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专题22 图形的相似(含答案解析)2023年山东省中考数学一轮复习专题训练

1、 专题专题 22 22 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1如图,点 D 为 边上任一点, 交于点 E,连接、相交于点 F,则下列等式中不成立的是( ) A= B= C= D= 2如图,已知菱形的边长为 2,对角线、相交于点 O,点 M,N 分别是边、上的动点, = = 60,连接、.以下四个结论正确的是( ) 是等边三角形;的最小值是3;当最小时=18菱形;当 时,2= . A B C D 3 (2022 威海)由 12 个有公共顶点 O 的直角三角形拼成如图所示的图形,AOBBOCCODLOM30 若 SAOB1,则图中与AOB 位似的三角形的面积为( ) A (43)3 B (

2、43)7 C (43)6 D (34)6 4 (2022 周村模拟)如图,将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折,如果得到两个矩形都与原矩形相似,则原矩形长与宽的比是( ) A2:1 B3:1 C3:2 D2:1 5 (2022 郯城模拟)如图,EF 是一个杠杆,可绕支点 O 自由转动,若动力动和阻力阻的施力方向都始终保持竖直向下,当阻力阻不变时,则杠杆向下运动时动的大小变化情况是( ) A越来越小 B不变 C越来越大 D无法确定 6 (2022 泰山模拟)如图,在 中,P 为边上一点若 M 为的中点, = , =3, = 2,则的长为( ) A1 B2 C5 D3 7 (2022 泰安模拟

3、)如图,在中,的平分线交 CD 于点 F,交 AD 的延长线于点 E,过点 C 作 ,垂足为 G,若 = 9, = 3, = 2,则线段 CG 的长为( ) A62 B923 C310 D35 8 (2022 牡丹模拟)如图,在正方形 ABCD 中,顶点(5,0),(5,10),点 F 是 BC 的中点,CD与 y 轴交于点 E,AF 与 BE 交于点 G,将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转,每次旋转 90 ,则第 2022次旋转结束时,点 G 的坐标为( ) A(4,3) B(3,4) C(4, 3) D(3, 4) 9 (2022 龙口模拟)如图,在直角坐标系 xOy 中,矩形 EF

4、GO 的两边 OE,OG 在坐标轴上,以 y 轴上的某一点 P 为位似中心,作矩形 ABCD,使其与矩形 EFGO 位似,若点 B,F 的坐标分别为(4,4) ,(-2,1) ,则位似中心 P 的坐标为( ) A (0,1.5) B (0,2) C (0,2.5) D (0,3) 10 (2022 陵城模拟)如图,正方形,点 E,F 分别在边,上, = ,: = 1:2,与交于点 M, 与交于点 N, 延长至 G, 使 = 2, 连接 有如下结论: ; =24;:四边形= 1:9; = 上述结论中,所有正确结论的序号是( ) A B C D 二、填空题二、填空题 11(2022 济宁)如图,

5、点 A, C, D, B 在O 上, ACBC, ACB90 若 CDa, tanCBD13, 则 AD 的长是 12 (2022 潍坊)墨子 天文志记载:“执规矩,以度天下之方圆”度方知圆,感悟数学之美如图,正方形的面积为 4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形,若: =2:1,则四边形的外接圆的周长为 13如图, 在 中, 点 F、 G 在上, 点 E、 H 分别在、 上, 四边形是矩形, = 2,是 的高 = 8, = 6,那么的长为 14 (2022 崂山模拟)如图,在等边中, = 6, =12,分别为边,上的点,将沿所在直线翻折,点落在点,得到三角形,则的面积为 15 (2

6、022 李沧模拟)如图,在 中, = 90, = 12, = 5,将 绕点顺时针旋转 90 得到, 为线段上的动点, 以为圆心、 为半径作, 当与 的边相切时,的半径的长为 16 (2022 临沭模拟)如图,点、分别在正方形的边、上, 若 = 6, = = 1,则 = 17(2022 泰安模拟)如图, 正方形ABCD中, E为AB上一点, 于点F, 已知 = 4 = 4, 过C、 D、F 的 与边 AD 交于点 G,则 = 18 (2022 牡丹模拟)如图,已知矩形 ABCD 与矩形 EFGO 是位似图形,点 P 是位似中心,若点 B、F的坐标分别为(4,3)、(2,1),则点 P 的坐标为

7、19 (2022 章丘模拟)如图,正方形 ABCD 的边长为 2,AC,BD 交于点 O,点 E 为OAB 内的一点,连接 AE,BE,CE,OE,若BEC90 ,给出下列四个结论:OEC45 ;线段 AE 的最小值是51;OBEECO;2OE+BECE其中正确的结论有 .(填写所有正确结论的序号) 20 (2022 岚山模拟)如图,在平面直角坐标系中,的边在 x 轴上,边与 y 轴的交点是,将 沿 y 轴向右翻折,点 A 落在 E 处,连接,交于点 F,已知: = 1:2, 的面积是 1若 =( 0)的图象经过点 E,则 k 的值是 三、综合题三、综合题 21 (2022 济宁)如图,AOB

8、 是等边三角形,过点 A 作 y 轴的垂线,垂足为 C,点 C 的坐标为(0,3) P 是直线 AB 上在第一象限内的一动点,过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 D,交 AO 于点 E,连接AD,作 DMAD 交 x 轴于点 M,交 AO 于点 F,连接 BE,BF (1)填空:若AOD 是等腰三角形,则点 D 的坐标为 ; (2)当点 P 在线段 AB 上运动时(点 P 不与点 A,B 重合) ,设点 M 的横坐标为 m 求 m 值最大时点 D 的坐标; 是否存在这样的 m 值,使 BEBF?若存在,求出此时的 m 值;若不存在,请说明理由 22 (2022 菏泽)如图,在 中,以 AB 为

9、直径作 交 AC、BC 于点 D、E,且 D 是 AC 的中点,过点 D 作 于点 G,交 BA 的延长线于点 H (1)求证:直线 HG 是 的切线; (2)若 = 3,cos =25,求 CG 的长 23 (2022 烟台) (1) 【问题呈现】如图 1,ABC 和ADE 都是等边三角形,连接 BD,CE求证:BDCE (2) 【类比探究】如图 2,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,ABCADE90 连接 BD,CE请直接写出的值 (3)【拓展提升】 如图3, ABC和ADE都是直角三角形, ABCADE90 , 且34 连接BD,CE 求的值; 延长 CE 交 BD 于点 F,交 A

10、B 于点 G求 sinBFC 的值 24 (2022 威海)回顾:用数学的思维思考 (1)如图 1,在ABC 中,ABAC BD,CE 是ABC 的角平分线求证:BDCE 点 D,E 分别是边 AC,AB 的中点,连接 BD,CE求证:BDCE (从两题中选择一题加以证明) (2)猜想:用数学的眼光观察 经过做题反思, 小明同学认为: 在ABC 中, ABAC, D 为边 AC 上一动点 (不与点 A, C 重合) 对于点 D 在边 AC 上的任意位置,在另一边 AB 上总能找到一个与其对应的点 E,使得 BDCE进而提出问题:若点 D,E 分别运动到边 AC,AB 的延长线上,BD 与 CE

11、 还相等吗?请解决下面的问题: 如图 2,在ABC 中,ABAC,点 D,E 分别在边 AC,AB 的延长线上,请添加一个条件(不再添加新的字母) ,使得 BDCE,并证明 (3)探究:用数学的语言表达 如图 3,在ABC 中,ABAC2,A36 ,E 为边 AB 上任意一点(不与点 A,B 重合) ,F 为边 AC 延长线上一点判断 BF 与 CE 能否相等若能,求 CF 的取值范围;若不能,说明理由 25 (2022 滨州)如图,已知 AC 为 的直径,直线 PA 与 相切于点 A,直线 PD 经过 上的点B 且 = ,连接 OP 交 AB 于点 M求证: (1)PD 是 的切线; (2)

12、2= 26 (2022 周村模拟)ABC 中,ABAC10,BC12,O 是ABC 的外接圆 (1)如图,过 A 作 MNBC,求证:MN 与O 相切; (2)如图,ABC 的平分线交半径 OA 于点 E,交O 于点 D求O 的半径和 AE 的长 27 (2022 平阴模拟)在等腰ABC 中,ABAC,点 D 是 BC 边上一点(不与点 B、C 重合) ,连结AD (1) 如图 1, 若C60 , 点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E, 连结 AE, DE, 则BDE ; (2)如图 2,若C60 ,将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60 得到线段 AE,连结 BE探究 CD 与BE 的

13、数量关系,并证明; (3)如图 3,若=k,且ADEC试探究 BE、BD、AC 之间满足的数量关系,并证明 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解: , =,DEFCBF,ADEABC,故 A 不符合题意; =,=,故 B 不符合题意,C 符合题意; =,故 D 不符合题意; 故答案为:C 【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解:如图:在菱形 ABCD 中,AB=BC=AD=CD, ,OA=OC, = = 60, = = 60, 与 为等边三角形, 又 = = 60 , = = 60 , = , 在 与 中 = = = ()

14、, AM=AN, 即 为等边三角形, 故符合题意; , 当 MN 最小值时,即 AM 为最小值,当 时,AM 值最小, = 2, =12 = 1, = 2 2= 22 12= 3 即 = 3, 故符合题意; 当 MN 最小时,点 M、N 分别为 BC、CD 中点, , , 在 中, = 2 2=12 (32)2=12, =12123 =34, 而菱形 ABCD 的面积为:2 3 = 23, 1823 =34, 故符合题意, 当 时, = = 90 = = 2= 2= 故符合题意; 故答案为:D 【分析】利用菱形的性质,等边三角形的判定、三角形全等的判定和性质及三角形相似的判定和性质 逐项判断即

15、可。 3 【答案】C 【解析】【解答】解:AOBBOCCODLOM30 AOG180 ,BOH180 , A、O、G 在同一直线上,B、O、H 在同一直线上, 与AOB 位似的三角形为GOH, 设 OA=x, 则 OB=cos30=233= (233)1, OC=cos30=43= (233)2, OD=cos30=839= (233)3, OG=(233)6, = (233)6, = (233)12= (43)6, = 1, = (43)6, 故答案为:C 【分析】设 OA=x,根据位似三角形的性质求出 OG=(233)6,即可得到= (233)6,再利用相似三角形的性质可得= (233)1

16、2= (43)6,最后求出= (43)6即可。 4 【答案】D 【解析】【解答】解:设原来矩形的长为 x,宽为 y,如图, 对折后的矩形的长为 y,宽为2, 得到的两个矩形都和原矩形相似, : = :2, 2=22, 解得: = 2:1 故答案为:D 【分析】 设原来矩形的长为 x, 宽为 y, 根据折叠和相似的性质可得: = :2, 再化简可得2=22, 从而得到: = 2:1。 5 【答案】B 【解析】【解答】解: = , = , , =,即 = , 阻力阻不变,即 ME 不变, 又OM,ON 不变, 由 = 得,NF 不变,即动的大小不变 故答案为:B 【分析】证明 ,利用相似三角形的性

17、质可得 = ,由于阻力阻不变,即 ME 不变,结合 OM,ON 不变,可得 NF 不变,据此判断即可. 6 【答案】C 【解析】【解答】如图所示,取 AP 中点 G,连接 MG, 设 AG=x,则 PG=x,BG=3-x, 为的中点, , = , = , , =, 即21=23, 解得: =352, AB=3, = 3 5, = 5 故答案为:C 【分析】 取AP中点G, 连接MG, 设AG=x, 则PG=x, BG=3-x, 先证明 可得=, 将数据代入可得21=23,求出 x 的值即可。 7 【答案】A 【解析】【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, AEBC,即 DEBC,CDAB

18、, DEFCBF, =,即2=39, BF6, BE 平分ABC, ABFCBF, CDAB, CFB=ABF, CFBCBF, CBCF9, , FG=BG=12 = 3, 在 RtBCG 中,CG2 2=92 32= 62 故答案为:A 【分析】先证明DEFCBF,可得=,即2=39,求出 BF 的长,再利用中点的性质可得FG=BG=12 = 3,最后利用勾股定理求出 CG 的长即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解:四边形 ABCD 是正方形, AB=BC=CD=10,C=ABF=90 , 点 F 是 BC 的中点,CD 与 y 轴交于点 E, CE=BF=5, ABFBCE(SAS

19、) , BAF=CBE, BAF+BFA=90 , FBG+BFG=90 , BGF=90 , BEAF, = 2+ 2= 102+ 52= 55 , = 25 , 过 G 作 GHAB 于 H, BHG=AGB=90 , HBG=ABG, ABGGBH, = , BG2=BHAB, =(25)210= 2 = 2+ 2= 4, G(3,4) , 将正方形 ABCD 绕点 O 顺时针每次旋转 90 , 第一次旋转 90 后对应的 G 点的坐标为(4,-3) , 第二次旋转 90 后对应的 G 点的坐标为(-3,-4) , 第三次旋转 90 后对应的 G 点的坐标为(-4,3) , 第四次旋转

20、90 后对应的 G 点的坐标为(3,4) , , 2022=4 505+2, 每 4 次一个循环,第 2022 次旋转结束时,相当于正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转 2 次, 第 2022 次旋转结束时,点 G 的坐标为(-3,-4) 故答案为:D 【分析】先根据前几项的数据与序号的关系可得每 4 次一个循环,第 2022 次旋转结束时,相当于正方形 ABCD 绕点 O 顺时针旋转 2 次,再结合 2022=4 505+2,可得第 2022 次旋转结束时,点 G 的坐标为(-3,-4) 。 9 【答案】B 【解析】【解答】解:四边形 ABCD 和四边形 EFGO 均为矩形,点 B,F 的

21、坐标分别为(4,4) 、 (-2,1) , = 4, = 2,点 C(0,4) ,点 G(0,1) , = 4 1 = 3, = = 3 , /, =,即3=24, 解得 = 1, 点 P 坐标为(0,2) , 故答案为:B 【分析】根据位似图形的性质可得=,即3=24,求出 PG 的长,即可得到点 P 的坐标。 10 【答案】C 【解析】【解答】解:正方形 ABCD 中,AD=CD,BAD=ADC=90 , AF=DE, ADFDCE(SAS) , AFD=DEC, ADF+AFD=90 , ADF+DEC=90 , DME=90 , CEDF,故符合题意; 设 AF=2,则 FB=4,AB

22、=CD=AD=6, = 62, ABCD, AFNCDN, =, 62=26=13, 解得 =322, =3226=24, =24,故符合题意; 设ANF 的面积为 m, ABCD, =13,AFNCDN, AND 的面积为 3m,CDN 的面积为 9m, ADC 的面积=ABC 的面积=12m, :四边形= 1:11,故不符合题意; 作 GHCE 于 H,设 AF=DE=a,BF=2a,则 AB=CD=BC=3a,EC=10, 由CMDCDE,可得 =91010, 由GHCCDE,可得 =91020, CH=MH=12CM, GHCM, GM=GC, GMH=GCH, FMG+GMH=90

23、,DCE+GCM=90 , FMG=DCE, ADF=DCE, ADF=GMF,故符合题意; 故答案为:C 【分析】根据正方形的性质、相似三角形的判定和性质逐项判断即可。 11 【答案】22 【解析】【解答】解:如图,连接 AB,设 AD、BC 交于点 E, ACB90 是 的直径, = 90, tanCBD13, =13, 在 中, = 2+ 2= 10 , = , = , tan =13, =13 设 = 则 =13, ACBC, =23, =1010 =21030, 中, = 2+ 2= 2+ (13)2=103, = + =21030 +103 =2510, = , = , 又 = ,

24、 , =13103=110, = , = 10, = = , = 2, 2 = 10, 解得 = 5, =2510 =2510 5 = 22, 故答案为:22 【分析】先求出是 的直径,再利用勾股定理,相似三角形的判定与性质求解即可。 12 【答案】42 【解析】【解答】解:正方形 ABCD 的面积为 4, = 2, : = 2:1, = 4, = 42+ 42= 42, 所求周长= 42; 故答案为:42 【分析】由正方形 ABCD 的面积为 4,得出 = 2,再求出 AC的值即可。 13 【答案】245 【解析】【解答】四边形 EFGH 是矩形, , , AM 和 AD 分别是AEH 和A

25、BC 的高, =, = , = = = 6 , = 2, 代入可得:66=28, 解得 =125, = 2 125=245, 故答案为:245 【分析】先证明 可得=, = ,再将数据代入可得66=28,求出 =125,即可得到 = 2 125=245。 14 【答案】49203 【解析】【解答】解:如图,过作 于, 由对折, 为等边三角形可得: = = = 6, = = = = 60, = , = , + = 120 = + , = , , =, =12, = 2, = 4, 64=2, =46, =86, 而 + = + = 6, 46+86= 6, 解得: = 2.8, 经检验正确,则

26、= = 2.8, = 6 2.8 = 3.2,3.24=2.8, = 3.5, = sin60 =7232=734, =12145734=49320. 故答案为:49320. 【分析】过作 于,由对折, 为等边三角形可得 = = = 6, = = = = 60, = , = ,利用相似得出 , 得出=, 得出 AE、BE、GF、FQ 的值,再利用三角形面积公式即可得解。 15 【答案】10213或15625 【解析】【解答】解:在 中, = 90, = 12, = 5, 在 中,由勾股定理: = 2+ 2= 13, 由旋转性质可知,= = 13, = = 5,= = 12, 设P 的半径为 r

27、, 若 与相切,如图,设切点为 M,连接, 则 ,且 = ,A=A, , , , , =即12=1313, =15625 若 与相切,如图,延长交于点 N, A=A,B=B, ABCABN, =即1317=122, =10213 故答案为:10213或15625 【分析】分两种情况求解:当 与直线 AC 相切于点 M 时,当 与 AB 相切于点 N 时,利用相似三角形的判定和性质求解即可。 16 【答案】65 【解析】【解答】解:在正方形中,BAD=B=90 ,ABBC, BAF+FAG=90 ,AB=AD=6, = = 1, AG=5, FAG+AGE=90 , AGE=BAF, AEGBF

28、A, =,即56=1, 解得: =65 故答案为:65 【分析】先证明AEGBFA,可得=,即56=1,求出 =65即可。 17 【答案】5 【解析】【解答】解:连接 CF、GF,如图: 在正方形 ABCD 中, = = 90, ,AD=CD = , = , , =,即2= = 4 = 4, EF=1,DF=4,DE=DF+DE=5, = = 5 4 = 25 = , 在 中,则勾股定理得, = 2 2=(25)2 42= 20 16 = 4 = 2, + = 90, + = 90, = , 四边形 GFCD 是 的内接四边形, + = 180 , + = 180 = , , =,即25=24

29、 = 5, = = 25 5 = 5, 故答案为:5 【分析】连接 CF、GF,先证明 可得=,即2= ,求出 EF=1,DF=4,DE=DF+DE=5,再证明 可得=,即25=24,求出 = 5,最后利用线段的和差可得 = = 25 5 = 5。 18 【答案】(0,53) 【解析】【解答】解:点 B、F 的坐标分别为(4,3) 、 (-2,1) , EF=2,AB=4,AE=3-1=2, 矩形 ABCD 与矩形 EFGO 是位似图形, EFAB, EPFAPB, =,即2=24, 解得,EP=23, OP=1+23=53, 则点 P 的坐标为(0,53) , 故答案为: (0,53) 【分

30、析】先证明EPFAPB,可得=,即2=24,求出 EP=23,OP=1+23=53,即可得到点 P的坐标。 19 【答案】 【解析】【解答】解:四边形 ABCD 是正方形, BOC=90 ,ACB=DBC=45 , BEC=90 , CEB=BOC, 点 E,点 B,点 C,点 O 四点共圆, OEC=OBC=45 ,故符合题意; BEC=90 , 点 E 在直径为 BC 的圆上, 如图,取 BC 的中点 F,连接 AF,EF, EF=BF=FC=1, 在AFE 中,AEAFEF, 当点 E 在 AF 上时,AE 有最小值, 此时:AF=2+ 2=4+ 1 =5, AE 的最小值为5 1,故符

31、合题意; 点 E,点 B,点 C,点 O 四点共圆, BOE=BCEBCO=45 ,OEC=CBO=45 , BOEOEC, COEBEO, OBE 与ECO 不相似,故不符合题意; 如图,过点 O 作 OHOE,交 CE 于 H, OHOE,OEC=45 , OEC=OHE=45 , OE=OH, EH=2OE, EOH=BOC=90 , BOE=COH, 又OB=OC, COHBOE(SAS) , BE=CH, EC=BE+EH=BE+2OE,故符合题意, 故答案为: 【分析】根据正方形的性质可得点 E,点 B,点 C,点 O 四点共圆,OEC=OBC=45 ,故正确;由题意可知点 E 在

32、直径为 BC 的圆上,取 BC 的中点 F,连接 AF,EF 当点 E 在 AF 上时,AE 有最小值,根据勾股定理可得 AF=2+ 2=4 + 1 =5,AE 的最小值为5 1,故正确;有圆周角定理可的BOEOEC,COEBEO,则OBE 与ECO 不相似,故不正确;过点 O 作 OH OE,交 CE 于 H,可证COHBOE(SAS) ,BE=CH,则 EC=BE+EH=BE+2OE,故正确。 20 【答案】9 【解析】【解答】解:如图所示,连接 OB, 由折叠的性质可知,AD=ED, 四边形 OABC 是平行四边形, ,AB=OC BEFCOF, = ()2= 4,= 2, = 4, =

33、12, = 2, = 2, = = 6, AD+BD+BE=AB+BE, 2 = , =34 =34, =34, =92, E 是反比例函数图象上, = 2= 9, 故答案为:9 【分析】 先证明BEFCOF, 可得= ()2= 4,= 2, 再求出 =34 =34可得=34,所以=92,最后利用反比例函数 k 的几何意义可得 = 2= 9。 21 【答案】(1)(0,233)或(0,2) (2)解:设点 D 的坐标为(0,a) ,则 ODa,CD3a,AOB 是等边三角形, = = = 60, = 90 = 90 60= 30,在 RtAOC 中,tan =, = tan = 3 33= 1

34、, = 2 = 2, , + = 90, + = 90, = , = = 90, ,=,即:3=1, = 2+ 3 = ( 32)2+34,当 =32时,m 的最大值为34;m 的最大值为34时,点 D 坐标为(0,32);存在这样的 m 值,使 BEBF;作 FHy 轴于点 H,ACPDFHx 轴, =,=, = , = , + = 180, + = 180, = , = = 60, (), = ,=, = ,设 = ,则 = = 2 3, = tan30=33(3 ), = , = = 90, ,=,231=33(3)3,解得: = 3 或 =233 ,当 = 3时,点 P 与点 A 重合

35、,不合题意,舍去,当 =233时, = ( 32)2+34= (23332)2+34=23 ,存在这样的 m 值,使 BEBF此时 =23 【解析】【解答】 (1)AOB 是等边三角形,AOB=60 ,AOC=30 ,ACy 轴,点 C 的坐标为(0,3) ,OC=3, = tan30 = 3 33= 1,当AOD 是等腰三角形,OD=AD,DAO=DOA=30 ,CDA=60 , =sin60=233, = =233,D 的坐标为(0,233),当AOD 是等腰三角形,此时 OA=OD 时, =cos30= 2,OD=OA=2,点 D 坐标 为(0,2) ,故答案为:(0,233)或(0,2

36、) ; 【分析】 (1)先求出AOB=60 ,再分类讨论,利用等腰三角形的性质求解即可; (2)利用锐角三角函数,相似三角形的判定与性质计算求解即可; 结合函数图象,利用相似三角形的判定与性质求解即可。 22 【答案】(1)解:连接 OD, , = 90, D 是 AC 的中点,AB 为直径, , = = 90, 直线 HG 是 的切线; (2)解:由(1)得 , = , cos =25, cos =25, 设 = = = , = 3, = 3 + , 在 中, = 90, cos =3+=25, 解得 = 2, = = = 2, = 5, = 7, D 是 AC 的中点,AB 为直径, =

37、2 = 4, = = 90, , =,即57=2, =145, = = 4 145=65 【解析】【分析】 (1)先求出 = 90, 再求出 = = 90, 最后证明求解即可; (2)利用锐角三角函数,相似三角形的判定与性质计算求解即可。 23 【答案】(1)证明:ABC 和ADE 都是等边三角形, ADAE,ABAC,DAEBAC60 , DAEBAEBACBAE, BADCAE, BADCAE(SAS) , BDCE; (2)解:ABC 和ADE 都是等腰直角三角形, =12,DAEBAC45 , DAEBAEBACBAE, BADCAE, BADCAE, =12=22; (3)解:=34

38、,ABCADE90 , ABCADE, BACDAE,=35, CAEBAD, CAEBAD, =35 ; 由得:CAEBAD, ACEABD, AGCBGF, BFCBAC, sinBFC=45 【解析】【分析】 (1)由ABC 和ADE 都是等边三角形,得出 ADAE,ABAC,DAEBAC60 ,再根据三角形全等的性质证出BADCAE(SAS) ,即可得出结论; (2)由ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,得出BADCAE,利用三角形相似证出BADCAE,即可得出结论; (3)利用三角形相似证出ABCADE,得出CAEBAD,再证出CAEBAD,即可得出答案;由得:CAEBAD,得出A

39、CEABD,再利用AGCBGF,得出BFCBAC,即可得解。 24 【答案】(1)解:如图 1,AB=AC, ABC=ACB, BD,CE 是ABC 的角平分线, ABD=12ABC,ACE =12ACB, ABD=ACE, AB=AC,A=A, ABDACE, BD=CE 如图 1,AB=AC,点 D,E 分别是边 AC,AB 的中点, AE=AD, AB=AC,A=A, ABDACE, BD=CE (2)解:添加条件 CD=BE,证明如下: AB=AC,CD=BE, AC+CD=AB+BE, AD=AE, AB=AC,A=A, ABDACE, BD=CE (3)能. 在 AC 上取一点 D

40、,使得 BD=CE,根据 BF=CE,得到 BD=BF, 当 BD=BF=BA 时,E 与 A 重合, A36 ,AB=AC, ABC=ACB=72 ,A=BFA=36 , ABF=BCF=108 ,BFC=AFB, CBFBAF, =, ABAC2=BF, 设 CF=x, 2+2=2, 整理,得2+ 2 4 = 0, 解得 x=5 1,x=5 1(舍去) , 故 CF= x=5 1, 0CF5 1 【解析】【分析】 (1)通过证明ABDACE,即可得到 BD=CE; 方法同,通过证明ABDACE,即可得到 BD=CE; (2)添加条件 CD=BE,再通过证明ABDACE,即可得到 BD=CE

41、; (3) 在AC上取一点D, 使得BD=CE, 根据BF=CE, 得到BD=BF, 先证明CBFBAF, 可得=,再设 CF=x,可得2+2=2,整理得到2+ 2 4 = 0,求出 x 的值,即可得到答案。 25 【答案】(1)证明:连接 OB, = = , = , = , AC 为 的直径, = + , = , = , + = 90 = , PD 是 的切线; (2)证明:直线 PA 与 相切于点 A, = 90, PD 是 的切线, = = = 90, + = + = 90, = , , =, 2= 【解析】【分析】 (1)连接 OB,证明 + = 90 = ,即可得到 PD 是 的切线

42、; (2)先证明 可得=,再化简可得2= 。 26 【答案】(1)证明:作直径 AD,连接 DC, ABAC 且 MNBC, BACBNAC, DB,DNAC, AD 是直径,DDAC90 , NACDAC90 , OAN90 , 又点 A 在O 上,MN 与O 相切 (2)解:作直径 AF,EGAB,连接 OB、OC, OBOC,ABAC O、A 在 BC 的垂直平分线上,即 AF 垂直平分 BC, BD 平分ABC, EGAB,FHBC, EGEH,BGBH6, 在 RtABH 中,AB10,BH6,由勾股定理得 AH8, 设O 的半径为 x,在 RtOBH 中, 由勾股定理得: (8x)

43、262x2,x254,即O 的半径为254, AB10,BG6,AG4 , 由AGEAHB 得:=, 代入解得:AE5. 【解析】【分析】 (1) 作直径 AD, 连接 DC, 根据等腰三角形和平行线的性质得到B=ACB=NAC,求得D=NAC,根据圆周角定理得到OAN=90 ,于是得到结论; (2)作直径 AF,EGAB,连接 OB、OC,根据线段垂直平分线的判定定理得到 A、O 在 BC 的垂直平分线上,即 AF 垂直平分 BC,根据角平分线的性质得到 EG=EH,BG=BH=6,再利用勾股定理和相似三角形的性质求解即可。 27 【答案】(1)30 (2)解:CDBE, 证明如下: ABA

44、C,C60 , ABC 是等边三角形, ABAC,BAC60 , 线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60 得到线段 AE, ADAE,EAD60 , BACEAD60 , BACBADEADBAD,即EABDAC, EABDAC(SAS) , CDBE; (3)解:ACk(BD+BE) , 证明如下: 连接 AE,如图: ABAC, CABC, ADEC, ABCADE, =, ABCADE, DAEBAC,=, DAEBADBACBAD,即EABDAC, ABAC, AEAD, EABDAC(SAS) , CDBE, BCBD+CDBD+BE, 而=k, +=k,即 ACk(BD+BE) 【

45、解析】【解答】(1)解:ABAC,C60 , ABC 是等边三角形, B60 , 点 D 关于直线 AB 的对称点为点 E, DEAB, BDE180 60 90 30 , 故答案为:30 ; 【分析】 (1)易得 ABC 是等边三角形,可得B60 ,由对称可得 DEAB,根据三角形的内角和即可求出BDE 的度数; (2) CDBE,证明:根据等边三角形及旋转的性质可证明 EABDAC ,可得 CD=BE; (3) ACk(BD+BE) ,证明:连接 AE,如图 ,先证明 ABCADE,可得=,DAEBAC, 再证 EABDAC (SAS) , 可得 CDBE, 即得 BCBD+CDBD+BE, 由=k,可得+=k,继而得解.