1、 专题专题 4 4 分式与二次根式分式与二次根式 一、单选题一、单选题 1要使二次根式3 6有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 2下列运算正确的是（ ） A3a2aa B （a3）2a5 C2552 D （a1）2a21 3 （2022 郴州）下列运算正确的是（ ） A3+ 2= 5 B6 3= 2 C( + )2= 2+ 2 D(5)2= 5 4 （2022 永州）下列各式正确的是（ ）. A4 = 22 B20= 0 C3 2 = 1 D2 (2) = 4 5 （2022 怀化）代数式25x，1，22+4，x223，1，+1+2中，属于分式的有（ ） A2
2、个 B3 个 C4 个 D5 个 6 （2022 怀化）下列计算正确的是（ ） A （2a2）36a6 Ba8 a2a4 C(2)22 D （xy）2x2y2 7 （2022 衡阳）如果二次根式 1 有意义，那么实数 a 的取值范围是（ ） A 1 B 1 C 1 D 1 8 （2021 南县）将 452 化为最简二次根式，其结果是（ ） A452 B902 C9102 D3102 9 （2021 郴州）为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm 的光刻机难题，其中 1nm0.000000001m，则 7nm 用科学记数法表示为（ ） A0.7 108m
3、 B7 108m C0.7 108m D7 109m 10 （2021 娄底）2，5， 是某三角形三边的长，则 ( 3)2+( 7)2 等于（ ） A2 10 B10 2 C10 D4 二、填空题二、填空题 11 （2022 益阳）计算：2121 12 （2022 长沙）若式子 19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 . 13 （2022 常德）使式子4有意义的的取值范围是 . 14 （2022 怀化）计算+5+23+2 . 15 （2022 衡阳）计算： 2+2+4+2= . 16 （2022 衡阳模拟）在函数 =152中，自变量 x 的取值范围是 17 （2021 湘西）若二次根式 2
4、 1 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 . 18 （2021 湘西）若式子 22+ 1 的值为零，则 . 19 （2021 永州）已知二次根式 + 3 有意义，则 x 的取值范围是 . 20 （2021 郴州）使 2 有意义的 x 的取值范围是 . 三、计算题三、计算题 21 （2021 南县）先化简，再求值： (1 +3) 229 ，其中 a2. 22 （2021 郴州）先化简，再求值： （ 12+ 321 ） 11 ，其中 a 2 . 23 （2021 娄底）先化简，再求值： 31 (1 21029) ，其中 x 是 1，2，3 中的一个合适的数. 24 （2021 娄底）计算： (2
5、021 )0+12+1+ (12)1 2cos45 . 25 （2021 怀化）计算： (3 )012 + (13)2+ 4sin60 (1) 26 （2021 常德）计算： 20210+ 3192sin45 . 27 （2021 长沙）计算： | 2| 2sin45 + (1 3)0+ 2 8 . 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解： 二次根式3 6有意义， 3x-60 解之：x2. 故答案为：D. 【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数大于等于 0，可得到关于 x 的不等式，然后求出不等式的解集. 2 【答案】A 【解析】【解答】解：A、3a2aa，故 A 符
6、合题意； B、 （a3）2a6，故 B 不符合题意； C、2555，故 C 不符合题意； D、 （a1）2a2-2a+1，故 D 不符合题意； 故答案为：A. 【分析】利用合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对 A 作出判断；利用幂的乘方， 底数不变， 指数相乘， 可对 B 作出判断； 再利用合并同类二次根式的法则， 可对 C 作出判断；然后根据（a-b）2=a2-2ab+b2，可对 D 作出判断. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、 3+ 2 不是同类项，不能合并，故 A 选项错误； B、 6 3= 3 ，故 B 选项错误； C、( + )2= 2+ 2 + 2 ，
7、故 C 选项错误； D、 (5)2= 5 ，故 D 选项正确. 故答案为：D. 【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断 A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断 B；根据完全平方公式的展开式是一个三项式可判断 C；根据二次根式的性质“()2=|”可判断 D. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：A、4 = 2，故 A 不符合题意； B、20=1，故 B 不符合题意； C、3a-2a=a，故 C 不符合题意； D、2-（-2）=2+2=4，故 D 符合题意； 故答案为：D. 【分析】利用正数的算术平方根只有一个，可对 A 作出判断；利用任何不等于 0 的数的 0 次幂
8、为 1，可对 B 作出判断；合并同类项是把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变，可对 C 作出判断；利用减去一个数等于加上这个数的相反数，可对 D 作出判断. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：分母中含有字母的是22+4，1，+1+2， 分式有 3 个. 故答案为：B. 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此一一判断得出答案. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：A、 （2a2）3=8a66a6，故此选项错误，不符合题意； B、a8 a2=a6a4，故此选项错误，不符合题意； C、(2)2=2，故此选项正确，符合题意； D、 （x
9、y）2=x22xy+y2x2y2，故此选项错误，不符合题意. 故答案为：C. 【分析】积的乘方，先对每一个因式分别进行乘方，然后将所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘， 据此判断 A； 同底数幂相除， 底数不变， 指数相减， 据此判断 B； 根据二次根式的性质“2=|”可判断 C；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断 D. 7 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得 a-10 解之：a1. 故答案为：B. 【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于 a 的不等式，然后求出不等式的解集. 8 【答案】D 【解析】【解答】解： 452 95222 3102 ，
10、故答案为：D. 【分析】原二次根式可变形为95222，据此化简. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：1nm0.000000001m， 7nm7 109m. 故答案为：D. 【分析】科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数.确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于 10 时，n是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数. 10 【答案】D 【解析】【解答】解： 2，3， 是三角形的三边， 5 2 5 + 2 ， 解得： 3 7 ， ( 3)2+ ( 7)2= 3 + 7 = 4 ， 故
11、答案为：D. 【分析】根据三角形的三边关系，可得3 4. 故答案为：x4. 【分析】根据分式的分母不能为零及二次根式的被开方数不能为负数可得 x-40，求解即可. 14 【答案】1 【解析】【解答】解：+5+23+2=+53+2=+2+2= 1 故答案为：1. 【分析】直接根据同分母分式减法法则“分母不变，分子相减”进行计算即可. 15 【答案】2 【解析】【解答】解：原式=2+4+2=2(+2)+2= 2. 故答案为：2. 【分析】利用同分母分式相加，分母不变，把分子相加，再约分化简. 16 【答案】x25 【解析】【解答】解：由题意知 5x-20， 解得：x25， 故答案为：x25. 【分
12、析】根据分式有意义的条件：分式的分母不为 0 可得 5x-20，求解即可. 17 【答案】 12 【解析】【解答】解：由二次根式 2 1 在实数范围内有意义可得： 2 1 0 ，解得： 12 ； 故答案为 12 . 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可. 18 【答案】0 【解析】【解答】解：由式子 22+ 1 的值为零可得： 22+ 1 =2= 0 ， = 0 且 2 0 ， = 0 ； 故答案为 0. 【分析】将原式通分变为2，根据分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0，据此解答即可. 19 【答案】x3 【解析】【解答】解：根据二次根式的意义，得 x+3
13、0， 解得 x3. 故答案为：x3. 【分析】由二次根式有意义的条件可得 x+30，求解即可. 20 【答案】x0 【解析】【解答】解：使 2 有意义，则 2 0 且 x0， 解得：x0. 故答案为：x0. 【分析】由分式以及二次根式有意义的条件可得20 且 x0，求解即可. 21 【答案】解：原式 +3 2(+3)(3) 23 ， 当 x2 时，原式 23 2 【解析】【分析】利用异分母分式加法法则以及分式的乘法法则可将原式化简为23，然后将 a 的值代入计算. 22 【答案】解：解： （ 12+ 321 ） 11 1(+1) 3(+1)(1) （a1） (1)2(3)(+1)(1) （a1
14、） 22+12+3(+1)(1) （a1） +1(+1)(1) （a1） 1 ， 当 a 2 时，原式 12 22 . 【解析】【分析】利用异分母分式减法法则以及分式的除法法则对原式进行化简，然后将 a 的值代入计算. 23 【答案】解： 31 (1 21029) =31 29(+3)(3)210(+3)(3) =3122+1(+3)(3) =31(1)2(+3)(3) =1+3 ， 1 ， 3 ， = 2 ， 原式 =212+3=15 . 【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再进行乘法运算即可化简，最后选取一个使分式有意义的值代入计算即可. 24 【答案】解： (202
15、1 )0+12+1+ (12)1 2cos45 = 1 +21(2+1)(21)+ 2 2 22 = 1 + 2 1 + 2 2 = 2 . 【解析】【分析】根据零指数幂、分母有理化、负整数指数幂、特殊角三角函数值进行计算即可. 25 【答案】解：原式 = 1 23 + 9 + 23 + 1 = 11 【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值，然后合并即可. 26 【答案】解： 20210+ 319 2sin45 = 1 +33 2 22 = 1 + 1 1 = 1 【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时代入特殊角的三角函数值；再算乘法运算，然后利用有理数的加减法法则进行计算. 27 【答案】解：原式 = 2 2 22+ 1 + 16 ， = 2 2 + 1 + 4 ， = 5 【解析】【分析】由 0 指数幂的意义“任何一个不为 0 的数的 0 次幂等于 1”可得（1-3）0=1，由特殊角的三角函数值可得 sin45 =22，由二次根式的乘法法则“ =( 0, 0)”可得28 =16 = 4，再根据二次根式的混合运算法则计算即可求解