1、 专题专题 8 8 分式方程分式方程 一、单选题一、单选题 1解关于 x 的方程62=2产生增根，则常数 a 的值等于（ ） A-5 B-4 C-3 D2 2已知关于 x 的分式方程 21= 1 的解是正数，则 m 的取值范围是（ ） A 1 B 1 且 2 C 1 D 1 且 2 3寒假快到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书已知小明每天比小芳多看 5 页书，并且小明看 90 页书所用的天数与小芳看 80 页书所用的天数相等，若设小明每天看书 x 页，则根据题意可列出方程为（ ） A90=805 B90=80+5 C905=80 D90+5=80 4 （2020
2、八下 峡江期末）端午节那天，“90 时代”的粽子打 9 折出售，小马去该店买粽子花了 54 元钱，比平时多买了 3 个求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖 x 元，列方程为（ ） A54540.9= 3 B54=540.9 3 C540.954+ 3 = 0 D54=540.9+ 3 5 （2020 八上 兴国期末）某电子元件厂准备生产 4600 个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的 1.3 倍，结果用 33 天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件 x个，根据题意
3、可得方程为（ ） A2300+23001.3= 33 B2300+2300+1.3= 33 C2300+4600+1.3= 33 D4600+2300+1.3= 33 二、填空题二、填空题 6 （2022 八下 抚州期末）若分式方程有21+ 3 =1增根，则 m 的值是 7 （2022 江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样 10 人，甲采样 160 人所用时间与乙采样 140 人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样 x 人，则可列分式方程为 8 （2021 七下 定南期末）已知关于 的方程 +3212= 的解是非正数，则 的取值范围是 9 （20
4、20 八上 余干期末）如果方程 32+ 1 =2 有增根，那么 = 10 （2020 八上 余干期末）游泳者在河中逆流而上，于桥 A 下面将水壶遗失被水冲走，继续前游 30 分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶，在桥 A 下游距桥 1.2 公里的桥 B 下面追到了水壶，那么该河水流的速度是 三、计算题三、计算题 11 （2021 八上 南昌期末）解分式方程：32422=3+2 12 （2021 八下 修水期末）解方程： 13= 2 +3 13 （2020 八上 南昌期末）解分式方程： 12+142= 1 14 （2020 八上 寻乌期末）解方程： 13 2 =33 15 （2020 八下
5、 峡江期末）解方程： 7(1)(+2)=1 1 16 （2020 八下 九江期末）解分式方程： 23= 2 13 17 （2020 安源模拟）解方程： 1 32=52 18 （2020 八上 兴国期末）解方程： 3=12 19 （2020 吉安模拟）已知 = (1 4+3) 22+12+6 . （1）先化简 A，再从 1、2、3、3 中选一个合适的数作为 的值代入求值. （2）若 = 2020 ，求 x 的值； 四、综合题四、综合题 20 （2022 八下 抚州期末）在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了 A、B 两种不同型号的口罩，已知 A 型口罩的单价比 B 型口罩的单价多 1.5 元，且
6、用 8800 元购买 A 型口罩的数量与用 5500 元购买 B型口罩的数量相同 （1）A、B 两种型号口罩的单价各是多少元？ （2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买 B 型口罩的数量是 A 型口罩数量的 2 倍，若总费用不超过 3600 元，则增加购买 A 型口罩的数量最多是多少个？ 21 （2022 八下 宜春期末）第二十四届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 20 日在北京圆满闭幕，目前冰墩墩和雪容融两种奥运吉祥物在市场热销某特许商店准备购进冰墩墩和雪容融吉祥物若干，其进价和售价如下表所示已知用 3000 元购进冰墩墩吉祥物的数量与用 2400 元购进雪容
7、融吉祥物的数量相同 冰墩墩吉祥物 雪容融吉祥物 进价（元/个） m 20 售价（元/个） 240 160 （1）求 m 的值； （2）要使购进的两种吉祥物共 200 个的总利润（利润=售价-进价）不少于 21700 元，且冰墩墩的个数不超过两种吉祥物总个数的一半，该商店有几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，该商店准备对冰墩墩吉祥物每个优惠 50 元进行出售，雪容融吉祥物的售价不变，该商店怎样进货才能获得最大利润？ 22 （2022 九江模拟）2022 年北京冬季奥运会吉样物冰墩墩大受欢迎某商店第一次用 4000 元购进某款冰墩墩纪念章， 很快卖完 第二次又用 3000 购进该款纪念章， 但
8、这次每个纪念章是第一次进价的 1.2倍，数量比第一次少了 30 个 （1）求第一次每个纪念章的进价是多少元？ （2）若第二次进货后按 80 元/个的价格出售，恰好销售完一半时，根据市场情况，商店决定对剩余的纪念章按同一标准一次性打折销售，但要求这次的利润不少于 600 元，问最低可打几折？ 23 （2022 湖口模拟）冬奥会期间，各类吉祥物玩偶摆件在市场出现热销，俊俊决定购进“吉祥物毛绒玩具”与“吉祥物金属摆件”两种款式在自家网店销售， 已知一件“吉祥物金属摆件”的进价比一件“吉祥物毛绒玩具”多 20 元，6400 元购进的“吉祥物毛绒玩具”数量是 4000 元购进的“吉祥物金属摆件”的两倍
9、（1）每件“吉祥物毛绒玩具”与“吉祥物金属摆件”的进价各多少元？ （2）俊俊通过第一个月的销售数据发现，将“吉祥物毛绒玩具”定价 150 元销售时，每周可售出 10个，销售单价每降价 5 元，每周销售量可增加 1 个，若俊俊希望一周销售“吉祥物毛绒玩具”获得 720元的销售利润，则“吉祥物毛绒玩具”应如何定价 24 （2021 江西）甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用 2400 元购买的商品数量比乙用3000 元购买的商品数量少 10 件 （1）求这种商品的单价； （2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了 20 元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上
10、次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是 元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是 元/件 （3）生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同 加油更合算（填“金额”或“油量”） 25（2020 八上 南昌期末）定义： 若两个分式的和为 n （n 为正整数） ， 则称这两个分式互为“n 和分式” 例如： 5+1+5+1= 5 ，我们称两个分式 5+1 与 5+1 互为“5 和分式”解答下列问题： （1）分式 4+1 与分式 互为“4 和分式”； （2）分式 2+ 与分式 2+ 互为“ 和分式”； （3）已知 = 1 ，两个分式 1+1 与
11、 1+1 是否是“n 和分式”？如果是，请求出 n 的值；如果不 是，请说明理由； （4）若分式 3+2 与 32+ 互为“3 和分式”（其中 x，y 为正数） ，求 的值 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：去分母得 x-6=a， 解得 x=a+6， 因为关于 x 的方程62=2产生增根， 所以 x=2，即 a+6=2，解得 a=-4 故答案为：B 【分析】先求出 x=a+6，再求出 a+6=2，最后计算求解即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：去分母得：m-2=x-1， 移项得：x=m-1， 由方程的解是正数得， m-10 且 m-1-10， 解得：m1 且
12、 m2， 故答案为：D 【分析】根据题意，先解方程求出 x=m-1，由方程的解是正数得，则 m-10 且 m-1-10，解得：m1且 m2，因此得解。 3 【答案】A 【解析】【解答】解：设小明每天看书 x 页，则小芳每天看书 ( 5) 页， 则 90=805 故答案为：A 【分析】根据小明看 90 页书所用的天数与小芳看 80 页书所用的天数相等，列方程求解即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】设平时每个粽子卖 x 元， 依题意，得： 54=540.9 3 故答案为：B 【分析】根据 “90 时代”的粽子打 9 折出售，小马去该店买粽子花了 54 元钱，比平时多买了 3 个 ，列方程求解即
13、可。 5 【答案】B 【解析】【解答】根据已知得乙车间每天能加工 1.3x 个，根据题意得 2300+2300+1.3= 33 故答案为：B 【分析】因为设甲车间每天能加工 x 个，所以乙车间每天能加工 1.3x 个，由题意可得等量关系：甲乙两车间生产 2300 件所用的时间+乙车间生产 2300 件所用的时间=33 天，根据等量关系可列出方程. 6 【答案】2 【解析】【解答】解：21+ 3 =1， 去分母得：2 + 3( 1) = ， 解得： =+13， 分式方程有增根， 1 = 0，即+13 1 = 0， 解得： = 2 故答案为：2 【分析】先将分式方程化为整式方程，再将 x=1 代入
14、求出 m 的值即可。 7 【答案】160=14010 【解析】【解答】解：根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得 160=14010 故答案为：160=14010 【分析】根据“ 甲采样 160 人所用时间与乙采样 140 人所用时间相等 ”列出方程160=14010即可。 8 【答案】 34 【解析】【解答】解：去分母得， 2( + ) 3(2 1) = 6 ， 去括号得， 2 + 2 6 + 3 = 6 ， 移项合并得， 4 = 4 3 ， 系数化为 1 得， =344 ， 关于 的方程 +3212= 的解是非正数， 344 0 ， 34 故答案为： 34 【分析】先解方程求
15、得 x，再根据 0，求出 m 的取值范围即可。 9 【答案】-1 【解析】【解答】解：去分母得： 3 + 2 = ， 由分式方程有增根，得到 = 2 ， 代入整式方程得： = 1 ， 故答案为： -1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把 = 2 代入整式方程求出 m 的值即可 10 【答案】0.02km/min 【解析】【解答】解：设该河水流的速度是每小时 x 公里，游泳者在静水中每小时游 a 公里 由题意，有 1.2+3060()+ = 1.23060 ，解得 x=1.2 经检验，x=1.2 是原方程的解 1.2 km/h=0.02km/min 故答案为：0.02km/min 【分析】
16、设该河水流的速度是每小时 x 公里，游泳者在静水中每小时游 a 公里，则游泳者逆流游了3060（ ）公里， 他再返回追到水壶用了1.2+3060()+小时， 这个时间比水壶在遗失后漂流的时间1.2小时少了3060小时，即可列出方程，进而求解. 11 【答案】解：324+22=3+2 去分母去括号得：3 + 2 + 4 = 3 6 解得： = 5 检验：当 = 5时，( + 2)( 2) 0 分式方程的解为 = 5 【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、河滨同类项，最后系数化为 1 并检验即可。 12 【答案】解： 13= 2 3 两边同时乘以（x-3）得 1=2（x-3）-x 解得 x
17、=7 经检验 x=7 是原方程的解 【解析】【分析】先去分母再利用整式方程的解法求出解，最后检验即可。 13 【答案】解：方程两边同乘以 2( 2) ，得 ： 2 + ( + 1) = 2( 2) 解得 = 7 检验：当 = 7 时， 2( 2) 0 所以，原分式方程的解为 = 7 【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为 1 并检验即可。 14 【答案】解：方程两边同乘 ( 3) ，得： 1 2( 3) = 3 去括号，得： 1 2 + 6 = 3 移项，得： 2 = 3 1 6 合并同类项，得： 2 = 10 系数化为 1，得： = 5 检验：5320， = 5
18、 是原方程的解 【解析】【分析】根据解分式方程的步骤解方程，再检验求解即可。 15 【答案】解：去分母得： 7 = ( + 2) ( 1)( + 2) ， 去括号得： 7 = 2+ 2 2 + 2 ， 解得： = 5 ， 经检验， = 5 是原方程的根， 原方程的解为 = 5 【解析】【分析】先去分母，再解方程，最后检验求解即可。 16 【答案】解：去分母得：y2=2y6+1 移项合并得：y=3 经检验：y=3 是增根，分式方程无解 【解析】【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 y 的值，经检验即可得到分式方程的解 17 【答案】解：2-x-3=-(5-x) -x
19、-x=-5+3-2 x=2 检验 2-x=2-2=0 此分式方程无解 【解析】【分析】先去分母化成一元一次方程，根据一元一次方程的步骤解出 x 的值，再检验，即可得 出答案. 18 【答案】3=12 方程两边同时乘以 （ 2) 得， 3（ 2) = ， 3 6 = = 3 把 = 3 代入 （ 2) ，得 （ 2) 0 所以原方程的解是 = 3 【解析】【分析】先去分母、去括号、移项、系数为 1，再验根即可； 19 【答案】（1）解：原式 = (+3+34+3) 2(+3)(1)2 =1+32(+3)(1)2=21 + 3 0 ， 1 0 ， 3 且 1 ， 当 = 2 时，原式 = 2 .
20、或当 = 3 时，原式 = 1 （2）解：根据题意得 21= 2020 ， 解得 =10111010 经检验， =10111010 是分式方程的解 【解析】【分析】 （1）先去括号，再进行除法运算，最后约分化简分式，之后根据分式有意义的条件求出 x 的取值范围，并在所给的数值中选择合适的一个代入求值； （2）利用解分式方程的方法即可求解. 20 【答案】（1）解：设 A 型口罩的单价为 x 元，则 B 型口罩的单价为（x1.5）元， 根据题意，得：8800=55001.5 解方程，得：x=4 经检验：x=4 是原方程的根，且符合题意 所以 x1.5=2.5 答：A 型口罩的单价为 4 元，则
21、B 型口罩的单价为 2.5 元； （2）解：设增加购买 A 型口罩的数量是 m 个， 根据题意，得：2.52m+4m3600 解不等式，得：m400 答：增加购买 A 型口罩的数量最多是 400 个 【解析】【分析】 （1）设 A 型口罩的单价为 x 元，则 B 型口罩的单价为（x1.5）元，根据题意列出方程8800=55001.5，再求解即可； （2）设增加购买 A 型口罩的数量是 m 个，根据题意列出不等式 2.52m+4m3600，再求解即可。 21 【答案】（1）解：根据题意得3000=240020，解得：m=100，经检验，m=100 是原方程的解，且符合题意答：m 的值为 100
22、（2）解：设购进 x 个冰墩墩吉祥物，则购进（200-x）个雪容融吉祥物，依题意得： 12 200(240 100) + 160 (100 20)(200 ) 21700解得： 95x100， 又x 为整数， x 可以为 95，96，97，98，99，100，该商店有 6 种进货方案 （3）解：设全部售完后获得的总利润为 y 元，则 y=（240-50-100）x+160-（100-20）（200-x）=10 x+16000 100， y 随 x 的增大而增大， 当 x=100 时， y 取得最大值， 此时 200-x=200-100=100，该商店应购进 100 个冰墩墩吉祥物，100 个雪
23、容融吉祥物才能获得最大利润 【解析】【分析】 （1）根据题意先求出 3000=240020，再求解即可； （2）根据 要使购进的两种吉祥物共 200 个的总利润（利润=售价-进价）不少于 21700 元，且冰墩墩的个数不超过两种吉祥物总个数的一半， 列不等式组求解即可； （3）先求出 y=（240-50-100）x+160-（100-20）（200-x）=10 x+16000 ，再根据函数的性质求解即可。 22 【答案】（1）解：设第一次每个纪念章的进价是 x 元，根据题意得： 4000 30 =30001.2， 解得 x=50 经检验，x=50 是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一次纪念
24、章的进价是 50 元； （2）解：第二次购进纪念章的数量：3000 （1.2 50）=50（个） ， 第二次购进纪念章的价格是：1.2 50=60（元） 设商店对剩余的纪念章按同一标准一次性打 a 折销售时，可使利润不少于 600 元，由题意得： （80-60） 25+（8010-60）25600， 解得：a8， 故最低打 8 折 答：最低打 8 折 【解析】【分析】 （1）设第一次每个纪念章的进价是 x 元，根据题意列出方程4000 30 =30001.2求解即 可； （2）设商店对剩余的纪念章按同一标准一次性打 a 折销售时，可使利润不少于 600 元，根据题意列出不等式（80-60） 2
25、5+（8010-60）25600 求解即可。 23【答案】（1） 解： 设每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是 x 元， 每件“吉祥物金属摆件”的进价是( + 20)元， 6400=4000+20 2， 解得 = 80， 经检验， = 80是原方程的解，且符合题意 + 20 = 100（元） 答：每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是 80 元，每件“吉祥物金属摆件”的进价是 100 元 （2）解：设每件“吉祥物毛绒玩具”降价 y 元， (150 80)(10 +5) = 720， 解得1= 2= 10 150 10 = 140（元） 答：“吉祥物毛绒玩具”应定价为每件 140 元 【解析】【分析】（1）
26、设每件“吉祥物毛绒玩具”的进价是 x 元， 每件“吉祥物金属摆件”的进价是( + 20)元，根据“6400 元购进的“吉祥物毛绒玩具”数量是 4000元购进的“吉祥物金属摆件”的两倍”列出方程并求解即可； （2）设每件“吉祥物毛绒玩具”降价 y 元， 根据总利润=单件的利润 销售量，列出方程并解之即可. 24 【答案】（1）解：设这种商品的单价为 元/件， 30002400= 10 ，解得 = 60 ，经检验 = 60 是原分式方程的解， 则这种商品的单价为 60 元/件 （2）48；50 （3）金额 【解析】【解答】 （2）甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价为 60 20 = 40 元/
27、件， 甲两次购买总价为 2400 2 = 4800 元，购买总数量为 240060+240040= 100 件， 甲两次购买这种商品的平均单价是 4800100= 48 元/件； 乙两次购买总价为 3000 +300060 40 = 5000 元，购买总数量为 300060 2 = 100 件， 乙两次购买这种商品的平均单价是 5000100= 50 元/件； 故答案为：48，50； （3）48 50 ， 按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算， 建议按相同金额加油更合算， 故答案为：金额 【分析】 （1）先求出 30002400= 10 ， 再解方程，并检验求解即可； （2）根据题意计算
28、求解即可； （3）求出按照甲两次购买商品的总价相同的情况下更合算，再求解即可。 25 【答案】（1）4+1 （2）2 （3）解： = 1 ， =1 1+1=11+1=1+ 1+1+1+1=1+1+1=+1+1= 1 1+1 与 1+1 互为“1 和分式” n=1 （4）解：3+2 与 32+ 互为“3 和分式” 3+2+32+= 3 3( + 2) + 3(2+ ) = 3( + 2)(2+ ) 322= 3 = 1 【解析】【解答】解： （1）设这个分式为 W， 根据题意可知 +4+1= 4 = 4 4+1=4+44+1=4+1 （2） 2+2+=2+2+= 2 2+ 与 2+ 互为“2 和分式” 【分析】 （1）根据题意两个分式的和为 5，建立等式计算即可； （2）根据题意得出 xy=1，可用1表示出 y，代入求证计算结果为 2 即可； （3）列出等式，再根据分式的运算法则计算并探讨即可； （4）由3+2 与 32+ 互为“3 和分式”，得出3+2+32+= 3化简得出 xy 的值