1、第3章勾股定理一、单选题1如图，已知中，F是高和的交点，则线段的长度为（）AB2CD12如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（）A4和3之间B3和4之间C5和4之间D4和5之间3（2022江苏南通八年级期末）如图，在33的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是ABC的高，则BD的长为（）ABCD4（2022江苏常州八年级期末）在下列各数中，不是勾股数的是（）A5，12，13B8， 12， 15C8， 15，17D9，40，415（2022江苏南京八年级期末）A、B、C表示三个村庄
2、，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）AAB中点BBC中点CAC中点DC的平分线与AB的交点6（2022江苏苏州八年级期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A1，1，1B2，3，4C1，2，3D5，12，137（2022江苏镇江八年级期末）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是ABCD8（2022江苏南通八年级期末）九章算术中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短横放，竿比门宽长出4
3、尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（）ABCD9（2022江苏扬州八年级期末）在中，若，则（）ABCD不能确定10（2022江苏连云港八年级期末）ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断ABC是直角三角形的个数有（）A=B-C；a2=(b+c)(b-c)；A：B：C=3：4：5 ；a：b：c=5：12：13A1个B2个C3个D4个二、填空题11（2022江苏泰州八年级期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离
4、感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _米12（2022江苏镇江八年级期末）直角三角形的两直角边分别为6和8，则斜边是_13如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，则_14（2022江苏淮安八年级期末）已知三角形三边长分别为6，8，10，则此三角形的面积为_ 15（2022江苏南通八年级期末）九章算术中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽问索长几何译文：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时而绳
5、索用尽设绳索长为尺，则根据题意可列方程为_16（2022江苏常州八年级期末）九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，则绳索长是_17（2022江苏南京八年级期末）将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为，则的取值范围是_三、解答题18（2022江苏扬州八年级期末）如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺
6、，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高19（2022江苏连云港八年级期末）（1）【问题情境】八上伴你学第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（）放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、分别在边、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在中，点、分别是边、上的动点，且以为腰向右作等腰，使得，连接试判断线段、之间的数
7、量关系，并说明理由；如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值20如图，已知中，点是边上一点，点是线段上一动点（不与、重合），在直线左侧作等腰，满足，连接、(1)若点是线段的中点，则 ，的面积是 ；(2)在点的运动过程中，的面积是否变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由；(3)点随着点的运动而运动，请直接写出线段的取值范围 21（2022江苏南京八年级期末）如图，是四边形ABCD的一个外角，点F在CD的延长线上，垂足为G（1）求证：DC平分；（2）如图，若，求的度数；直接写出四边形ABCF的面积22（2022江苏扬州八年级期末）如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，A
8、BC的顶点都在格点上（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断ABC是什么三角形，并说明理由23（2022江苏泰州八年级期末）如图，已知等腰ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm(1)判断BCD的形状，并说明理由；(2)求ABC的周长24图，在ABC中，ADBC，垂足为D，AD4，BD2，CD8(1)求证：BAC90；(2)用无刻度的直尺和圆规在AC边上求作点P（保留作图痕迹），使得PDPC，求DP的值25（2022江苏淮安八年级期末）如图，某人从点A划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B有45m，已知他在水中实际划了75m，求该河
9、流的宽度AB26（2022江苏苏州八年级期末）滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱，垂直于地面，滑道的长度与点到点的距离相等，滑梯高，且，求滑道的长度27（2022江苏淮安八年级期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面即AC=9米），升起云梯到火灾窗口B处，已知云梯长AB=15米，云梯底部距地面AE=3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面BD有多高？参考答案：1D【解析】先证明BDFADC，得到BF=AC=，再根据勾股定理即可求解解：和是ABC的高线，ADB=ADC=BEC=90，DBF+C=90，CAD+C=90，DBF=CAD，BAD=45，B
10、D=AD，BDFADC，BF=AC=，在RtBDF中，DF=故选：D本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明BDFADC是解题关键2A【解析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解由点P坐标为(2，3)，可知OP=,又因为OA=OP,所以A的横坐标为-，介于4和3之间，故选A3D【解析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可解：由勾股定理得：AC，SABC33，BD，故选：D本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键4B【解析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可解：A、52+12
11、2=132，是勾股数，此选项不符合题意；B、82+122152，不是勾股数，此选项符合题意；C、82+152=172，是勾股数，此选项不符合题意；D、92+402=412，是勾股数，此选项不符合题意；故选：B本题考查了勾股数，注意：三个数必须是正整数；一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；记住常用的勾股数再做题可以提高速度5A【解析】根据A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等，可得点P是 三边垂直平分线的交点，再由勾股定理逆定理，即可求解解：A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等， 所以点P是 三边垂直平分线的交点，因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，
12、所以 ，所以 是以AB为斜边的直角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，故答案为：A本题主要考查了线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理是解题的关键6D【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可解：A、121212，不能构成直角三角形，不符合题意；B、223242，不能构成直角三角形，不符合题意；C、123，不能构成三角形，不符合题意；D、52122132，能构成直角三角形，符合题意故选：D本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形就是直角三角形7D【解析】根据勾
13、股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可A、52+4262，此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；B、12+2232，此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；C、22+3242，此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；D、12+（）2=（）2，此组数据能构成直角三角形，故本选项正确故选：D本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形8B【解析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长解：根据勾股定理可得：x2=（x-4）2+（x-2）2，故选
14、：B本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般9B【解析】根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断解：，为直角三角形，故选：B本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据三角形的三边满足勾股定理，得出三角形是直角三角形10C【解析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可解：A=B-C，可得：B=90，是直角三角形；a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；A：B：C=3：4：5，可得：C=75，不是直角三角形；a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角
15、形；故选：C此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算111.6【解析】过点D作DEAB于E，则CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE=0.9（米），则BE=AB-AE=1.6（米），即可得出答案解：过点D作DEAB于E，如图所示：则CD=BE，DE=BC=1.2米=米，在RtADE中，AD=1.5米=米，由勾股定理得：AE= =0.9（米），BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米），CD=BE=1.6米，故答案为：1.6本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关
16、键1210【解析】利用勾股定理即可得解：由勾股定理得：这个直角三角形的斜边是，故答案为：10本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键1345#45度【解析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，证明AQB=90，由勾股定理计算PQ=QB，进而得到QPB为等腰直角三角形，PAB+PBA=QPF+BPF=QPB=45即可求解解：取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：AE=PF，PE=QF，AEP=PFQ=90，APEPQF(SAS),PAB=QPF，PFBE，PBA=BPF，PAB+PBA=QPF+BPF=QPB，又QA=2+4=20，QB=2+1=5，AB=5=25，QA+QB
17、=20+5=25=AB，QAB为直角三角形，AQB=90，PQ=2+1=5=QB，PQB为等腰直角三角形，QPB=QBP=(180-90)2=45，PAB+PBA=QPF+BPF=QPB=45，故答案为：45本题考查了勾股定理及逆定理、三角形全等的判定等，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本类题的关键1424【解析】根据三角形三边长，利用勾股定理逆定理求证此三角形是直角三角形，然后即可求得面积62+82=102，此三角形为直角三角形，此三角形的面积为：故答案为：24本题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理证明此三角形是直角三角形15【解析】根据题意和勾股定理列出方程即可
18、解：绳索长为x尺，且绳索比竖着的木柱长3尺，木柱长尺牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时而绳索用尽木柱的长度和退行的距离构成直角三角形的两条直角边，绳索为直角三角形的斜边根据勾股定理可列方程：，即故答案为：本题考查勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键16尺【解析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案设绳索长为x尺，根据题意有，解得，故答案为：尺本题主要考查勾股定理，正确的解方程是关键17【解析】由题意得，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，再根据勾股定理求出杯子斜边长度，即可求出的取值范围将一根长为的筷子置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷
19、子露在杯子外面的长为h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度由勾股定理得，杯子斜边长度故答案为：本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键18门高7.5尺；竹竿高8.5尺【解析】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高设门高为x尺，则竹竿长为（x+1）尺，根据勾股定理可得：，解得，门高7.5尺，竹竿高尺本题考查的是勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解题关键19【小问1】，说明见解析【小问2】，；说理见解析【小问3】，理由见解析；的最小值为【解析】（1）【问题情境】证明，即可求解（2）【变
20、式探究】利用等量代换即可求解（3）【拓展应用】等量代换即可求解；在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，先证明，得到EMCM，在求出，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EAEG的值最小，最小值为AN，在中求出AN即可（1）【问题情境】，理由如下：，；（2）【变式探究】，；理由如下：，；（3）【拓展应用】，；在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，点在射线上运动，点与的关于对称，当、三点共线时，的值最小，最小值为，由对称性可知，点是的中点，在中，的最小值为本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键20(1)60，(2)不变，(3)
21、【解析】（1）过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，以及已知条件，分别求得，证明，进而求得的面积，证明即可求得的度数；（2）证明，从而证明，进而根据得出结论；（3）根据，求得的最大值与最小值即可得出结论（1）解，如图，过点作，中，是的中点，中中，在与中，；故答案为：；的面积是；（2）的面积不变， 在射线取一点，使得，连接则，又，（SAS）， 的面积不变，（3）如图，点是线段上一动点（不与、重合），与或点重合时，取得最大值，由（1）可知最大值为2当与垂直时，取得最小值，由（1）可知最小值为1故答案为：本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形
22、的性质与判定，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键21（1）见解析；见解析；（2）90；【解析】（1）根据等边对等角性质和平行线的性质证得即可；过点F作，垂足为H，根据全等三角形的判定证明（AAS）和，再根据全等三角形的性质即可证得结论；（2）AD，BF的交点记为O由（1）结论可求得AD，利用勾股定理在逆定理证得ABD=90，根据三角形的内角和定了可推导出，再根据平角定义和四边形的内角和为360求得AFD=90；过B作BMAD于M，根据三角形等面积法可求得BM，然后根据勾股定理求得FG，进而由求解即可（1）证明：，DC平分；证明：如图，过点F作，垂足为H，又，（AAS），（LH），=；
23、（2）如图，AD，BF的交点记为O由（1）知，,，,在中，又，又，又，；过B作BMAD于M，ABD=90，AB=4，BD=BC=3，AD=5， ，ADBC，BCD边BC上的高为，AFD=90，FGAE，DG=1，AD=4+1=5，解得：，FG=2，四边形ABCF的面积为=本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形的内角和定理、四边形的内角和、三角形的面积公式、等角的余角相等、解方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，难度较难，解答的关键是熟练掌握相关知识的联系和运用22（1），；（2）是直角三角形，理由见解析【解析】（1）根据勾股定
24、理即可分别求出AB，BC，AC的长；（2）根据勾股定理逆定理即可判断.解：（1）根据勾股定理可知：，；（2）是直角三角形，理由如下：，是直角三角形此题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握用勾股定理解直角三角形和用勾股定理逆定理判定直角三角形是解决此题的关键.23(1)BDC为直角三角形，理由见解析；(2)ABC的周长为=cm【解析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以BDC为直角三角形；（2）由此可求出AC的长，周长即可求出（1）解：BDC为直角三角形，理由如下，BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，而102=62+82，BC2=BD2
25、+CD2BDC为直角三角形；（2）解：设AB=xcm，等腰ABC，AB=AC=x，则AD=x-6，AB2=AD2+BD2，即x2=（x-6）2+82，x=，ABC的周长=2AB+BC=（cm）本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答24(1)见解析(2)【解析】（1）根据勾股定理可得，再由勾股定理逆定理，即可求解；（2）作线段CD的垂直平分线，可得到PDPC，然后过点P作PFAD于点F，根据，可得PE=2，再由勾股定理，即可求解（1）解：，BC=BD+CD=10，；（2）：如图，点P即为所求，如图，过点P作PFAD于点F，根据作法得：PE垂直平分CD
26、，即，解得：PE=2，本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质是解题的关键2560m【解析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度解：根据图中数据，由勾股定理可得：AB（m）该河流的宽度为60 m此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图262.5m【解析】设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，在RtABC中利用勾股定理列出方程，通过解方程即可求得答案解：设AC=x m，则AE=AC=x m，AB=AE-BE=（x-0.5）m，由题意得：ABC=90，在RtABC中，AB2+BC2=AC2，即（x-0.5）2+1.52=x2，解得x=2.5，AC=2.5m本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大27米【解析】根据题意可得四边形是矩形，勾股定理求得，然后即可求得的长解：在中，AC=9米，AB=15米，米根据题意可得四边形是矩形，米米答：发生火灾的住户窗口距离地面BD有米高本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键25