1、 专题专题 14 14 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1如图，直线/， 如图放置， = 90.若1 + = 70，则2的度数为() A20 B40 C30 D25 2如图，点 A、B、C 在 上， = 54，则的度数是（ ） A54 B27 C36 D108 3如图， 矩形中， 射线交于点 E， 平分， 若 = 57， 则的度数是 （ ） A66 B49 C33 D16 4 （2022 瑞金模拟）如图，是 的直径，弦 ，垂足为， = 30， = 6，则阴影等于（ ） A12 B C32 D2 5 （2022 八下 抚州期末）如图，点 A，B，C 在一条直线上，ABD 和BCE 是等边三角
2、形，连接 AE和 CD 交于点 M，则AMC 的度数为（ ） A135 B120 C105 D90 6 （2022 八下 上犹期末）如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，M 是边 AD 上一点，连接OM，过点 O 作 ONOM，交 CD 于点 N若四边形 MOND 的面积是 1，则 AB 的长为（ ） A1 B2 C2 D22 7 （2022 八下 兴国期末）以下列线段 a，b，c 的长为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A = 7， = 24， = 25 B = 1.5， = 2， = 3 C = 1， = 2， = 1 D = 9， = 12， = 15 8 （
3、2022 七下 萍乡期末）如图，在 中。 = 67， = 33，AD 是 的角平分线，过点 D作 交 AC 于 E，则的度数为（ ） A40 B45 C50 D55 9（2022 七下 萍乡期末）如图， 在 中， BD 平分， CD 平分， 若 = 3， 则的度数为（ ） A35 B36 C37 D38 10 （2022 七下 萍乡期末）如图，已知 AD 为ABC 的高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 RtABE，连接 ED，EC，延长 CE 交 AD 于 F 点，下列结论：ADEBCE；CEDE；BD=AF； SBDE=SACE，其中正确的有（ ） A B C D 二、填空题二、填空题
4、 11 （2022 江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为 2 的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示） ，则长方形的对角线长为 12 （2022 江西）已知点 A 在反比例函数 =12( 0)的图象上，点 B 在 x 轴正半轴上，若 为等腰三角形，且腰长为 5，则的长为 13 （2022 九江模拟）如图，直线 y=33x+3与坐标轴分别交于 A，B 两点，在平面直角坐标系内有一点 C，使ABC 与ABO 全等，则点 C 的坐标为 14（2022 九江模拟）如图， 在四边形中， ， ， 分别是， ， 的中点， = ， = 144， 则的度数为 15 （2022 湖口模拟）如图，在 中，
5、AD 和 AE 分别是边 BC 上的中线和高，已知 = 3， =2， = 90，求高 = 16 （2022 湖口模拟）俊俊和霞霞共同合作将一张长为2，宽为 1 的矩形纸片进行裁剪（共裁剪三次） ，裁剪出来的图形刚好是 4 个等腰三角形（无纸张剩余） 霞霞说：“有一个等腰三角形的腰长是 1”；俊俊说： “有一个等腰三角形的腰长是2 1”； 那么另外两个等腰三角形的腰长可能是 17 （2022 吉州模拟）如图，在半径为 1 的O 中，直线 l 为O 的切线，点 A 为切点，弦 AB=1，点 P在直线 l 上运动，若PAB 为等腰三角形，则线段 OP 的长为 18 （2022 玉山模拟）如图在 中，
6、 = 45， = 30， = 2，点 P 是直线 AC 上的一个动点（与 A，C 两点不重合） ，点 F 是直线上的一个动点（与 BC 两点不重合） ，连结点 P，点 F，使 与 全等，则 = 19（2022 新余模拟）如图， 图是棱长为 4cm 的立方体， 沿其相邻三个面的对角线(虚线)裁掉一个角，得到如图的几何体，则一只蚂蚁沿着图几何体的表面，从顶点 A 爬到顶点 B 的最短距离为 cm. 20 （2022 高安模拟）如图，在 RtABC 中，C90 ，B30 ，BC12，点 D 为 BC 的中点，点E 为 AB 上一点，把BDE 沿 DE 翻折得到FDE，若 FE 与ABC 的直角边垂直
7、，则 BE 的长为 三、综合题三、综合题 21 （2022 九江模拟）如图 （1） 问题发现： 如图 1， 点为平面内一动点， 且 = ， = ( )， 则的最小值为 ，的最大值为 ； （2）轻松尝试：如图 2，在矩形中， = 10， = 12，为边的中点，是边上的动点，将 沿所在直线折叠得到 ，连接，则的最小值为 ； （3）方法运用：在四边形中， = 90，= ， = 4， = 2 如图 3，当 = 1时，求线段的最大值； 如图 4，当 1时，用含的式子表示线段的最大值 22（2022 遂川模拟）如图， 为外一点， ， 为上两点， ， 垂足为， 交于点， 交于， = （1）求证：为的切线；
8、（2）若 = 10，tan =512，求的长 23 （2022 萍乡模拟）在平面直角坐标系中，直线与抛物线 = 2+ + 交于，（点在点的左侧） 两点 点是该抛物线上任意一点， 过点作平行于轴的直线交于， 分别过点， 作直线的垂线，垂足分别为点， （1）已知： = 2， = 4， = 6 如图，当点的横坐标为 1，直线 轴且过抛物线与轴的交点时， = ，| = ； 如图，当点的横坐标为 2，直线的解析式为 = 3时， = ，| = （2）由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与| 之间的数量关系，并证明你的猜想 （3） 若 = 1， 点， 的横坐标分别为-4， 2， 点在直线的上方的抛
9、物线上运动 （点不与点， 重合） ，在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出 的最大面积 24 （2022 萍乡模拟）已知：在 RtABC 中，B=90 ，ACB=30 ，点 D 为 BC 边上一动点，以 AD为边，在 AD 的右侧作等边三角形 ADE （1）当 AD 平分BAC 时，如图 1，四边形 ADCE 是 形； （2）过 E 作 EFAC 于 F，如图 2，求证：F 为 AC 的中点； （3）若 AB=2， 当 D 为 BC 的中点时，过点 E 作 EGBC 于 G，如图 3，求 EG 的长； 点 D 从 B 点运动到 C 点，则点 E 所经过路径长为 (直接写出结果) 25 （20
10、22 江西模拟）如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 90 得到ADE （1）DE 与 BC 的位置关系为 ； （2）如图，连接 CD，BE，若 M 为 BE 的中点，连接 AM，请探究线段 AM 与 CD 的关系，并给予证明； （3） 如图， 已知 E 是正方形 ABCD 的边 BC 上任意一点， 以 AE 为边作正方形 AEFG， 连接 BG，M 为 BG 的中点，连接 AM 若 AB4，BE3，求 AM 的长； 若 ABa，BEb，则 AM 的长为 （用含 a，b 的代数式表示） 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】如图： 3为三角形的外角， 3 = 1 + = 7
11、0， /， 3 + 4 + 2 = 180， 4 = 90，3 = 70， 2 = 20 故答案为：A 【分析】 根据三角形外角的性质可得3 = 1 + = 70， 利用平行线的性质可得3+4+2=180 ，从而得解. 2 【答案】C 【解析】【解答】解： = 54， = 2 = 108， OA=OB， BAO=ABO=12 (180 ) = 36. 故答案为：C. 【分析】先求出 = 2 = 108，再根据 OA=OB，计算求解即可。 3 【答案】A 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， ， = = 90， = 57， = = 57， = 90 = 33， DB 平分ABF， =
12、= 33， = = 57 33 = 24， = = 90 = 66，故 A 符合题意 故答案为：A 【分析】先求出 ， = = 90，再求出 = = 33，最后计算求解即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解： ， = 6， = =12 = 3， 在中， = 30， 则 = tan30 = 3， 在中， = 2 = 60， 则 =sin60= 23， = = = 3， 阴影= 扇形 + =60(23)2360123 3 +123 3 = 2 故答案为：D 【分析】 先求出扇形 OAD 的面积、 OED 和ACE 的面积， 再利用割补法列出算式阴影= 扇形+ =60(23)2360123 3
13、+123 3 = 2求解即可。 5 【答案】B 【解析】【解答】解：ABD、BCE 为等边三角形， AB=DB，ABD=CBE=60 ，BE=BC， ABE=DBC， 在ABE 和DBC 中， = = = ， ABEDBC（SAS） ， BAE=BDC， BDC+BCD=ABD=60 ， BAE+BCD=BDC+BCD=60 ， AMC=120 故答案为：B 【分析】 利用“SAS”证明ABEDBC， 可得BAE=BDC， 再利用角的运算和等量代换可得答案。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：在正方形 ABCD 中，对角线 BDAC， = 90 = 90 = 又 = = 45， = () =
14、 四边形 MOND 的面积是 1， = 1 正方形 ABCD 的面积是 4， 2= 4 = 2 故答案为：C 【分析】先证明 ()可得= ，所以= 1即可得到正方形 ABCD 的面积是 4，所以2= 4，再求出 AB 的长即可。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：A. 2+ 2= 72+ 242= 625，2= 252= 625， 2+ 2= 2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意； B. 2+ 2= 1.52+ 22= 6.25，2= 32= 9， 2+ 2 2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合题意； C. 2+ 2= 12+ 12= 2，2= (2)2= 2， 2
15、+ 2= 2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意； D. 2+ 2= 92+ 122= 225，2= 152= 225， 2+ 2= 2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意； 故答案为：B 【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。 8 【答案】A 【解析】【解答】解：在ABC 中，B67 ，C33 ， BAC180 BC80 ， AD 是ABC 的角平分线， BAD=12BAC40 ， DEAB， ADEBAD40 ， 故答案为：A 【分析】平行线的性质和三角形内角和定理的应用。 9 【答案】B 【解析】【解答】解：ABC+ACB180 A，BD 平分ABC，CD 平
16、分BCA， DCB+DBC=12（ABC+ACB）=12（180 A）90 12A， D180 （DCB+DBC）180 （90 12A）180 90 +12A90 +12A D3A， 90+12A3A， 解得A36 故答案为：B 【分析】先运用三角形的内角和定理求出BDC 与A 的数量关系，再结合已知进行计算。 10 【答案】C 【解析】【解答】AD 为ABC 的高线，CBE+ABE+BAD=90 RtABE 是等腰直角三角形， ABE=BAE=BAD+DAE=45 ， AE=BE， CBE+BAD=45 ，DAE=CBE在DAE 和CBE 中， = = = ，ADEBCE（SAS） ；故符
17、合题意； ADEBCE，EDA=ECB ADE+EDC=90 ，EDC+ECB=90 ，DEC=90 ，CEDE；故符合题意； BDE=ADB+ADE，AFE=ADC+ECD，BDE=AFE BED+BEF=AEF+BEF=90 ，BED=AEF 在AEF 和BED 中， = = = ，AEFBED（AAS） ，BD=AF；故符合题意； AD=BC，BD=AF，CD=DF ADBC，FDC 是等腰直角三角形 DECE，EF=CE，SAEF=SACE AEFBED，SAEF=SBED，SBDE=SACE故符合题意 故答案为：C 【分析】全等三角形的判定与性质的综合应用。 11 【答案】5 【解析
18、】【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为 2，长方形的宽是正方形对角线的一半为 1， 根据勾股定理可知，长方形的对角线长：22+ 12=5 故答案为：5 【分析】 先结合图象求出： 长方形的长是正方形的对角线为 2， 长方形的宽是正方形对角线的一半为 1，再利用勾股定理求出长方形的对角线长即可。 12 【答案】5 或25或10 【解析】【解答】解：当 AO=AB 时，AB=5； 当 AB=BO 时，AB=5； 当 OA=OB 时，则 OB=5，B（5，0） ， 设 A（a，12） （a0） ， OA=5， 2+ (12)2= 5， 解得：1= 3，2= 4， A（3，4）或（4
19、，3） ， AB=(3 5)2+ 42= 25或 AB=(4 5)2+ 32=10； 综上所述，AB 的长为 5 或25或10 故答案为：5 或25或10 【分析】 分三种情况： 当 AO=AB 时， AB=5； 当 AB=BO 时， AB=5； 当 OA=OB 时， 则 OB=5，B（5，0） ，设 A（a，12） ，根据 OA=5，可得2+ (12)2= 5，求出 a 的值，再利用两点之间的距离公式可得 AB 的长，从而得解。 13 【答案】(3，3)或(32，332)或(32，32) 【解析】【解答】解：令 x=0，则 y=3，令 y=0，则 x=3， A(0，3)，B(3，0)， OA
20、=3，OB=3， tanABO=33， ABO=30 ，BAO=60 ， 当OABC1BA 时， C1B=OA=3，C1A= OB=3， C1 (3，3)； 当OABC2AB 时， C2B= OB=3，C2A=OA=3， C2AD=180 -60 -60 =60 ，则DC2A=30 ， AD=12C2A=32，DC2=32， C2 (32，332)； 当OABC3BA 时， 同理得 C3 (32，32)； 综上，点 C 的坐标为(3，3)或(32，332)或(32，32) 故答案为：(3，3)或(32，332)或(32，32) 【分析】 当OABC1BA 时， 当OABC2AB 时， 当OAB
21、C3BA 时， 分三种情况讨论即可。 14 【答案】18 【解析】【解答】 ，分别是，的中点 =12， =12 = = = 144 =12(180 144) = 18 故答案为：18 【分析】根据三角形中位线定理得出 =12， =12，进而证出 = ，根据三角形内角和定理计算即可。 15 【答案】423 【解析】【解答】 是 边 BC 上的中线 = 2 = 6 中， = 2 2= 62 22= 42 12 =12 =4226=423 故答案为：423 【分析】 根据直角三角形斜边中线的性质可得 = 2 = 6， 利用勾股定理求出 AB 的长， 根据ABC的面积=12 =12 ，从而求出 AE.
22、 16 【答案】1 或2或2 2 【解析】【解答】如图 1 方式裁剪， 第一步，取 CB=CE=1，则 = 2 1，剪下BCE； 第二步，剪下ABE，其中 = 12+ 12= 2 = ； 第三步，在 AD 上取一点 F，使 = = 2 1，剪下DFE； 剩下的AEF 中， = 2+ 2= 2 2 = 刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长是2 2或2； 如图 2 方式裁剪， 第一步，取 CB=CF=1，则 = 2 1，剪下BCF； 第二步， 过 A 作 AEBF 于 E， 由于 = 2， = 90 = 45， 所以 = ， 剪下ABE； 第三步，由于 AD=AE=1，剪下ADE； 剩下的三角
23、形 DFE 中， = = 2 1 = 刚好四个等腰三角形，另两个等腰三角形腰长都是 1 故答案为：1 或2或2 2 【分析】先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解. 17 【答案】2或233或 2 【解析】【解答】解：AB=AO=OB=1， ABO 为等边三角形， OBA=OAB=AOB =60 ， 当 BP=AB=1 时，如图， 直线 l 为O 的切线，点 A 为切点， OAl， OAP=90 ， BAP=30 ， BP=AB， OPA=BAP=30 ， PBA=120 ， PAB+ABO=180 ， 点 P、B、O 在同一条直线上， OP=OB+BP=2； 当 AP=PB
24、时，如图， 直线 l 为O 的切线，点 A 为切点， OAl， OAP=90 ， BAP=30 ， AP=PB PBA=PAB=30 APB=120 ， PBA+OBA=90 ， OBBP， BP 是O 的切线， 直线 l 为O 的切线，点 A 为切点， OP 平分BPA， OPA=60 ， 在 RtOAP 中 sinOPA=， OP=233； 当 AP=AB 时，若点 P 在点 A 左侧，如图，连接 OB， 直线 l 为O 的切线，点 A 为切点， OAl， OAP=90 ， AP=AB=OA=1， 在 RtOAP 中根据勾股定理得，OP= 2+ 2= 2， 若点 P 在点 A 右侧，如图，
25、同理可得 OP=2 综上所述：OP 的长：2或233或 2 故答案为：2或233或 2 【分析】先求出OBA=OAB=AOB =60 ，再结合图形，分类讨论求解即可。 18 【答案】(3 1) 【解析】【解答】解： 延长至点，使 = ，在上截取 = 过点作 于点，如图： 在 中， = 45， = 2 = = 1 在 中， = 30 = 2， = 3 = = (3 + 1) = = (3 1) 故答案是：(3 1) 【分析】先求出 = 2， = 3，再利用全等三角形的性质求解即可。 19 【答案】2226 【解析】【解答】如图所示： BCD 是等腰直角三角形，ACD 是等边三角形， 在 RtBC
26、D 中，CD=2+ 2= 42 则 BE=12 = 22 在 RtACE 中，AE=2 2=26 答：从顶点 A 爬行到顶点 B 的最短距离为22 + 26 故答案为22 + 26 【分析】利用勾股定理得出 CD、AE 的值，推出 BE 的值，再根据两点之间线段最短即可得解。 20 【答案】23或 63或 6 【解析】【解答】解：当 FEBC，设射线 FE 交 BC 于点 G，如图 1， B=30 ，BDE 沿 DE 翻折得到FDE， B=F=30 ，BDE=FDE=12BDF EFBC， BDF=90 -30 =60 BDE=FDE=12BDF=30 ， BDE =B=30 ， FEBC，
27、BG=DG=12 =1212=3， 在 中，B=30 ，BG =3， BE=cos30=233 3 = 23； 当 EFBC 时，如图 2， B=30 ，EFBC， BEG=60 ， BDE 沿 DE 翻折得到FDE， BED=FED=12BEG=30 ， BED=B=30 ， BE=BD=12=6， 在 中，DEG=30 ，DG=12DE=3， GE=3DG=33 在 RtBEG 中，B=30 ， BE=2GE=63； 当 EFAC 时，如图 3， EFAC，C=90 ， EF/ BC， AEF=B=30 ， BDE 沿 DE 翻折得到FDE， BED=FED=12BEF=75 ， BDE=
28、180 -BED-B=75 ， BDE=BED， BE=BD=12=6， 综上所述 BE 的长为 23或 63或 6， 故答案为：23或 63或 6 【分析】分三种情况：当 FEBC，如图 1，当 EFBC 时，如图 2，当 EFAC 时，如图 3，根据折叠的性质及解直角三角形分别求解即可. 21 【答案】（1）a-c；a+c （2）8 （3）解：过点 B 作 BEBC，使 BE=BC=4，连接 AE，CE， 则EBC=90 ， = 2+ 2= 42 ABD=90 ， ABD=EBC， ABD-DBE=EBC-DBE， ABE=DBC， m=1， AB=DB， ABEDBC(SAS)， AE=
29、CD=2， 当点 D 绕点 C 运动时，点 A 绕点 E 运动，AE 的长为半径， ACAE+CE， 当线段 AC 经过点 E 时，AC 最大，最大值为，AC=AE+CE= 42+2； 过点 B 作 BFBC，使= ， 则FBC=90 ， =4， = + =42+ 1， ABD=FBC=90 ， ABD-DBF=FBC-DBF， ABF=DBC， = ， ABFDBC， = ， =2， ACAF+CF， AC 的最大值为，AC=AF+CD= 42+1+2 【解析】【解答】 （1）当点 A 在线段 BC 上时，AC 取得最小值，最小值为：AC=BC-AB=a-c， 当点 A 在线段 CB 延长线
30、上时，AC 取得最大值，最大值为：AC=BC+AB=a+c； 故答案为：a-c；a+c （2）连接 DE， 矩形中， = 10， = 12，为边的中点， AE=BE=12AB=5，BAD=90 ， = 2+ 2= 13， 由折叠知， = = 5， 点在以点 E 为圆心，以的长为半径的半圆弧上运动， + ， 当点运动到 DE 上时， + = ，最小， 最小值为， = = 8； 故答案为：8； 【分析】 （1）当点 A 在线段 BC 上时，AC 取得最小值，当点 A 在线段 CB 延长线上时，AC 取得最大值，即可得解； （2）矩形中， = 10， = 12，为边的中点，得出 AE=BE=12AB
31、=5，BAD=90 ，利用勾股定理得出的值，由折叠知， = = 5，得出点在以点 E 为圆心，以的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到 DE 上时， + = ，最小，即可得解； （3） 利用勾股定理得出CE的值， 再得出ABE=DBC， 根据三角形全等得出ABEDBC(SAS)，得出 AE=CD=2，当点 D 绕点 C 运动时，点 A 绕点 E 运动，AE 的长为半径，当点 D 绕点 C 运动时，点 A 绕点 E 运动，AE 的长为半径，当线段 AC 经过点 E 时，AC 最大，即可得出最大值；利用相似证出ABFDBC，得出= ，从而得出 =2，根据 ACAF+CF，即可得解。 22 【答案】（
32、1）证明： = ， = = ， = ， + = 90 = = + = + = 90 为 的切线 （2）解：过点作 ，垂足为 为 的切线， + = 90 = ， + = 90 = = tan = tan =512 = 10， = = 5 = 12 = 2+ 2= 122+ 52= 13 【解析】【分析】 （1）利用等腰三角形的性质，对顶角线段、直角三角形的两个锐角互余和线切线的判定定理解答即可； （2）过点作 ，垂足为，利用等腰三角形的三线合一，正切的意义解答即可。 23 【答案】（1）2；2；7；7 （2）解：猜想： = | ， 证明：设点，点，点的横坐标为：，直线的解析式为： = + ， +
33、 = 2+ + ， 2+ ( ) + = 0， ，是方程的两根， + =， =， = | |， = | |， | = | | | | | = | |( + ) 2| = | |() + 2| = |2+ ( ) + |， 点(，2+ + )， = |2+ + | = |2+ ( ) + |； = | ； （3）解：过点作/轴交 AB 于 D， 设点的横坐标为， 的面积为， 则 = + 4， = 2 ， = | 1| ( + 4)(2 ) = 2 2 + 8， =12 ( + ) =12 6 = 3(2 2 + 8) = 3( + 1)2+ 27， 当 = 1时，最大= 27 【解析】【解答】(
34、1)解： = 2， = 4， = 6， 抛物线解析式为： = 22+ 4 + 6， 当点的横坐标为 1，直线 轴且过抛物线与轴的交点时， 点(1，8)，点(1，6)，点(0，6)，点(2，6)， = 2， = 1， = 1， | = 2， 故答案为：2，2； 当点的横坐标为 2，直线的解析式为 = 3时， 点(2，6)，点(2， 1)， = 7， 3 = 22+ 4 + 6， 1= 1.5，2= 3， 点(1.5， 4.5)，点(3，0)， = 3.5， = 1， | = 6， 故答案为：7，7； 【分析】 （1）由已知得抛物线解析式为 = 22+ 4 + 6，分别求出 A、C、D、B 的坐标
35、，从而 求出 CD，AE，BF 的长，继而得解；当点的横坐标为 2，直线的解析式为 = 3时，可求出C、D 坐标，即得 CD 的长；联立 = 22+ 4 + 6与 = 3为方程组并解之，即得 A、B 坐标，即得 AE、BF 的长，继而得解； （2） 猜想 = | ， 设点， 点， 点的横坐标为： ， ， ， 直线的解析式为： = + ， 分别求出| =CD=|2+ + | = |2+ ( ) + |，即可得解； （3） 过点作/轴交 AB 于 D， 设点的横坐标为， 的面积为， 则 = + 4， = 2 ， = | 1| ( + 4)(2 ) = 2 2 + 8，根据 =12 ( + ) 可列
36、出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可. 24 【答案】（1）菱 （2）证明： = = 60， = ， 在BAD 和FAE 中， = = = 90 = ， BADFAE(AAS)， AB=AF， 在 RtABC 中，B=90 ，ACB=30 ， AC=2AB， AC=2AF， F 为 AC 的中点； （3）解：如图 3，作 EFAC 于 F，连接 EC， 在 RtABC 中，B=90 ，ACB=30 ， AC=2AB=4， BC= 2 2=23， D 为 BC 的中点， BD=12BC= 3， AD= 2+ 2= 7， AF=FC，EFAC， EC=AE=AD= 7， EC=EA=ED，E
37、GDC， CG=12CD=32， EG= 2 2=52； 23 【解析】【解答】解： （1）在 RtABC 中，B=90 ，ACB=30 ， BAC=60 AD 平分BAC， BAD=DAC=30 ADE 为等边三角形， DAE=60 ， EAC=30 ， EAC=ACB，DAC=ACB， AEDC，AD=DC AE=AD，AE=CD， 四边形 ADCE 为平行四边形 AD=AE， 平行四边形 ADCE 为菱形 故答案为：菱形； （3）如图 4，当点 D 与点 B 重合时，点 E 在 E处，点 E是 AC 中点； 当点 D 与点 C 重合时，点 E 在 E处，其中ACE是等边三角形， 由（1）
38、得：AE=CE，点 E 始终落在线段 AC 的垂直平分线上， EE垂直平分 AC， 点 E 的运动路径是从 AC 的中点 E，沿着 AC 垂直平分线运动到 E处， 在EAE和BAC 中， = = = ， EAEBAC(AAS)， EE=BC=23 故答案为：23 【分析】 （1）先证明四边形 ADCE 为平行四边形，由等边三角形的性质可得 AD=AE，根据菱形的判定定理即证； （2）证明BADFAE(AAS)，可得 AB=AF， 在 RtABC 中 ，根据 30 角所对的直角边等于斜边的一半，可得 AC=2AB，即得 AC=2AF，继而得解； （3）作 EFAC 于 F，连接 EC， 根据直角
39、三角形的性质可得 AC=2AB=4 ， BC = 23 ，由线段 的中点可得 BD=12BC= 3 ，由勾股定理求出 AD=7.根据线段垂直平分线的性质可得 EC=AE=AD=7， 根据等腰三角形三线合一的性质可得 CG=12CD=32， 利用勾股定理求出 EG 的长； 可判断出点 E 的运动路径是从 AC 的中点 E，沿着 AC 垂直平分线运动到 E处，则点 E 所经过路径长为 EE的长，可证EAEBAC(AAS)，可得 EE=BC=23 25 【答案】（1）DEBC （2）解： ， =12， 证明：延长至点，使 = ，连接， 将绕点逆时针旋转90得到， = = 90， = ， = ， =
40、90 = ， ()， = ， = = 90， 可以由绕点逆时针旋转90得到， 由（1）可知 ， = ，为的中点， /， =12 ， =12， （3）解：如图，连接， 四边形，为正方形， = ， = ， = = 90， = 90 = ， ()， 可以由绕点逆时针旋转90得到， = 4， = 3， = 1， = 4， 由（1）中可知 =12， =12 =12 2+ 2=12 11+ 42=172； 222+22 【解析】【解答】(1)将绕点逆时针旋转90得到， ； 故答案为：DEBC； (3)同可知 = = ， = ， = 2+ 2= ( )2+ 2= 22 2 + 2， =12 =1222 2 + 2 故答案为222+22 【分析】 （1）由旋转的性质即得结论； （2） 延长至点， 使 = ， 连接， 证明 ()， 可得 = ， 从而得出AEN可以由绕点逆时针旋转90得到， 根据三角形中位线定理可得 /， =12 ， 由 （1）知 ， 即得 ； （3）连接，证明 ()，可得可以由绕点逆时针旋转90得到.求出 CE=1，CD=4，利用勾股定理求出 DE，由 =12即可求解； 易得 = = ， = ，利用勾股定理求出 DE，由 =12即可求解.