1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 5 章章二次函数二次函数 一选择题（共一选择题（共 5 小题）小题） 1如图所示，已知点 F 的坐标为（3，0） ，点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴、y 轴的交点，点 P 是此图象上的一动点设点 P 的横坐标为 x，PF 的长为 d，且 d 与 x 之间满足关系：d535（0 x5） ，则下列结论：AF2；SPOF的最大值是 6； =165时，OP=1255；设点 P 的纵坐标为 y，则 y 是 x的二次函数，其中正确的有（ ） A B C D 2某数学兴趣小组在研究二次函数 yx2+ax+b 的图象时，得出如下四个命题： 甲：图象与 x 轴的一个交点
2、为（3，0） ； 乙：图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ； 丙：图象的对称轴为过点（1，0） ，且平行于 y 轴的直线； 丁：图象与 x 轴的交点在原点两侧 若这四个命题中只有一个假命题，则该命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 3 （2021 春江阴市期中）抛物线 y（x2）25 的顶点坐标是（ ） A （2，5） B （2，5） C （2，5） D （2，5） 4 （2020 春江阴市期中）如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m） ，且与 x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： abc0；ab+c0；b24a（cm） ；一元二次方程
3、 ax2+bx+cm+1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A1 B2 C3 D4 5 （2021 春梁溪区期中）抛物线 y（x+1）22 的顶点坐标为（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 6如图，四边形 ABCD（不考虑宽度）是某一山羊养殖基地的护栏俯视图，已知BC120” ，ABBC3 千米，CD6 千米，AD 间的护栏的长度为 ；现在计划以 AD 为一边种植三角的草地ADE，为羊群提供鲜草，E120，则所种植草坪的最大面积为 7 （2022 春锡山区期中）在平面直角坐
4、标系中，抛物线 yx22x+2 的顶点坐标为 ，把此抛物线向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的表达式为 8 （2021 秋梁溪区校级期中）如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把ABC 沿着 AD方向平移得到ABC，若两个三角形重叠部分的面积为 3，则它移动的距离 AA等于 ；移动的距离 AA等于 时，两个三角形重叠部分面积最大 9（2021春新吴区期中） 已知二次函数yx2+2x3与坐标轴交于A、 B、 C三点， 则ABC的面积为 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 10 （2022 秋新吴区期中）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款
5、成本价为每盒 50元的医用口罩进行销售，如果按每盒 70 元销售，每天可卖出 20 盒通过市场调查发现，每盒口罩售价 学科网（北京）股份有限公司 每降低 1 元，则日销售量增加 2 盒 （1）若每盒售价降低 x 元，则日销量可表示为 盒，每盒口罩的利润为 元 （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少元？ （3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润 11已知，抛物线 yax22ax+c 与 x 轴交于 A，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式 （2）连接 AC，BC，PC，若PC
6、BACO，求直线 PC 的解析式； （3）如图 2，当点 P 位于第二象限时，过 P 点作直线 AP、BP 分别交 y 轴于 E、F 两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 12 （2022 春锡山区期中）某商店出售一款电动玩具，进价为每件 30 元，销售一段时间后发现，该玩具的日销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单价 x（元/件） 50 55 70 日销售量 y（件） 70 65 50 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）求该商店销售这款玩具获得的最大日利润； （3）销售一段时间以
7、后，由于原材料成本上涨，该款玩具的进价每件增加了 10 元，但物价部门为了规范市场经营秩序，规定销售单价不能超过 a 元/件，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，该玩具的日销售最大利润是 1500 元，求 a 的值 13 （2022 春锡山区期中）如图，抛物线 y=34x2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （4，0） （）求抛物线的解析式； （）点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点，求CPB 的面积最大时点 P 的坐标； （ ） 若M是 抛 物 线 上 一 点 ， 且 MCB AB
8、C ， 请 直 接 写 出 点M的 坐 学科网（北京）股份有限公司 标 14一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 30 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价 x（元/件） （x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不求自变量的取值范围） ； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 150 元/件若某一周该商品的销售量不少于6000 件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3） 抗疫期间，
9、该商场这种商品售价不大于 150 元/件时， 每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元 （10m60） ， 捐赠后发现， 该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大 请求出 m 的取值范围 15 （2021 秋宜兴市期中）某商场将每件进价为 80 元的 A 商品按每件 100 元出售，一天可售出 128 件经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低 2 元，其日销量可增加 16 件设该商品每件降价 x 元，商场一天可通过 A 商品获利润 y 元 （1）求 y 与 x 之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量 x 的取值范围） （2）A 商品销售单价为多少时，该商场每天通过 A 商品所
10、获的利润最大？ 16 （2021 秋梁溪区校级期中）2022 年北京冬奥会的举办时间为 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日地址是北京和河北张家口市，这是中国历史上首次举办冬奥会，东林中学教育集团的学生会为了迎接这一盛事，设计并生产一种“东林迎冬奥”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30 枚，每枚盈利 50 元为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于 32 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 枚，若每枚商品降价 a（a 为正数）元 （1）用含 a 的代数式表示平均每天销售的数量，并写出 a 的取值范
11、围； （2）若该网店每天销售利润为 2100 元时，求 a 的值 17 （2021 春新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx4a 经过 A（1，0） ，C（0，4）两点，与 x 轴交于另一点 B，点 D 为该抛物线的顶点 （1）顶点 D 的坐标为 ； （2）将该抛物线向下平移154单位长度，再向左平移 m（m0）个单位长度，得到新抛物线若新抛物线的顶点 D在ABC 内，求 m 的取值范围； 学科网（北京）股份有限公司 （3）若点 P、点 Q（n，n+1）为该抛物线上两点，连接 BQ，且 tanQBP2，求点 P 的坐标 18 （2021 春新吴区期中）疫情期间，学校按照防
12、疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数 y（单位：人）随时间 x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当 0 x10 时，y 可看作是 x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（10，500） ；当 10 x12 时，累计人数保持不变 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有 2 个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测 20 人校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在 8 分钟内让到校的全部学生完成体温检测，从一开始就应该
13、至少增加几个检测点？ 19 （2021 秋新吴区期中）某服装店以每件 30 元的价格购进一批 T 恤，如果以每件 40 元出售，那么一个月内能售出 300 件，根据以往销售经验，销售单价每提高 1 元，销售量就会减少 10 件，设 T 恤的销售单价提高 x 元 （1）服装店希望一个月内销售该种 T 恤能获得利润 3360 元，并且尽可能减少库存，问 T 恤的销售单价应提高多少元？ （2） 当销售单价定为多少元时， 该服装店一个月内销售这种 T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 20 （2021 春江阴市期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 y 轴交于点 C
14、，与 x 轴交于 A、B 两点，直线 yx+3 恰好经过 B、C 两点 学科网（北京）股份有限公司 （1）求二次函数的表达式； （2）点 D 是抛物线上一动点，连接 DB、DC若BCD 的面积为 6，求点 D 的坐标； （3）设直线 AE 与直线 BC 交于点 E，连 AC，若AEB 与ACB 中一个是另一个的 2 倍，请直接写出点E 的坐标 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 5 小题）小题） 1如图所示，已知点 F 的坐标为（3，0） ，点 A、B 分别是某函数图象与 x 轴、y 轴的交点，点 P 是此图象上的一动点设点 P 的横坐标为 x，PF 的长为 d，且
15、 d 与 x 之间满足关系：d535（0 x5） ，则下列结论：AF2；SPOF的最大值是 6； =165时，OP=1255；设点 P 的纵坐标为 y，则 y 是 x的二次函数，其中正确的有（ ） A B C D 【解答】解：当 P 和 A 重合时，PFAF， x3535x， x5， OA5，AFOAOF532，故正确； OF3 是定值， 学科网（北京）股份有限公司 当 P 和 B 重合时POF 的面积最大， 把 x0 代入 d535得 d5，则此时，BF5， OB= 2 2=4， SPOF的最大值=12OFOB=12346，故正确； 当 d=165时，则165=535x，解得 x3， F（3
16、，0） ， PFOA， OP= 2+ 2=(165)2+ 32=4815，故错误； 过点 P 作 PCx 轴于点 C， 则由勾股定理得： PF2PC2+FC2， 则 d2（3x）2+y2， d535， （535）2（3x）2+y2 整理得，y2= 1625x2+16 y2是 x 的二次函数，故错误 故选：A 2某数学兴趣小组在研究二次函数 yx2+ax+b 的图象时，得出如下四个命题： 甲：图象与 x 轴的一个交点为（3，0） ； 乙：图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ； 丙：图象的对称轴为过点（1，0） ，且平行于 y 轴的直线； 丁：图象与 x 轴的交点在原点两侧 若这四个命题中只有一
17、个假命题，则该命题是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【解答】解：对于 yx2+ax+b，二次项系数为 10， 抛物线开口向上， 学科网（北京）股份有限公司 当图象的对称轴为过点（1，0） ，且平行于 y 轴的直线，图象与 x 轴的一个交点为（3，0）时， 图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，图象与 x 轴的交点在原点两侧， 乙是假命题， 故选：B 3 （2021 春江阴市期中）抛物线 y（x2）25 的顶点坐标是（ ） A （2，5） B （2，5） C （2，5） D （2，5） 【解答】解：抛物线 y（x2）25， 该抛物线的顶点坐标为（2，5） ， 故选：B 4 （2020 春江阴市
18、期中）如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m） ，且与 x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： abc0；ab+c0；b24a（cm） ；一元二次方程 ax2+bx+cm+1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：开口向上， a0， 对称轴在 y 轴右侧， a、b 异号，即 ab0， c0 abc0， 故正确； 根据对称性可知，抛物线与 x 轴的另一个交点应该在1 和2 之间， 所以当 x1 时，y0， 则 ab+c0， 故不正确； 顶点坐标为（1，m） ， 学科网（北京）股份有限公司 424
19、=m， 4acb24am， b24a（cm） ， 故正确； 抛物线与直线 ym 有一个公共点， 抛物线与直线 ym+1 有两个公共点， 一元二次方程 ax2+bx+cm+1 有两个不相等的实数根； 故正确； 所以正确的个数有 3 个， 故选：C 5 （2021 春梁溪区期中）抛物线 y（x+1）22 的顶点坐标为（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （1，2） 【解答】解：抛物线 y（x+1）22， 抛物线 y（x+1）22 的顶点坐标为： （1，2） ， 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题）小题） 6如图，四边形 ABCD（不考虑宽度）是某一山羊养殖基地的护栏
20、俯视图，已知BC120” ，ABBC3 千米，CD6 千米，AD 间的护栏的长度为 37千米 ；现在计划以 AD 为一边种植三角的草地ADE，为羊群提供鲜草，E120，则所种植草坪的最大面积为 2134平方千米 【解答】解：连接 AC，过 B 作 BHAC 于点 H，过 A 作 AGDE 交 DE 延长线于点 G，如图： 学科网（北京）股份有限公司 ABBC，ABC120， BACBCA30， ABBC3 千米， BH=32千米，CHAH=332千米， AC33千米， BCD120，BCA30， ACD90， AD= 2+ 2=(33)2+ 62=37（千米） ， AED120， AEG60，
21、 在 RtAGE 中， EG=12AE，AG= 3EG=32AE， 在 RtADG 中，AG2+DG2AD2， （32AE）2+（DE+12AE）2（37）2， AE2+DE2+DEAE63， AE2+DE22DEAE， 2DEAE+DEAE63， DEAE21， SADE=12DEAG=12DE32AE=34DEAE， SADE2134， 所种植草坪的最大面积为2134平方千米， 故答案为：37千米，2134平方千米 学科网（北京）股份有限公司 7 （2022 春锡山区期中）在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x+2 的顶点坐标为 （1，1） ，把此抛物线向左平移 1 个单位长度，得到的抛物
22、线的表达式为 yx2+1 【解答】解：yx22x+2（x1）2+1， 抛物线 yx22x+2 的顶点坐标为（1，1） ， 则将抛物线 yx22x+2 向左平移 1 个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y（x1+1）2+1，即 yx2+1 故答案为： （1，1） ，yx2+1 8 （2021 秋梁溪区校级期中）如图，将边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把ABC 沿着 AD方向平移得到ABC， 若两个三角形重叠部分的面积为 3， 则它移动的距离 AA等于 1 或 3 ；移动的距离 AA等于 2 时，两个三角形重叠部分面积最大 【解答】解：设 AAx，AC 与 AB相交于点 E
23、， ACD 是正方形 ABCD 剪开得到的， ACD 是等腰直角三角形， A45， AAE 是等腰直角三角形， AEAAx， ADADAA4x， 两个三角形重叠部分的面积为 3， x（4x）3， 整理得，x24x+30， 解得 x11，x23， 移动的距离 AA等于 1 或 3； 两个三角形重叠部分面积x（4x）（x2）2+4， 当 x2 时，两个三角形重叠部分面积的最大值为 4 故答案为：1 或 3；4 9（2021 春新吴区期中） 已知二次函数 yx2+2x3 与坐标轴交于 A、 B、 C 三点， 则ABC 的面积为 6 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：抛物线 yx2+2x3（x1
24、） （x+3） ， 它与坐标轴的三个交点分别是： （1，0） ， （3，0） ， （0，3） ； 该三角形的面积为12436 故答案是：6 三解答题（共三解答题（共 11 小题）小题） 10 （2022 秋新吴区期中）戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒 50元的医用口罩进行销售，如果按每盒 70 元销售，每天可卖出 20 盒通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低 1 元，则日销售量增加 2 盒 （1）若每盒售价降低 x 元，则日销量可表示为 （20+2x） 盒，每盒口罩的利润为 （20 x） 元 （2）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为多少
25、元？ （3）当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润 【解答】解： （1）由题意可知：每盒口罩售价每降低 1 元，则日销售量增加 2 盒， 降低 x 元，销售量增加 2x 盒， 那么日销售量为（20+2x）盒，每盒口罩利润为（20 x）元， 故答案为： （20+2x） ， （20 x） ； （2）设每盒售价降低 x 元，根据题意可知： （20+2x） （20 x）400， 解得：x10（舍去） ，x210， 售价应定为 701060 元， 答：若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为 60 元； （3）设当每盒售价定为 x 元时，商家获得的利润为 W
26、元， 由题意可知：W（20+2x） （20 x） 2x2+20 x+400， a20， 抛物线开口向下， 当 x= 2=5 时，W 有最大值，即 W最大值450 元， 售价应定为 70565 元， 答：当每盒售价定为 65 元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为 450 元 11已知，抛物线 yax22ax+c 与 x 轴交于 A，B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3） ，点 P 是抛物线上一点 学科网（北京）股份有限公司 （1）求抛物线的解析式 （2）连接 AC，BC，PC，若PCBACO，求直线 PC 的解析式； （3）如图 2，当点 P 位于第二象限时，过 P 点作直线 A
27、P、BP 分别交 y 轴于 E、F 两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 【解答】解： （1）将 B（3，0） ，C（0，3）代入 yax22ax+c， 9 6 + = 0 = 3， 解得 = 1 = 3， yx2+2x+3； （2）过点 B 作 MBCB 交于点 M，过点 M 作 MNx 轴交于点 N， A（1，0） ，C（0，3） ，B（3，0） ， OA1，OC3，BC32， tanACO=13， PCBACO， tanBCM=13=， BM= 2， OBOC， CBO45， NBM45， MNNB1， M（2，1） ， 设直线 CM 的解析式为 ykx+b，
28、 = 32 + = 1， 解得 = 2 = 3， y2x+3， 学科网（北京）股份有限公司 直线 PC 的解析式为 y2x+3； （3）的值是定值13，理由如下： 设 P（t，t2+2t+3） ， 设直线 AP 的解析式为 ykx+b， + = 2+ 2 + 3 + = 0， 解得= 3 = 3 ， y（3t）x+（3t） ， E（0，3t） ， CEt， 设直线 BP 的解析式为 ymx+n， + = 2+ 2 + 33 + = 0， 解得 = 1 = 3 + 3， y（t+1）x+3t+3， F（0，3t+3） ， CF3t， =13， 的值是定值13 12 （2022 春锡山区期中）某商
29、店出售一款电动玩具，进价为每件 30 元，销售一段时间后发现，该玩具的 学科网（北京）股份有限公司 日销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表： 销售单价 x（元/件） 50 55 70 日销售量 y（件） 70 65 50 （1）请直接写出 y 与 x 的函数关系式； （2）求该商店销售这款玩具获得的最大日利润； （3）销售一段时间以后，由于原材料成本上涨，该款玩具的进价每件增加了 10 元，但物价部门为了规范市场经营秩序，规定销售单价不能超过 a 元/件，在日销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）保持（1）中函数关系不变的情况下，该
30、玩具的日销售最大利润是 1500 元，求 a 的值 【解答】解：该玩具的日销售量 y（件）与销售单价 x（元/件）满足一次函数关系， 设解析式为 ykx+b， 由表中数据得50 + = 7055 + = 65， 解得： = 1 = 120， y 与 x 的函数关系式为 yx+120； （2）设获得的日利润为 w 元， 由题意得：w（x30）y（x30） （x+120）x2+150 x3600（x75）2+2025， 30 0 + 120 0， 30 x120， 10， 当 x75 时，w 有最大值，最大值为 2025， 该商店销售这款玩具获得的最大日利润为 2025 元； （3）玩具的进价每件
31、增加了 10 元， 进价为：40 元， 设此时的利润为 M 元， My（x40）（x+120） （x40）x2+160 x4800（x80）2+1600， 40 0 + 120 0， 40 x120， 该玩具的日销售最大利润是 1500 元， （x80）2+16001500， 解得：x90 或 x70， 当 x90 时，最大利润可以达到 1600 元，不合题意， a70 学科网（北京）股份有限公司 13 （2022 春锡山区期中）如图，抛物线 y=34x2+bx+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （4，0） （）求抛物线的解析式； （）
32、点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点，求CPB 的面积最大时点 P 的坐标； （ ） 若M是 抛 物 线 上 一 点 ， 且 MCB ABC ， 请 直 接 写 出 点M的 坐标 【解答】解（）将（1，0） ， （4，0）代入 y=34x2+bx+c 得： 34 + + = 012 + 4 + = 0， 解得 = 94 = 3， 抛物线的解析式为 y=34294 3； （）过点 P 作 PDy 轴，交 BC 于 P， 在 y=34294 3中，当 x0 时，y3， C（0，3） ， 直线 BC 的函数解析式为 y=34 3， 设 P（m，34294 3） ，则 D（m，34 3） ， D
33、P=34 3 34294 3 = 342+ 3， SPCBSPDC+SPDB =12PDOB 学科网（北京）股份有限公司 =12（342+ 3）4 = 322+ 6， 当 m= 62(32)=2 时，SPCB最大， 此时 P（2，92） ； （）当点 M 在直线 BC 下方的抛物线上时，则 CMAB， 点 C 与 M 关于对称轴直线 x=32对称， M（3，3） ， 当点 M 在直线 BC 的上方时， 设 CM 交 x 轴于 E， 则 CEBE， 设 OEx，则 BECE4x， 在 RtCOE 中，由勾股定理得，x2+32（4x）2， 解得 x=78， E（78，0） ， 直线 CE 的解析式
34、为 y=247x3， 247x3=34294 3， 解得 x1=537，x20（舍） ， M（537，112549） ， 学科网（北京）股份有限公司 综上： （3，3）或（537，112549） 14一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 30 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价 x（元/件） （x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 40 50 60 y（件） 10000 9500 9000 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不求自变量的取值范围） ； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 150 元/件
35、若某一周该商品的销售量不少于6000 件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3） 抗疫期间， 该商场这种商品售价不大于 150 元/件时， 每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元 （10m60） ， 捐赠后发现， 该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大 请求出 m 的取值范围 【解答】解： （1）设 y 与 x 的函数关系式为：ykx+b（k0） ， 把 x40，y10000 和 x50，y9500 代入得， 40 + = 1000050 + = 9500， 解得， = 50 = 12000， y50 x+12000； （2）根据“在销售过程中要求销售
36、单价不低于成本价，且不高于 150 元/件若某一周该商品的销售量不少于 6000 件， ”得， 30 15050 + 12000 6000， 解得，30 x120， 设利润为 w 元，根据题意得， w（x30）y （x30） （50 x+12000） 50 x2+13500 x360000 50（x135）2+551250， 500， 当 x135 时，w 随 x 的增大而增大， 30 x120，且 x 为正整数， 当 x120 时，w 取最大值为：50（120135）2+551250540000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 540000 元，售价为 120 元； （3）根
37、据题意得，w（x30m） （50 x+12000） 50 x2+（13500+50m）x36000012000m， 学科网（北京）股份有限公司 对称轴为直线 x135+0.5m， 500， 当 x135+0.5m 时，w 随 x 的增大而增大， 该商场这种商品售价不大于 150 元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大 对称轴 x135+0.5m，m 大于等于 10，则对称轴大于等于 149，由于 x 取整数， 实际上 x 是二次函数的离散整数点，x 取 30，31，.149 时利润一直增大， 只需保证 x150 时利润大于 x149 时即可满足要求，所以对称轴要
38、大于 149 就可以了， 135+0.5m149.5，解得 m29， 29m60， 29m60 15 （2021 秋宜兴市期中）某商场将每件进价为 80 元的 A 商品按每件 100 元出售，一天可售出 128 件经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低 2 元，其日销量可增加 16 件设该商品每件降价 x 元，商场一天可通过 A 商品获利润 y 元 （1）求 y 与 x 之间的函数解析式（要展开化简，不必写出自变量 x 的取值范围） （2）A 商品销售单价为多少时，该商场每天通过 A 商品所获的利润最大？ 【解答】解： （1）由题意得，商品每件降价 x 元时单价为（100 x）元，销售量为
39、（128+162x）件， 则 y（128+162x） （100 x80）（128+8x） （20 x）8x2+32x+2560， 即 y 与 x 之间的函数解析式是 y8x2+32x+2560； （2）y8x2+32x+25608（x2）2+2592， 当 x2 时，y 取得最大值，此时 y2592， 销售单价为：100298（元） ， 答：A 商品销售单价为 98 元时，该商场每天通过 A 商品所获的利润最大 16 （2021 秋梁溪区校级期中）2022 年北京冬奥会的举办时间为 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日地址是北京和河北张家口市，这是中国历史上首次举办冬奥会，东林中学
40、教育集团的学生会为了迎接这一盛事，设计并生产一种“东林迎冬奥”的纪念徽章，并将这种纪念徽章在网上进行销售平均每天可售出 30 枚，每枚盈利 50 元为了扩大销售，增加盈利，现采取了降价措施，在每枚盈利不少于 32 元的前提下，销售一段时间后，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 枚，若每枚商品降价 a（a 为正数）元 （1）用含 a 的代数式表示平均每天销售的数量，并写出 a 的取值范围； （2）若该网店每天销售利润为 2100 元时，求 a 的值 【解答】解： （1）由题意可得，每天销售的数量为（30+2a）枚， 每枚盈利不少于 32 元， a5032，解得 a18， 学科网（北
41、京）股份有限公司 答：平均每天销售的数量为（30+2a）枚，a 的取值范围是 0a18； （2）由题意可得： （50a） （30+2a）2100， 解得 a115，a220， 由（1）知 0a18，故 a20 不符合题意，舍去， a15， 答：该网店每天销售利润为 2100 元时，a 的值是 15 17 （2021 春新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx4a 经过 A（1，0） ，C（0，4）两点，与 x 轴交于另一点 B，点 D 为该抛物线的顶点 （1）顶点 D 的坐标为 （32，254） ； （2）将该抛物线向下平移154单位长度，再向左平移 m（m0）个单位长度，
42、得到新抛物线若新抛物线的顶点 D在ABC 内，求 m 的取值范围； （3）若点 P、点 Q（n，n+1）为该抛物线上两点，连接 BQ，且 tanQBP2，求点 P 的坐标 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx4a 经过 A（1，0） ，C（0，4）两点， 4 = 04 = 4，解得 = 1 = 3， yx2+3x+4（x32）2+254， B（4，0） ， 点 D 为该抛物线的顶点， D（32，254） 故答案为： （32，254） （2）将抛物线 y（x32）2+254向下平移154单位长度，再向左平移 m（m0）个单位长度，得到新抛物线为 y（x32+m）2+52， 学科网（北京）股
43、份有限公司 D（32m，52） ， A（1，0） ，C（0，4） ，B（4，0） ， 直线 AC 的解析式为：y4x+4，直线 BC 的解析式为：yx+4， 把 y=52分别代入直线 AC 和 BC 的解析式，可得 m0 和 m=158， 0m158 （3）点 Q（n，n+1）为该抛物线上两点， n2+3n+4n+1，解得 n1 或 n3， 当 n1 时，Q（1，0） ，此时点 Q 和点 A 重合， 取点 E（0，8） ，则 tanABE2，连接 BE 与抛物线交于点 P1， B（4，0） ， BE 所在直线的表达式：y2x+8， 联立 = 2 + 8 = 2+ 3 + 4，解得 = 1 =
44、6，或 = 4 = 0（舍） ， P1（1，6） ； 同理，取点 F（0，8） ，则 tanABF2，连接 BF 与抛物线交于点 P2， 则 BF 所在直线的表达式：y2x8，则（3，14） ，或（4，0） （舍） P2（3，14） 当 n3 时，Q（3，4） ，过点 Q 作 QMx 轴于点 M，则 QM4，BM1， 学科网（北京）股份有限公司 由勾股定理可得，BQ= 17， 设线段 QM 上存在点 G，使 tanQBG2， 过点 G 作 GHBQ 于点 H， 则 GH：BH2：1，GH：QH1：4， 设 BHm，则 GH2m，QH8m， GH+QHBQ，即 8m+m= 17， m=179，
45、QG=349，GM4349=29， BG 所在直线的解析式：y= 29（x4） ， 联立直线和抛物线的表达式可得，29（x4）（x+1） （x4） ， 解得 x= 79， P3（79，8681） 符合题意的点 P 的坐标为： （1，6） ， （3，14） ， （79，8681） 18 （2021 春新吴区期中）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数 y（单位：人）随时间 x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当 0 x10 时，y 可看作是 x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（10，500） ；当 10 x12 时
46、，累计人数保持不变 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有 2 个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测 20 人校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？ （3）在（2）的条件下，如果要在 8 分钟内让到校的全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加 学科网（北京）股份有限公司 几个检测点？ 【解答】解： （1）当 0 x10 时， 顶点坐标为（10，500） ， 设 ya（x10）2+500， 将（0，0）代入，得：100a+5000， 解得 a5， y5（x10）2+5005x2+100 x（0 x1
47、0） ， 当 10 x12 时， y500（10 x12） ， y 与 x 之间的函数表达式为 y= 52+ 100(0 10)500(10 12)； （2）设第 x 分钟时的排队等待人数为 w 人，由题意可得 wy40 x， 0 x10 时， w5x2+100 x40 x5x2+60 x5（x6）2+180， 50， 当 x6 时，w 的最大值是 180； 当 10 x12 时，w50040 x， 40， w 随 x 的增大而减小， 20w100， 排队人数最多是 180 人； 要全部学生都完成体温检测，根据题意得： 50040 x0， 解得：x12.5， 要全部学生都完成体温检测需要 12
48、.5 分钟； （3）设从一开始就应该增加 m 个监测点， 由题意得 8 分钟内到达学生人数为：y582+1008480（人） ， 学科网（北京）股份有限公司 820（2+m）480， 解得：m1， 从一开始就应该增加 1 个监测点 19 （2021 秋新吴区期中）某服装店以每件 30 元的价格购进一批 T 恤，如果以每件 40 元出售，那么一个月内能售出 300 件，根据以往销售经验，销售单价每提高 1 元，销售量就会减少 10 件，设 T 恤的销售单价提高 x 元 （1）服装店希望一个月内销售该种 T 恤能获得利润 3360 元，并且尽可能减少库存，问 T 恤的销售单价应提高多少元？ （2）
49、 当销售单价定为多少元时， 该服装店一个月内销售这种 T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解： （1）设 T 恤的销售单价提高 x 元， 由题意列方程得： （x+4030） （30010 x）3360， 解得：x12 或 x218， 要尽可能减少库存， x218 不合题意，应舍去 T 恤的销售单价应提高 2 元， 答：T 恤的销售单价应提高 2 元； （2）设利润为 M 元，由题意可得： M（x+4030） （30010 x） ， 10 x2+200 x+3000， 10（x10）2+4000， 当 x10 时，M最大值 4000 元， 销售单价：40+1050（元） ， 答：当
50、服装店将销售单价定为 50 元时，得到最大利润是 4000 元 20 （2021 春江阴市期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2+bx+c 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A、B 两点，直线 yx+3 恰好经过 B、C 两点 （1）求二次函数的表达式； 学科网（北京）股份有限公司 （2）点 D 是抛物线上一动点，连接 DB、DC若BCD 的面积为 6，求点 D 的坐标； （3）设直线 AE 与直线 BC 交于点 E，连 AC，若AEB 与ACB 中一个是另一个的 2 倍，请直接写出点E 的坐标 【解答】解： （1）由直线 yx+3 得：B（3，0） 、C（0，3） ，