1、 专题专题 15 15 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1下列命题是真命题的是（ ） A对顶角相等 B平行四边形的对角线互相垂直 C三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点 D三角分别相等的两个三角形是全等三角形 2如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 D 作 DHAB 于点 H，连接 OH，OH4，若菱形 ABCD 的面积为 323，则 CD 的长为（ ） A4 B43 C8 D83 3 （2022 常德）如图，在 中， = 90， = 30，将 绕点顺时针旋转60得到 ，点 A、B 的对应点分别是，点是边的中点，连接，.则下列结论错误的是（ ） A = B
2、， = C = 90 D = 3 4 （2022 怀化）如图，直线 AB 交 x 轴于点 C，交反比例函数 y1（a1）的图象于 A、B 两点，过点 B 作 BDy 轴，垂足为点 D，若 SBCD5，则 a 的值为（ ） A8 B9 C10 D11 5 （2022 湘西）如图，在 RtABC 中，A90 ，M 为 BC 的中点，H 为 AB 上一点，过点 C 作 CGAB，交 HM 的延长线于点 G，若 AC8，AB6，则四边形 ACGH 周长的最小值是（ ） A24 B22 C20 D18 6 （2022 邵阳）如图是反比例函数 y=1的图象，点 A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点
3、 A 作ABx 轴于点 B，连接 OA，则AOB 的面积是（ ） A1 B12 C2 D32 7 （2022 衡阳）如图，在四边形 中， = 90 ， = 6 ， ， 平分 .设 = ， = ，则 关于 的函数关系用图象大致可以表示为（ ） A B C D 8 （2022 岳阳）如图，已知 ， 于点，若 = 40，则1的度数是（ ） A30 B40 C50 D60 9 （2022 怀化）下列说法正确的是（ ） A相等的角是对顶角 B对角线相等的四边形是矩形 C三角形的外心是它的三条角平分线的交点 D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 10 （2022 娄底）如图，等边 内切的图形来自我国
4、古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与 的面积之比是（ ） A318 B318 C39 D39 二、填空题二、填空题 11 （2022 邵阳）如图，在等腰 中， = 120，顶点在的边上，已知1 = 40，则2 = . 12 （2022 邵阳）已知矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，则矩形的面积为 2. 13 （2022 娄底）如图，已知等腰 的顶角的大小为，点 D 为边上的动点（与、不重合） ， 将绕点 A 沿顺时针方向旋转角度时点落在处， 连接.给出下列结论： ； ；当 = 时， 的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填
5、结论对应的序号）. 14（2022 常德）如图， 已知是 内的一点， ， ， 若的面积为 2， =13， =14，则 的面积是 . 15 （2022 岳阳）如图，在 中， = ， 于点，若 = 6，则 = . 16 （2022 湘潭）如图，一束光沿 CD 方向，先后经过平面镜 OB、OA 反射后，沿 EF 方向射出，已知AOB=120 ，CDB=20 ，则AEF= 17（2022 岳阳）如图， 在 中， 为直径， = 8， 为弦， 过点的切线与的延长线交于点， 为线段上一点（不与点重合） ，且 = . （1）若 = 35，则的长为 （结果保留） ； （2）若 = 6，则= . 18 （2022
6、 衡阳）如图，在 中，分别以点 和点 为圆心，大于 12 的长为半径作圆弧，两弧相交于点 和点 ，作直线 交 于点 ，连接 .若 = 8 ， = 15 ，则 的周长为 . 19 （2022 株洲）如图所示，已知 = 60，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则 = 度. 20 （2022 衡阳模拟）如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3，An1AnBn 都是斜边在 x 轴上的等腰直角三角形，点 A1，A2，A3，An 都在 x 轴上，点 B1，B2，B3，Bn 都在反比例函数 y1（x0）的图象上，则点 Bn 的坐标为 .（用含有正整数 n 的式子表示） 三、综合题三、综合题 21
7、（2022 湘西）如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，连接 CE 并延长，交 DA 的延长线于点 F （1）求证：AEFBEC （2）若 CD4，F30 ，求 CF 的长 22 （2022 湘西）如图，在 RtABC 中，B90 ，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，O 为 AC 上一点，经过点 A、E 的O 分别交 AB、AC 于点 D、F，连接 OD 交 AE 于点 M （1）求证：BC 是O 的切线 （2）若 CF2，sinC35，求 AE 的长 23 （2022 常德）如图，已知是 的直径， 于，是上的一点， 交 于， ，连接交于. （1）求证：CD 是 的切线； （2
8、）若 = 8， = 1，求、的长. 24（2022 岳阳）如图， 反比例函数 =( 0)与正比例函数 = ( 0)的图象交于点(1，2)和点，点是点关于轴的对称点，连接，. （1）求该反比例函数的解析式； （2）求 的面积； （3）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集. 25 （2022 湘潭）在ABC 中，BAC=90 ，AB=AC，直线 l 经过点 A，过点 B、C 分别作 l 的垂线，垂足分别为点 D、E. （1）特例体验：如图，若直线 lBC，AB=AC= 2 ，分别求出线设 BD、CE 和 DE 的长； （2）规律探究： （）如图，若直线 l 从图状态开始绕点 A 旋转 （045
9、） ，请探究线段 BD、CE 和 DE的数量关系并说明理由； （）如图，若直线 l 从图状态开始绕点 A 顺时针旋转 （45 90 ） ，与线段 BC 相交于点 H，请再探线段 BD、CE 和 DE 的数量关系并说明理由； （3）尝试应用：在图中，延长线设 BD 交线段 AC 于点 F，若 CE=3，DE=1，求 SBFC 26 （2022 郴州）如图，在 中， = .以 AB 为直径的 与线段 BC 交于点 D，过点D 作 ，垂足为 E，ED 的延长线与 AB 的延长线交于点 P. （1）求证：直线 PE 是 的切线； （2）若 的半径为 6， = 30 ，求 CE 的长. 27 （2022
10、 娄底）如图，已知是 的角平分线，点是斜边上的动点，以点为圆心，长为半径的 经过点，与相交于点. （1）判定与 的位置关系，为什么？ （2）若 = 3， =32， 求sin、sin的值； 试用sin和cos表示sin，猜测sin2与sin，cos的关系，并用 = 30给予验证. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故 A 选项符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故 B 选项不符合题意； C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平
11、分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故 C 选项不符合题意； D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故 D 选项不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据对顶角的性质可判断 A；根据平行四边形的性质可判断 B；根据内心的概念可判断 C；根据全等三角形的判定定理可判断 D. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：DHAB， BHD=90 ， 点 O 是 BD 的中点 BD=2OH=2 4=8，OD=OH=4； 菱形 ABCD 的面积为 323， S 菱形 ABCD=12AC BD=323=12AC 8 解之： = 83 OC=12AC=43 在 RtCOD 中
12、= 2+ 2=42+ (43)2= 8. 故答案为：C. 【分析】利用垂直的定义可证得BHD=90 ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出BD，OD 的长；再利用菱形的面积公式求出 AC 的长，即可得到 OC 的长；然后利用勾股定理求出 CD的长. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、将ABC 绕点 C 顺时针旋转 60 得到DEC， BCE=ACD=60 ，CB=CE， BCE 是等边三角形， BE=BC，故 A 正确； B、点 F 是边 AC 中点， CF=BF=AF=12AC， BCA=30 ， BA=12AC， BF=AB=AF=CF， FCB=FBC=30 ， 延长
13、BF 交 CE 于点 H，则BHE=HBC+BCH=90 ， BHE=DEC=90 ， BF/ED， AB=DE， BF=DE，故 B 正确. C、BFED，BF=DE， 四边形 BEDF 是平行四边形， BC=BE=DF， AB=CF， BC=DF，AC=CD， ABCCFD， = = 90，故 C 正确； D、.ACB=30 ， BCE=60 ， FCG=30 ， FG=12CG， CG=2FG. DCE=CDG=30 ， DG=CG， DG=2FG.故 D 错误. 故答案为：D. 【分析】根据旋转的性质可得BCE=ACD=60 ，CB=CE，推出BCE 是等边三角形，据此判断 A；根据直
14、角三角形斜边上中线的性质可得 CF=BF=AF=12AC，根据含 30 角的直角三角形的性质可得BA=12AC， 则 BF=AB=AF=CF， 延长 BF 交 CE 于点 H， 则BHE=DEC=90 ， 推出 BF/ED， 结合 AB=DE可判断 B；易得四边形 BEDF 是平行四边形，则 BC=BE=DF，证明ABCCFD，据此判断 C；易得FCG=30 ，则 CG=2FG，根据DCE=CDG=30 可得 DG=CG，进而判断 D. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：设(，1)， BDy 轴 SBCD=12 1=5， 解得： = 11 故答案为：D. 【分析】设 B（m，1） ，则 BD
15、=m，BCD 的边 BD 上的高线为1，接下来根据三角形的面积公式就可求出 a 的值. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：CGAB，A=90 ， B=MCG，ACG=90 点 M 为 BC 的中点， BM=CM； 在BMH 和CMG 中 = = = BMHCMG（ASA） ， HM=MG，BH=CG； 四边形 ACGH 的周长为 AH+AC+GH=AB+GH+AC=6+8+GH=14+GH； 当 GH 最小时，即 GHAB 时，四边形 ACGH 的周长最小， AHG=A=ACG=90 ， 四边形 ACGH 是矩形， AC=GH=8， 四边形 ACGH 的周长的最小值为 14+8=22. 故答
16、案为：B. 【分析】利用平行线的性质和垂直的定义可证得B=MCG，ACG=90 ，利用线段中点的定义可证得 BM=CM； 再利用 ASA 证明BMHCMG， 利用全等三角形的性质可得到 HM=MG， BH=CG；再利用垂线段最短可知即GHAB时， 四边形ACGH的周长最小值就是14+GH； 然后证明四边形ACGH是矩形，利用矩形的性质可求出 GH 的长，即可求解. 6 【答案】B 【解析】【解答】解：设 A（x，y） ，则 OB=x，AB=y， A 为反比例函数 y=1图象上一点， xy=1， SABO=12ABOB=12xy=12 1=12. 故答案为：B. 【分析】设 A（x，y） ，则
17、OB=x，AB=y，根据点 A 在反比例函数图象上可得 xy=1，由三角形的面积公式可得 SABO=12xy，据此计算. 7 【答案】D 【解析】【解答】 ， = ， 平分 ， = ， = ，则 = = ，即 为等腰三角形， 过 点做 于点 . 则 垂直平分 ， = =12 = 3 ， = 90 ， = ， = = 90 ， ， = ，6=3 ， =18 ， 在 中， ， 6 ， 故 关于 的函数图象是 D. 故答案为：D. 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得ACD=CAD，利用等角对等边可证得CD=AD=y，过点 D 作 DEAC 于点 E，由等腰三角形的性质，可推出 DE 垂直
18、平分 AC，可求出 AE的长；再证明是ABCAED，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于 x，y 的方程，然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且 x6，观察各选项中的图象，可得到符合题意的选项. 8 【答案】C 【解析】【解答】解：在 中， = 90， = 40， 则 = 90 40 = 50， ， 1 = = 50. 故答案为：C. 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得CED=90 -C=50 ，根据平行线的性质可得1=CED，据此解答. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据对顶角的概念可知，相等的角不一定是对顶角，故该选项不符合题意； B、根据矩形的判定“对角线相
19、等的平行四边形是矩形”可知该选项不符合题意； C、根据三角形外心的定义，外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点，故该选项不符合题意； D、根据线段垂直平分线的性质可知该选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角互为对顶角，据此可判断 A；根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断 B；根据“外心是三角形外接圆圆心，是三角形三条边中垂线的交点”可判断 C；根据线段垂直平分线的性质“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ”可判断 D. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：令内切圆与 BC 交于点 D，
20、内切圆的圆心为 O，连接 AD，OB， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令 BC=2a，则 BD=a， 在等边三角形 ABC 中 ADBC，OB 平分ABC， OBD=12ABC=30 ， 由勾股定理，得 AD=3， 在 RtBOD 中，OD=tan30 BD=33， 圆中的黑色部分的面积与 的面积之比为(33)2121223=318. 故答案为：A. 【分析】令内切圆与 BC 交于点 D，内切圆的圆心为 O，连接 AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令 BC=2a，则 BD=a，根据等边三角形的性质可得 ADBC，OBD=30 ，利用勾股定理可得 AD，根据
21、三角函数的概念可得 OD，然后结合圆的面积公式进行计算. 11 【答案】110 【解析】【解答】解：ABC 是等腰三角形，A=120 ， ABC=C=(180 -A) 2=30 ， 四边形 ODEF 是平行四边形， OFDE， 2+ABE=180 ， 即2+30 +40 =180 ， 2=110 . 故答案为：110 . 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得ABC=C=30 ，根据平行四边形的性质以及平行线的性质可得2+ABC+1=180 ，据此计算. 12 【答案】48 【解析】【解答】解：在矩形 ABCD 中， = 6， = 10， 在 中， = 102 62= 8(cm
22、)， 矩形= = 8 6 = 48(2). 故答案为：48. 【分析】根据矩形的性质可得ABC=90 ，利用勾股定理求出 AB，然后根据矩形的面积公式进行计算. 13 【答案】 【解析】【解答】解：AD 绕点 A 沿顺时针方向旋转角度得到 AD = ， = = 即 + = + = = = = 得： （SAS） 故对 ABC 和ADD是顶角相等的等腰三角形 故对 = ()2 即 AD 最小时最小 当 ADBC 时，AD 最小 由等腰三角形三线合一，此时 D 点是 BC 中点 故对 故答案为：. 【分析】根据旋转的性质可得DAD=，AD=AD，由角的和差关系可得CAD=BAD，然后根据全等三角形的
23、判定定理可判断；根据ABC 和ADD是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判 定定理可判断；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断. 14 【答案】12 【解析】【解答】解：如图所示：延长 EF、DF 分布交 AC 于点 M、N， ， ， =13， =14， = 3， = 2， = 3，= 2， 令 = ，则 = 3， = 4， =23 =83， =13 =43， =53， =58，=59， ：= 25：64，：= 25：81， 设= 25，= 64，= 81， 四边形= 56， = 2 + 120， =642+120= ()2=49， 求出 =112， = 2 + 120 = 12.
24、 故答案为：12. 【分析】 延长 EF、 DF 分布交 AC 于点 M、 N， 由已知条件得 CE=3BE， AD=2BD， 令 AM=x， 则 CM=3x，AC=4x，AN=83x，CN=43x，MN=53x，则=58，=59，结合三角形面积公式得 SNMFSNAD=2564，SNMFSMEC=2581，设 SNMF=25a，则 SNAD=64a，SMEC=81a，S四边形FECN=56a，SABC=2+120a， 结合= ()2就可求出 a 的值，进而可得 SABC. 15 【答案】3 【解析】【解答】解： = ， ， = ， = 6， = 3. 故答案为：3. 【分析】根据等腰三角形的
25、三线合一可得 BD=CD，然后结合 BC 的值就可求出 CD 的值. 16 【答案】40 【解析】【解答】解：由反射定律得：FDO=CDB=20 ， DFO=180 -FDO-DOE=180 -20 -120 =40 ， AEF=DFO=40 . 故答案为：40 . 【分析】根据入射角等于反射角，可得CDB=EDO，DEO=AEF，根据三角形内角和定理求出OED 的度数，从而求出结果. 17 【答案】（1）149 （2）2539 【解析】【解答】解： （1） = 2 = 70， 的长=704180=149； 故答案为：149； （2）连接 AD， AC 是切线，AB 是直径， ， = 2+ 2
26、= 82+ 62= 10， AB 是直径， = 90， ， 12 =12 ， =245， = 2 2= 82 (245)2=325， = ， = ， = = ， ， =， 4325=4， =52， = =32552=3910， =523910=2539. 故答案为：2539. 【分析】 （1）根据圆周角定理可得AOD=2ABD=70 ，然后结合弧长公式进行计算； （2） 连接 AD， 根据切线的性质可得 ABAC， 由勾股定理可得 AC， 根据圆周角定理可得ADB=90 ，然后根据ABC 的面积公式可求出 AD，由勾股定理可得 BD，根据等腰三角形的性质可得EDO=EOD=OBD，证明DOED
27、BO，根据相似三角形的性质可得 DE，由 BE=BD-DE 可得 BE，据此求解. 18 【答案】23 【解析】【解答】解：由作图可知 MN 垂直平分 AB， AD=BD， ACD 的周长为 AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=8+15=23. 故答案为：23. 【分析】 利用作图可知MN垂直平分AB， 利用线段垂直平分线的性质可证得AD=BD， 由此可得到ACD的周长就是 AC+BC，代入计算可求出ACD 的周长. 19 【答案】48 【解析】【解答】解：四边形 ABCDE 是正五边形，EAO 是一个外角 =3605= 72 在AEO 中： = 180 = 180 72 60 =
28、 48 故答案为：48. 【分析】根据外角和定理可得EAO=3605=72 ，然后根据内角和定理进行计算. 20 【答案】（ 1 +， 1 + ） 【解析】【解答】解：过 B1作 B1M1x 轴于 M1，如图所示： 易知 M1（1，0）是 OA1的中点， A1（2，0） ， 可得 B1的坐标为（1，1） ， B1O 的解析式为：yx， B1OA1B2， A1B2的表达式一次项系数与 B1O 的一次项系数相等， 将 A1（2，0）代入 yx+b， b2， A1B2的表达式是 yx2， 与 y=1（x0）联立，解得 B2（1+2，1+2） ， 仿上，A2（22，0） ， B3（2 +3，2 + 3
29、） ， 以此类推，点 Bn 的坐标为（ 1 +， 1 + ）. 故答案为： （ 1 +， 1 + ）. 【分析】过 B1作 B1M1x 轴于 M1，根据等腰直角三角形的性质可得 M1（1，0）是 OA1的中点，则A1（2， 0） ， B1（1， 1） ， 求出B1O、 A1B2的解析式， 联立反比例函数解析式求出x、 y， 可得B2（1+2， 1+2） ，同理可得 A2、B3的坐标，进而推出 Bn的坐标. 21 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， /， FBCE， E 是 AB 中点， AEEB， AEFBEC， AEFBEC（AAS） （2）解：四边形 ABCD 是矩形， D90
30、 ， CD4，F30 ， CF2CD2 48， 即 CF 的长为 8 【解析】【分析】 （1）利用矩形的性质可知 ADBC，利用平行线的性质可证得F=BCE，利用线段中点的定义可得到 AE=BE；然后利用 AAS 可证得结论. （2）利用矩形的性质可证得D=90 ，利用 30 角所对的直角边等于斜边的一半，可求出 CF 的长. 22 【答案】（1）证明：连接 OE， 方法一： AE 平分BAC 交 BC 于点 E， BAC2OAE， FOE2OAE， FOEBAC， OEAB， B90 ， OEBC， 又OE 是O 的半径， BC 是O 的切线； 方法二： AE 平分BAC 交 BC 于点 E
31、， OAEBAE， OAOE， OAEOEA， BAEOEA， OEAB， B90 ， OEBC， 又OE 是O 的半径， BC 是O 的切线； （2）解：连接 EF， CF2，sinC35， +=35， OEOF， OEOF3， OAOF3， ACOA+OF+CF8， ABACsinC835245， OAEBAE， cosOAEcosBAE，即=，245=3+3， 解得 AE1255（舍去负数） ， AE 的长为1255 【解析】【分析】 （1）方法一：连接 OE，利用角平分线的定义可证得BAC2OAE，利用圆周角定理可证得FOE2OAE，由此可推出FOEBAC，利用平行线的性质可证得 OE
32、BC，然后利用切线的判定定理可证得结论；方法二：利用角平分线的定义可证得OAEBAE，利用等边对等角可知OAEOEA，由此可推出BAEOEA，利用平行线的判定定理可证得 OEAB，再利用平行线的性质可证得 OEBC；然后根据切线的判定定理可证得结论. （2）连接 EF，利用解直角三角形可求出 OF，OE 的长，即可求出 AC 的长；再利用解直角三角形求出 AB 的长；由OAE=BAE，可得到 cosOAEcosBAE，利用锐角三角函数的定义，可得到关于 AE 的方程，解方程求出 AE 的长. 23 【答案】（1）证明：连接 OD，如图所示： = ， = = = = = ， = = = = 90
33、 OD 为经过圆心的半径 CD 是 的切线. （2）解：如图所示：作 交 BC 于点 M = 8， = 1， = = =12 = 4， = = 3 = = 2 2= 7 令 = ， = = + 7， = = 7 在 ，2+ 2= 2 ( + 7)2= 72+ 2，解得： = 37 = 47 AEFABC =18=47 =72 【解析】【分析】 （1）连接 OD，根据平行线的性质可得ADO=DOC，DAO=BOC，根据等腰三角形的性质可得ADO=DAO，则DOC=BOC，利用 SAS 证明ODCOBC，得到OBC=ODC=90 ，据此证明； （2） 作 DMBC 交 BC 于点 M， 由题意可得
34、 OA=OB=OD=4， OE=OA-AE=3， 利用勾股定理可得 DE，令 CM=x，则 CB=CD=7x，根据勾股定理可得 x，据此可得 BC，易证AEFABC，然后根据相似三角形的性质进行计算. 24 【答案】（1）解：把点(1，2)代入 =( 0)得：2 =1， = 2， 反比例函数的解析式为 = 2 （2）解：反比例函数 =( 0)与正比例函数 = ( 0)的图象交于点(1，2)和点， (1， 2)， 点是点关于轴的对称点， (1，2)， = 2， =12 2 (2 + 2) = 4 （3）解：根据图象得：不等式 的解集为 1或0 1 【解析】【分析】 （1）将 A（-1，2）代入
35、y=中求出 k 的值，据此可得反比例函数的解析式； （2）易得 B（1，-2） ，根据点 C 是点 A 关于 y 轴的对称点可得 C（1，2） ，则 CA=2，然后根据三角形的面积公式进行计算； （3）根据图象，找出反比例函数图象在正比例函数图象下方部分所对应的 x 的范围即可. 25 【答案】（1）解：BAC=90 ，AB= AC， ABC=ACB=902=45 ， lBC， DAB=ABC=45 ，EAC=ACE=45 ， BDAE，CEDE， 即BDA=CEA=90 ， ABD=90 -45 =45 ，ACE = 90 -45 =45 ， DAB=ABD=EAC=ACE=45 ， AD=
36、BD=ABsinDAB =2 22=1， AE=CE= ACsinEAC=2 22=1， DE=AD+AE=2； （2）解： （） DE=CE+BD；理由如下： BDAE， CEDE， BDA=CEA=90 ， DAB+DBA=90 ， BAC=90 ， DAB+CAE=90 ， DBA=CAE， AB=AC， ABDCAE， AD=CE，BD=AE， DE=AD+AE=CE+BD， 即 DE=CE+BD； （） BD=CE+DE，理由如下： BDAE，CEDE， BDA=CEA=90 ， DAB+DBA=90 ， BAC= 90 ， DAB+CAE=90 ， DBA=CAE， AB=AC，
37、ABDCAE（AAS） ， AD=CE，BD=AE， BD=AE=AD+DE=CE+DE， 即 BD=CE+DE. （3）解：由(2) 可知，AD=CE=3， AE= AD+DE=3+1=4， 在 RtAEC 中， AC=2+ 2=5， BDAE，CEAE， DFCE， =， 即34=5， 解得：AF=154， CF=AC-AF=5-154=54， AB=AC=5， SBFC=12CF AB=1254 5=258. 【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质求出求出ABD=45 ，ACE=45 ，然后根据锐角三角函数定义求出 AD=BD=1，AE=CE=1，即可求出 DE=
38、AD+ AE=2； (2) () DE=CE+BD；利用 AAS 证明ABDCAE，得出 AD=CE，BD=AE，利用线段和差即可得出结论； () BD=CE+DE；同理，利用 AAS 证明ABDCAE，得出 AD=CE，BD=AE，利用线段和差即可得出结论； (3)先求出 AE 长，在 RtAEC 中，根据勾股定理求出 AC 的长，由 DFCE，根据平行线分线段成比例的性质列式求出 AF 长，则可求出 CF，最后计算BFC 的的面积即可. 26 【答案】（1）证明：连接 AD、OD，记 = 1 ， = 2 ， ， = 90 . = ， 1 = . = ， 1 = 2 ， = 2 ， ， =
39、= 90 ， ， 又OD 是O 的半径， 直线 PE 是O 的切线. （2）解：连接 AD， AB 是直径， = 90 ， . 又 = ， =12 ， = 30 ， = 90 ， = 60 ， 又 = ， 为等边三角形， = 60 ， = = 12 ， =12 = 6 ， 在 中，cos = ， = cos60 = 6 12= 3 【解析】【分析】 （1）连 AD、OD，记ABD=1，ODB=2，由等腰三角形性质得1=C，1=2，则C=2，推出 ODAC，由平行线的性质可得ODE=CED=90 ，据此证明； （2）连接 AD，由圆周角定理可得ADB=90 ，结合等腰三角形的性质得 CD=12B
40、C，易得ABC 为等边三角形，得到C=60 ，BC=AB=12，CD=12BC=6，然后根据三角函数的概念就可求出 CE. 27 【答案】（1）解：AC 与 的位置关系为相切，理由如下， 连接 OD，如图所示 BD 为的角平分线 = 又 过点 B、D，设 半径为 r OB=OD=r = = /（内错角相等，两直线平行） AC 与 的位置关系为相切. （2）解：BC=3， =32 = 2+ 2=352 sin =55 过点 D 作 交于一点 F，如图所示 CD=DF（角平分线的性质定理） BF=BC=3 OF=BF-OB=3-r， = =32 2= 2+ 2即2= (3 )2+ (32)2 =1
41、58 / = sin = sin =45 sin =55，sin =45； cos =255 sin cos =55255=25 sin = 2sin cos 猜测sin2 = 2sincos 当 = 30时2 = 60 sin2 = sin60 =32 sin = sin30 =12 cos = cos30 =32 sin2 = 2sincos = 2 1232=32= sin2 sin2 = 2sincos. 【解析】【分析】 （1）连接 OD，根据角平分线概念得ABD=CBD，设 OB=OD=r，结合等腰三角形性质得ODB=OBD=CBD，推出 ODBC，结合 BCAD 可得 ODAC，据此证明； （2）利用勾股定理可得 BD，根据三角函数的概念可得 sinDBC 的值，过点 D 作 DFAB 交于一点 F，根据角平分线的性质可得 CD=DF，则 BF=BC=3，OF=3-r，OF=CD=32，利用勾股定理可得 r，根据平行线的性质可得ABC=FOD，然后结合三角函数的概念进行解答；根据三角函数的概念求出 cosDBC、sinDBC、cosDBC 的值，猜想 sin2=2sincos，令 =30，求出 sin2、sin、cos的值，据此证明.