1、 专题专题 22 22 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1如图，点 D 为 边上任一点， 交于点 E，连接、相交于点 F，则下列等式中不成立的是（ ） A= B= C= D= 2如图，已知菱形的边长为 2，对角线、相交于点 O，点 M，N 分别是边、上的动点， = = 60，连接、.以下四个结论正确的是（ ） 是等边三角形；的最小值是3；当最小时=18菱形；当 时，2= . A B C D 3 （2022 威海）由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形，AOBBOCCODLOM30 若 SAOB1，则图中与AOB 位似的三角形的面积为（ ） A （43）3 B （
2、43）7 C （43）6 D （34）6 4 （2022 周村模拟）如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ） A2：1 B3：1 C3：2 D2：1 5 （2022 郯城模拟）如图，EF 是一个杠杆，可绕支点 O 自由转动，若动力动和阻力阻的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力阻不变时，则杠杆向下运动时动的大小变化情况是（ ） A越来越小 B不变 C越来越大 D无法确定 6 （2022 泰山模拟）如图，在 中，P 为边上一点若 M 为的中点， = ， =3， = 2，则的长为（ ） A1 B2 C5 D3 7 （2022 泰安模拟
3、）如图，在中，的平分线交 CD 于点 F，交 AD 的延长线于点 E，过点 C 作 ，垂足为 G，若 = 9， = 3， = 2，则线段 CG 的长为（ ） A62 B923 C310 D35 8 （2022 牡丹模拟）如图，在正方形 ABCD 中，顶点(5，0)，(5，10)，点 F 是 BC 的中点，CD与 y 轴交于点 E，AF 与 BE 交于点 G，将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转，每次旋转 90 ，则第 2022次旋转结束时，点 G 的坐标为（ ） A(4，3) B(3，4) C(4， 3) D(3， 4) 9 （2022 龙口模拟）如图，在直角坐标系 xOy 中，矩形 EF
4、GO 的两边 OE，OG 在坐标轴上，以 y 轴上的某一点 P 为位似中心，作矩形 ABCD，使其与矩形 EFGO 位似，若点 B，F 的坐标分别为（4，4） ，（-2，1） ，则位似中心 P 的坐标为（ ） A （0，1.5） B （0，2） C （0，2.5） D （0，3） 10 （2022 陵城模拟）如图，正方形，点 E，F 分别在边，上， = ，： = 1：2，与交于点 M， 与交于点 N， 延长至 G， 使 = 2， 连接 有如下结论： ； =24；：四边形= 1：9； = 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 11（2022 济宁）如图，
5、点 A， C， D， B 在O 上， ACBC， ACB90 若 CDa， tanCBD13， 则 AD 的长是 12 （2022 潍坊）墨子 天文志记载：“执规矩，以度天下之方圆”度方知圆，感悟数学之美如图，正方形的面积为 4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若： =2：1，则四边形的外接圆的周长为 13如图， 在 中， 点 F、 G 在上， 点 E、 H 分别在、 上， 四边形是矩形， = 2，是 的高 = 8， = 6，那么的长为 14 （2022 崂山模拟）如图，在等边中， = 6， =12，分别为边，上的点，将沿所在直线翻折，点落在点，得到三角形，则的面积为 15 （2
6、022 李沧模拟）如图，在 中， = 90， = 12， = 5，将 绕点顺时针旋转 90 得到， 为线段上的动点， 以为圆心、 为半径作， 当与 的边相切时，的半径的长为 16 （2022 临沭模拟）如图，点、分别在正方形的边、上， 若 = 6， = = 1，则 = 17（2022 泰安模拟）如图， 正方形ABCD中， E为AB上一点， 于点F， 已知 = 4 = 4， 过C、 D、F 的 与边 AD 交于点 G，则 = 18 （2022 牡丹模拟）如图，已知矩形 ABCD 与矩形 EFGO 是位似图形，点 P 是位似中心，若点 B、F的坐标分别为(4，3)、(2，1)，则点 P 的坐标为
7、19 （2022 章丘模拟）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，AC，BD 交于点 O，点 E 为OAB 内的一点，连接 AE，BE，CE，OE，若BEC90 ，给出下列四个结论：OEC45 ；线段 AE 的最小值是51；OBEECO；2OE+BECE其中正确的结论有 .（填写所有正确结论的序号） 20 （2022 岚山模拟）如图，在平面直角坐标系中，的边在 x 轴上，边与 y 轴的交点是，将 沿 y 轴向右翻折，点 A 落在 E 处，连接，交于点 F，已知： = 1：2， 的面积是 1若 =( 0)的图象经过点 E，则 k 的值是 三、综合题三、综合题 21 （2022 济宁）如图，AOB
8、 是等边三角形，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 C，点 C 的坐标为（0，3） P 是直线 AB 上在第一象限内的一动点，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D，交 AO 于点 E，连接AD，作 DMAD 交 x 轴于点 M，交 AO 于点 F，连接 BE，BF （1）填空：若AOD 是等腰三角形，则点 D 的坐标为 ； （2）当点 P 在线段 AB 上运动时（点 P 不与点 A，B 重合） ，设点 M 的横坐标为 m 求 m 值最大时点 D 的坐标； 是否存在这样的 m 值，使 BEBF？若存在，求出此时的 m 值；若不存在，请说明理由 22 （2022 菏泽）如图，在 中，以 AB 为
9、直径作 交 AC、BC 于点 D、E，且 D 是 AC 的中点，过点 D 作 于点 G，交 BA 的延长线于点 H （1）求证：直线 HG 是 的切线； （2）若 = 3，cos =25，求 CG 的长 23 （2022 烟台） （1） 【问题呈现】如图 1，ABC 和ADE 都是等边三角形，连接 BD，CE求证：BDCE （2） 【类比探究】如图 2，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABCADE90 连接 BD，CE请直接写出的值 （3）【拓展提升】 如图3， ABC和ADE都是直角三角形， ABCADE90 ， 且34 连接BD，CE 求的值； 延长 CE 交 BD 于点 F，交 A
10、B 于点 G求 sinBFC 的值 24 （2022 威海）回顾：用数学的思维思考 （1）如图 1，在ABC 中，ABAC BD，CE 是ABC 的角平分线求证：BDCE 点 D，E 分别是边 AC，AB 的中点，连接 BD，CE求证：BDCE （从两题中选择一题加以证明） （2）猜想：用数学的眼光观察 经过做题反思， 小明同学认为： 在ABC 中， ABAC， D 为边 AC 上一动点 （不与点 A， C 重合） 对于点 D 在边 AC 上的任意位置，在另一边 AB 上总能找到一个与其对应的点 E，使得 BDCE进而提出问题：若点 D，E 分别运动到边 AC，AB 的延长线上，BD 与 CE
11、 还相等吗？请解决下面的问题： 如图 2，在ABC 中，ABAC，点 D，E 分别在边 AC，AB 的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母） ，使得 BDCE，并证明 （3）探究：用数学的语言表达 如图 3，在ABC 中，ABAC2，A36 ，E 为边 AB 上任意一点（不与点 A，B 重合） ，F 为边 AC 延长线上一点判断 BF 与 CE 能否相等若能，求 CF 的取值范围；若不能，说明理由 25 （2022 滨州）如图，已知 AC 为 的直径，直线 PA 与 相切于点 A，直线 PD 经过 上的点B 且 = ，连接 OP 交 AB 于点 M求证： （1）PD 是 的切线； （2）
12、2= 26 （2022 周村模拟）ABC 中，ABAC10，BC12，O 是ABC 的外接圆 （1）如图，过 A 作 MNBC，求证：MN 与O 相切； （2）如图，ABC 的平分线交半径 OA 于点 E，交O 于点 D求O 的半径和 AE 的长 27 （2022 平阴模拟）在等腰ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 边上一点（不与点 B、C 重合） ，连结AD （1） 如图 1， 若C60 ， 点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E， 连结 AE， DE， 则BDE ； （2）如图 2，若C60 ，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60 得到线段 AE，连结 BE探究 CD 与BE 的
13、数量关系，并证明； （3）如图 3，若=k，且ADEC试探究 BE、BD、AC 之间满足的数量关系，并证明 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解： ， =，DEFCBF，ADEABC，故 A 不符合题意； =，=，故 B 不符合题意，C 符合题意； =，故 D 不符合题意； 故答案为：C 【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：如图：在菱形 ABCD 中，AB=BC=AD=CD， ，OA=OC， = = 60， = = 60， 与 为等边三角形， 又 = = 60 ， = = 60 ， = ， 在 与 中 = = = ()
14、， AM=AN， 即 为等边三角形， 故符合题意； ， 当 MN 最小值时，即 AM 为最小值，当 时，AM 值最小， = 2， =12 = 1， = 2 2= 22 12= 3 即 = 3， 故符合题意； 当 MN 最小时，点 M、N 分别为 BC、CD 中点， ， ， 在 中， = 2 2=12 (32)2=12， =12123 =34， 而菱形 ABCD 的面积为：2 3 = 23， 1823 =34， 故符合题意， 当 时， = = 90 = = 2= 2= 故符合题意； 故答案为：D 【分析】利用菱形的性质，等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性质 逐项判断即
15、可。 3 【答案】C 【解析】【解答】解：AOBBOCCODLOM30 AOG180 ，BOH180 ， A、O、G 在同一直线上，B、O、H 在同一直线上， 与AOB 位似的三角形为GOH， 设 OA=x， 则 OB=cos30=233= (233)1， OC=cos30=43= (233)2， OD=cos30=839= (233)3， OG=(233)6， = (233)6， = (233)12= (43)6， = 1， = (43)6， 故答案为：C 【分析】设 OA=x，根据位似三角形的性质求出 OG=(233)6，即可得到= (233)6，再利用相似三角形的性质可得= (233)1
16、2= (43)6，最后求出= (43)6即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解：设原来矩形的长为 x，宽为 y，如图， 对折后的矩形的长为 y，宽为2， 得到的两个矩形都和原矩形相似， ： = ：2， 2=22， 解得： = 2：1 故答案为：D 【分析】 设原来矩形的长为 x， 宽为 y， 根据折叠和相似的性质可得： = ：2， 再化简可得2=22， 从而得到： = 2：1。 5 【答案】B 【解析】【解答】解： = ， = ， ， =，即 = ， 阻力阻不变，即 ME 不变， 又OM，ON 不变， 由 = 得，NF 不变，即动的大小不变 故答案为：B 【分析】证明 ，利用相似三角形的性
17、质可得 = ，由于阻力阻不变，即 ME 不变，结合 OM，ON 不变，可得 NF 不变，据此判断即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】如图所示，取 AP 中点 G，连接 MG， 设 AG=x，则 PG=x，BG=3-x， 为的中点， ， = ， = ， ， =， 即21=23， 解得： =352， AB=3， = 3 5， = 5 故答案为：C 【分析】 取AP中点G， 连接MG， 设AG=x， 则PG=x， BG=3-x， 先证明 可得=， 将数据代入可得21=23，求出 x 的值即可。 7 【答案】A 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AEBC，即 DEBC，CDAB
18、， DEFCBF， =，即2=39， BF6， BE 平分ABC， ABFCBF， CDAB， CFB=ABF， CFBCBF， CBCF9， ， FG=BG=12 = 3， 在 RtBCG 中，CG2 2=92 32= 62 故答案为：A 【分析】先证明DEFCBF，可得=，即2=39，求出 BF 的长，再利用中点的性质可得FG=BG=12 = 3，最后利用勾股定理求出 CG 的长即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=10，C=ABF=90 ， 点 F 是 BC 的中点，CD 与 y 轴交于点 E， CE=BF=5， ABFBCE（SAS
19、） ， BAF=CBE， BAF+BFA=90 ， FBG+BFG=90 ， BGF=90 ， BEAF， = 2+ 2= 102+ 52= 55 ， = 25 ， 过 G 作 GHAB 于 H， BHG=AGB=90 ， HBG=ABG， ABGGBH， = ， BG2=BHAB， =(25)210= 2 = 2+ 2= 4， G（3，4） ， 将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针每次旋转 90 ， 第一次旋转 90 后对应的 G 点的坐标为（4，-3） ， 第二次旋转 90 后对应的 G 点的坐标为（-3，-4） ， 第三次旋转 90 后对应的 G 点的坐标为（-4，3） ， 第四次旋转
20、90 后对应的 G 点的坐标为（3，4） ， ， 2022=4 505+2， 每 4 次一个循环，第 2022 次旋转结束时，相当于正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转 2 次， 第 2022 次旋转结束时，点 G 的坐标为（-3，-4） 故答案为：D 【分析】先根据前几项的数据与序号的关系可得每 4 次一个循环，第 2022 次旋转结束时，相当于正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转 2 次，再结合 2022=4 505+2，可得第 2022 次旋转结束时，点 G 的坐标为（-3，-4） 。 9 【答案】B 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 和四边形 EFGO 均为矩形，点 B，F 的
21、坐标分别为（4，4） 、 （-2，1） ， = 4， = 2，点 C（0，4） ，点 G（0，1） ， = 4 1 = 3， = = 3 ， /， =，即3=24， 解得 = 1， 点 P 坐标为（0，2） ， 故答案为：B 【分析】根据位似图形的性质可得=，即3=24，求出 PG 的长，即可得到点 P 的坐标。 10 【答案】C 【解析】【解答】解：正方形 ABCD 中，AD=CD，BAD=ADC=90 ， AF=DE， ADFDCE（SAS） ， AFD=DEC， ADF+AFD=90 ， ADF+DEC=90 ， DME=90 ， CEDF，故符合题意； 设 AF=2，则 FB=4，AB
22、=CD=AD=6， = 62， ABCD， AFNCDN， =， 62=26=13， 解得 =322， =3226=24， =24，故符合题意； 设ANF 的面积为 m， ABCD， =13，AFNCDN， AND 的面积为 3m，CDN 的面积为 9m， ADC 的面积=ABC 的面积=12m， ：四边形= 1：11，故不符合题意； 作 GHCE 于 H，设 AF=DE=a，BF=2a，则 AB=CD=BC=3a，EC=10， 由CMDCDE，可得 =91010， 由GHCCDE，可得 =91020， CH=MH=12CM， GHCM， GM=GC， GMH=GCH， FMG+GMH=90
23、，DCE+GCM=90 ， FMG=DCE， ADF=DCE， ADF=GMF，故符合题意； 故答案为：C 【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质逐项判断即可。 11 【答案】22 【解析】【解答】解：如图，连接 AB，设 AD、BC 交于点 E， ACB90 是 的直径， = 90， tanCBD13， =13， 在 中， = 2+ 2= 10 ， = ， = ， tan =13， =13 设 = 则 =13， ACBC， =23， =1010 =21030， 中， = 2+ 2= 2+ (13)2=103， = + =21030 +103 =2510， = ， = ， 又 = ，
24、 ， =13103=110， = ， = 10， = = ， = 2， 2 = 10， 解得 = 5， =2510 =2510 5 = 22， 故答案为：22 【分析】先求出是 的直径，再利用勾股定理，相似三角形的判定与性质求解即可。 12 【答案】42 【解析】【解答】解：正方形 ABCD 的面积为 4， = 2， ： = 2：1， = 4， = 42+ 42= 42， 所求周长= 42； 故答案为：42 【分析】由正方形 ABCD 的面积为 4，得出 = 2，再求出 AC的值即可。 13 【答案】245 【解析】【解答】四边形 EFGH 是矩形， ， ， AM 和 AD 分别是AEH 和A
25、BC 的高， =， = ， = = = 6 ， = 2， 代入可得：66=28， 解得 =125， = 2 125=245， 故答案为：245 【分析】先证明 可得=， = ，再将数据代入可得66=28，求出 =125，即可得到 = 2 125=245。 14 【答案】49203 【解析】【解答】解：如图，过作 于， 由对折， 为等边三角形可得： = = = 6， = = = = 60， = ， = ， + = 120 = + ， = ， ， =， =12， = 2， = 4， 64=2， =46， =86， 而 + = + = 6， 46+86= 6， 解得： = 2.8， 经检验正确，则
26、= = 2.8， = 6 2.8 = 3.2，3.24=2.8， = 3.5， = sin60 =7232=734， =12145734=49320. 故答案为：49320. 【分析】过作 于，由对折， 为等边三角形可得 = = = 6， = = = = 60， = ， = ，利用相似得出 ， 得出=， 得出 AE、BE、GF、FQ 的值，再利用三角形面积公式即可得解。 15 【答案】10213或15625 【解析】【解答】解：在 中， = 90， = 12， = 5， 在 中，由勾股定理： = 2+ 2= 13， 由旋转性质可知，= = 13， = = 5，= = 12， 设P 的半径为 r
27、， 若 与相切，如图，设切点为 M，连接， 则 ，且 = ，A=A， ， ， ， ， =即12=1313， =15625 若 与相切，如图，延长交于点 N， A=A，B=B， ABCABN， =即1317=122， =10213 故答案为：10213或15625 【分析】分两种情况求解：当 与直线 AC 相切于点 M 时，当 与 AB 相切于点 N 时，利用相似三角形的判定和性质求解即可。 16 【答案】65 【解析】【解答】解：在正方形中，BAD=B=90 ，ABBC， BAF+FAG=90 ，AB=AD=6， = = 1， AG=5， FAG+AGE=90 ， AGE=BAF， AEGBF
28、A， =，即56=1， 解得： =65 故答案为：65 【分析】先证明AEGBFA，可得=，即56=1，求出 =65即可。 17 【答案】5 【解析】【解答】解：连接 CF、GF，如图： 在正方形 ABCD 中， = = 90， ，AD=CD = ， = ， ， =，即2= = 4 = 4， EF=1，DF=4，DE=DF+DE=5， = = 5 4 = 25 = ， 在 中，则勾股定理得， = 2 2=(25)2 42= 20 16 = 4 = 2， + = 90， + = 90， = ， 四边形 GFCD 是 的内接四边形， + = 180 ， + = 180 = ， ， =，即25=24
29、 = 5， = = 25 5 = 5， 故答案为：5 【分析】连接 CF、GF，先证明 可得=，即2= ，求出 EF=1，DF=4，DE=DF+DE=5，再证明 可得=，即25=24，求出 = 5，最后利用线段的和差可得 = = 25 5 = 5。 18 【答案】（0，53） 【解析】【解答】解：点 B、F 的坐标分别为（4，3） 、 （-2，1） ， EF=2，AB=4，AE=3-1=2， 矩形 ABCD 与矩形 EFGO 是位似图形， EFAB， EPFAPB， =，即2=24， 解得，EP=23， OP=1+23=53， 则点 P 的坐标为（0，53） ， 故答案为： （0，53） 【分
30、析】先证明EPFAPB，可得=，即2=24，求出 EP=23，OP=1+23=53，即可得到点 P的坐标。 19 【答案】 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， BOC=90 ，ACB=DBC=45 ， BEC=90 ， CEB=BOC， 点 E，点 B，点 C，点 O 四点共圆， OEC=OBC=45 ，故符合题意； BEC=90 ， 点 E 在直径为 BC 的圆上， 如图，取 BC 的中点 F，连接 AF，EF， EF=BF=FC=1， 在AFE 中，AEAFEF， 当点 E 在 AF 上时，AE 有最小值， 此时：AF=2+ 2=4+ 1 =5， AE 的最小值为5 1，故符
31、合题意； 点 E，点 B，点 C，点 O 四点共圆， BOE=BCEBCO=45 ，OEC=CBO=45 ， BOEOEC， COEBEO， OBE 与ECO 不相似，故不符合题意； 如图，过点 O 作 OHOE，交 CE 于 H， OHOE，OEC=45 ， OEC=OHE=45 ， OE=OH， EH=2OE， EOH=BOC=90 ， BOE=COH， 又OB=OC， COHBOE（SAS） ， BE=CH， EC=BE+EH=BE+2OE，故符合题意， 故答案为： 【分析】根据正方形的性质可得点 E，点 B，点 C，点 O 四点共圆，OEC=OBC=45 ，故正确；由题意可知点 E 在
32、直径为 BC 的圆上，取 BC 的中点 F，连接 AF，EF 当点 E 在 AF 上时，AE 有最小值，根据勾股定理可得 AF=2+ 2=4 + 1 =5，AE 的最小值为5 1，故正确；有圆周角定理可的BOEOEC，COEBEO，则OBE 与ECO 不相似，故不正确；过点 O 作 OH OE，交 CE 于 H，可证COHBOE（SAS） ，BE=CH，则 EC=BE+EH=BE+2OE，故正确。 20 【答案】9 【解析】【解答】解：如图所示，连接 OB， 由折叠的性质可知，AD=ED， 四边形 OABC 是平行四边形， ，AB=OC BEFCOF， = ()2= 4，= 2， = 4， =
33、12， = 2， = 2， = = 6， AD+BD+BE=AB+BE， 2 = ， =34 =34， =34， =92， E 是反比例函数图象上， = 2= 9， 故答案为：9 【分析】 先证明BEFCOF， 可得= ()2= 4，= 2， 再求出 =34 =34可得=34，所以=92，最后利用反比例函数 k 的几何意义可得 = 2= 9。 21 【答案】（1）(0，233)或（0，2） （2）解：设点 D 的坐标为（0，a） ，则 ODa，CD3a，AOB 是等边三角形， = = = 60， = 90 = 90 60= 30，在 RtAOC 中，tan =， = tan = 3 33= 1
34、， = 2 = 2， ， + = 90， + = 90， = ， = = 90， ，=，即：3=1， = 2+ 3 = ( 32)2+34，当 =32时，m 的最大值为34；m 的最大值为34时，点 D 坐标为(0，32)；存在这样的 m 值，使 BEBF；作 FHy 轴于点 H，ACPDFHx 轴， =，=， = ， = ， + = 180， + = 180， = ， = = 60， ()， = ，=， = ，设 = ，则 = = 2 3， = tan30=33(3 )， = ， = = 90， ，=，231=33(3)3，解得： = 3 或 =233 ，当 = 3时，点 P 与点 A 重合
35、，不合题意，舍去，当 =233时， = ( 32)2+34= (23332)2+34=23 ，存在这样的 m 值，使 BEBF此时 =23 【解析】【解答】 （1）AOB 是等边三角形，AOB=60 ，AOC=30 ，ACy 轴，点 C 的坐标为（0，3） ，OC=3， = tan30 = 3 33= 1，当AOD 是等腰三角形，OD=AD，DAO=DOA=30 ，CDA=60 ， =sin60=233， = =233，D 的坐标为(0，233)，当AOD 是等腰三角形，此时 OA=OD 时， =cos30= 2，OD=OA=2，点 D 坐标 为（0，2） ，故答案为：(0，233)或（0，2
36、） ； 【分析】 （1）先求出AOB=60 ，再分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可； （2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可； 结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质求解即可。 22 【答案】（1）解：连接 OD， ， = 90， D 是 AC 的中点，AB 为直径， ， = = 90， 直线 HG 是 的切线； （2）解：由（1）得 ， = ， cos =25， cos =25， 设 = = = ， = 3， = 3 + ， 在 中， = 90， cos =3+=25， 解得 = 2， = = = 2， = 5， = 7， D 是 AC 的中点，AB 为直径， =
37、2 = 4， = = 90， ， =，即57=2， =145， = = 4 145=65 【解析】【分析】 （1）先求出 = 90， 再求出 = = 90， 最后证明求解即可； （2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可。 23 【答案】（1）证明：ABC 和ADE 都是等边三角形， ADAE，ABAC，DAEBAC60 ， DAEBAEBACBAE， BADCAE， BADCAE（SAS） ， BDCE； （2）解：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形， =12，DAEBAC45 ， DAEBAEBACBAE， BADCAE， BADCAE， =12=22； （3）解：=34
38、，ABCADE90 ， ABCADE， BACDAE，=35， CAEBAD， CAEBAD， =35 ； 由得：CAEBAD， ACEABD， AGCBGF， BFCBAC， sinBFC=45 【解析】【分析】 （1）由ABC 和ADE 都是等边三角形，得出 ADAE，ABAC，DAEBAC60 ，再根据三角形全等的性质证出BADCAE（SAS） ，即可得出结论； （2）由ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，得出BADCAE，利用三角形相似证出BADCAE，即可得出结论； （3）利用三角形相似证出ABCADE，得出CAEBAD，再证出CAEBAD，即可得出答案；由得：CAEBAD，得出A
39、CEABD，再利用AGCBGF，得出BFCBAC，即可得解。 24 【答案】（1）解：如图 1，AB=AC， ABC=ACB， BD，CE 是ABC 的角平分线， ABD=12ABC，ACE =12ACB， ABD=ACE， AB=AC，A=A， ABDACE， BD=CE 如图 1，AB=AC，点 D，E 分别是边 AC，AB 的中点， AE=AD， AB=AC，A=A， ABDACE， BD=CE （2）解：添加条件 CD=BE，证明如下： AB=AC，CD=BE， AC+CD=AB+BE， AD=AE， AB=AC，A=A， ABDACE， BD=CE （3）能. 在 AC 上取一点 D
40、，使得 BD=CE，根据 BF=CE，得到 BD=BF， 当 BD=BF=BA 时，E 与 A 重合， A36 ，AB=AC， ABC=ACB=72 ，A=BFA=36 ， ABF=BCF=108 ，BFC=AFB， CBFBAF， =， ABAC2=BF， 设 CF=x， 2+2=2， 整理，得2+ 2 4 = 0， 解得 x=5 1，x=5 1（舍去） ， 故 CF= x=5 1， 0CF5 1 【解析】【分析】 （1）通过证明ABDACE，即可得到 BD=CE； 方法同，通过证明ABDACE，即可得到 BD=CE； （2）添加条件 CD=BE，再通过证明ABDACE，即可得到 BD=CE
41、； （3） 在AC上取一点D， 使得BD=CE， 根据BF=CE， 得到BD=BF， 先证明CBFBAF， 可得=，再设 CF=x，可得2+2=2，整理得到2+ 2 4 = 0，求出 x 的值，即可得到答案。 25 【答案】（1）证明：连接 OB， = = ， = ， = ， AC 为 的直径， = + ， = ， = ， + = 90 = ， PD 是 的切线； （2）证明：直线 PA 与 相切于点 A， = 90， PD 是 的切线， = = = 90， + = + = 90， = ， ， =， 2= 【解析】【分析】 （1）连接 OB，证明 + = 90 = ，即可得到 PD 是 的切线
42、； （2）先证明 可得=，再化简可得2= 。 26 【答案】（1）证明：作直径 AD，连接 DC， ABAC 且 MNBC， BACBNAC， DB，DNAC， AD 是直径，DDAC90 ， NACDAC90 ， OAN90 ， 又点 A 在O 上，MN 与O 相切 （2）解：作直径 AF，EGAB，连接 OB、OC， OBOC，ABAC O、A 在 BC 的垂直平分线上，即 AF 垂直平分 BC， BD 平分ABC， EGAB，FHBC， EGEH，BGBH6， 在 RtABH 中，AB10，BH6，由勾股定理得 AH8， 设O 的半径为 x，在 RtOBH 中， 由勾股定理得： (8x)
43、262x2，x254，即O 的半径为254， AB10，BG6，AG4 ， 由AGEAHB 得：=， 代入解得：AE5. 【解析】【分析】 （1） 作直径 AD， 连接 DC， 根据等腰三角形和平行线的性质得到B=ACB=NAC，求得D=NAC，根据圆周角定理得到OAN=90 ，于是得到结论； （2）作直径 AF，EGAB，连接 OB、OC，根据线段垂直平分线的判定定理得到 A、O 在 BC 的垂直平分线上，即 AF 垂直平分 BC，根据角平分线的性质得到 EG=EH，BG=BH=6，再利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可。 27 【答案】（1）30 （2）解：CDBE， 证明如下： ABA
44、C，C60 ， ABC 是等边三角形， ABAC，BAC60 ， 线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60 得到线段 AE， ADAE，EAD60 ， BACEAD60 ， BACBADEADBAD，即EABDAC， EABDAC（SAS） ， CDBE； （3）解：ACk（BD+BE） ， 证明如下： 连接 AE，如图： ABAC， CABC， ADEC， ABCADE， =， ABCADE， DAEBAC，=， DAEBADBACBAD，即EABDAC， ABAC， AEAD， EABDAC（SAS） ， CDBE， BCBD+CDBD+BE， 而=k， +=k，即 ACk（BD+BE） 【
45、解析】【解答】(1)解：ABAC，C60 ， ABC 是等边三角形， B60 ， 点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E， DEAB， BDE180 60 90 30 ， 故答案为：30 ； 【分析】 （1）易得 ABC 是等边三角形，可得B60 ，由对称可得 DEAB，根据三角形的内角和即可求出BDE 的度数； （2） CDBE，证明：根据等边三角形及旋转的性质可证明 EABDAC ，可得 CD=BE； （3） ACk（BD+BE） ，证明：连接 AE，如图 ，先证明 ABCADE，可得=，DAEBAC， 再证 EABDAC （SAS） ， 可得 CDBE， 即得 BCBD+CDBD+BE， 由=k，可得+=k，继而得解.