1、 专题专题 21 21 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1 （2022 湘潭）中国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时，用 4 个全等的直角三角形拼成正方形（如图） ，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”，若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为 1， 为直角三角形中的一个锐角，则 tan（ ） A2 B32 C12 D55 2 （2022 娄底）如图，等边 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 的面积之比是（ ） A318 B318 C39 D39 3 （2022 衡阳模拟）如图
2、，在ABC 中，BAC90 ，C30 ，按以下步骤作图：分别以点 B，C力圆心， 以大于12BC 的长为半径作弧， 两弧交于 M， N 两点， 作直线 MN， 与边 AC， BC 分别交于 D，E 两点，连接 BD，AE，若 AE6，则BCD 的周长为（ ） A6+33 B6+43 C12+83 D12+43 4 （2021 永州）下列计算正确的是（ ） A （3）01 Btan30 12 C4 2 Da2a3a6 5 （2021 衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图.自动扶梯 的倾斜角为 37 ，大厅两层之间的距离 为 6 米，则自动扶梯 的长约为（ sin37 0.6,cos37 0
3、.8,tan37 0.75 ）（ ）. A7.5 米 B8 米 C9 米 D10 米 6 （2021 株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示， 垂直地面 1 于点 ， 与水平线 2 的夹角为 (0 90) ， /1/2 ，若 = 1.4 米， = 2 米，车辆的高度为 （单位：米） ，不考虑闸口与车辆的宽度. 当 = 90 时， 小于 3.3 米的车辆均可以通过该闸口；当 = 45 时， 等于 2.9 米的车辆不可以通过该闸口；当 = 60 时， 等于 3.1 米的车辆不可以通过该闸口.则上述说法正确的个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 7 （2021 开福模拟）如图，AC 是电线
4、杆 AB 的一根拉线，测得 BC 的长为 6 米，ACB=50 ，则拉线AC 的长为（ ） A6sin50 B6cos50 C6cos50 D6tan50 8 （2021 湖南模拟）如图，直立于地面上的电线杆 AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是 BC，CD，则得 BC=6m，CD=4m， = 150 ，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30 ，则电线杆 AB 的高度为（ ） A(2 + 23) B(4 + 23) C(4 + 32) D(4 + 33) 9 （2021 邵阳模拟）在 中，若 |sin 32| + (cos 32)2= 0 ，则 的度数是（ ） A30 B4
5、5 C60 D90 10（2021 茶陵模拟）如图， 要拧开一个边长为 a6 mm 的正六边形螺帽， 扳手张开的开口 b 至少为( ) A6 2 mm B12mm C6 3 mm D4 3 mm 二、填空题二、填空题 11 （2022 益阳）如图，在 RtABC 中，C90 ，若 sinA45，则 cosB 12 （2022 湘西）阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题余弦定理是这样描述的：在ABC 中，A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两
6、边及这两边的夹角的余弦值的乘积的 2 倍 用公式可描述为：a2b2c22bccosA b2a2c22accosB c2a2b22abcosC 现已知在ABC 中，AB3，AC4，A60 ，则 BC 13 （2022 岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟.丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看 200米直道竞速赛.如图所示， 赛道为东西方向， 赛道起点位于点的北偏西30方向上， 终点位于点的北偏东60方向上， = 200米， 则点到赛道的距离约为 米 （结果保留整数， 参考数据：3 1.732）. 14 （2022 娄底）菱形的边长为 2， = 45，点、分别是、上的动点， + 的最小值为 .
7、 15 （2022 株洲）中国元代数学家朱世杰所著四元玉鉴记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点、（点在点的右上方） ，若的长度为 10 丈，的半径为 2 丈，则的长度为 丈. 16 （2022 衡阳）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， = 10 ，
8、= 30 ， = 60 .已知测角仪 的高度为 1.5 ， 则大雁雕塑 的高度约为 . （结果精确到 0.1 .参考数据： 3 1.732 ） 17 （2022 衡阳模拟）如图是大坝的横断面，斜坡 AB 的坡比 i1：2，ADC45 ，若坡面 CD 的长度为 62米，则斜坡 AB 的长度为 米. 18 （2021 南县）如图，RtABC 中，BAC90 ，tanABC 32 ，将ABC 绕 A 点顺时针方向旋转角 （0 90 ）得到ABC，连接 BB，CC，则CAC与BAB的面积之比等于 . 19 （2021 郴州）如图，在ABC 中，AB5，AC4，sinA 45 ，BDAC 交 AC 于点
9、 D.点 P 为线段 BD 上的动点，则 PC+ 35 PB 的最小值为 . 20 （2021 娄底）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 表示一个“鱼骨”， 平行于车辆前行方向， ， = ，过 B 作 的垂线，垂足为 （A 点的视觉错觉点） ，若 sin = 0.05， =300 ，则 = . 三、综合题三、综合题 21 （2021 湘西）如图， 为 的直径， 为O 上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 . （1）求证： 平分 ； （2）若 = 8 ， tan =34 ，求：边 及 的长. 22（2021 娄底）如图，
10、 、 是等腰 的斜边 上的两动点， = 45， 且 = . （1）求证： ； （2）求证： 2= 2+ 2 ； （3）如图，作 ，垂足为 H，设 = ， = ，不妨设 = 2 ，请利用（2）的结论证明：当 + = 45 时， tan( + ) =tan+tan1tantan 成立. 23 （2021 岳阳）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥，如图，该河旁有一座小山，山高 = 80 ，坡面 的坡度 = 1:0.7 （注：从山顶 处测得河岸 和对岸 的俯角分别为 = 45 ， = 31 . （参考数据： sin31 0.52 ， cos31 0.86 ， ta
11、n31 0.60 ） （1）求山脚 到河岸 的距离； （2）若在此处建桥，试求河宽 的长度.（结果精确到 0.1 ） 24 （2021 岳阳）如图，在 中， = 90 ， = 60 ，点 为 的中点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 (60 b， 小正方形的边长=a-b， ( )2= 1，12ab=1， ( )2=12ab， 2a2-5ab+2b2=0， (a-2b)(2a-b)=0， = 2或=12（舍去） ， tan= 2. 故答案为：A. 【分析】 设直角对角线的两条直角边为 a、 b， 且 ab， 根据小正方形面积与每个直角三角形面积均为 1，得出( )2=12ab，然后解方程得出=
12、2，再根据正切的定义求解即可. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：令内切圆与 BC 交于点 D，内切圆的圆心为 O，连接 AD，OB， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令 BC=2a，则 BD=a， 在等边三角形 ABC 中 ADBC，OB 平分ABC， OBD=12ABC=30 ， 由勾股定理，得 AD=3， 在 RtBOD 中，OD=tan30 BD=33， 圆中的黑色部分的面积与 的面积之比为(33)2121223=318. 故答案为：A. 【分析】令内切圆与 BC 交于点 D，内切圆的圆心为 O，连接 AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令 BC=2
13、a，则 BD=a，根据等边三角形的性质可得 ADBC，OBD=30 ，利用勾股定理可得 AD，根据三角函数的概念可得 OD，然后结合圆的面积公式进行计算. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：由作图可知 MN 是 BC 的垂直平分线， = ， = ， = 90 ， 在 中， = 6 ， = = = 6 ， = 12 ， 在 中， = 30 ， cos = cos30 =32 ， = 43 ， = = 43 ， 的周长为： + + = 43 + 43 + 12 = 12 + 83 . 故答案为：C. 【分析】由作图可知 MN 是 BC 的垂直平分线，则 CD=BD，CE=BE，DEC=90 ，根
14、据直角三角形斜边上中线的性质可得 CE=BE=AE=6，则 BC=12，根据三角函数的概念可得 CD，进而不难求出BCD的周长. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：A.因为 30，所以（3）01，因此选项 A 符合题意； B.tan30 33 ，因此选项 B 不符合题意； C. 4 2，因此选项 C 不符合题意； D.a2a3a2+3a5，因此选项 D 不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据非零数的 0 次幂为 1 可判断 A；根据特殊角的三角函数值可判断 B；根据算术平方根的概念可拍的 C；根据同底数幂的乘法法则可判断 D. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，得： sin3
15、7 = 0.6 = 6 米 =0.6=60.6= 10 米 故答案为：D. 【分析】由sin37 = 0.6求出 AB 即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】如图过 E 点作 交 的延长线于点 M， /1/2 = 则 = = + sin 当 = 90 时， , 三点共线， = = + = 1.4 + 2 = 3.4 3.3 小于 3.3 米的车辆均可以通过该闸口，故正确. 当 = 45 时， = + sin = 1.4 + 2 22 1.4 + 1.41 = 2.81 3.1 等于 3.1 米的车辆可以通过该闸口，故错误. 综上所述：说法正确的为：，共 2 个. 故答案为：C. 【分析】如图
16、过 E 点作 EMAB 交 AB 的延长线于点 M，当 = 90 时，A、B、E 三点共线，根据 h=AE=AB+BE 可求得 h 的值，比较 h 与 3.3 的大小即可判断求解；当 = 45 时，根据h=AB+BE sin可求得 h 的值，比较 h 与 2.9 的大小即可判断求解；当 = 60 时，根据h=AB+BE sin可求得 h 的值，比较 h 与 3.1 的大小即可判断求解. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：ABC=90 ，ACB=60 ，BC=6m， cos50 = = 6 ， AC= 6cos50 . 故答案为：B. 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出 cos50 = ，进
17、而得出答案. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示，延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，过点 D 作 DFBE 于点 F， = 150 ， = 30 ， 又 = 4 ， 在 中， =12 = 2 ， = 2 2= 23 ， 根据题意及图形可得： = 30 ， =tan= 23 ， = + + = 6 + 43 ， = = (6 + 43) 33= 23 + 4 ， 即电线杆的高度为 (23 + 4) 米. 故答案为：B. 【分析】延长 AD 交 BC 的延长线于点 E，过点 D 作 DFBE 于点 F，则DCF=30 ，由含 30 角的直 角三角形的性质求出 DF，由勾股定理求出
18、CF，根据E 的正切函数可得 EF，进而求出 BE，再由AB=BE tanE 进行计算. 9 【答案】D 【解析】【解答】解： |sin 32| + (cos 32)2= 0 sin 32= 0 ， cos 32= 0 = 60， = 30 = 180 30 60 = 90 故答案为：D. 【分析】 根据偶次幂及绝对值的非负性， 由两个非负数的和为 0， 则这两个数都为 0， 可得 sinA 及 cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出A、B 的度数，然后利用三角形内角和定理求出C 即可. 10 【答案】C 【解析】【解答】设正多边形的中心是 O，其一边是 AB， AOB=BOC=60 ， O
19、A=OB=AB=OC=BC， 四边形 ABCO 是菱形， AB=6mm，AOB=60 ， cosBAC= ， AM=6 32 = 33 (mm)， OA=OC，且AOB=BOC， AM=MC= 12 AC， AC=2AM= 63 (mm). 故答案为：C. 【分析】设正多边形的中心是 O，其一边是 AB，利用正六边形的性质可证得AOB=BOC=60 ，OA=OB=AB=OC=BC，可推出四边形 ABCD 是菱形，利用解直角三角形求出 AM 的长即可求出 AC 的长. 11 【答案】45 【解析】【解答】解：RtABC 中，C90 ，若 sinA45， A+B=90 ， sin = cos =4
20、5. 故答案为：45. 【分析】利用锐角三角函数的定义，可求出 cosB 的值. 12 【答案】13 【解析】【解答】解：在ABC 中，AB3，AC4，A60 ， BC2=AC2+AB2-2AC ABcosA=16+9-2 3 4cos60 ， BC2=25-12 解之：BC=13. 故答案为：13. 【分析】由题意可知利用余弦定理：BC2=AC2+AB2-2AC ABcosA；然后代入计算求出结果. 13 【答案】87 【解析】【解答】解：过点 P 作 PCAB，垂足为 P， 设 = 米， 在 中， = 30， = 30 =33（米） ， 在 中， = 60， = 60 = 3（米） ， =
21、 200米， + = 200， 33 +3 = 200， = 503 87， = 87米， 点 P 到赛道 AB 的距离约为 87 米. 故答案为：87. 【分析】过点 P 作 PCAB，垂足为 P，设 PC=x 米，根据三角函数的概念可得 AC=33x 米，BC=3x米，由 AB=AC+BC=200 米可求出 x，据此解答. 14 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作 CEAB 于 E，交 BD 于 G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知 CE 为 FG+CG 的最小值，当 P 与点 F 重合，Q 与 G 重合时，PQ+QC 最小， 菱形 ABCD 的边长为 2， =
22、 45， 中， =22 = 2 PQ+QC 的最小值为2. 故答案为：2. 【分析】过点 C 作 CEAB 于 E，交 BD 于 G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知 CE为 FG+CG 的最小值，当 P 与点 F 重合，Q 与 G 重合时，PQ+QC 最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得 EC，据此解答. 15 【答案】（8 22） 【解析】【解答】解：如图， 设与 AD 边的切点为点 C，连接 OC， 则 = 2（丈） ， ， 由正方形的性质知 = 90，对角线 AB 平分， =12 = 45， =sin=2sin45= 2 22= 22（丈） ， = + = 2 + 2
23、2（丈） ， = = 10 (2 + 22) = 8 22（丈）. 故答案为： （8 22）. 【分析】设O 与 AD 边的切点为点 C，连接 OC，则 OC=2 丈，OCAD，根据正方形的性质可得EAD=90 ，对角线 AB 平分EAD，则OAC=45 ，根据三角函数的概念可得 AO，由 AN=ON+AO 可得 AN，然后根据 BN=AB-AN 进行计算. 16 【答案】10.2 【解析】【解答】 = 30 且 = 60 ， = = 30 ， = ， 即 = = = 10 . = sin60 = 53 8.66 ， = + = + = 8.66 + 1.5 10.2 ， 故答案为 10.2
24、. 【分析】利用已知条件可证得DBF=BDG，利用等角对等边可证得 BF=DF，可求出 BF 的长；再利用解直角三角形求出 BG 的长；然后根据 BC=BG+CG，可求出 BC 的长. 17 【答案】65 【解析】【解答】解：过点 B 作 于 E，过点 C 作 于 F， 则四边形 BEFC 为矩形， = ， 在 中， = 62（米） ， = 45， = sin45 = 62 22= 6（米） ， = 6（米） ， 在 中，tan =12 ， = 2 = 12 （米） ， = 2+ 2= 144 + 36 = 65 （米） ， 则斜坡 AB 的长度为65 米. 故答案为：65. 【分析】过点 B
25、 作 BEAD 于 E，过点 C 作 CFAD 于 F，则四边形 BEFC 为矩形，BE=CF，根据三角函数的概念可得 CF、AE，然后利用勾股定理计算即可. 18 【答案】94 【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，BACBAC， BABCAC， ABAB，ACAC， ， ACCABB， （ ）2， CAB90 ， tanABC 32 ， （ ）2 94 . 故答案为： 94 . 【分析】由旋转的性质可知：BACBAC，由角的和差关系可得BABCAC，然后证明ACCABB，由相似三角形的性质以及三角函数的概念求解即可. 19 【答案】165 【解析】【解答】解：过点 P 作 PDAB 于点
26、D，过点 C 作 CHAB 于点 H， BDAC， ADB90 ， sinA 45 ，AB5， BD4， 由勾股定理得 AD 2 2=52 42= 3 ， sinABD =35 ， DP 35 ， PC+ 35 PBPC+PD， 即点 C、P、D 三点共线时，PC+ 35 PB 最小， PC+ 35 PB 的最小值为 CH 的长， SABC 12 =12 ， 4 45 CH， CH 165 . PC+ 35 PB 的最小值为 165 . 故答案为： 165 . 【分析】过点 P 作 PDAB 于点 D，过点 C 作 CHAB 于点 H，则ADB90 ，根据A 的正弦函数可得 BD 的值， 由勾
27、股定理可得 AD， 根据ABD 的正弦函数可得 DP35， 则 PC+35PBPC+PD，推出 PC+35PB 的最小值为 CH 的长，由ABC 的面积公式可得 CH 的值. 20 【答案】15 【解析】【解答】解：如图所示， 且四边形 为平行四边形， ， = + = 90 ， 又 ， = + = 90 ， = ， sin = sin = 0.05 ， 又 = 300 ， = sin = 300 0.05 = 15 mm. 故答案为：15. 【分析】根据平行四边形的性质，可求出 = ，由于sin = sin = 0.05，即可求出结论. 21 【答案】（1）证明：连接 OC，如图所示： CD
28、是O 的切线， = 90 ， ADCD， = = 90 ， / ， = ， = ， = = ， 平分 （2）解：连接 BC，如图所示： 由（1）可得： = ， tan =34 ， tan = tan =34 ， = 8 ， = tan = 6 ， = 2+ 2= 10 ， cos = cos =45 ， 为 的直径， = 90 ， =cos=252 【解析】【分析】 （1） 连接 OC，根据切线的性质及 ADCD，可求出/ ，结合 OA=OC，可得 = = ，即可求出结论； （2）连接 BC，由（1）知 = ，即得cos = costan = tan =34，据此求出 CD， 利用勾股定理求出
29、 AC， 由 为 的直径， 可得 = 90， 可得=45，从而求出 AB. 22 【答案】（1）证明：ABC 是等腰直角三角形， AB=AC，BAC=90 ， ABC=ACB=45 ， CDBC， DCB=90 ， DCA=90 -ACB=90 -45 =45 =ABE， 在ABE 和ACD 中， = = = ， ABEACD（SAS） ， （2）证明：ABEACD， BAE=CAD，AE=AD， EAF=45 ， BAE+FAC=90 -EAF=90 -45 =45 ， FAD=FAC+CAD=FAC+BAE=45 =EAF， 在AEF 和ADF 中， = = = ， AEFADF（SAS）
30、 ， EF=DF， 在 RtCDF 中，根据勾股定理， 2= 2+ 2 ， 即 2= 2+ 2 ； （3）解：将ABE 逆时针绕点 A 旋转 90 到ACD，连结 FD， BAE=CAD，BE=CD，AE=AD， ABC 为等腰直角三角形， ACB=B=ACD=45 ，DCF=DCA+ACF=45 +45 =90 ， = 2 ， AC= = 2 ， 在 RtABC 中由勾股定理 = 2+ 2=(2)2+ (2)2= 2 AHBC， BH=CH=AH= 12 = 1 ， EF=EH+FH=AHtan+AH tan= tan+ tan，BE=BH-EH=1-tan，CF=CH-HF=1-tan，
31、EAF=45 ， BAE+CAF=90 -EAF=45 ， DAF=DAC+CAF=BAE+CAF=45 =EAF， 在AEF 和ADF 中， = = = ， AEFADF（SAS） ， EF=DF， 在 RtCDF 中， 2= 2+ 2 即 2= 2+ 2 ， (tan + tan)2= (1 tan)2+ (1 tan)2 ， 整理得 2tan tan = 1 2tan + 1 2tan ， 即 tan tan = 1 tan tan ， tan + tan = 1 tan tan ， tan+tan1tantan= 1 = tan45 = tan( + ) ， tan( + ) =tan
32、+tan1tantan . 【解析】【分析】 （1） 由ABC 是等腰直角三角形，可得 AB=AC，BAC=90 ，ABC=ACB=45 ， 根据垂直的定义可得DCB=90 ， 从而可求DCA=90 -ACB=45 ， 根据 SAS 可证ABEACD； （2）证明AEFADF（SAS） ，可得 EF=DF，在 RtCDF 中，根据勾股定理2= 2+ 2 ，据此即得结论； （3）将ABE 逆时针绕点 A 旋转 90 到ACD，连结 FD， 利用等腰直角三角形及解直角三角形，可求出 EF=EH+FH=AHtan+AH tan= tan+ tan，BE=BH-EH=1-tan，CF=CH-HF=1-
33、tan，证明 AEFADF（SAS） ，可得 EF=DF，在 RtCDF 中， 2= 2+ 2 即 2= 2+ 2 ， 即得(tan + tan)2= (1 tan)2+ (1 tan)2 ，据此进行整理即可求出结论. 23 【答案】（1）解： = 80 ，坡面 的坡度 = 1:0.7 ， = 80 0.7 = 56 m， = 45 ， = 45 ， = = 45 ， = = 80 ， = = 80 56 = 24() ， 山脚 到河岸 的距离为 24m （2）解： = 31 ， / ， = 31 ， =tan31800.6 133.3() ， = 133.3 80 = 53.3() ， 河宽
34、 的长度约为 53.3m 【解析】【分析】（1） 根据 AB 的坡度求出 CA， 由CBE=BEC=45 ， 可得 CE=CB=80m， 利用 AE=CE-CA计算即得结论； （2）根据平行线的性质得出BFC=DBF=31 ，从而求出 =tan31 133.3()，利用 EF=CF-CE计算即得结论. 24 【答案】（1）ED=BD；33 （2）解：正方形，理由如下： = 90 ， 平分 ， = 90 ， = ， = ， = ， () ， = ， / ， + = 180 ， = 90 ， = = = 90 ， 四边形 为矩形， 又 = ， 四边形 为正方形； 显然，在正方形 中， ， = ，
35、又 = ， =33 ， 由（1）得： = 60, = , 则 为等边三角形， = 60 ， = 90 ， = 30 ， = ， = ， 又 = ， = =12(180 ) = 75 ， = 75 30 = 45 ， = 45 ， = 在 与 中， = = = () ， = ， =33 （3）解：同（2）中理， ， = ， = ， / ， = ， = ， = ， = ， = ， 四边形 为菱形， 为等边三角形， = = = = 2 ，菱形的边长也为 2， 由题意， =2 ， = =12 = 30 +2 ， = 30 ， =2 ， 即： = ， ， 在菱形 中， ， ， = ， 如图，作 ， =
36、30 ， = 60 ， = 60 ， = 2 ， = 1 ， = 3 ， 在 中， = tan = tan( 60) = ， = ， = 3 + ， 在 中， = 3 = 23 ， = = 23 3 = 3 ， = = 2 ， =32 【解析】【解答】 （1）点 为 中斜边 的中点， = = ， 线段 绕点 顺时针旋转得到线段 ， = ， = ， 中， = 90 ， = 60 ， = 30 ， = ， = = 30 ， 在 中， = tan = tan30 =33 ， 故答案为： = ； 33 ； 【分析】 （1）根据直角三角形的性质及旋转的性质可得 CD=AD=BD=ED，利用等边对等角可得
37、 = = 30，在 中，由于= tan即可求出结论； （2）证明 () ，可得 = ，利用平行线的性质可得 = = = 90 ，可证四边形 为矩形，由 = ，可证四边形 为正方形； 证明 ，可得=33，再证 () ，可得 = ，可得=33； （3）证明四边形 为菱形，由 为等边三角形，可得 = = = = 2，证明 ，可得=， 如图作 ，求出 = 60， = 60 ，继而求出 = 1 ， = 3，在 中， = tan = tan( 60) = ，可得 = ， = 3 + ， 在 中， = 3 = 23 ，可得 = = 23 3 = 3 ，利用=即得结论. 25 【答案】（1）证明： ， = 9
38、0 ， / ， = ， 由折叠的性质得： = ,= ， = ， / ， 四边形 是平行四边形， 又 = ， 平行四边形 是菱形， = （2）解：如图，设 与 的交点为点 ，过点 作 于点 ， = ， 是等腰三角形， = = 45 ， 设 = = 4( 0) ，则 = 42 ， = 3 ， = 32, = 2 ， 由折叠的性质得： = = 45,= = 32,= = 4 ， 在 和 中， = = 45 = ， ， =24=24 ， 设 = 2( 0) ，则 = 4, = 32 4, = 4 2 ， =32442=24 ， 解得 =427 ， = 4 2 427 =207 ， 在 中， = cos
39、 = 22 =167 ， = =127 ， 则 =127207=35 （3）解： = 30, = 90 ， = 60 ， 设 = = 2( 0) ，则 = 4, = 2 2= 23 ， 由折叠的性质得： = = 60,= = 2 ， = = 2 ， 由题意，分以下两种情况： 如图，当点 在直线 的左侧时，过点 作 于点 ， =12 = 3 （等腰三角形的三线合一） ， = 2 2= =12 ， 在 中， = 30 ， = + = 30 + 30 = 60 ， 又 = ， = = 30 ， = 180 = 120 ， = = 120 60 = 60 ， 是等边三角形， = = 2 ， =24=1
40、2 ； 如图，当点 在直线 的右侧时，过点 作 于点 ， 同理可得： = 30 ， = ， 点 在 上， 由折叠的性质得： ， 在 中， = cos = ， = = 3 ， =34=34 ， 综上，存在点 ，使得 = ，此时 的值为 12 或 34 【解析】【分析】 （1） 证明四边形 是平行四边形，由折叠的性质得出= ，从而可证平行四边形 是菱形，可得= ； （2）设与 的交点为点 ，过点 作 于点 ，求得ABC 是等腰直角三角形，设 = = 4( 0) ，则 = 42，从而可得 = 32, = 2，由折叠的性质得： = = 45,= = 32,= = 4，证明 ，可得=24=24，设 = 2( 0)，可得 = 4, = 32 4, = 4 2 ，代入比例式可得 =427，从而求出 OA，利用解直角三角形求出 BD，从而求出 = 的长，由 =即得结论； （3） 分两种情况：如图，当点 在直线 的左侧时， 过点 作 于点 ，如图，当点 在直线 的右侧时，过点 作 于点 ，据此分别求解即可