1、 专题专题 10 10 平面直角坐标系与函数的认识平面直角坐标系与函数的认识 一、单选题一、单选题 1已知一个函数的因变量 y 与自变量 x 的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（ ） x 1 0 1 2 y 2 0 2 4 Ay2x Byx1 Cy2 Dyx2 2学校组织部分师生去烈士陵园参加“不忘初心，牢记使命”主题教育活动、师生队伍从学校出发，匀速行走 30 分钟到达烈士陵园，用 1 小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，之后队伍按原路匀速步行 45 分钟返校、 设师生队伍离学校的距离为米， 离校的时间为分钟， 则下列图象能大致反映与关系的是（ ）. A B C D 3如图，直
2、线 AB 交 x 轴于点 C，交反比例函数 y1（a1）的图象于 A、B 两点，过点 B 作 BDy 轴，垂足为点 D，若 SBCD5，则 a 的值为（ ） A8 B9 C10 D11 4如图是反比例函数 y=1的图象，点 A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点 A 作 ABx 轴于点 B，连接 OA，则AOB 的面积是（ ） A1 B12 C2 D32 5（2021 湘西）已知点 (，) 在第一象限， 且 + = 12 ， 点 (10，0) 在 轴上， 当 为直角三角形时，点 的坐标为（ ） A(10，2) ， (8，4) 或 (6，6) B(8，4) ， (9，3) 或 (5，7)
3、C(8，4) ， (9，3) 或 (10，2) D(10，2) ， (9，3) 或 (7，5) 6 （2021 南县）如图，已知ABCD 的面积为 4，点 P 在 AB 边上从左向右运动（不含端点） ，设APD的面积为 x，BPC 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 7 （2021 郴州）如图， 在边长为 4 的菱形 ABCD 中， A60 ， 点 P 从点 A 出发， 沿路线 ABCD运动.设 P 点经过的路程为 x，以点 A，D，P 为顶点的三角形的面积为 y，则下列图象能反映 y 与 x 的函数关系的是（ ） A B C D 8 （2021 邵阳）某天
4、早晨 7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30 赶到了学校.图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程.结合图象，判断下列结论正确的是（ ） A小明修车花了 15min B小明家距离学校 1100m C小明修好车后花了 30min 到达学校 D小明修好车后骑行到学校的平均速度是 3m/s 9（2021 攸县模拟）在平面直角坐标系中， 点 (1 , 3) 在第三象限内， 则 a 的取值范围是 （ ） A 1 B 3 C1 3 10 （2021 长沙模拟）如图，将线段 平移到线段 的位置，则 a-b 的值为（ ） A4 B0 C3
5、D5 二、填空题二、填空题 11 （2022 娄底）函数 =11的自变量的取值范围是 . 12 （2021 怀化）如图，在平面直角坐标系中，已知 (2,1) ， (1,4) ， (1,1) ，将 先向右平移 3 个单位长度得到 111 ， 再绕 1 顺时针方向旋转 90 得到 221 ， 则 2 的坐标是 . 13 （2021 衡阳）如图 1，菱形 的对角线 与 相交于点 O，P、Q 两点同时从 O 点出发，以 1 厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动.点 P 的运动路线为 ，点 Q 的运动路线为 .设运动的时间为 x 秒，P、Q 间的距离为 y 厘米，y 与 x 的函数关系的图象大致如图
6、2 所示，当点 P 在 段上运动且 P、Q 两点间的距离最短时，P、Q 两点的运动路程之和为 厘米. 14 （2021 长沙模拟）如图，一次函数 yk1x+b 的图象与反比例函数 y 2 的图象相交于 A（2，3） ，B（6，1）两点，当 k1x+b 2 时，x 的取值范围为 . 15 （2021 长沙模拟）在平面直角坐标系中， 矩形 的位置如图所示， 其中 (1， 1)， =3， = 4 ， / 轴，则顶点 D 的坐标为 . 16 （2021 岳阳模拟）若点 P（2k+1，1k）在第一象限，则 k 的取值范围是 . 17 （2021 岳阳模拟）函数 y 25 的自变量 x 的取值范围为 .
7、18 （2021 蒸湘模拟）如图， 在平面直角坐标系中， 等腰直角三角形1 的直角边 在 轴上，点 1 在第一象限，且 = 1 ，以点 1 为直角顶点， 1 为直角边作等腰直角三角形 12 ，再以点 2 为直角顶点， 2 为直角边作等腰直角三角形 23 以此规律，则点 2018 的坐标是 . 19 （2022 九上 岳麓开学考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿 方向运动至点处停止 设点运动的路程为， 的面积为， 如果关于的函数图象如图2所示， 则当 = 9时，的值为 20 （2022 七下 雨花期末）如图， = 30， = 150，OD 为的平分线，若 A 点可表示为(2，30)，B 点可表
8、示为(4，150)，则 D 点可表示为 三、综合题三、综合题 21 （2022 湘潭）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（1，1） ，B（4，0） ，C（2，2） ，将ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90 后得到A1B1C1 （1）请写出 A1、B1、C1三点的坐标： A1 ，B1 ，C1 ； （2）求点 B 旋转到点 B1的弧长 22 （2022 株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，点 A、分别在函数1=2( 0， 0)的图象上， 点在第二象限内， 轴于点， 轴于点， 连接、 ， 已知点 A 的纵坐标为2. （1）求点 A 的横坐标； （2）记四边形的面积为 S
9、，若点的横坐标为 2，试用含的代数式表示 S. 23 （2021 郴州）某商店从厂家以每件 2 元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量 y（单位：万件）与销售单价 x（单位元）之间有如下表所示关系： x 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 y 8.0 6.0 5.0 3.0 1.0 （1）根据表中的数据，在如图中描出实数对（x，y）所对应的点，并画出 y 关于 x 的函数图象； （2）根据画出的函数图象，求出 y 关于 x 的函数表达式； （3）设经营此商品的月销售利润为 P（单位：万元） ， 写出 P 关于 x 的函数表达式； 该商店计划从这批商品获得的月销售利润为 1
10、0 万元（不计其它成本） ，若物价局限定商品的销售单价不得超过进价的 200%，则此时的销售单价应定为多少元？ 24 （2021 张家界模拟）问题情境： 在平面直角坐标系 xOy 中有不重合的两点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2） ，小明在学习中发现，若 x1x2，则 ABy 轴，且线段 AB 的长度为|y1y2|；若 y1y2，则 ABx 轴，且线段 AB 的长度为|x1x2|； （1） （应用） ： 若点 A（1，1） 、B（2，1） ，则 ABx 轴，AB 的长度为 . 若点 C（1，0） ，且 CDy 轴，且 CD2，则点 D 的坐标为 . （2） （拓展） ： 我们规定：平面直
11、角坐标系中任意不重合的两点 M（x1，y1） ，N（x2，y2）之间的折线距离为 d（M，N）|x1x2|+|y1y2|；例如：图 1 中，点 M（1，1）与点 N（1，2）之间的折线距离为 d（M，N）|11|+|1（2）|2+35. 解决下列问题： 如图 1，已知 E（2，0） ，若 F（1，2） ，则 d（E，F） ； 如图 2，已知 E（2，0） ，H（1，t） ，若 d（E，H）3，则 t . 如图 3，已知 P（3，3） ，点 Q 在 x 轴上，且三角形 OPQ 的面积为 3，则 d（P，Q） . 25 （2021 蒸湘模拟）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定
12、剂量服用后，检测到从第 5 分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加 0.2 微克，第 100 分钟达到最高，接着开始衰退.血液中含药量 （微克）与时间 （分钟）的函数关系如图.并发现衰退时 与 成反比例函数关系. （1） = ； （2）当5 100 时， 与 之间的函数关系式为 ；当 100 时， 与 之间的函数关系式为 ； （3）如果每毫升血液中含药量不低于 10 微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：当 x=-1 时 y=-1 2=-2； 当 x=1 时 y=1 2=2； 当 x=2 时 y=22=4 y 与 x 的表达式
13、为 y=2x. 故答案为：A. 【分析】观察表中每一组 x，y 的对应值，可知 y 是 x 的 2 倍，可得答案. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：师生队伍从学校出发，匀速行走 30 分钟到达烈士陵园， 当 0 x30 时，y 随 x 的增大而增大； 用 1 小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动 当 30 x90 时，y 是一个定值； 之后队伍按原路匀速步行 45 分钟返校， 当 90 x135 时，y 随 x 的增大而减小； 能大致反映 y 与 x 关系的是 A， 故答案为：A. 【分析】抓住已知条件：师生队伍从学校出发，匀速行走 30 分钟到达烈士陵园，可知 y 随 x 的增大而增
14、大；用 1 小时在烈主陵园进行了祭扫和参观学习等活动，此时 y 是一个定值；之后队伍按原路匀速步行 45 分钟返校，可知 y 随 x 的增大而减小；据此可得答案. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：设(，1)， BDy 轴 SBCD=12 1=5， 解得： = 11 故答案为：D. 【分析】设 B（m，1） ，则 BD=m，BCD 的边 BD 上的高线为1，接下来根据三角形的面积公式就可求出 a 的值. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：设 A（x，y） ，则 OB=x，AB=y， A 为反比例函数 y=1图象上一点， xy=1， SABO=12ABOB=12xy=12 1=12. 故答案
15、为：B. 【分析】设 A（x，y） ，则 OB=x，AB=y，根据点 A 在反比例函数图象上可得 xy=1，由三角形的面积公式可得 SABO=12xy，据此计算. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得： 当 = 90 时，如图所示： (10，0) ， (，) ， = 10 ， + = 12 ， = 2 ， (10，2) ； 当 = 90 时，过点 M 作 MBx 轴于点 B，如图所示： = = = 90 ， ， = ，即 2= ， (10，0) ， (，) ， = ， = ， = 10 ， + = 12 ， = ， = 12 ， = 10 ， (12 )2= (10 ) ，解得： 1=
16、 8，2= 9 ， 当 = 8 时，则 = 4 ；当 = 9 时，则 = 3 ， (8，4) 或 (9，3) ； 故答案为：C. 【分析】根据题意分两种情况：当 = 90 时，当 = 90时，据此分别求解即可. 6 【答案】B 【解析】【解答】解：ABCD 的面积为 4， 当 x0 时，y2；x2 时，y0； BPC 的底边 AP 边上的高不变， y 是 x 的一次函数， 故只有选项 B 符合题意. 故答案为：B. 【分析】根据平行四边形的面积可得：当 x0 时，y2；x2 时，y0，由图形可得BPC 的底边AP 边上的高不变，据此判断. 7 【答案】A 【解析】【解答】解：过点 B 作 BE
17、AD 于点 E，如图所示： 边长为 4 的菱形，ABCD 中，A60 ， ABADBC4， ABE30 ， AE2，BE2 3 ， 当点 P 从点 A 运动到点 B 时，过点 P 作 PFAD 于点 F， 则 APx，AF 12 x，PF 32 x， SADP 12 ADPF 12 4 32 x 3 x， ADP 的面积逐渐增大； 当在线段 BC 上时， SADP 12 ADBE 12 4 2 3 4 3 ， ADP 的面积保持不变； 当点 P 在线段 CD 上时，如图，过点 P 作 PMAD 交 AD 的延长线于点 M， 则 AB+BC+CPx， 则 DP12x，DM6 12 x，PM 3
18、DM6 3 32 x， SADP 12 ADPM 12 4 （6 3 32 x）12 3 3 x， ADP 的面积逐渐减小. 故答案为：A. 【分析】过点 B 作 BEAD 于点 E，由菱形的性质可得 ABADBC4，由直角三角形两锐角互余的性质可得ABE30 ，据此可得 AE、BE 的值；当点 P 从点 A 运动到点 B 时，过点 P 作 PFAD于点 F，则 APx，AF12x，PF32x，然后表示出 SADP；当在线段 BC 上时，由三角形的面积公式可得 SADP； 当点 P 在线段 CD 上时，如图，过点 P 作 PMAD 交 AD 的延长线于点 M，则 AB+BC+CPx，DP12x
19、，DM6-12x，PM3DM6 332x，表示出 SADP，据此判断. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：根据图象 7:05-7:20 为修车时间 20-5=15 分钟，故 A 正确； 小明家距离学校 2100m，故 B 错误； 小明修好车后花了 30-20=10 分钟到达学校，故 C 错误； 小明修好车后骑行到学校的平均速度是（2100-1000） 600= 116 m/s，故 D 错误； 故答案为：A. 【分析】由于时间在变，而路程不变，根据横坐标即可求出时间；根据图象的纵坐标，求出小明家距离学校的路程；利用小明修好车后的路程除以时间即得小明修好车后骑行到学校的平均速度，然后判断即可.
20、9 【答案】C 【解析】【解答】解：点 (1 , 3) 在第三象限， 1 0 3 1， 解不等式，得：a3， 则 1 0， 解得：x1 故答案为：x1. 【分析】根据分式的分母不能为 0 及二次根式的被开方数不能为负数可得 x-10，求解即可. 12 【答案】（2，2） 【解析】【解答】解：如图示： 111 ， 221 为所求， 根据图象可知， 2 的坐标是（2，2） ， 故答案是： （2，2）. 【分析】利用平移的性质和旋转的性质，画出A2B2C1，即可得到点 A2的坐标. 13 【答案】(23 + 3) 【解析】【解答】解：由图可知， = 23, = 2 （厘米） ， 四边形 为菱形 =1
21、2 = 3, =12 = 1 （厘米） = 30 P 在 上时，Q 在 上， 距离最短时， 连线过 O 点且垂直于 . 此时，P、Q 两点运动路程之和 = 2( + ) = cos = 3 32=32 （厘米） = 2(3 +32) = 23 + 3 （厘米） 故答案为 (23 + 3) . 【分析】由图象可知当点 P 运动到 A 点，点 Q 运动到 C 点时，即得 = 23, = 2，由菱形的性质得出 =12 = 3, =12 = 1， 从而得出ACB=30 ， 由题意可得 P 在 上时， Q 在 上， 距离最短时， 连线过 O 点且垂直于 .此时，P、Q 两点运动路程之和 = 2( + )
22、，据此求出结论即可. 14 【答案】0 x2 或 x6 【解析】【解答】解：由图象可知，当 k1x+b 2 时，x 的取值范围为 0 x2 或 x6. 故答案为 0 x2 或 x6. 【分析】根据题意，看图象，找出直线在双曲线以下的部分时 x 的取值范围即可. 15 【答案】（3，2） 【解析】【解答】解： 四边形 ABCD 是矩形， = = 3， = = 4，/，/ ， 且 / 轴， / 轴， / 轴， (1， 1)， = 3， = 4 ， 点 C 横坐标为 3，点 A 纵坐标为 2， 点 D 坐标为（3，2）. 故答案为： （3，2）. 【分析】由矩形的性质可得 AB=CD=3，BC=AD
23、=4，ADBC，ABCD，然后根据点 B 的坐标以及AB、BC 的值可得点 C 的横坐标，点 A 的纵坐标，据此不难得到点 D 的坐标. 16 【答案】 12 k1 【解析】【解答】解：点 P（2k+1，1k）在第一象限， 2 + 1 01 0 ， 解不等式得，k 12 ， 解不等式得，k1， 所以，不等式组的解集是 12 k1. 故答案为： 12 k1. 【分析】根据第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数列出不等式组求解即可. 17 【答案】x5 【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件，得：x-50，即 x5；故答案为 x5. 【分析】根据分式有意义的条件，即可快速作答. 18 【答案】(0
24、，21009) 【解析】【解答】解：由已知可得，点 A 每次旋转转动 45 ，则转动一周需要 8 次变换，每次转动点 A到原点的距离均为前一次的2倍，即 OAn=2OAn-1， 2018=252 8+2， 点 A2018落在 y 轴的正半轴上， 又OA2018=（2）2018=21009， A2018（0，21009）. 故答案为： （0，21009）. 【分析】通过已知条件，结合图形变换可知点 A 每次旋转转动 45 ，则转动一周需要 8 次变换，每次转动点 A 到原点的距离均为前一次的 2倍，即 OAn=2OAn-1，再由 2018=252 8+2 可得点 A2018落在 y 轴的正半轴上
25、，再由 OA2018=（2）2018=21009，即可求得 A2018的坐标. 19 【答案】10 【解析】【解答】解： = 4 时，即 R 从 N 到达点 P 时，面积开始不变， = 4 ， 同理可得 = 5 ， 当 = 9 时，点 R 运动到点 Q 处， =12 =12 4 5 = 10 故答案为：10. 【分析】根据图形可得 PN=4，QP=5，故当 x=9 时，点 R 运动到点 Q 处，然后根据三角形的面积公式进行计算. 20 【答案】（5，90 ） 【解析】【解答】解：BOC=150 ，AOC=30 ， AOB=120 ， OD 为BOA 的平分线， AOD=BOD=60 ， DOC
26、=AOD+AOC=60 +30 =90 ， A 点可表示为（2，30 ） ，B 点可表示为（4，150 ） ， D 点可表示为： （5，90 ） 故答案为： （5，90 ）. 【分析】由AOB=BOC-AOC 可得AOB 的度数，根据角平分线的概念得AOD=BOD=60 ，进而由DOC=AOD+AOC 求出DOC 的度数，据此可得点 D 的坐标. 21 【答案】（1） （1，1） ； （0，4） ； （2，2） （2）解：由图知点 B 旋转到点 B 的弧长所对的圆心角是 90 ，OB=4， 点 B 旋转到点 B 的弧长=904180=2. 【解析】【解答】 解： (1) 将ABC 绕原点 O
27、顺时针旋转 90 后得到A1B1C1 ， 则 A1 （1， 1） ， B1 （0，4） ， C1 （2，2） ； 【分析】(1)将ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90 得到A1B1C1 ，在坐标系中读出 A1 ， B1 ， C1 点的坐标即可； (2)由图知点 B 旋转到点 B 的弧长所对的圆心角是 90 ，且 OB=4， 根据弧长公式计算即可求出结果. 22 【答案】（1）解：将 y=-2 代入1=2( 100 时， 与 之间的函数关系式为 = ， 经过点 (100，19) ， 100= 19 解得： = 1900 ， 函数的解析式为 =1900 ； 【分析】 （1）根据第 5 分钟起
28、，每分钟血液中含药量增加 0.2 微克，即增加的速度，则在 100 分钟时增 加的药量为 0.2 （100-5） ，即可求出 a 值； （2）当 5x100 时，设函数关系式为 y=k1x+b，将点（5，0）和（100，19）代入解析式，建立方程组 5 + = 0100 + = 19，解得 = 0.2 = 1，即 y=0.2x-1；当 x100 时，设函数关系式为 y= ，将点（100，19） ，得 k=1900，即 y= 1900； （3）由（2）中求出的不同时间段的函数关系式得，当 y=0.2x-1=10，解得 x=55，当 y= 1900=10，解得 x=190，由 190-55 即可求得一次服药后的有效时间