1、 专题专题 5 5 二元一次方程组二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1已知 x，y 满足方程组 + 4 = 52 = 1，则 x 与 y 的关系是（ ） A + = 2 B + = 2 C = 2 D = 2 2已知、是自然数，且满足2 3 4= 192，则 + + 的取值不可能是（ ） A5 B6 C7 D8 3若 = 1 = 3 是二元一次方程 = 3 的解，则 m 为（ ） A7 B6 C43 D0 4孙子算经是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱 48文，
2、问甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，可列方程组是（ ） A12 + = 4823 + = 48 B +12 = 48 +23 = 48 C +12 = 4823 + = 48 D12 + = 48 +23 = 48 5已知 = 2， = 1 是二元一次方程组 + = 7 = 1 的解，则 的值为 A1 B1 C2 D3 6如果x+y1和 2（2x+y3）2互为相反数，那么 x，y 的值为（ ） A = 1 = 2 B = 1 = 2 C = 2 = 1 D = 2 = 1 7（2021 七下 赣州期末）已知关于 = 2 = 1 是二元一次方程 3 = 1 的解，
3、则 的值等于 （ ） A5 B-5 C-7 D7 8 （2021 吉水模拟）我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：有 100 匹马恰好拉了100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有 x 匹，小马有 y 匹，那么可列方程组为（ ） A + = 1003 + 3 = 100 B + = 100 + 3 = 100 C + = 1003 + = 100 D + = 1003 +13 = 100 9 （2020 八上 遂川期末）已知方程组 2+ = 3 2 = 5 ，则 + 3 的值是（ ） A-1 B1 C-2 D2 10
4、 （2020 八上 吉安期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A + 2 = 62 3 = 5 B +1= 22 = 1 C + = 42 = 5 D + = 4 = 3 二、填空题二、填空题 11 （2022 七下 石城期末）已知 x、y 满足方程组2 + = 6 + 2 = 3的解，则 x+y= 12 （2022 七下 新余期末）九章算术是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题， 也首先记录了“盈不足”等问题 如有一道阐述“盈不足”的问题， 原文如下： 今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每
5、人出 9 文钱，就会多 11 文钱；如果每人出 6 文钱，又会缺 16 文钱设合作买鸡的有 x 人，鸡价为 y 文钱，则可列方程组为 13 （2022 七下 抚州期末）已知等腰三角形两边的长分别为 a，b，且满足| 3| + ( 7)2= 0则这个等腰三角形的周长为 14 （2022 七下 南昌期末）若 = 1 = 2是关于 x，y 的方程 + 2 = 5的解，则 k 的值是 15 （2022 玉山模拟）方程组 + 2 = 52 = 0的解为 16 （2022 玉山模拟）某校要购买中国传统数学著作九章算术和孙子算经两种书已知购买 2本九章算术和 1 本孙子算经需 105 元，购买 3 本九章算
6、术与购买 2 本孙子算经的价格相同， 设 孙子算经 的单价为 x元，九章算术 的单价为y元， 则可得方程组是： 17 （2022 寻乌模拟）被历代数学家尊为“算经之首”的九章算术是中国古代算法的扛鼎之作.九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？” 译文：“今有 5 只雀、6 只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀、6 只燕重量为 1 斤.问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重 x 斤，每只燕重 y 斤，可列方程组为 18（2021 九上 峡江期末）已知 、
7、 均为锐角， 且满足|sin 12|+(tan 1)2=0， 则 += 19 （2022 七上 高安期末）若| 1| + ( + 2021)2= 0，那么 的值是 20 （2020 八上 萍乡期末）将一张面值 50 元的人民币， 兑换成 5 元或 10 元的零钱， 两种人民币都要有，那么共有 种兑换方案 三、计算题三、计算题 21 （2022 七下 南康期末）解方程组： 2 = 23 + 2 = 6 22 （2022 九下 乐平期中）解方程组：5 2 = 123 4 = 10 23 （2021 七下 定南期末）解方程组： + 2 = 11，6 + = 22. 24 （2020 八上 吉安期末）
8、解方程组 +22 = 2 + 2 = 4 四、综合题四、综合题 25 （2021 七上 高安期中）若 A = 2x2 + xy + 3y2， B = x2 - xy + 2 y2 （1）若（1+ x） 2与 |2 + 2| 为相反数，求 2A-3（2B-A） 的值； （2）若 x2 + y2= 4， xy = -2 ，求 的值 26 （2021 七下 赣县期末）某水果店销售苹果和梨，购买 1 千克苹果和 4 千克梨共需 34 元，购买 2 千克苹果和 1 千克梨共需 26 元 （1）求每千克苹果和每千克梨的售价； （2）如果购买苹果和梨共 15 千克，且总价不超过 126 元，那么最多购买多少
9、千克苹果？ 27 （2021 八下 南康期末）某校举办数学学科节需购买 A，B 两种纪念品，若购买 A 种纪念品 2 件和 B种纪念品 3 件，共需 65 元；若购买 A 种纪念品 3 件和 B 种纪念品 2 件，共需 60 元 （1）求 A、B 两种纪念品的单价各是多少元？ （2）学科节组委会计划购买 A、B 两种纪念品共 100 件，且 A 种纪念品的数量不超过 B 种纪念品数量的 2 倍，设购买 A 种纪念品 m 件，购买这些纪念品的总费用为 W 元，请写出 W（元）与 m（件）之间的函数关系式并计算费用 W 的最小值 28 （2021 八下 赣州期末）为传承红色基因，引导学生学党史、知
10、党情、感党恩，培养爱国情怀，某校开展了红色研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生，现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示，为了安全既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 30 42 租金（元/辆） 300 400 （1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？ （2）设租用两种车共 8 辆，其中 辆甲种客车，租车总费用为 元，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元，且保证师生都有座位，怎样租
11、车最省钱？请说明理由 29 （2021 七下 赣州期末）阅读下列材料： 张丘建算经是一部数学问题集，其内容、范围与九章算术相仿其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何” 译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 结合你学过的知识，解决下列问题： （1）若设母鸡有 x 只，公鸡有 y 只， 小鸡有 只，买小鸡一共花费 文钱； （用含 x，y 的式子表示） 根据题意，列出一个含有 x，y
12、的方程： ； （2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的 4 倍多 2 只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只? （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解： + 4 = 52 = 1， 把两式相加，则3 + 3 = 6， + = 2； 故答案为：A 【分析】先求出3 + 3 = 6，再求解即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：原式=2(+2) 3= 192 式中有乘数 3 的倍数 192 3 = 64 = 26 26不能被 3 整除 原式中只能有 1 个 3 原式化为2(+2) 3=
13、26 3 + 2 = 6 = 1 + + = 7 、是自然数 = 6 2 07 0 0 解得0 3 当 = 0时， = 6，得 + + = 7； 当 = 1时， = 4，得 + + = 6； 当 = 2时， = 2，得 + + = 5； 当 = 3时， = 0，得 + + = 4； 故答案为：D 【分析】将原方程化为2(+2) 3= 26 3，得出 + 2 = 6 = 1，再根据、是自然数，求出 a、c的值，进而求出答案。 3 【答案】B 【解析】【解答】解：把 = 1 = 3 代入方程得： 3 = 3 ， 解得： = 6 ， 故答案为：B 【分析】把 x 与 y 的值代入方程计算即可求出 m
14、 的值。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：设甲原有 x 文钱，乙原有 y 文钱，由题意得 +12 = 4823 + = 48 ， 故答案为：C 【分析】根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 48 文；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱 48 文，可列出方程组，从而可解得本题。 5 【答案】A 【解析】【解答】已知 = 2 = 1 是二元一次方程组 + = 7 = 1 的解， 2 + = 72 = 1 由+，得 a=2， 由-，得 b=3， a-b=-1； 故答案为：A 【分析】将 x 与 y 的值代入方程组求出 a 与 b 的值，即可确定出 a-b 的
15、值。 6 【答案】C 【解析】【解答】|x+y-1|和 2(2x+y-3)2互为相反数， |x+y-1|+2(2x+y-3)20， |x+y-1|0，2(2x+y-3)20， x+y-1=0，2x+y-3=0 x=2，y=-1. 故答案为：C. 【分析】根据两个非负数互为相反数，判断两个非负数必定都是 0，列方程组解答即可。 7 【答案】B 【解析】【解答】 = 2 = 1 是二元一次方程 3 = 1 的解， 3 2 (1) = 1 ，解得：m=-5 故答案为：B 【分析】将 = 2 = 1代入3 = 1中，即可求出 m 值. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：设大马有 x 匹，小马有 y
16、匹，由题意得： + = 1003 +13 = 100 ， 故答案为：D 【分析】设大马有 x 匹，小马有 y 匹，根据：大马的匹数+小马的匹数=100 匹，所有大马拉瓦的片数+所有小马拉瓦的片数=100 片，列出方程即可. 9 【答案】C 【解析】【解答】解： 2 + = 3 2 = 5 ， -得： + 3 = 2 ， 故答案为：C 【分析】利用加减消元法解方程组进行求解即可。 10 【答案】C 【解析】【解答】解：A. + 2 = 62 3 = 5 含有 3 个未知数，故不是二元一次方程组； B. +1= 22 = 1 的分母含未知数，故不是二元一次方程组； C. + = 42 = 5 是二
17、元一次方程组； D. + = 4 = 3 含有 2 次项，故不是二元一次方程组； 故答案为：C 【分析】 如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次 ，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 根据二元一次方程组的定义对每个选项一一判断求解即可。 11 【答案】1 【解析】【解答】解：2 + = 6 + 2 = 3， 由+得：3 + 3 = 3， + = 1 故答案为：1 【分析】利用加减消元法可得3 + 3 = 3，再求出 + = 1即可。 12 【答案】9 11 = 6 + 16 = 【解析】【解答】解：由合伙买鸡的有 x 人，鸡价为 y 文钱， 根据题意得：9 11 = 6 +
18、 16 = ， 故答案为：9 11 = 6 + 16 = ， 【分析】根据 如果每人出 9 文钱，就会多 11 文钱；如果每人出 6 文钱，又会缺 16 文钱，列方程组求解即可。 13 【答案】17 【解析】【解答】解：| 3| + ( 7)20 3 = 0， 7 = 0， 解得 = 3， = 7， 3 是腰长时，三角形的三边分别为 3、3、7， 3 + 36 7， 不能组成三角形， 3 是底边时，三角形的三边分别为 7、7、3， 能组成三角形，周长3 + 7 + 717， 所以，三角形的周长为 17 故答案为：17 【分析】由于几个非负数的和为零，则每个非负数都等于 0，可分别求出 a、b
19、的值；再利用三角形三边关系定理进行分类讨论。 14 【答案】-1 【解析】【解答】解：若 = 1 = 2是关于 x，y 的方程 + 2 = 5的解， + 2 2 = 5， = 1； 故答案为：1 【分析】先求出 + 2 2 = 5，再求出 k 的值即可。 15 【答案】 = 1 = 2 【解析】【解答】解： + 2 = 52 = 0， 由+2 得： + 4 = 5， 解得 = 1， 将 = 1代入得：2 = 0， 解得 = 2， 则方程组的解为 = 1 = 2， 故答案为： = 1 = 2 【分析】利用加减消元法解方程组即可。 16 【答案】 +2 = 1052 = 3 【解析】【解答】设九章
20、算术的单价为 x 元， 孙子算经的单价为 y 元， 由题意可得， + 210523， 故答案为： + 210523 【分析】先求出 + 210523，再作答即可。 17 【答案】3 4 = 05 + 6 = 1 【解析】【解答】设雀、燕每 1 只各重 x 斤、y 斤，根据题意，得 4 + = 5 + 5 + 6 = 1 整理，得3 4 = 05 +6 = 1. 故答案为3 4 = 05 +6 = 1. 【分析】设雀、燕每 1 只各重 x 斤、y 斤，根据题意列出方程组4 + = 5 + 5 + 6 = 1即可。 18 【答案】75 【解析】【解答】解：由已知得 sin12=0，tan1=0，
21、=30，=45， +=75 【分析】 根据非负数之和为0的性质可得sin12=0， tan1=0， 再利用特殊角的三角函数值可得=30，=45，最后求出 +=75即可。 19 【答案】2022 【解析】【解答】根据题意可知 1 = 0， + 2021 = 0， 解得： = 1， = 2021 = 1 (2021) = 2022 故答案为：2022 【分析】利用非负数之和为 0 的性质可得 1 = 0， + 2021 = 0，求出 a、b 的值，再将 a、b 的值代入 计算即可。 20 【答案】4 【解析】【解答】设兑换成面值 5 元的人民币 x 张，面值 10 元的人民币 y 张， 依题意得：
22、5x+10y50， x102y 又x，y 均为正整数， = 8 = 1或 = 6 = 2或 = 4 = 3或 = 2 = 4， 共有 4 种兑换方案 故答案为：4 【分析】根据题意，设兑换成面值 5 元的人民币 x 张，面值 10 元的人民币 y 张，得乎 x 的值，根据 x，y 均为正整数，即可得出答案。 21 【答案】解：由，得4 = 8， 所以 = 2， 将 = 2代入，得2 2 = 2 所以 = 0， 所以原方程组的解是： = 2 = 0 【解析】【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。 22 【答案】解：5 2 = 123 4 = 10 解： 2 得：2 5 3 = 2 12
23、10， 解得： = 2， 把 = 2代入得：5 2 2 = 12， 解得： = 1， 原方程组的解为 = 2 = 1 【解析】【分析】利用加减消元法求出二元一次方程组的解即可。 23 【答案】解： 2，得 12 + 2 = 44 ，得 11 = 33 ， = 3 把 = 3 代入，得 3 + 2 = 11 ， = 4 所以方程组的解为 = 3， = 4. 【解析】【分析】利用加减消元法求解即可。 24 【答案】解：+22 = 2 + 2 = 4 ， 把代入，得 42 = 2 ， 解得 x=0， 把 x=0 代入，得 2y=4， 解得 y=2， 原方程组的解是 = 0 = 2 【解析】【分析】利
24、用代入消元法解方程组求解即可。 25 【答案】（1）解： （1+ x） 2与 |2 + 2| 为相反数， (1 + )2+ |2 + 2| = 0， 1 + = 02 + 2 = 0， = 1 = 0， 又 2A-3（2B-A） = 2(22+ + 32) 32(2 + 22) (22+ + 32) = 42+ 2 + 62 3(22 2 + 42 22 32) = 42+ 2 + 62 3(3 + 2) = 42+ 2 + 62+ 9 32 = 42+ 11 + 32 = 4 (1)2+ 11 (1) 0 + 3 02 = 4 （2）解：由 = (22+ + 32) (2 + 22) = 2
25、2+ + 32 2+ 22 = 2+ 2 + 2 x2 + y2= 4， xy = -2 ， 上式 = 4 + 2 (2) = 4 4 = 0. 【解析】【分析】 （1）根据“若（1+ x） 2与 |2 + 2| 为相反数”可得(1 + )2+ |2 + 2| = 0，再利用非负数之和为 0 的性质求出 x、 y 的值， 将 A = 2x2 + xy + 3y2， B = x2 - xy + 2 y2代入 2A-3 （2B-A） ，利用整式的混合运算化简，最后将 x、y 的值代入计算即可； （2） 先将 A = 2x2 + xy + 3y2， B = x2 - xy + 2 y2代入 利用整式
26、的混合运算化简， 再将 x2 + y2= 4， xy = -2 ，代入计算即可。 26 【答案】（1）解：设每千克苹果的售价为 元，每千克梨的售价为 元， 依题意，得 + 4 = 342 + = 26 ， 解得 = 10 = 6 答：每千克苹果的售价为 10 元，每千克梨的售价为 6 元 （2）解：设购买 m 千克苹果，则购买(15-m)千克梨， 依题意，得： 10 + 6(15 ) 126 ， 解得： 9 答：最多购买 9 千克苹果 【解析】【分析】 （1）设每千克苹果的售价为 元，每千克梨的售价为 元，依题意列出方程组，解得 x、y 的值； （2）设购买 m 千克苹果，则购买(15-m)千
27、克梨，依题意列出不等式，即可得出 m 的取值范围。 27 【答案】（1）解：设 A 种纪念品的单价是 x 元，B 种纪念品的单价是 y 元， 根据题意，得： 2 + 3 = 653 + 2 = 60 ， 解这个方程组，得 = 10 = 15 ， 答：A 种纪念品的单价是 10 元，B 种纪念品的单价是 15 元 （2）解：设购买 A 种纪念品 m 件，购买这些纪念品的总费用为 W 元 根据题意，得：W10m15（100m）5m1500 2(100 ) 2003 5 0， W 随 m 的增大而减小， 当 m66 时，W 取得最小值，此时 W5 6615001170 答：费用的最小值为 1170
28、元 【解析】【分析】 （1） 设 A 种纪念品的单价是 x 元， B 种纪念品的单价是 y 元， 根据题意 列出方程组，解之即可； （2） 设购买 A 种纪念品 m 件，购买这些纪念品的总费用为 W 元，根据题意列出式子，得出 m 的范围， 因为5 0， 所以 W 随 m 的增大而减小， 所以当 m66 时， W 取得最小值， 得到此时 W 的值。 28 【答案】（1）解：设老师有 x 名，学生有 y 名依题意，得 17 = 1218 = + 4 解得 = 16 = 284 答：此次参加研学旅行活动的老师有 16 人，学生有 284 人 （2）解：由题意，得：W=300a+400（8-a）=3
29、200-100a； 由载客量和租车费用得出不等式组 3200 100 310030 + 42(8 ) 300 ， 解得 1a3（a 为整数） ， 共有 3 种租车方案： 方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用 2900 元； 方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用 3000 元； 方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用 3100 元； 最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆 【解析】【分析】 （1） 设老师有 x 名，学生有 y 名依题意 列出方程组，解之即可； （2） 由题意不等式，由载客量和租车费用得出不等式组
30、，解得 a 的取值范围，即可得出答案。 29 【答案】（1）100 ；13(100 )；7 + 4 = 100 （2）设母鸡有 x 只，公鸡有 y 只，根据题意，得： 7 +4 = 100， = 4 + 2 ，解得 = 18， = 4 ， 100 = 78 （只） ， 答：母鸡有 18 只，公鸡有 4 只，小鸡有 78 只 （3）以下三组答案，写出其中任意两组即可： 公鸡有 12 只，母鸡有 4 只，小鸡有 84 只； 公鸡有 8 只，母鸡有 11 只，小鸡有 81 只； 公鸡有 0 只，母鸡有 25 只，小鸡有 75 只 【解析】【分析】 （1）若设母鸡有 x 只，公鸡有 y 只，可得小鸡有（100-x-y）只，由每三只小鸡值一文钱，可得一只鸡13文钱，从而可得买小鸡一共花费13(100 )文钱；根据：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100，列出方程即可； （2）根据：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100， 母鸡数量是公鸡数量的 4 倍多 2 只 列出方 程组，求解即可； （3）求出符合：公鸡的数量+母鸡的数量+小鸡的数量=100 的正整数解即可.