1、 专题专题 11 11 反比例函数反比例函数 一、单选题一、单选题 1如图，直线 = 43 + 5与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，将线段沿 x 轴方向向右平移 5 个单位长度得到线段，与双曲线 =交( 0)于点 N，点 M 在线段上，连接，若四边形是菱形，则 k=（ ） A6 B8 C10 D12 2已知反比例函数 =1经过平移后可以得到函数 =1 1，关于新函数 =1 1，下列结论正确的是（ ） A当 0时，y 随 x 的增大而增大 B该函数的图象与 y 轴有交点 C该函数图象与 x 轴的交点为（1，0） D当0 12时，y 的取值范围是0 1 3若反比例函数 =的图象经过点(2，
2、2)，则该函数图象不经过的点是（ ） A （1，4） B （2，2） C （4，1） D （1，4） 4 （2021 九上 萍乡期末）如图，反比例函数 =( 0)的图象经过 A，B 两点，过点 A 作 轴，垂足为 C过点 B 作 轴，垂足为 D连接 AO，连接 BO 交 AC 于点 E若 = ，四边形BDCE 面积为 2，则 k 的值为（ ） A133 B143 C5 D163 5 （2021 九上 景德镇期末）若点(3，1)，(1，2)，(2，3)在反比例函数 =2+1的图象上，则1，2，3的大小关系是（ ） A1 2 3 B2 1 3 C3 1 2 D1 3 2 B1 1 时， 8 0 2
3、 ，则下列不等式一定成立的是（ ） A1 2 0 B2 0 1 C0 1 2 D1 0 2 二、填空题二、填空题 11 （2022 江西）已知点 A 在反比例函数 =12( 0)的图象上，点 B 在 x 轴正半轴上，若 为 等腰三角形，且腰长为 5，则的长为 12 （2021 九上 泰和期末）如图，A、B 两点分别在反比例函数 =2（x0）和 =4（x0）的图象上，且 ABx 轴，C 为 x 轴上任意一点，则ABC 的面积为 13 （2021 九上 景德镇期末）如图所示，点 A 是反比例函数 =7( 0)图象上的任意一点， 轴交反比例函数 = 9的图象于点 B，以为边作，点 C，D 在 x 轴
4、上，则的面积为 14 （2021 九上 高安期末）如图一次函数 y1=kx+b 和反比例函数2=的图象，观察图象写出 y1y2时，x 的取值范围 15 （2021 九上 上高月考）如图，两个反比例函数 =4和 =2在第一象限内的图象分别是 C1和 C2，设点 P 在 C1上，PAx 轴于点 A，交 C2于点 B，则POB 的面积为 16 （2021 赣州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知菱形 的顶点 C 在 x 轴上，若点 A 的坐标为 (3,4) ，经过点 A 的双曲线交边 于点 D，则 的面积为 17 （2020 九上 兴国期末）已知反比例函数 y 3 的图象在第一、三象限内，则 k 的
5、值可以是 （写出满足条件的一个 k 的值即可） 18（2020 九上 南昌期末）如图， 反比例函数 = （ 0 ） 图象经过 点， 轴， = ，若 的面积为 6，则 的值为 19 （2020 九上 石城期末）如图所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， = 90 ， 轴于点 ，点 在函数 =( 0) 的图象上，若 = 1 ，则 的值为 20 （2020 九上 定南期末）若反比例函数 =2 的图象在第一、三象限，则 k 的取值范围是 三、综合题三、综合题 21 （2022 江西）如图，点(，4)在反比例函数 =( 0)的图象上，点 B 在 y 轴上， =
6、 2，将线段向右下方平移，得到线段，此时点 C 落在反比例函数的图象上，点 D 落在 x 轴正半轴上，且 = 1 （1）点 B 的坐标为 ，点 D 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 m 的式子表示） ； （2）求 k 的值和直线的表达式 22（2022 遂川模拟）如图， 直线 = 1 + (1 0)分别与轴、 轴交于点， = 12， 点(0，6)， 与反比例函数 =2( 0，2 0)交于点，点在直线上，且 = 45，为的中点 （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，求tan的值 23（2022 九江模拟）如图， 一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=2的图象相交于 A(1， m
7、)和 B(n，1)两点 （1） m= ，n= ； （2）求出一次函数的解析式，并结合图象直接写出不等式 kx+b2的解集 24 （2022 萍乡模拟）如图，双曲线 =( 0)经过Rt 斜边的中点，交直角边于点，连接，点的坐标为(8，4) （1）求直线的解析式； （2）求sin的值 25 （2022 石城模拟）正方形 ABCD 的边长为 4，AC，BD 交于点 E在点 A 处建立平面直角坐标系如图所示 （1） 如图 （1） ， 双曲线y 1 过点E， 完成填空： 点C的坐标是 ， 点E的坐标是 ，双曲线的解析式是 ； （2）如图（2） ，双曲线 y 2 与 BC，CD 分别交于点 M，N求证：
8、； （3）如图（3） ，将正方形 ABCD 向右平移 m（m0）个单位长度，使过点 E 的双曲线 y 3 与AB 交于点 P当 AEP 为等腰三角形时，求 m 的值 26 （2022 九下 乐平期中）如图，直线 y1ax+1 与 y 轴交于点 C，与双曲线 y2交于 A、B 两点，AD y 轴于点 D，ADCD2 （1）点 C 坐标为 （2）确定直线和双曲线的表达式 （3）直接写出关于 x 的不等式 ax+1的解集 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解：对于 y=-43x+5，令 x=0，则 y=5，故点 B 的坐标为（0，5） ， 由题意得：MN=5， 四边形 MNB
9、B 是菱形，则 MB=MN=5， 设点 M（m，-43m+5） ， 则 MB2=m2+（-43m+5-5）2=52， 解得 m= 3（舍去-3） ， 故点 M 的坐标为（3，1） ， 则点 N（8，1） ， 将点 N 的坐标代入反比例函数表达式得：k=8 1=8， 故答案为：B 【分析】先求出 MB2=m2+（-43m+5-5）2=52，再求出 N（8，1） ，最后求解即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】解：函数 =1与函数 =1 1的图象如下图所示： 函数 =1 1的图象是由函数 =1的图象向下平移 1 个单位长度后得到的， A、由图象可知函数 =1 1，当 0时，y 随 x 的增大而减
10、小，与题意不符； B、函数 =1 1的图象是由函数 =1的图象向下平移一个单位后得到的，所以函数与 y 轴无交点，与题意不符； C、将 y=0 代入函数 =1 1中得，0 =1 1，解得 = 1，故函数与 x 轴交点坐标为（1，0） ，与题意相符； D、当 =12时， = 1 12 1 = 1，有图像可知当0 0， 反比例函数 =2+1的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而减小， 点(3，1)，(1，2)，(2，3)， 点 C 在第一象限内，点 A、B 在第三象限内， 2 10 该函数的图象在第一、三象限，A 不符合题意； 当1x0 时，y3，当 x0 时，y0，B 符合
11、题意； 当 x0 时，y 的值随 x 的增大而减小，C 不符合题意； 若点（a，b）在它的图象上，则有 =3，从而有 =3，即点（b，a）也在图象上，D 不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据反比例函数的图象和性质逐项判断即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：直线 l 与 x 轴平行， =12 8 = 4 ， =12 | 又= + = 10 ，即 4 +12 | = 10 = 12 反比例函数 =( 0) 的图象在第二象限 0 = 12 故答案为：D 【分析】先求出4 +12 | = 10，再求出 0） ， OA=5， 2+ (12)2= 5， 解得：1= 3，2= 4， A（3，4）
12、或（4，3） ， AB=(3 5)2+ 42= 25或 AB=(4 5)2+ 32=10； 综上所述，AB 的长为 5 或25或10 故答案为：5 或25或10 【分析】 分三种情况： 当 AO=AB 时， AB=5； 当 AB=BO 时， AB=5； 当 OA=OB 时， 则 OB=5，B（5，0） ，设 A（a，12） ，根据 OA=5，可得2+ (12)2= 5，求出 a 的值，再利用两点之间的距离公式可得 AB 的长，从而得解。 12 【答案】1 【解析】【解答】解：如图，延长 BA 交 y 轴于点 M，连接 OA，OB， 直线 AB 与 x 轴平行， 1，2， 211， 故答案为：1
13、 【分析】延长 BA 交 y 轴于点 M，连接 OA，OB，再结合1，2，可得211。 13 【答案】16 【解析】【解答】解：连接 OA、OB，AB 交 y 轴于 E，如图， ABx 轴， ABy 轴， SOEA12 772，SOBE12 992， SOAB72+92= 8， 四边形 ABCD 为平行四边形， S平行四边形ABCD2SOAB16 故答案为：16 【分析】连接 OA、OB，AB 交 y 轴于 E，根据反比例函数 k 的几何意义可得 SOEA12 772，SOBE12992，再求出 SOAB72+92= 8，最后利用平行四边形的性质可得 S平行四边形ABCD2SOAB16。 14
14、 【答案】2x0 或 x3 【解析】【解答】解：根据图象可得当 y1y2时，x 的取值范围为-2x0 或 x3 故答案为：-2x0 或 x3 【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。 15 【答案】1 【解析】【解答】PAx 轴于点 A，交 C2于点 B，SPOA=12 4=2，SBOA=12 2=1， SPOB=SPOASBOA =21=1 【分析】 根据反比例函数 k 的结合意义可得 SPOA=12 4=2， SBOA=12 2=1， 再利用 SPOB=SPOASBOA 计算即可。 16 【答案】10 【解析】【解答】解：点 A 坐标为（3，4） ， OA= 32+
15、42 =5， 四边形 ABCO 为菱形， S菱形ABCO=5 4=20， SOAD= 12S菱形ABCO= 12 20=10 故答案为 10 【分析】先利用勾股定理计算出 OA=5，再利用菱形的面积公式计算出 S菱形ABCO=5 4=20，然后根据三角形面积公式，利用 SOAD= 12S菱形ABCO求解即可。 17 【答案】2（答案不唯一，只要小于 3 即可） 【解析】【解答】解：反比例函数 y 3 的图象在第一、三象限内 3k0 解得：k3 故答案为：2（答案不唯一，只要小于 3 即可） 【分析】先求出 3k0，再求出 k3，最后求解即可。 18 【答案】-6 【解析】【解答】解：设点 (,
16、) ，由题意得： = , = ， = ， = ， = 2 ， 的面积为 6， =12 =12 (2) = 6 ， = 6 ； 故答案为-6 【分析】先求出 = ， = 2 ，再根据三角形的面积公式进行计算求解即可。 19 【答案】2 【解析】【解答】解：作 BDAC 于 D，如图， ABC 为等腰直角三角形， BD 是 AC 的中线， AC2BD， ACx 轴，BDAC，AOB90 ， 四边形 OADB 是矩形， BDOA1， AC2， C（1，2） ， 把 C（1，2）代入 y 得 k1 22 故答案为：2 【分析】作 BDAC 于 D，如图，先利用等腰三角形的性质得到 AC=2BD，再证得
17、四边形 OADB 是矩形，利用 ACx 轴得到 C 的坐标，再根据反比例函数图象上的点坐标特征计算 K 的值。 20 【答案】k2 【解析】【解答】反比例函数 =( 0) 的性质：当 0 时，图象在第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；当 0 ，解得 k2. 【分析】根据反比例函数的图象在第一、三象限，可知 2-k0，再求解即可。 21 【答案】（1） （0，2） ； （1，0） ； （m1，2） （2）解：点 A 和点 C 在反比例函数 =( 0)的图象上， k4m2（m1） ， m1， A（1，4） ，C（2，2） ， k1 44， 设直线 AC 的表达式为： = + ，
18、+ = 42 + = 2 解得 = 2 = 6， 直线 AC 的表达式为：y-2x6 【解析】【解答】解：(1)点 B 在 y 轴上， = 2， B（0，2） ， 点 D 落在 x 轴正半轴上，且 = 1 D（1，0） ， 线段 AB 向下平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，得到线段 CD， 点 A（m，4） ， C（m1，2） ， 故答案为： （0，2） ， （1，0） ， （m1，2） ； 【分析】 （1）直接写出点 B 的坐标，再利用点坐标平移的特征求出点 C、D 的坐标即可； （2）先求出点 A、C 的坐标，再利用待定系数法求出直线 AC 的解析式即可。 22 【答案】（1）解：
19、 = 12， 点的坐标为(12，0) 直线 = 1 + 过点(12，0)，(0，6)， 121+ = 0 = 6， 解得1= 12 = 6，即 = 12 + 6 点在直线 = 12 + 6上，且 = 45， 设(，)且 = 12 + 6，得 = 4 (4，4) 是的中点， 点 C 的横坐标为4+02= 2，纵坐标为4+62= 5，即(2，5) 2= 2 5 = 10， 反比例函数的解析式为 =10 （2）解：连接 OD，过点 D 作 DFx 轴于点 F，如图， 联立方程组 = 12 + 6 =10， 解得 = 10 = 1或 = 2 = 5（舍去） 点的坐标为(10，1) = 10， = 1
20、tan =110 【解析】【分析】 （1）利用待定系数法即可得解； （2）联立方程得出点 D 的坐标，得出 = 10， = 1 ，即可得解。 23 【答案】（1）2；2 （2）解：A（-1，2） ，B（2，-1） ， + = 22 + = 1， 解得： = 1 = 1， 一次函数的解析式为 y=-x+1， 观察图象，不等式 kx+b-2的解集是 x-1 或 0 x2 【解析】【解答】(1)解：把 A（-1，m） ，B（n，-1）分别代入 y=-2得 m=2，-1=-2， 解得 m=2，n=2； 故答案为：2，2； 【分析】 （1）利用待定系数法即可得解； （2）根据 A、B 的坐标，利用待定系
21、数法求出直线 AB 的解析式，观察图象即可得出不等式的解集。 24 【答案】（1）解：的中点是，点的坐标为(8，4)， (4，2) 双曲线 =( 0)经过点； = 4 2 = 8， =8 为直角三角形， /轴， ，两点的纵坐标相等，均为 4， (2，4) 设直线的解析式为 = ， 4 = 2，解得 = 2 直线的解析式为 = 2 （2）解：如图，过点作 于点， sin =， 6=442+82，解得 =655， 在Rt 中，sin =65522+42=35 【解析】【分析】（1） 先求出点P （4， 2） ， 将点P坐标代入 =( 0)中可得k=8， 即得 =8， 由/轴及A 的坐标，可得，两点
22、的纵坐标相等均为 4，从而求出 Q（2，4） ，设直线的解析式为 = ， 将Q 坐标代入求出 a 值即得解； （2） 过点作 于点， 由sin =可求出 QD，根据 sin = 即可求解. 25 【答案】（1）(4，4)；(2，2)； =4 （2）证明：双曲线 y 2 与 BC，CD 分别交于点 M，N， 设 M（m，4） ，N（4，n） ， 4m4n， mn， MCNC， 由正方形可知，BCD90 ， CMN45 ，CBD45 ， CMNCBD， MNBD； （3）解：正方形边长为 4， 由（1）知 E（2，2） ， AE 12 =1242+ 42= 22 ， 当 APAE2 2 时， P（
23、m，2 2 ） ，E（m+2，2） ，点 P、E 在反比例函数图象上， 2 2 m2（m+2） ， m2 2 +2； 当 EPAE 时，点 P 与点 B 重合， P（m，4） ，E（m+2，2） ，点 P、E 在反比例函数图象上， 4m2（m+2） ， m2； = 45 当 EPAP 时， 即 当 EPAP 时，点 P、E 不可能都在反比例函数图象上，故此情况不存在； 综上所述，满足条件的 m 的值为 2 或 2 2 +2 【解析】【解答】解： （1）正方形 ABCD 的边长为 4，AC，BD 交于点 E， C（4，4） ，E（2，2） ， 将 E 点坐标代入双曲线 y 1 ， 得 2 12
24、， 解得 k14， 双曲线的解析式为 y 4 ， 故答案为： （4，4） ， （2，2） ， =4 ； 【分析】 （1）根据正方形的边长可确定 C 点坐标，再利用正方形的性质得出 E 点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可； （2） 设出 M 点和点 N 的坐标， 根据坐标的性质得出 MC=NC， 推出CMN=CDB 即可得出 MN/BD； （3）根据点 E 的坐标求出 AE 的长，再分三种情况讨论分别求出 m 的值即可。 26 【答案】（1） （0，1） （2）解：C（0，1） ， OC=1 ADCD2， OD=OC+CD=3 又ADy 轴， A（2，3） 将 A（2，3）分别代入 y1a
25、x+1 和 y2， 得：32a+1，3 =2， 解得：a1， = 6， 直线表达式为 y1x+1，双曲线的表达式为2=6； （3）解：联立1= + 12=6， 解得：1= 21= 3，2= 32= 2， B（-3，-2） 求关于 x 的不等式 ax+1的解集，即求一次函数图象在反比例函数图象下方时 x 的取值范围即可 由图象和两图象交点可知，当 3或0 2时，一次函数图象在反比例函数图象下方， 关于 x 的不等式 ax+1的解集为 3或0 2 【解析】【解答】解： （1）对于直线 y1ax+1，令 x0，则 y11， C（0，1） ， 故答案为： （0，1） ； 【分析】 （1）将 x=0 代入 y1ax+1 求出 y=1，即可得到点 C 的坐标； （2）先求出点 A 的坐标，再将点 A 的坐标代入 y1ax+1 和 y2即可得到 a、k 的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式； （3）先联立方程组求出点 B 的坐标，然后利用函数值大的图象在上方的原则求解即可