 3 （1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）画出此函数的图象； （3）若点(0，1)和(，2)都在此函数的图象上，且1 0， 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， 0， 抛物线与 y 轴交于负半轴， 0 故答案为：B 【分析】根据二次函数图象与系数的关系即可得出答案。 8 【答案】D 【解析】【解答】解： = 2 4 + 4 + 1 = ( 2)2+ 1， 故答案为：D 【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可。 9 【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线 = ( 4)2+ 1的对称轴是直线 =
11、 4， 故答案为：A 【分析】根据抛物线顶点式的解析式可得对称轴为直线 = 4。 10 【答案】B 【解析】【解答】解：B、D 两点，横坐标相同，而 D 点的纵坐标大于 B 点的纵坐标，显然，B 点上升阶段的水平距离长；A、B 两点，纵坐标相同，而 A 点的横坐标小于 B 点的横坐标，等经过.A 点的篮球运行到与 B 点横坐标相同时，显然在 B 点上方，故 B 点上升阶段的水平距离长；同理可知 C 点路线优于 A 点路线，综上：PBQ 是被“盖帽”的可能性最大的线路 故答案为：B 【分析】分类讨论投篮线路经过 A、B、C、D 四个点时篮球上升阶段的水平距离求解即可。 11 【答案】 【解析】【
12、解答】解：若点 A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线 y=2x2上， y1=2 （-1）2=2，y2=2 4=8， 28， y1y2 故答案为：. 【分析】根据抛物线的性质求解即可。 12 【答案】2 【解析】【解答】解： 0，则 = 4 = 2解得 = 2 = 4，即(2，4) = 42=142解得 = 4 = 4，即(4，4) = 4 2 = 2 故答案为：2 【分析】根据二次函数的图象分析即可得出答案。 13 【答案】2 【解析】【解答】解： = 2+ 6 7 = ( 3)2+ 2 根据函数图象性质可知在 x=3 时，y 最大且取值为 2 故答案为：2 【分析】将一般式化为顶点式，再利
13、用抛物线的性质求解即可。 14 【答案】y 【解析】【解答】解：点 A(2，y1)点 B（3，y2）经过抛物线 y=x2-x-3， y1=22-2-3=1， y2=32-3-3=3， y1y2 故答案为：y1y2 【分析】根据抛物线的解析式求出1与2的值，再求解即可。 15 【答案】（1，-4） 【解析】【解答】解：观察表格并由抛物线的图像与性质可知 该抛物线的对称轴为直线 =1+32= 1 顶点坐标在对称轴上 由表格可知该抛物线的顶点坐标为（1，-4） 故答案为： （1，-4） 【分析】观察表格并由抛物线的图像与性质可知该抛物线的对称轴，因为顶点坐标在对称轴上，即可得出答案。 16 【答案】
14、 = 32 2 【解析】【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 = 32向下平移 2 个单位，得到的抛物线 是： = 32 2 故答案是： = 32 2 【分析】根据函数解析式平移的原则：上加下减，左加右减求解即可。 17 【答案】454 【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图： 根据题意可知，点 A 的坐标为（3，10） ，点 C 的坐标为（5，0） ，抛物线的对称轴为直线 x=3.5， 设抛物线的的解析式为 yax2+bx+c，把上面信息代入得， 9 + 3 + = 1025 + 5 + = 02= 3.5， 解得， = 5 = 35 = 50， 抛物线解析式为： = 52+
15、35 50， 把 = 3.5代入得， =454； 故答案为：454 【分析】建立平面直角坐标系，再设抛物线的的解析式为 yax2+bx+c，再求出抛物线的解析式，然后将 x=3.5 代入计算即可。 18 【答案】-2；3 【解析】【解答】解：y（x1）2kx22x1k， b2，1k4， 解得 k3， 故答案为：-2；3 【分析】利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式即可。 19 【答案】 【解析】【解答】 因点 A(1， m)， (2，)在函数的图象上， 则有 = 2 12 3 = 1， = 2 22 3 = 5 所以 mn 【分析】先求出 = 2 12 3 = 1，再求出 = 2 22 3
16、= 5，最后比较大小即可。 20 【答案】5 【解析】【解答】解：设每千克的售价是 y 元，月份为 x，则可设 = + 把（3，8） ， （6，6）代入得，3 + = 86 + = 6 解得， = 23 = 10 = 23 + 10 设每千克成本是 z 元，根据图象可设 = ( 6)2+ 1 把（3，4）代入 = ( 6)2+ 1，得(3 6)2+ 1 = 4 =13 =132 4 + 13 设利润为 w，则有： = = 23 + 10 (132 4 + 13) = 13( 5)2+163 13 0， 2 2 0，抛物线开口向上， 当 = 2时，函数值在2 2 + 2上取得最小值1 即 4 +
17、 2 + 3 = 1 联立，解得 = 1， = 4 抛物线的表达式为 = 2 4 + 3，即 = ( 2)2 1 0， 当2 2时，y 随 x 的增大而减小，当 = 2 时取得最大值， 当2 2 + 2时，y 随 x 的增大而增大，当 = 2 + 2时取得最大值， 对称轴为 = 2， = 2 与 = 2 + 时的函数值相等 2 2 + 2 + 2， 当 = 2 + 2时的函数值大于当 = 2 + 时的函数值，即 = 2 时的函数值 当 = 2 + 2时，函数值在2 2 + 2上取得最大值 3 代入有42 1 = 3，舍去负解，得 = 1 （3）存在， = 1 【解析】【解答】解： （3）解：存
18、在， = 1 当 2 时，y 的取值范围是3 3 3 + 5，y 无法取到最大值与最小值， 关于 x 的取值范围一定不包含对称轴， 当 2时， 2 在对称轴的左侧， 二次函数开口向上， = 2时，y 有最大值， = 时，y 有最小值， 由题意可知：( 2)2 4( 2) + 3 = 3 + 52 4 + 3 = 3 3，解得： = 1， 故 = 1， 当 2 2时， 2 在对称轴的右侧， 二次函数开口向上， = 2时，y 有最小值， = 时，y 有最大值， 由题意可知：( 2)2 4( 2) + 3 = 3 32 4 + 3 = 3 + 5，此时 n 无解， 故不符合题意， = 1 【分析】
19、（1）抛物线 = 2+ + 3过点（0，3） ， （4，3） ，即可得出该抛物线的对称轴； （2）根据抛物线 = 2+ + 3对称轴为直线 = 2，得出抛物线开口向上，当 = 2时，函数值在2 2 + 2上取得最小值1当2 2时，y 随 x 的增大而减小，当 = 2 时取得最大值，当2 2 + 2时，y 随 x 的增大而增大，当 = 2 + 2时取得最大值，当 = 2 + 2时的函数值大于当 = 2 + 时的函数值，即 = 2 时的函数值当 = 2 + 2时，函数值在2 2 + 2上取得最大值 3； （3）存在，当 2时， 2 在对称轴的左侧，当 2 2时， 2 在对称轴的右侧，由此得出结论。
20、 22 【答案】（1）解： = 2 2 + 2 1 = ( )2 1 所以抛物线的顶点坐标为：(，1) （2）解： = ( )2 1， 抛物线的对称轴为：直线 = ， 1= 2，2= + 2， 2 + 2， 而 ( 2) = 2 = + 2 ， (1，1)，(2，2)关于直线 = 对称， 1= 2. （3）解： 32 【解析】【解答】(3)解：当抛物线的对称轴 = 1时，如图， 始终在的上方，满足1 2， 所以 1， 当1 4时，由抛物线的对称性可得关于 = 的对称点的坐标为： (2 4，2)， 当2 4 1时，满足1 2， 此时1 32， 当 4时，同理可得2 1， 不符合题意，舍去， 综上
21、：对于1 1 4，2= 4，都有1 2，m 的取值范围为： 32. 【分析】 （1）将二次函数解析式化为顶点事求解即可； （2）分别将1= 2，2= + 2，代入解析式求解即可； （3）求出关于对称轴对称点，根据抛物线开口向上及1 2求解即可。 23 【答案】（1）解： = 2+ 2 3 = ( + 1)2 4， 二次函数的图象的对称轴为直线 = 1和顶点坐标为(1， 4) （2）解：令 = 0，有2+ 2 3 = 0， 解得：1= 3，2= 1， 该二次函数的图象与 x 轴交点为(3，0)，(1，0) 【解析】【分析】 （1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式 = ( + 1)2 4，再
22、求解即可； （2）将 y=0 代入 = 2+ 2 3可得2+ 2 3 = 0，再求出 x 的值即可。 24 【答案】（1）解：当 m-3 时 把点（1，-3）代入 yx2bx，得 b-4， 二次函数表达式为 yx2 -4x（x-2）2 -4 所以顶点坐标为（2，-4） 5 （2）解：将点（1，m） ， （3，n）代入 yx2bx，可得 m1b ，n93b 当 mn0 时，有两种情况： 若 0， 0，9 + 3 0. 此时不等式组无解 若 0. 把 m1b ，n93b 代入可得1 + 0.解得-3b-1 所以-3b-1 【解析】【解答】解： （1）根据题意得抛物线 yx2 -4x 开口向上，对称
23、轴为直线 x=2， y2y1， i)当点（-1，y1） ， （a，y2）在抛物线对称轴左侧时，有 5； 所以 a 的取值范围是：a-1 或 a5 故答案为：a-1 或 a5 【分析】 （1）把点（1，-3）代入 yx2bx 中求出 b 值，即得 yx2 -4x，再化为顶点式即可求解； 分两种情况：i)当点（-1，y1） ， （a，y2）在抛物线对称轴左侧；ii)当点（-1，y1） ， （a，y2）在抛物线对称轴两侧时，据此分别求解即可； （2） 将点（1，m） ， （3，n）代入 yx2bx，可得 m1b ，n93b ，当 mn0 时，有两种情况：若 0， 0.若 0. ，据此分别建立不等式组
24、并求解即可. 25 【答案】（1）解：抛物线解析式为 = 2+ 4 + 3 = ( + 2)2 1， 抛物线对称轴为直线 = 2，顶点坐标为（-2，-1） ； （2）解：列表如下： -4 -3 -2 -1 0 = 2+ 4 + 3 3 0 -1 0 3 函数图象如下所示： （3） 0 【解析】【解答】解： （3） 由函数图象可知，当1 2时， 0 【分析】 （1）根据抛物线解析式即可得出答案； （2）根据列表即可画出函数图象； （3）由函数图象可知，当16.70， 该女生在此项考试中是得满分 【解析】【分析】（1） 设 = ( 3)2+ 3， 再将点 （0，53） 代入 = ( 3)2+ 3可
25、得53= (0 3)2+ 3， 求出 a 的值，即可得到二次函数的解析式； （2）将 y=0 代入解析式 = 4272+89 +53可得4272+89 +53= 0，再求出 x 的值即可。 27 【答案】（1）(0，-3) （2）解： = 2= 2= 1； (2， 3) （3）解：当抛物线过点 P（4，0）时， =38， (83，0) 此时，抛物线与线段 PQ 有两个公共点 当抛物线过点(1，0) 时，a=1， 此时，抛物线与线段 PQ 有两个公共点 抛物线与线段 PQ 恰有两个公共点， 38 1 当抛物线开口向下时， 3 综上所述，当38 1或 3时，抛物线与线段 PQ 恰有两个公共点 【解
26、析】【解答】解： （1）由题意抛物线 = 2 2 3( 0)与 y 轴交于点 A ，将 x=0 代入求出坐标为(0， 3)； 【分析】 （1）根据抛物线 = 2 2 3( 0)与 y 轴交于点 A 即可直接写出点 A 的坐标； （2）点 A、B 关于对称轴对称，即可求点 B 的坐标； （3）根据点(4，0)，(1，0)，若抛物线与线段 PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，即可求 a 的取值范围。 28 【答案】（1）解：点、在二次函数的图象上， 1 + + = 0 = 3， 解得 = 2 = 3， 二次函数的解析式为： = 2+ 2 3， = ( + 1）2 4 顶点的坐标为（ 1， 4）；
27、（2）解： + 1时，的最小值为4， 1 + 1，即2 1， 2 32时，最大值= 2+ 2 3， 由2+2 3 = 2，解得： = 3（舍去） ， = 3， 当32 1时，最大值= ( + 1)2+2( +1) 3， 由( + 1)2+ 2( + 1) 3 = 2， 解得： = 0（舍去） ， = 2（舍去） ， 综上：的值为3 【解析】【分析】 （1）将点 A、C 的坐标代入 y=x2+bx+c 求出 b、c 的值，再利用配方法将一般式化为顶点式可得点 P 的坐标； （2） 分两种情况： 2 32时，最大值= 2+ 2 3， 当32 1时，最大值= ( +1)2+ 2( + 1) 3，再分
28、别求解即可。 29 【答案】（1）解：四边形 ABCD 是矩形， AB=CD，AD=BC， AB=x m， BC=(40-2x)m， 花园的面积为：y=ABBC=x(40-2x)=-2x2+40 x， 40-2x25，x+x40， x7.5，x20， 7.5x20， y 与 x 之间的函数关系式为：y=-2x2+40 x（7.5x20） ； （2）解： = 2( 10)2+ 200，(7.5 20) 当 = 10时，max= 200 答：当 x 为 10m 时，小花园的面积最大，最大面积是 200m2 【解析】【分析】 （1）根据 AB=x m，BC=(40-2x)m，再利用 y=ABBC=x
29、(40-2x)=-2x2+40 x 即可得到答案； （2） 利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式 = 2( 10)2+ 200， 再利用抛物线的性质求解即可。 30 【答案】（1） （0，1） （2）解：由题意可知抛物线 =142的对称轴是 y 轴， 经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于 y 轴， 轴 所在的直线与 x 轴的交点坐标为(4，0)， A 点的横坐标为 4，纵坐标为 =14 42= 4， (4，4)， 经抛物线反射后所得的光线平行于 y 轴， 轴 画出沿射线方向射出的光线的反射光线，如下图所示： ； （-1，0） 【解析】【解答】 （1）解
30、：根据题意得 =142， =14， 14= 1， (0，1)， 故答案为： （0，1） ； （2）设直线的解析式为 = + ( 0)，把(4，4)、(0，1)代入， 得4 + = 4 = 1， 解得： =34 = 1 直线的解析式为 =34 + 1， 由题意可知，直线与抛物线交于 A、B 两点， 把 =142代入 =34 + 1 整理得2 3 4 = 0， 解得：1= 1，2= 4， 点 B 在 y 轴的左侧， B 点的横坐标为1， 轴， 所在直线与 x 轴的交点坐标为(1，0)， 故答案为：(1，0) 【分析】 （1）根据题意先求出14= 1，再求点的坐标即可； （2）先求出 轴 ，再求出 轴 ，最后求解即可； 利用待定系数法求出直线的解析式为 =34 + 1，再求出 B 点的横坐标为1，最后求点的坐标即可