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本文(第5章《二次函数》专题练习(含答案解析)2022-2023学年江苏省无锡市九年级数学下册)为本站会员(热***)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

第5章《二次函数》专题练习(含答案解析)2022-2023学年江苏省无锡市九年级数学下册

1、 学科网(北京)股份有限公司 第第 5 章章二次函数二次函数 一选择题(共一选择题(共 5 小题)小题) 1如图所示,已知点 F 的坐标为(3,0) ,点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴、y 轴的交点,点 P 是此图象上的一动点设点 P 的横坐标为 x,PF 的长为 d,且 d 与 x 之间满足关系:d535(0 x5) ,则下列结论:AF2;SPOF的最大值是 6; =165时,OP=1255;设点 P 的纵坐标为 y,则 y 是 x的二次函数,其中正确的有( ) A B C D 2某数学兴趣小组在研究二次函数 yx2+ax+b 的图象时,得出如下四个命题: 甲:图象与 x 轴的一个交点

2、为(3,0) ; 乙:图象与 x 轴的一个交点为(1,0) ; 丙:图象的对称轴为过点(1,0) ,且平行于 y 轴的直线; 丁:图象与 x 轴的交点在原点两侧 若这四个命题中只有一个假命题,则该命题是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 3 (2021 春江阴市期中)抛物线 y(x2)25 的顶点坐标是( ) A (2,5) B (2,5) C (2,5) D (2,5) 4 (2020 春江阴市期中)如图是抛物线 yax2+bx+c(a0)的部分图象,其顶点坐标为(1,m) ,且与 x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论: abc0;ab+c0;b24a(cm) ;一元二次方程

3、 ax2+bx+cm+1 有两个不相等的实数根,其中正确结论的个数是( ) 学科网(北京)股份有限公司 A1 B2 C3 D4 5 (2021 春梁溪区期中)抛物线 y(x+1)22 的顶点坐标为( ) A (1,2) B (1,2) C (1,2) D (1,2) 二填空题(共二填空题(共 4 小题)小题) 6如图,四边形 ABCD(不考虑宽度)是某一山羊养殖基地的护栏俯视图,已知BC120” ,ABBC3 千米,CD6 千米,AD 间的护栏的长度为 ;现在计划以 AD 为一边种植三角的草地ADE,为羊群提供鲜草,E120,则所种植草坪的最大面积为 7 (2022 春锡山区期中)在平面直角坐

4、标系中,抛物线 yx22x+2 的顶点坐标为 ,把此抛物线向左平移 1 个单位长度,得到的抛物线的表达式为 8 (2021 秋梁溪区校级期中)如图,将边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把ABC 沿着 AD方向平移得到ABC,若两个三角形重叠部分的面积为 3,则它移动的距离 AA等于 ;移动的距离 AA等于 时,两个三角形重叠部分面积最大 9(2021春新吴区期中) 已知二次函数yx2+2x3与坐标轴交于A、 B、 C三点, 则ABC的面积为 三解答题(共三解答题(共 11 小题)小题) 10 (2022 秋新吴区期中)戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一,某商家对一款

5、成本价为每盒 50元的医用口罩进行销售,如果按每盒 70 元销售,每天可卖出 20 盒通过市场调查发现,每盒口罩售价 学科网(北京)股份有限公司 每降低 1 元,则日销售量增加 2 盒 (1)若每盒售价降低 x 元,则日销量可表示为 盒,每盒口罩的利润为 元 (2)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款口罩,每盒售价应定为多少元? (3)当每盒售价定为多少元时,商家可以获得最大日利润?并求出最大日利润 11已知,抛物线 yax22ax+c 与 x 轴交于 A,B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3) ,点 P 是抛物线上一点 (1)求抛物线的解析式 (2)连接 AC,BC,PC,若PC

6、BACO,求直线 PC 的解析式; (3)如图 2,当点 P 位于第二象限时,过 P 点作直线 AP、BP 分别交 y 轴于 E、F 两点,请问的值是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由 12 (2022 春锡山区期中)某商店出售一款电动玩具,进价为每件 30 元,销售一段时间后发现,该玩具的日销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)满足一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如表: 销售单价 x(元/件) 50 55 70 日销售量 y(件) 70 65 50 (1)请直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2)求该商店销售这款玩具获得的最大日利润; (3)销售一段时间以

7、后,由于原材料成本上涨,该款玩具的进价每件增加了 10 元,但物价部门为了规范市场经营秩序,规定销售单价不能超过 a 元/件,在日销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)保持(1)中函数关系不变的情况下,该玩具的日销售最大利润是 1500 元,求 a 的值 13 (2022 春锡山区期中)如图,抛物线 y=34x2+bx+c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,点 A,B 的坐标分别为(1,0) , (4,0) ()求抛物线的解析式; ()点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点,求CPB 的面积最大时点 P 的坐标; ( ) 若M是 抛 物 线 上 一 点 , 且 MCB AB

8、C , 请 直 接 写 出 点M的 坐 学科网(北京)股份有限公司 标 14一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件 30 元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价 x(元/件) (x 为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据: x(元/件) 40 50 60 y(件) 10000 9500 9000 (1)求 y 与 x 的函数关系式(不求自变量的取值范围) ; (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于 150 元/件若某一周该商品的销售量不少于6000 件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元? (3) 抗疫期间,

9、该商场这种商品售价不大于 150 元/件时, 每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元 (10m60) , 捐赠后发现, 该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大 请求出 m 的取值范围 15 (2021 秋宜兴市期中)某商场将每件进价为 80 元的 A 商品按每件 100 元出售,一天可售出 128 件经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低 2 元,其日销量可增加 16 件设该商品每件降价 x 元,商场一天可通过 A 商品获利润 y 元 (1)求 y 与 x 之间的函数解析式(要展开化简,不必写出自变量 x 的取值范围) (2)A 商品销售单价为多少时,该商场每天通过 A 商品所

10、获的利润最大? 16 (2021 秋梁溪区校级期中)2022 年北京冬奥会的举办时间为 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日地址是北京和河北张家口市,这是中国历史上首次举办冬奥会,东林中学教育集团的学生会为了迎接这一盛事,设计并生产一种“东林迎冬奥”的纪念徽章,并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30 枚,每枚盈利 50 元为了扩大销售,增加盈利,现采取了降价措施,在每枚盈利不少于 32 元的前提下,销售一段时间后,发现销售单价每降低 1 元,平均每天可多售出 2 枚,若每枚商品降价 a(a 为正数)元 (1)用含 a 的代数式表示平均每天销售的数量,并写出 a 的取值范

11、围; (2)若该网店每天销售利润为 2100 元时,求 a 的值 17 (2021 春新吴区期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx4a 经过 A(1,0) ,C(0,4)两点,与 x 轴交于另一点 B,点 D 为该抛物线的顶点 (1)顶点 D 的坐标为 ; (2)将该抛物线向下平移154单位长度,再向左平移 m(m0)个单位长度,得到新抛物线若新抛物线的顶点 D在ABC 内,求 m 的取值范围; 学科网(北京)股份有限公司 (3)若点 P、点 Q(n,n+1)为该抛物线上两点,连接 BQ,且 tanQBP2,求点 P 的坐标 18 (2021 春新吴区期中)疫情期间,学校按照防

12、疫要求,学生在进校时必须排队接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况,发现学生到校的累计人数 y(单位:人)随时间 x(单位:分钟)的变化情况如图所示,当 0 x10 时,y 可看作是 x 的二次函数,其图象经过原点,且顶点坐标为(10,500) ;当 10 x12 时,累计人数保持不变 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)如果学生一进校就开始测量体温,校门口有 2 个体温检测棚,每个检测点每分钟可检测 20 人校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人?全部学生都完成体温检测需要多少时间? (3)在(2)的条件下,如果要在 8 分钟内让到校的全部学生完成体温检测,从一开始就应该

13、至少增加几个检测点? 19 (2021 秋新吴区期中)某服装店以每件 30 元的价格购进一批 T 恤,如果以每件 40 元出售,那么一个月内能售出 300 件,根据以往销售经验,销售单价每提高 1 元,销售量就会减少 10 件,设 T 恤的销售单价提高 x 元 (1)服装店希望一个月内销售该种 T 恤能获得利润 3360 元,并且尽可能减少库存,问 T 恤的销售单价应提高多少元? (2) 当销售单价定为多少元时, 该服装店一个月内销售这种 T 恤获得的利润最大?最大利润是多少元? 20 (2021 春江阴市期中)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2+bx+c 与 y 轴交于点 C

14、,与 x 轴交于 A、B 两点,直线 yx+3 恰好经过 B、C 两点 学科网(北京)股份有限公司 (1)求二次函数的表达式; (2)点 D 是抛物线上一动点,连接 DB、DC若BCD 的面积为 6,求点 D 的坐标; (3)设直线 AE 与直线 BC 交于点 E,连 AC,若AEB 与ACB 中一个是另一个的 2 倍,请直接写出点E 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 5 小题)小题) 1如图所示,已知点 F 的坐标为(3,0) ,点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴、y 轴的交点,点 P 是此图象上的一动点设点 P 的横坐标为 x,PF 的长为 d,且

15、 d 与 x 之间满足关系:d535(0 x5) ,则下列结论:AF2;SPOF的最大值是 6; =165时,OP=1255;设点 P 的纵坐标为 y,则 y 是 x的二次函数,其中正确的有( ) A B C D 【解答】解:当 P 和 A 重合时,PFAF, x3535x, x5, OA5,AFOAOF532,故正确; OF3 是定值, 学科网(北京)股份有限公司 当 P 和 B 重合时POF 的面积最大, 把 x0 代入 d535得 d5,则此时,BF5, OB= 2 2=4, SPOF的最大值=12OFOB=12346,故正确; 当 d=165时,则165=535x,解得 x3, F(3

16、,0) , PFOA, OP= 2+ 2=(165)2+ 32=4815,故错误; 过点 P 作 PCx 轴于点 C, 则由勾股定理得: PF2PC2+FC2, 则 d2(3x)2+y2, d535, (535)2(3x)2+y2 整理得,y2= 1625x2+16 y2是 x 的二次函数,故错误 故选:A 2某数学兴趣小组在研究二次函数 yx2+ax+b 的图象时,得出如下四个命题: 甲:图象与 x 轴的一个交点为(3,0) ; 乙:图象与 x 轴的一个交点为(1,0) ; 丙:图象的对称轴为过点(1,0) ,且平行于 y 轴的直线; 丁:图象与 x 轴的交点在原点两侧 若这四个命题中只有一

17、个假命题,则该命题是( ) A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解:对于 yx2+ax+b,二次项系数为 10, 抛物线开口向上, 学科网(北京)股份有限公司 当图象的对称轴为过点(1,0) ,且平行于 y 轴的直线,图象与 x 轴的一个交点为(3,0)时, 图象与 x 轴的一个交点为(1,0) ,图象与 x 轴的交点在原点两侧, 乙是假命题, 故选:B 3 (2021 春江阴市期中)抛物线 y(x2)25 的顶点坐标是( ) A (2,5) B (2,5) C (2,5) D (2,5) 【解答】解:抛物线 y(x2)25, 该抛物线的顶点坐标为(2,5) , 故选:B 4 (2020 春江阴市

18、期中)如图是抛物线 yax2+bx+c(a0)的部分图象,其顶点坐标为(1,m) ,且与 x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论: abc0;ab+c0;b24a(cm) ;一元二次方程 ax2+bx+cm+1 有两个不相等的实数根,其中正确结论的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【解答】解:开口向上, a0, 对称轴在 y 轴右侧, a、b 异号,即 ab0, c0 abc0, 故正确; 根据对称性可知,抛物线与 x 轴的另一个交点应该在1 和2 之间, 所以当 x1 时,y0, 则 ab+c0, 故不正确; 顶点坐标为(1,m) , 学科网(北京)股份有限公司 424

19、=m, 4acb24am, b24a(cm) , 故正确; 抛物线与直线 ym 有一个公共点, 抛物线与直线 ym+1 有两个公共点, 一元二次方程 ax2+bx+cm+1 有两个不相等的实数根; 故正确; 所以正确的个数有 3 个, 故选:C 5 (2021 春梁溪区期中)抛物线 y(x+1)22 的顶点坐标为( ) A (1,2) B (1,2) C (1,2) D (1,2) 【解答】解:抛物线 y(x+1)22, 抛物线 y(x+1)22 的顶点坐标为: (1,2) , 故选:C 二填空题(共二填空题(共 4 小题)小题) 6如图,四边形 ABCD(不考虑宽度)是某一山羊养殖基地的护栏

20、俯视图,已知BC120” ,ABBC3 千米,CD6 千米,AD 间的护栏的长度为 37千米 ;现在计划以 AD 为一边种植三角的草地ADE,为羊群提供鲜草,E120,则所种植草坪的最大面积为 2134平方千米 【解答】解:连接 AC,过 B 作 BHAC 于点 H,过 A 作 AGDE 交 DE 延长线于点 G,如图: 学科网(北京)股份有限公司 ABBC,ABC120, BACBCA30, ABBC3 千米, BH=32千米,CHAH=332千米, AC33千米, BCD120,BCA30, ACD90, AD= 2+ 2=(33)2+ 62=37(千米) , AED120, AEG60,

21、 在 RtAGE 中, EG=12AE,AG= 3EG=32AE, 在 RtADG 中,AG2+DG2AD2, (32AE)2+(DE+12AE)2(37)2, AE2+DE2+DEAE63, AE2+DE22DEAE, 2DEAE+DEAE63, DEAE21, SADE=12DEAG=12DE32AE=34DEAE, SADE2134, 所种植草坪的最大面积为2134平方千米, 故答案为:37千米,2134平方千米 学科网(北京)股份有限公司 7 (2022 春锡山区期中)在平面直角坐标系中,抛物线 yx22x+2 的顶点坐标为 (1,1) ,把此抛物线向左平移 1 个单位长度,得到的抛物

22、线的表达式为 yx2+1 【解答】解:yx22x+2(x1)2+1, 抛物线 yx22x+2 的顶点坐标为(1,1) , 则将抛物线 yx22x+2 向左平移 1 个单位长度,得到的抛物线的解析式为:y(x1+1)2+1,即 yx2+1 故答案为: (1,1) ,yx2+1 8 (2021 秋梁溪区校级期中)如图,将边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 剪开,再把ABC 沿着 AD方向平移得到ABC, 若两个三角形重叠部分的面积为 3, 则它移动的距离 AA等于 1 或 3 ;移动的距离 AA等于 2 时,两个三角形重叠部分面积最大 【解答】解:设 AAx,AC 与 AB相交于点 E

23、, ACD 是正方形 ABCD 剪开得到的, ACD 是等腰直角三角形, A45, AAE 是等腰直角三角形, AEAAx, ADADAA4x, 两个三角形重叠部分的面积为 3, x(4x)3, 整理得,x24x+30, 解得 x11,x23, 移动的距离 AA等于 1 或 3; 两个三角形重叠部分面积x(4x)(x2)2+4, 当 x2 时,两个三角形重叠部分面积的最大值为 4 故答案为:1 或 3;4 9(2021 春新吴区期中) 已知二次函数 yx2+2x3 与坐标轴交于 A、 B、 C 三点, 则ABC 的面积为 6 学科网(北京)股份有限公司 【解答】解:抛物线 yx2+2x3(x1

24、) (x+3) , 它与坐标轴的三个交点分别是: (1,0) , (3,0) , (0,3) ; 该三角形的面积为12436 故答案是:6 三解答题(共三解答题(共 11 小题)小题) 10 (2022 秋新吴区期中)戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一,某商家对一款成本价为每盒 50元的医用口罩进行销售,如果按每盒 70 元销售,每天可卖出 20 盒通过市场调查发现,每盒口罩售价每降低 1 元,则日销售量增加 2 盒 (1)若每盒售价降低 x 元,则日销量可表示为 (20+2x) 盒,每盒口罩的利润为 (20 x) 元 (2)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款口罩,每盒售价应定为多少

25、元? (3)当每盒售价定为多少元时,商家可以获得最大日利润?并求出最大日利润 【解答】解: (1)由题意可知:每盒口罩售价每降低 1 元,则日销售量增加 2 盒, 降低 x 元,销售量增加 2x 盒, 那么日销售量为(20+2x)盒,每盒口罩利润为(20 x)元, 故答案为: (20+2x) , (20 x) ; (2)设每盒售价降低 x 元,根据题意可知: (20+2x) (20 x)400, 解得:x10(舍去) ,x210, 售价应定为 701060 元, 答:若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款口罩,每盒售价应定为 60 元; (3)设当每盒售价定为 x 元时,商家获得的利润为 W

26、元, 由题意可知:W(20+2x) (20 x) 2x2+20 x+400, a20, 抛物线开口向下, 当 x= 2=5 时,W 有最大值,即 W最大值450 元, 售价应定为 70565 元, 答:当每盒售价定为 65 元时,商家可以获得最大日利润,最大日利润为 450 元 11已知,抛物线 yax22ax+c 与 x 轴交于 A,B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C(0,3) ,点 P 是抛物线上一点 学科网(北京)股份有限公司 (1)求抛物线的解析式 (2)连接 AC,BC,PC,若PCBACO,求直线 PC 的解析式; (3)如图 2,当点 P 位于第二象限时,过 P 点作直线 A

27、P、BP 分别交 y 轴于 E、F 两点,请问的值是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由 【解答】解: (1)将 B(3,0) ,C(0,3)代入 yax22ax+c, 9 6 + = 0 = 3, 解得 = 1 = 3, yx2+2x+3; (2)过点 B 作 MBCB 交于点 M,过点 M 作 MNx 轴交于点 N, A(1,0) ,C(0,3) ,B(3,0) , OA1,OC3,BC32, tanACO=13, PCBACO, tanBCM=13=, BM= 2, OBOC, CBO45, NBM45, MNNB1, M(2,1) , 设直线 CM 的解析式为 ykx+b,

28、 = 32 + = 1, 解得 = 2 = 3, y2x+3, 学科网(北京)股份有限公司 直线 PC 的解析式为 y2x+3; (3)的值是定值13,理由如下: 设 P(t,t2+2t+3) , 设直线 AP 的解析式为 ykx+b, + = 2+ 2 + 3 + = 0, 解得= 3 = 3 , y(3t)x+(3t) , E(0,3t) , CEt, 设直线 BP 的解析式为 ymx+n, + = 2+ 2 + 33 + = 0, 解得 = 1 = 3 + 3, y(t+1)x+3t+3, F(0,3t+3) , CF3t, =13, 的值是定值13 12 (2022 春锡山区期中)某商

29、店出售一款电动玩具,进价为每件 30 元,销售一段时间后发现,该玩具的 学科网(北京)股份有限公司 日销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)满足一次函数关系,其销售单价、日销售量的三组对应数值如表: 销售单价 x(元/件) 50 55 70 日销售量 y(件) 70 65 50 (1)请直接写出 y 与 x 的函数关系式; (2)求该商店销售这款玩具获得的最大日利润; (3)销售一段时间以后,由于原材料成本上涨,该款玩具的进价每件增加了 10 元,但物价部门为了规范市场经营秩序,规定销售单价不能超过 a 元/件,在日销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)保持(1)中函数关系不变的情况下,该

30、玩具的日销售最大利润是 1500 元,求 a 的值 【解答】解:该玩具的日销售量 y(件)与销售单价 x(元/件)满足一次函数关系, 设解析式为 ykx+b, 由表中数据得50 + = 7055 + = 65, 解得: = 1 = 120, y 与 x 的函数关系式为 yx+120; (2)设获得的日利润为 w 元, 由题意得:w(x30)y(x30) (x+120)x2+150 x3600(x75)2+2025, 30 0 + 120 0, 30 x120, 10, 当 x75 时,w 有最大值,最大值为 2025, 该商店销售这款玩具获得的最大日利润为 2025 元; (3)玩具的进价每件

31、增加了 10 元, 进价为:40 元, 设此时的利润为 M 元, My(x40)(x+120) (x40)x2+160 x4800(x80)2+1600, 40 0 + 120 0, 40 x120, 该玩具的日销售最大利润是 1500 元, (x80)2+16001500, 解得:x90 或 x70, 当 x90 时,最大利润可以达到 1600 元,不合题意, a70 学科网(北京)股份有限公司 13 (2022 春锡山区期中)如图,抛物线 y=34x2+bx+c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C,点 A,B 的坐标分别为(1,0) , (4,0) ()求抛物线的解析式; ()

32、点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点,求CPB 的面积最大时点 P 的坐标; ( ) 若M是 抛 物 线 上 一 点 , 且 MCB ABC , 请 直 接 写 出 点M的 坐标 【解答】解()将(1,0) , (4,0)代入 y=34x2+bx+c 得: 34 + + = 012 + 4 + = 0, 解得 = 94 = 3, 抛物线的解析式为 y=34294 3; ()过点 P 作 PDy 轴,交 BC 于 P, 在 y=34294 3中,当 x0 时,y3, C(0,3) , 直线 BC 的函数解析式为 y=34 3, 设 P(m,34294 3) ,则 D(m,34 3) , D

33、P=34 3 34294 3 = 342+ 3, SPCBSPDC+SPDB =12PDOB 学科网(北京)股份有限公司 =12(342+ 3)4 = 322+ 6, 当 m= 62(32)=2 时,SPCB最大, 此时 P(2,92) ; ()当点 M 在直线 BC 下方的抛物线上时,则 CMAB, 点 C 与 M 关于对称轴直线 x=32对称, M(3,3) , 当点 M 在直线 BC 的上方时, 设 CM 交 x 轴于 E, 则 CEBE, 设 OEx,则 BECE4x, 在 RtCOE 中,由勾股定理得,x2+32(4x)2, 解得 x=78, E(78,0) , 直线 CE 的解析式

34、为 y=247x3, 247x3=34294 3, 解得 x1=537,x20(舍) , M(537,112549) , 学科网(北京)股份有限公司 综上: (3,3)或(537,112549) 14一大型商场经营某种品牌商品,该商品的进价为每件 30 元,根据市场调查发现,该商品每周的销售量y(件)与售价 x(元/件) (x 为正整数)之间满足一次函数关系,下表记录的是某三周的有关数据: x(元/件) 40 50 60 y(件) 10000 9500 9000 (1)求 y 与 x 的函数关系式(不求自变量的取值范围) ; (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价,且不高于 150 元/件

35、若某一周该商品的销售量不少于6000 件,求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元? (3) 抗疫期间, 该商场这种商品售价不大于 150 元/件时, 每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元 (10m60) , 捐赠后发现, 该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大 请求出 m 的取值范围 【解答】解: (1)设 y 与 x 的函数关系式为:ykx+b(k0) , 把 x40,y10000 和 x50,y9500 代入得, 40 + = 1000050 + = 9500, 解得, = 50 = 12000, y50 x+12000; (2)根据“在销售过程中要求销售

36、单价不低于成本价,且不高于 150 元/件若某一周该商品的销售量不少于 6000 件, ”得, 30 15050 + 12000 6000, 解得,30 x120, 设利润为 w 元,根据题意得, w(x30)y (x30) (50 x+12000) 50 x2+13500 x360000 50(x135)2+551250, 500, 当 x135 时,w 随 x 的增大而增大, 30 x120,且 x 为正整数, 当 x120 时,w 取最大值为:50(120135)2+551250540000, 答:这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 540000 元,售价为 120 元; (3)根

37、据题意得,w(x30m) (50 x+12000) 50 x2+(13500+50m)x36000012000m, 学科网(北京)股份有限公司 对称轴为直线 x135+0.5m, 500, 当 x135+0.5m 时,w 随 x 的增大而增大, 该商场这种商品售价不大于 150 元/件时,捐赠后发现,该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大 对称轴 x135+0.5m,m 大于等于 10,则对称轴大于等于 149,由于 x 取整数, 实际上 x 是二次函数的离散整数点,x 取 30,31,.149 时利润一直增大, 只需保证 x150 时利润大于 x149 时即可满足要求,所以对称轴要

38、大于 149 就可以了, 135+0.5m149.5,解得 m29, 29m60, 29m60 15 (2021 秋宜兴市期中)某商场将每件进价为 80 元的 A 商品按每件 100 元出售,一天可售出 128 件经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低 2 元,其日销量可增加 16 件设该商品每件降价 x 元,商场一天可通过 A 商品获利润 y 元 (1)求 y 与 x 之间的函数解析式(要展开化简,不必写出自变量 x 的取值范围) (2)A 商品销售单价为多少时,该商场每天通过 A 商品所获的利润最大? 【解答】解: (1)由题意得,商品每件降价 x 元时单价为(100 x)元,销售量为

39、(128+162x)件, 则 y(128+162x) (100 x80)(128+8x) (20 x)8x2+32x+2560, 即 y 与 x 之间的函数解析式是 y8x2+32x+2560; (2)y8x2+32x+25608(x2)2+2592, 当 x2 时,y 取得最大值,此时 y2592, 销售单价为:100298(元) , 答:A 商品销售单价为 98 元时,该商场每天通过 A 商品所获的利润最大 16 (2021 秋梁溪区校级期中)2022 年北京冬奥会的举办时间为 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日地址是北京和河北张家口市,这是中国历史上首次举办冬奥会,东林中学

40、教育集团的学生会为了迎接这一盛事,设计并生产一种“东林迎冬奥”的纪念徽章,并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30 枚,每枚盈利 50 元为了扩大销售,增加盈利,现采取了降价措施,在每枚盈利不少于 32 元的前提下,销售一段时间后,发现销售单价每降低 1 元,平均每天可多售出 2 枚,若每枚商品降价 a(a 为正数)元 (1)用含 a 的代数式表示平均每天销售的数量,并写出 a 的取值范围; (2)若该网店每天销售利润为 2100 元时,求 a 的值 【解答】解: (1)由题意可得,每天销售的数量为(30+2a)枚, 每枚盈利不少于 32 元, a5032,解得 a18, 学科网(北

41、京)股份有限公司 答:平均每天销售的数量为(30+2a)枚,a 的取值范围是 0a18; (2)由题意可得: (50a) (30+2a)2100, 解得 a115,a220, 由(1)知 0a18,故 a20 不符合题意,舍去, a15, 答:该网店每天销售利润为 2100 元时,a 的值是 15 17 (2021 春新吴区期中)如图,在平面直角坐标系中,抛物线 yax2+bx4a 经过 A(1,0) ,C(0,4)两点,与 x 轴交于另一点 B,点 D 为该抛物线的顶点 (1)顶点 D 的坐标为 (32,254) ; (2)将该抛物线向下平移154单位长度,再向左平移 m(m0)个单位长度,

42、得到新抛物线若新抛物线的顶点 D在ABC 内,求 m 的取值范围; (3)若点 P、点 Q(n,n+1)为该抛物线上两点,连接 BQ,且 tanQBP2,求点 P 的坐标 【解答】解: (1)抛物线 yax2+bx4a 经过 A(1,0) ,C(0,4)两点, 4 = 04 = 4,解得 = 1 = 3, yx2+3x+4(x32)2+254, B(4,0) , 点 D 为该抛物线的顶点, D(32,254) 故答案为: (32,254) (2)将抛物线 y(x32)2+254向下平移154单位长度,再向左平移 m(m0)个单位长度,得到新抛物线为 y(x32+m)2+52, 学科网(北京)股

43、份有限公司 D(32m,52) , A(1,0) ,C(0,4) ,B(4,0) , 直线 AC 的解析式为:y4x+4,直线 BC 的解析式为:yx+4, 把 y=52分别代入直线 AC 和 BC 的解析式,可得 m0 和 m=158, 0m158 (3)点 Q(n,n+1)为该抛物线上两点, n2+3n+4n+1,解得 n1 或 n3, 当 n1 时,Q(1,0) ,此时点 Q 和点 A 重合, 取点 E(0,8) ,则 tanABE2,连接 BE 与抛物线交于点 P1, B(4,0) , BE 所在直线的表达式:y2x+8, 联立 = 2 + 8 = 2+ 3 + 4,解得 = 1 =

44、6,或 = 4 = 0(舍) , P1(1,6) ; 同理,取点 F(0,8) ,则 tanABF2,连接 BF 与抛物线交于点 P2, 则 BF 所在直线的表达式:y2x8,则(3,14) ,或(4,0) (舍) P2(3,14) 当 n3 时,Q(3,4) ,过点 Q 作 QMx 轴于点 M,则 QM4,BM1, 学科网(北京)股份有限公司 由勾股定理可得,BQ= 17, 设线段 QM 上存在点 G,使 tanQBG2, 过点 G 作 GHBQ 于点 H, 则 GH:BH2:1,GH:QH1:4, 设 BHm,则 GH2m,QH8m, GH+QHBQ,即 8m+m= 17, m=179,

45、QG=349,GM4349=29, BG 所在直线的解析式:y= 29(x4) , 联立直线和抛物线的表达式可得,29(x4)(x+1) (x4) , 解得 x= 79, P3(79,8681) 符合题意的点 P 的坐标为: (1,6) , (3,14) , (79,8681) 18 (2021 春新吴区期中)疫情期间,学校按照防疫要求,学生在进校时必须排队接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况,发现学生到校的累计人数 y(单位:人)随时间 x(单位:分钟)的变化情况如图所示,当 0 x10 时,y 可看作是 x 的二次函数,其图象经过原点,且顶点坐标为(10,500) ;当 10 x12 时

46、,累计人数保持不变 (1)求 y 与 x 之间的函数表达式; (2)如果学生一进校就开始测量体温,校门口有 2 个体温检测棚,每个检测点每分钟可检测 20 人校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人?全部学生都完成体温检测需要多少时间? (3)在(2)的条件下,如果要在 8 分钟内让到校的全部学生完成体温检测,从一开始就应该至少增加 学科网(北京)股份有限公司 几个检测点? 【解答】解: (1)当 0 x10 时, 顶点坐标为(10,500) , 设 ya(x10)2+500, 将(0,0)代入,得:100a+5000, 解得 a5, y5(x10)2+5005x2+100 x(0 x1

47、0) , 当 10 x12 时, y500(10 x12) , y 与 x 之间的函数表达式为 y= 52+ 100(0 10)500(10 12); (2)设第 x 分钟时的排队等待人数为 w 人,由题意可得 wy40 x, 0 x10 时, w5x2+100 x40 x5x2+60 x5(x6)2+180, 50, 当 x6 时,w 的最大值是 180; 当 10 x12 时,w50040 x, 40, w 随 x 的增大而减小, 20w100, 排队人数最多是 180 人; 要全部学生都完成体温检测,根据题意得: 50040 x0, 解得:x12.5, 要全部学生都完成体温检测需要 12

48、.5 分钟; (3)设从一开始就应该增加 m 个监测点, 由题意得 8 分钟内到达学生人数为:y582+1008480(人) , 学科网(北京)股份有限公司 820(2+m)480, 解得:m1, 从一开始就应该增加 1 个监测点 19 (2021 秋新吴区期中)某服装店以每件 30 元的价格购进一批 T 恤,如果以每件 40 元出售,那么一个月内能售出 300 件,根据以往销售经验,销售单价每提高 1 元,销售量就会减少 10 件,设 T 恤的销售单价提高 x 元 (1)服装店希望一个月内销售该种 T 恤能获得利润 3360 元,并且尽可能减少库存,问 T 恤的销售单价应提高多少元? (2)

49、 当销售单价定为多少元时, 该服装店一个月内销售这种 T 恤获得的利润最大?最大利润是多少元? 【解答】解: (1)设 T 恤的销售单价提高 x 元, 由题意列方程得: (x+4030) (30010 x)3360, 解得:x12 或 x218, 要尽可能减少库存, x218 不合题意,应舍去 T 恤的销售单价应提高 2 元, 答:T 恤的销售单价应提高 2 元; (2)设利润为 M 元,由题意可得: M(x+4030) (30010 x) , 10 x2+200 x+3000, 10(x10)2+4000, 当 x10 时,M最大值 4000 元, 销售单价:40+1050(元) , 答:当

50、服装店将销售单价定为 50 元时,得到最大利润是 4000 元 20 (2021 春江阴市期中)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 yx2+bx+c 与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A、B 两点,直线 yx+3 恰好经过 B、C 两点 (1)求二次函数的表达式; 学科网(北京)股份有限公司 (2)点 D 是抛物线上一动点,连接 DB、DC若BCD 的面积为 6,求点 D 的坐标; (3)设直线 AE 与直线 BC 交于点 E,连 AC,若AEB 与ACB 中一个是另一个的 2 倍,请直接写出点E 的坐标 【解答】解: (1)由直线 yx+3 得:B(3,0) 、C(0,3) ,