1、 专题专题 21 21 对称、平移、旋转对称、平移、旋转 一、单选题一、单选题 1如图，三角形纸片 ABC 中，BAC90 ，AB2，AC3沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B落在边 BC 上的点 D 处；再折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，若折痕与 AC 的交点为 E，则 AE 的长是（ ） A136 B56 C76 D65 2山东省第二十五届运动会将于 2022 年 8 月 25 日在日照市开幕，“全民健身与省运同行”成为日照市当前的运动主题在下列给出的运动图片中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （2022 枣庄）剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对
2、称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 4 （2022 菏泽）如图所示，将一矩形纸片沿 AB 折叠，已知 = 36，则1 =（ ） A48 B66 C72 D78 5 （2022 济南）下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 6 （2022 枣庄）如图，将ABC 先向右平移 1 个单位，再绕点 P 按顺时针方向旋转 90 ，得到ABC，则点 B 的对应点 B的坐标是（ ） A （4，0） B （2，2） C （4，1） D （2，3） 7 （2022 聊城）如图，在直角坐标系中，线段11是将 绕着点(3，2)逆时针旋转一定角度后得到的 111的一部
3、分，则点的对应点1的坐标是（ ） A （-2，3） B （-3，2） C （-2，4） D （-3，3） 8 （2022 崂山模拟）如图，将线段绕原点按逆时针方向旋转90，得到线段，则点的坐标是（ ） A （1，3） B （3，1） C （3，1） D （1，3） 9 （2022 东昌府模拟）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(1，3)，以原点 O 为中心，将点 A 顺时针旋转120得到点，则点坐标为（ ） A(0， 2) B(2，0) C(1， 3) D(3， 1) 10 （2022 惠民模拟）如图，将边长为 9 的正方形 ABCD 沿 MN 折叠，使点 B 落在 CD 边上的处，点A 对
4、应点为，且 = 3，则 AM 的长是（ ） A2 B3 C2 D3 二、填空题二、填空题 11 （2022 枣庄）在活动课上，“雄鹰组”用含 30 角的直角三角尺设计风车如图，C90 ，ABC30 ， AC2， 将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到ABC， 使点C落在AB边上， 以此方法做下去则 B 点通过一次旋转至 B所经过的路径长为 （结果保留 ） 12（2022 潍坊）如图， 在直角坐标系中， 边长为 2 个单位长度的正方形绕原点 O 逆时针旋转75， 再沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度，则点的坐标为 13 （2022 潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠 A4 纸，折完后，发现折痕 AB
5、与 A4 纸的长边 AB 恰好重合，那么 A4 纸的长 AB 与宽 AD 的比值为 14 （2022 济南模拟）如图 1，有一张矩形纸片，已知 = 10， = 12，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点 A 落在边上的点 E 处，点 F 在上（如图 2） ；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠， 使点 C 落在第一次的折痕上的点 G 处， 点 H 在上 （如图 3） ， 则的长是 15 （2022 东营模拟）如图，在平面直角坐标系中，若 A（0，3） ，B（2，1） ，在 x 轴上存在点 P，使P 到 A，B 两点的距离之和最小，则点 P 的坐标为 16 （2022 东明模拟）如图，
6、矩形中， 点 G， E 分别在边，上， 连接， 将 和 分别沿，折叠，使点 B，C 恰好落在上的同一点，记为点 F若 = 3， = 4，则sin = 17 （2022 潍城模拟）如图，将矩形纸片 ABCD 分别沿 EF，EG 折叠，点 B，C 恰好落在同一点 P 处若 = 2， = 8， = 30，则图中阴影部分的面积为 2 18 （2022 平邑模拟）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度(0 180)后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度称为这个图形的一个旋转角例如：正方形绕着两条对角线的交点 O 旋转 90 或 180 后，能与自身重合（如图） ，所
7、以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角 根据以上规定，下列图形是旋转对称图形，也是中心对称图形的是 正五边形；正六边形；矩形；菱形 19 （2022 宁阳模拟）如图，将三个相同的三角尺（内角分别为 30 ，60 ，90 ）的一个顶点重合放置，如果 1 = 22 ， 2 = 26 ，那么 3 的度数是 20 （2022 高唐模拟）如图，在ABC 中， = 90， = 30， = 4，点 D，E 分别是 AB，AC的中点，把ABC 绕着点 C 做逆时针旋转，得到 11，点 D 的对应点为1，连接1，则在旋转过程中1的最大值与最小值的比值为 三、作图题三、作图题 21 （2021 九上 兰山期中）图
8、，在 4 4 的方格纸中，ABC 的三个顶点都在格点上 （1）在图 1 中，画出一个与ABC 成中心对称的格点三角形； （2）在图 2 中，画出ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90 后的三角形 22 （2021 九上 临沭期中）在10 10的正方形网格中，小正方形的边长均为 1 个单位长度 画出 绕点 O 逆时针旋转 90 的 111； 再画出 关于点 O 的中心对称图形 222 23（2021九上 沂南期中）如图， ABC绕点O逆时针旋转90 ， 得到A1B1C1， 已知(2，3)， (3，1)，(1，2) （1）画出旋转后的A1B1C1；直接写出点 B1的坐标（ ， ） ；绕点 O
9、逆时针旋转90 后得到的A1B1C1； （2）作出ABC 关于原点 O 的对称图形A2B2C2 24 （2021 九上 泗水期中）如图，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1） ，B（4.2） C（3.4） 请画出将ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的图形A1B1C1； 请画出ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90 的图形A2B2C2； A2B2C2可看成将A1B1C1以某点为旋转中心旋转而得，则旋转中心的坐标是 25 （2022 八下 历下期末）如图，已知 O 是坐标原点，B、C 两点的坐标分别为（3，-1） ， （2，1） （1）若 11与 关于点 O 成中心对称，请直接写出对应点1、
10、1的坐标； （2）将 绕点 O 逆时针旋转 90 度，得到 22请画出旋转后的 22 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B 落在边 BC 上的点 D 处， AD = AB = 2， B = ADB， 折叠纸片，使点 C 与点 D 重合， CE= DE， C=CDE， BAC = 90 ， B+ C= 90 ， ADB + CDE = 90 ， ADE = 90 ， AD2 + DE2 = AE2， 设 AE=x，则 CE=DE=3-x， 22+(3-x)2 =x2， 解得 =136 即 AE=136 故答案为：A 【分析】根据折叠
11、的性质求出 CE= DE， C=CDE，再求出ADE = 90 ，最后列方程求解即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意 故答案为：D 【分析】 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。 3 【答案】D 【解析】【解答】A不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C是中心对称图形，不是轴
12、对称图形，故此选项不合题意； D既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； 故答案为：D 【分析】 把一个图形绕某一个点旋转 180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形称 为中心对称图形。 轴对称图形是指一条轴线的两边完全对称的图形，形状都完全对称。 根据所给的中心对称图形和轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】将一矩形纸片沿 AB 折叠， ， = 1， + = 180， = 36， = 144 = 1， 1 = 360 144 144 = 72， 故答案为：C 【分析】先求出 + = 180，再求出 = 144 = 1，最后计算求解
13、即可。 5 【答案】B 【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故答案为：B 【分析】 轴对称图形是指一条轴线的两边完全对称的图形，形状都完全对称。 把一个图形绕某一个点旋转 180 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形。 根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】作出旋转后的图形如下： B点的坐标为（4，1
14、） ， 故答案为：C 【分析】根据平移和旋转的性质作图，再求点的坐标即可。 7 【答案】A 【解析】【解答】解：线段11是将 绕着点(3，2)逆时针旋转一定角度后得到的 111的一部分， 的对应点为1，1= 90，旋转角为 90 ， 点 C 绕点 P 逆时针旋转 90 得到的1点的坐标为（-2，3） ， 故答案为：A 【分析】根据点坐标旋转的性质和特征求解即可。 8 【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意画图如下： 由图形可知：点的坐标是(3， 1)， 故答案为：C 【分析】根据点坐标旋转的特征求解即可。 9 【答案】B 【解析】【解答】作 ABx 轴于点 B，如图： 点 A 的坐标为(1，
15、3)， AB=3、OB=1， =(3)2+ 12= 2， =12， = 60， = 120， 将点 A 顺时针旋转120得到点，则点在 x 轴上， = = 2， 点坐标为(2，0)； 故答案为：B 【分析】 作ABx轴于点B， 根据点A的坐标求出AB=3， OB=1， 利用锐角三角函数求出 = 60，得到= 120，即可得到将点 A 顺时针旋转120得到点，则点在 x 轴上，再求出点坐标为(2，0)即可。 10 【答案】A 【解析】【解答】解：连接，过 M 作 交 BC 于点 H，MN 交于点 I， 由翻折可知： = ， ， 设 = ， 正方形 ABCD 的边长为 9， = 9 ， 在 中，
16、= 3， 2+ 2= 2，即(9 )2+ 32= 2， 解得 = 5， = 5， = = = 90， 四边形 ABHM 为矩形， = ， = ， ， + = + = 90，即 = ， = = ， ()， = = 3， = = 2， = 2 故答案为：A 【分析】连接，过 M 作 交 BC 于点 H，MN 交于点 I，设 = ，根据勾股定理可得2+ 2= 2，即(9 )2+ 32= 2，求出 = 5，再根据 可得 = = 3，再利用线段的和差可得 BH 的长，即可得到 AM 的长。 11 【答案】43 【解析】【解答】C90 ，ABC30 ，AC2， AB2AC4，BAC60 ， 由旋转的性质得
17、，BABBAC60 ， B 点通过一次旋转至 B所经过的路径长为604180=43， 故答案为：43 【分析】先求出 AB2AC4，BAC60 ，再求出BABBAC60 ，最后求解即可。 12 【答案】(2，6 + 1) 【解析】【解答】解：如图：连接 OB，作y 轴 是正方形，OA=2 COB=45 ，OB=22 绕原点 O 逆时针旋转75 =75 =30 =OB=22 = 2， = 6 (2，6) 沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度 (2，6+ 1) 故答案为：(2，6 + 1) 【分析】 连接 OB， ， 作y 轴， 由绕原点 O 逆时针旋转75， 得出=75 、 =30 ，=OB=
18、22，沿 y 轴方向向上平移 1 个单位长度，即可得解。 13 【答案】2：1 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， D=B=DAB=90 ， 由操作一可知：DAB=DAB=45，ADB=D=90 ，AD=AD， ABD是等腰直角三角形， AD=AD= BD， 由勾股定理得 AB=2AD， 又由操作二可知：AB=AB， 2AD=AB， =2， A4 纸的长 AB 与宽 AD 的比值为2：1 故答案为：2：1 【分析】由操作一可知：DAB=DAB=45，ADB=D=90 ，AD=AD，得出ABD是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB=2AD，又由操作二可知：AB=AB，即可得解。 14
19、【答案】5 【解析】【解答】解：如图，过点 G 作 MNAB，分别交 AD、BC 于点 M、N， 四边形 ABCD 为矩形， ABCD10，BCAD12， A=ABC=BEF=90 ，AB=BE， 四边形 ABEF 为正方形， AFAB10， MNAB， BNG 和FMG 为等腰直角三角形，且 MNAB10， 设 BNx，则 GNAMx，MGMNGN10 x，MDADAM12x， 又由折叠的可知 DGDC10， 在 RtMDG 中，由勾股定理可得 MD2+MG2GD2， 即（12x）2+（10 x）2102，解得 x4（x18 舍去） ， GNBN4，MG6，MD8， 又DGHCGMD90 ，
20、 NGH+MGDMGD+MDG90 ， NGHMDG，且DMGGNH， MGDNHG， =，即84=6=10， NH3，GHCH5， 故答案为：5 【分析】过点 G 作 MNAB，分别交 AD、BC 于点 M、N，先证明BNG 和FMG 为等腰直角三角形， 且 MNAB10， 设 BNx， 则 GNAMx， MGMNGN10 x， MDADAM12x，利用勾股定理列出方程（12x）2+（10 x）2102，求出 x 的值，再证明MGDNHG，可得=，即84=6=10，最后求出 NH3，GHCH5 即可。 15 【答案】（32，0） 【解析】【解答】作 B 点关于 x 轴的对称点 B1（-2，-
21、1） ，连结点 A 和点 B1，与 x 轴的交点即为满足到A，B 两点的距离之和最小的点 P，设 AB1所在直线的表达式为一次函数 y=kx+3，把 B1坐标代入可得k=2，y=2x+3，令 y=0 从而求得 AB1与 x 轴交点为（32，0） ，即 P 点坐标为（32，0）. 【分析】作 B 点关于 x 轴的对称点 B1（-2，-1） ，连结点 A 和点 B1，与 x 轴的交点即为满足到 A，B两点的距离之和最小的点 P，再求出直线 AB1的解析式，再将 y=0 代入计算即可。 16 【答案】725 【解析】【解答】解：矩形中，GC=4，CE =3，C=90， GE=2+ 2=42+ 32=
22、 5， 根据折叠的性质： BG=GF， GF=GC=4， CE=EF=3， AGB=AGF， EGC=EGF， GFE =C=90， BG=GF=GC=4， BC=AD=8， AGB+AGF+EGC+EGF=180， AGE=90， RtEGFRtEAG， =，即5=35， =253， DE=2 2=(253)282=73， sin =73253=725， 故答案为：725 【分析】先证明 RtEGFRtEAG，可得=，即5=35，求出 =253，再利用勾股定理求出DE 的长，最后利用正弦的定义可得sin =73253=725。 17 【答案】16 1633 【解析】【解答】解：如下图所示，过
23、点 F 作 FMBC 于 M，过点 G 作 GNBC 于 N，标出点 R，点S 四边形 ABCD 是矩形， = 2， = 8， A=B=C=D=90 ， = = 2，S矩形ABCD= = 162 FMBC，GNBC， 四边形 ABMF 是矩形，四边形 DCNG 是矩形 = = 2， = = 2 矩形纸片 ABCD 分别沿 EF，EG 折叠，点 B，C 恰好落在同一点 P 处， = 30， = =12，PEG=CEG=30 ，S四边形RFEP=S四边形AFEB，S四边形SGEP=S四边形DGEC BEP=180 -PEG-CEG=120 ， =sin= 4， S阴=S四边形RFEP+S四边形SG
24、EP-SEFG=S四边形AFEB+S四边形DGEC-SEFG=S矩形ABCD-2SEFG PEF=BEF=60 FEG=PEF+PEG=90 ， =sin=433 =12 =8332 S阴=16 2 833= (16 1633)2 故答案为：16 1633 【分析】过点 F 作 FMBC 于 M，过点 G 作 GNBC 于 N，标出点 R，点 S，先利用三角形的面积公式求出=12 =8332，再利用割补法可得 S阴=16 2 833= (16 1633)2，从而得解。 18 【答案】 【解析】【解答】解：正五边形绕其中心旋转 72 、144 能够与自身重合，所以正五边形是旋转对称图形，但不是中
25、心对称图形； 正六边形绕其中心旋转 60 、120 、180 能够与自身重合，所以正六边形是旋转对称图形，也是中心对称图形； 矩形绕其对角线的交点旋转 180 能够与自身重合，所以矩形是旋转对称图形，也是中心对称图形； 菱形绕其对角线的交点旋转 180 能够与自身重合，所以菱形是旋转对称图形，也是中心对称图形； 综上分析可知，是旋转对称图形，也是中心对称图形的是 故答案为： 【分析】根据图形的旋转及中心对称图形的定义逐项判断即可。 19 【答案】12 【解析】【解答】解：如图所示，标上角 ， ， 根据旋转的性质可得： 2 = = 26 ， 1 = = 22 ， 又 + 3 + = 60 ， 1
26、 + 3 + 2 = 60 ， 3 = 60 1 2 = 12 ， 故答案为：12 【分析】根据旋转的性质可得：2 = = 26 ，1 = = 22 ，由 + 3 + = 60 ，1 + 3 + 2 = 60 ，可得 3 = 60 1 2 = 12 。 20 【答案】3 【解析】【解答】解：如图，连接1， 由题意可知 =12 = 2， 点 E 是 AC 中点， =12 = 1， 点1是11的中点， 1=1211= 2， 在 1中由三角形三边关系可得：1 1 + 1， 1 1 3， 当旋转过程中点 C、E、1共线时，1有最大为 3，最小为 1， 1的最大值与最小值的比值为 3 【分析】连接 CD
27、1，根据三角形的中位线的性质可得1=1211= 2，再利用三角形三边的关系可得1 1 + 1，将数据代入可得1 1 3，因此当旋转过程中点 C、E、1共线时，1有最大为 3，最小为 1，从而得解。 21 【答案】（1）解：如图 1，DCE 即为所求； （2）解：如图 2，DCE 即为所求 【解析】【分析】 （1）根据要求作出三角形即可； （2）根据旋转的性质作出三角形即可。 22 【答案】解：如图所示； 如图所示A2B2C2即为所求 【解析】【分析】 （1）利用旋转的性质找出点 A、B、C 的对应点，再连接即可； （2）根据中心对称图形的性质找出点 A、B、C 的对应点，再连接即可。 23 【
28、答案】（1）解：如图所示： ； （-1，-3） 。 （2）解：如图所示： (2，3)，(3，1)，(1，2)，ABC 关于原点 O 的对称图形A2B2C2， 2(2， 3)，2(3， 1)，2(1， 2) = 22， = 22， = 22 作出对称后点的坐标，依次连接边长即可 【解析】【解答】(1) (3，1)，横坐标为-3，纵坐标为 1， 逆时针旋转90后，横坐标变为-1，纵坐标变为-3 1(1， 3) 【分析】 （1）利用旋转的性质找出点 A、B、C 的对应点，再连接并直接写出点 B1的坐标即可； （2）根据中心对称图形的性质找出点 A、B、C 的对应点，再连接即可。 24 【答案】解：A
29、BC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1） ，B（4，2） C（3，4） ， ABC 向左平移 6 个单位长度后得到的图形A1B1C1， A1（-5，1） ，B1（-2，2） C1（-3，4） ， 描点 A1（-5，1） ，B1（-2，2） C1（-3，4）连结 A1B1，B1C1，C1A1， 则A1B1C1为所求； ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90 的图形A2B2C2， ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，1） ，B（4，2） C（3，4） A2（1，-1） ，B2（2，-4） C2（4，-3） ， 然后描点 A2（1，-1） ，B2（2，-4） C2（4，-3） ，连结 A2B2 B2
30、C2，C2A2， 则 A2B2C2为所求； （-3，-3） 【解析】【解答】解：作 A1A2的中垂线，B1B2的中垂线，两垂线的交点 D 为旋转中心， A1（-5，1） ，A2（1，-1） ， A1A2的中点坐标为 E（-2，0） ， B1（-2，2） B2（2，-4） B1B2的中点坐标为 F（0，-1） ， 点 A1绕 A1A2的中点（-2，0）顺时针旋转 90 得出点横坐标为-2+（1-0）=-1，纵坐标为-2-（-5）=3， 点 A1(-1，3)在 DE 直线上， 设 DE 解析式为 = + 代入坐标得： 2+ = 0 + = 3， 解得 = 3 = 6， DE 解析式为 = 3 +
31、6， 点 B1绕 B1B2的中点 F 顺时针旋转 90 的点 B1的横坐标 2-（-1）=3，纵坐标为-1+0-（-2）=1， 点 B1（3，1）在 DF 直线上， 设 DF 解析式为 = + 代入坐标得： = 13 + = 1， 解得 = 1 =23， DF 解析式为 =23 1， = 3 + 6 =23 1， 解得 = 3 = 3， 旋转中心 D 坐标为（-3，-3） 故答案为（-3，-3） 【分析】 （1）利用平移的性质找出点 A、B、C 的对应点，再连接即可； （2）利用旋转的性质找出点 A、B、C 的对应点，再连接即可； （3）作 A1A2的中垂线，B1B2的中垂线，两垂线的交点 D 为旋转中心，再求解即可。 25 【答案】（1）1(3，1)，1(2， 1) （2）解：将 绕点 O 逆时针旋转 90 度，得到 22如图所示： 【解析】【分析】 （1）根据中心对称图形的性质直接写出点1、1的坐标即可； （2）根据旋转的性质找出点 B、O、C 的对应点，再连接即可