1、 第第 1 章二次函数解答题专练章二次函数解答题专练 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1已知抛物线 yax212x+8 的对称轴为直线 x2 （1）求该抛物线的表达式 （2）求该抛物线的顶点坐标，及与 x 轴的交点坐标 2已知抛物线 yx2+bx+c 过 A（0，1） ，B（2，1）两点 （1）求该抛物线的函数表达式 （2）试判断点 P（1，3）是否在此函数图象上 3如图，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，顶点为 D，其中点 A、C 的坐标分别是（1，0） 、 （0，3） （1）求抛物线的表达式与顶点 D 的坐标； （2）设对称轴与
2、x 轴交于点 F，连结 BD，过点 O 作 OEBD 于点 E，求 OE 的长 4 （2022 秋瑞安市期中）已知抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） （1）如果此抛物线同时经过点 B（3，0） ，求抛物线的对称轴 （2）将抛物线的顶点 A 先向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后恰好与抛物线上的点 B 重合，求平移之前顶点 A 到 B 的值 5 （2022 秋瑞安市校级期中）函数 yax2+2ax+c（a，c 为常数，且 a0）在自变量 x 的值满足4x1时，其对应的函数值 y 满足5y58 （1）求抛物线的对称轴及顶点坐标 （2）当 x1 时，求 y 的值 6 （2022
3、秋温州期中）已知二次函数 y（x1） （xm） （1）若二次函数的对称轴是直线 x3，求 m 的值 （2）当 m2，0 x3 时，二次函数的最大值是 7，求函数表达式 7 （2022 秋温州期中）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4，E，F，G，H 四点一次是边 AB，BC，CD，DA 上一点（不与各顶点重合） ，且 AEAHCGCF，记四边形 EFGH 面积为 S（图中阴影） ，AE x （1）求 S 关于 x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围 （2）求 x 为何值时，S 的值最大，并写出 S 的最大值 8 （2021 秋温州期末）已知二次函数 yax2+bx（a0）的图象经过
4、点 A（2，4） ，B（4，0） （1）求这个二次函数的表达式 （2）将 x 轴上的点 P 先向上平移 3n（n0）个单位得点 P1，再向左平移 2n 个单位得点 P2，若点 P1，P2均在该二次函数图象上，求 n 的值 9 （2022 秋瑞安市校级期中）总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出 30 件，每件盈利 30 元；乙店一天可售出 40 件，每件盈利 20 元经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，甲、乙两家店一天分别可多售出 2，4 件设甲店每件衬衫降价 m 元时，一天可盈利 y1元，乙店每件衬衫降价 n 元时，一天可盈利 y2元 （1）当 m3 时，求 y
5、1的值 （2）求 y2关于 n 的函数表达式 （3）若总公司规定：mn6（m，n 为正整数） ，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？ 10 （2022 秋苍南县期中）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批进价为 6元/个的许愿瓶进行销售， 并将所得的利润捐给慈善机构 根据市场调查， 这种许愿瓶每日的销售量 y （个）与销售单价 x（元/个）之间满足关系式：y20 x+400 （1）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）的最大值及相应的销售单价； （3） “国
6、庆节”期间，该校公益团队想继续销售许愿瓶的慈善活动，却发现批发商调整了许愿瓶的进货 价格，进价变为了 m 元/个但是许愿瓶每日的销量与销售单价的关系不变为了不亏本，至少需按照12 元/个销售，而物价部门规定销售单价不得超过 15 元/个在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 x 的增大而增大，求 m 的最小值 11 （2021 秋鹿城区校级期末）我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地上市时，外贸商李经理按市场价格 10 元/千克在我市收购了 2000 千克香菇存放入冷库中请根据李经理提供的预测信息（如图）帮李经理解决以下问题： （1）若存放 x 天后，将这
7、批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y 元，试写出 y 与 x 之间的函数表达式； （销售总金额销售单价销售量） （2）将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 12 （2022 秋瑞安市校级期中）如图，抛物线 y=12x2+bx+c 与 x 轴交于点（8，0） ， （0，0） （1）求该抛物线的表达式 （2） 点 A 沿 ABCDE 运动， 其中 ABCDy 轴， BCDEx 轴， ABCDm， BCDE4 若点 A，E 均落在抛物线上，且抛物线的对称轴恰好平分 BC，求 m 的值 13 （2022 秋瑞安市期中）某公司生产中考专用跳绳，每条需要成本 50 元，销售
8、单价不低于 62 元，且不高于 80 元根据市场调研，当每条定价为 70 元时，日均销量为 1100 条，销售单价每提高 1 元，则日均销售量减少 50 条 （1）求出该跳绳的日均销量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）当跳绳的单价定为多少元时，公司所获的总利润最大？最大利润为多少元？ （3）公司决定每销售一条跳绳，就捐赠 n 元给农村留守儿童基金会捐款后，公司的日销售利润最少为13500 元，求 n 的值 14 （2022 秋温州期中）某商场销售成本为每件 40 元的商品据市场调查分析，如果按每件 50 元销售，一周能卖出 500 件；若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10
9、 件设销售单价为 x（x50）元 （1）写出一周销售量 y（件）与 x（元）的函数关系式 （2）设一周销售获得毛利润 w 元，写出 w 与 x 的函数关系式，并确定当 x 在什么取值范围内变化时，毛利润 w 随 x 的增大而增大 （3） 超市扣除销售额的 20%作为该商品的经营费用， 为使得一周内净利润 （净利润毛利润经营费用）最大，超市对该商品定价为 元，最大净利润为 元 15 （2021 秋瑞安市期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx3 经过点 A（1，0） ，B（5，0） （1）求抛物线的表达式 （2）过点 C（0，m）作直线 lx 轴交抛物线于点 P，Q（点 P 在点
10、Q 的左侧） ，若 QC3PC，求 m 的值 16 （2021 秋瑞安市期末）冬至吃汤圆是我国南方的一项传统民俗，既代表着团圆，又寓意着添岁为了迎接冬至的来临，瑞安市某商家向广大市民出售肉馅汤圆，已知该汤圆的成本价为 20 元/盒，经调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量 y（盒）与售价 x（元/盒）成一次函数关系其对应关系如表： 售价（元/盒） 25 30 35 日销售量（盒） 110 a 90 （1）根据以上信息，填空：表中 a 的值是 ，y 关于 x 的函数关系式是 （2）若根据市场的定价规则，该汤圆的售价不得高于 40 元/盒，求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）
11、在（1）的条件下，为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动顾客每购买一盒肉馅汤圆可以获得 m 元的现金奖励（m0） ，商家想在日销售量不少于 60 盒的基础上，日销售最大利润为 1650 元，求出此时 m 的值 17 （2021 秋鹿城区校级期末）如图直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 yx2+6x+3 交 y 轴于点 A，过 A 作 ABx 轴，交抛物线于点 B，连接 OB点 P 为抛物线上 AB 上方的一个点，连接 PA，作 PQAB垂足为 H，交 OB 于点 Q （1）求 AB 的长； （2）当APQB 时，求点 P 的坐标； （3）当APH 面积是四边形 AOQH 面积的 2 倍时，求
12、点 P 的坐标 18 （2022 秋苍南县期中）抛物线 yax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，连接 BC点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于 M，交 x 轴于 N，设点 P 的横坐标为 t （1）求该抛物线的解析式； （2）用关于 t 的代数式表示线段 PM，求 PM 的最大值及此时点 M 的坐标； （3）过点 C 作 CHPN 于点 H，SBMN9SCHM， 求点 P 的坐标； 连接 CP，在 y 轴上是否存在点 Q，使得CPQ 为直角三角形，若存在，求出点
13、Q 的坐标；若不存在，请说明理由 19 （2021 秋瑞安市期末）如图，yax22ax+a4 与 x 轴负半轴交于 A，交 y 轴于 B，过抛物线顶点 C作 CDy 轴，垂足为 D，四边形 AOCD 是平行四边形 （1）求抛物线的对称轴以及二次函数的解析式 （2）作 BEx 轴交抛物线于另一点 E，交 OC 于 F，求 EF 的长 （3）该二次函数图象上有一点 G（m，n） ，若点 G 到 y 轴的距离小于 2，则 n 的取值范围为 20 （2022 秋苍南县期中）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0，a、b 为常数）的对称轴为直线 =52，图象与 x 轴交于 A （1， 0） 和点 B，
14、与 y 轴的正半轴交于点 C， 过点 C 的直线 = 43 + 4与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的表达式，并直接写出点 B 的坐标； （2）若点 M 是抛物线上一动点，过点 M 作 MECD 于点 E，MFx 轴交直线 CD 于点 F，当MEFCOD 时，请求出点 M 的坐标 参考答案解析参考答案解析 一解答题（共一解答题（共 20 小题）小题） 1 （2022 秋瑞安市校级期中）已知抛物线 yax212x+8 的对称轴为直线 x2 （1）求该抛物线的表达式 （2）求该抛物线的顶点坐标，及与 x 轴的交点坐标 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为直线 x2， 122=2， 解得 a3，
15、抛物线解析式为 y3x212x+8； （2）y3x212x+83（x2）24， 抛物线的顶点坐标为（2，4） ， 当 y0 时，3（x2）240， 解得 x12233，x22+233， 抛物线与 x 轴的交点坐标为（2233，0） ， （2+233，0） 2 （2022 秋瑞安市期中）已知抛物线 yx2+bx+c 过 A（0，1） ，B（2，1）两点 （1）求该抛物线的函数表达式 （2）试判断点 P（1，3）是否在此函数图象上 【解答】解： （1）根据题意得 = 14 + 2 + = 1， 解得 = 3 = 1， 该抛物线的函数表达式为 yx23x+1； （2）当 x1 时，yx23x+11+
16、3+15， 点 P（1，3）不在函数 yx23x+1 的图象上 3 （2021 秋乐清市期末） 如图， 抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于 C 点， 顶点为 D，其中点 A、C 的坐标分别是（1，0） 、 （0，3） （1）求抛物线的表达式与顶点 D 的坐标； （2）设对称轴与 x 轴交于点 F，连结 BD，过点 O 作 OEBD 于点 E，求 OE 的长 【解答】解： （1）把 A（1，0） 、C（0，3）分别代入 yx2+bx+c 得1 + = 0 = 3， 解得 = 2 = 3， 抛物线解析式为 yx2+2x+3， yx2+2x+3（x1）2+4，
17、 抛物线的顶点 D 的坐标为（1，4） ； （2）连接 OD，如图， 当 y0 时，x2+2x+30，解得 x11，x23， B（3，0） ， BD= (1 3)2+ 42=25， 12OEBD=12DFOB， OE=4325=655 4 （2022 秋瑞安市期中）已知抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） （1）如果此抛物线同时经过点 B（3，0） ，求抛物线的对称轴 （2）将抛物线的顶点 A 先向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后恰好与抛物线上的点 B 重合，求平移之前顶点 A 到 B 的值 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0） ， （3，0）
18、， 抛物线的对称轴为直线 x=1+32=2； （2）顶点 A 先向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位后恰好与抛物线上的点重合， AB= 12+ 12= 2 5 （2022 秋瑞安市校级期中）函数 yax2+2ax+c（a，c 为常数，且 a0）在自变量 x 的值满足4x1时，其对应的函数值 y 满足5y58 （1）求抛物线的对称轴及顶点坐标 （2）当 x1 时，求 y 的值 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为直线 x= 22= 1， 而 a0， x1 时，y 有最大值， 4x1 时，其对应的函数值 y 满足5y58 x1 时，y=58；x4 时，y5， 即抛物线的对称轴为直线1，顶点
19、坐标为（1，58） ； （2）把（1，58） ， （4，5）代入 yax2+2ax+c 得 2 + =5816 8 + = 5， 解得 = 58 = 0， 抛物线解析式为 y= 58x254x， 当 x1 时，y= 58x254x= 5854= 158 6 （2022 秋温州期中）已知二次函数 y（x1） （xm） （1）若二次函数的对称轴是直线 x3，求 m 的值 （2）当 m2，0 x3 时，二次函数的最大值是 7，求函数表达式 【解答】解： （1）在 y（x1） （xm）中，令 y0 得 0（x1） （xm） ， 解得 x1 或 xm， 对称轴为直线 x3， 1:2=3， 解得 m5，
20、故 m 的值为 5； （2）m2， 1:232， 开口向上， 在 0 x3 中，当 x0 时，y 取得最大值，即 m7， 此时 y（x1） （x7）x28x+7 7 （2022 秋温州期中）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC4，E，F，G，H 四点一次是边 AB，BC，CD，DA 上一点（不与各顶点重合） ，且 AEAHCGCF，记四边形 EFGH 面积为 S（图中阴影） ，AEx （1）求 S 关于 x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围 （2）求 x 为何值时，S 的值最大，并写出 S 的最大值 【解答】解： （1）在矩形 ABCD 中，ABCD，ABCD，ADBC， AEAH
21、CGCF， BEDG，BFDH， AEHCFG（SAS） ，EBFHDG（SAS） ， 所以 SS矩形ABCD2SAEH2SEFB24212x2212（4x） （2x）2x2+6x（0 x2） （2）S2x2+6x2（x32）2+92 所以当 x=32时，S 的值最大，最大值为92 8 （2021 秋温州期末）已知二次函数 yax2+bx（a0）的图象经过点 A（2，4） ，B（4，0） （1）求这个二次函数的表达式 （2）将 x 轴上的点 P 先向上平移 3n（n0）个单位得点 P1，再向左平移 2n 个单位得点 P2，若点 P1，P2均在该二次函数图象上，求 n 的值 【解答】解： （1）
22、把 A（2，4）和 B（4，0）分别代入 yax2+bx 得4 + 2 = 416 + 4 = 0， 解得 = 1 = 4， 二次函数的表达式为 yx2+4x； （2）设 P（x，0） ， 点 P 先向上平移 3n（n0）个单位得点 P1，再向左平移 2n 个单位得点 P2， P1（x，3n） ，P2（x2n，3n） ， :;22= 42(;1)， xn+2， P1（n+2，3n） ， 点 P1在该二次函数图象上， 3n（n+2）2+4（n+2） ， 解得 n11，n24（舍去） ， n 的值为 1 9 （2022 秋瑞安市校级期中）总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一
23、天可售出 30 件，每件盈利 30 元；乙店一天可售出 40 件，每件盈利 20 元经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，甲、乙两家店一天分别可多售出 2，4 件设甲店每件衬衫降价 m 元时，一天可盈利 y1元，乙店每件衬衫降价 n 元时，一天可盈利 y2元 （1）当 m3 时，求 y1的值 （2）求 y2关于 n 的函数表达式 （3）若总公司规定：mn6（m，n 为正整数） ，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？ 【解答】解： （1）m3 时，y1（303）（30+23）972（元） ， y1的值为 972； （2）根据题意得：y2（20n） （40+4n）4n
24、2+40n+800， y2关于 n 的函数表达式为：y24n2+40n+800； （3）设两家分店一天的盈利为 w 元， 根据题意得 wy1+y2（30m） （30+2m）+（4n2+40n+800） ， mn6， mn+6， w（30n6） （30+2n+12）+（4n2+40n+800）6n2+46n+18086（n236）2+113776， 60，m，n 为正整数， n4 时，w 取最大值，最大值为6136+113776=1896， 此时 mn+610， 甲店每件衬衫降价 10 元，乙店每件衬衫降价 4 元，两家分店一天的盈利和最大，最大是 1896 元 10 （2022 秋苍南县期中）
25、在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批进价为 6元/个的许愿瓶进行销售， 并将所得的利润捐给慈善机构 根据市场调查， 这种许愿瓶每日的销售量 y （个）与销售单价 x（元/个）之间满足关系式：y20 x+400 （1）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）求每日销售这种许愿瓶所得的利润 w（元）的最大值及相应的销售单价； （3） “国庆节”期间，该校公益团队想继续销售许愿瓶的慈善活动，却发现批发商调整了许愿瓶的进货价格，进价变为了 m 元/个但是许愿瓶每日的销量与销售单价的关系不变为了不亏本，至少需按照12 元/个销售，而物价部
26、门规定销售单价不得超过 15 元/个在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 x 的增大而增大，求 m 的最小值 【解答】解： （1）由题意得：w（x6）y （x6） （20 x+400） 即利润 w（元）与销售单价 x 之间的函数关系式为 w20 x2+520 x2400； （2）由（1）知，w20 x2+520 x240020（x13）2+980， 200， 当 x13 时，w 有最大值，最大值为 980， 该商品每天获得的利润 w 的最大值为 980 元； （3）由题意得：w（xm） （20 x+400） 20 x2+（400+20m）x400m， 200， 抛物线开口向下， 对称轴
27、为直线 x10+2， 在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随 x 的增大而增大，12x15， 10+215， 解得：m10， m 最小值为 10 11 （2021 秋鹿城区校级期末）我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地上市时，外贸商李经理按市场价格 10 元/千克在我市收购了 2000 千克香菇存放入冷库中请根据李经理提供的预测信息（如图）帮李经理解决以下问题： （1）若存放 x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y 元，试写出 y 与 x 之间的函数表达式； （销售总金额销售单价销售量） （2）将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利
28、润？最大利润是多少？ 【解答】 解：（1） 因为香菇的市场价格每天每千克上涨0.5元， 所以x天后这批香菇的销售单价为 （10+0.5x）元； 因为均每天有 6 千克的香菇损坏，所以 x 天后这批香菇的销售量是（20006x）千克； y（10+0.5x） （20006x） ， 即 y3x2+940 x+20000（1x110，x 为整数） ； （2）设总利润为 w 元，根据题意得 w3x2+940 x+20000102000340 x3（x100）2+30000， a30， 抛物线开口方向向下， x100 时，w最大30000， 存放 100 天后出售这批香菇可获得最大利润 30000 元 1
29、2 （2022 秋瑞安市校级期中）如图，抛物线 y=12x2+bx+c 与 x 轴交于点（8，0） ， （0，0） （1）求该抛物线的表达式 （2） 点 A 沿 ABCDE 运动， 其中 ABCDy 轴， BCDEx 轴， ABCDm， BCDE4 若点 A，E 均落在抛物线上，且抛物线的对称轴恰好平分 BC，求 m 的值 【解答】解： （1）由题意得32 8 + = 0 = 0， 解得 = 4 = 0， 该抛物线的表达式为 y=12x2+4x； （2）如图： y=12x2+4x=12（x+4）28， 抛物线的对称轴为直线 x4， ABCDy 轴，BCDEx 轴，BCDE4抛物线的对称轴恰好平
30、分 BC， 点 A、B 的横坐标为6，点 C、D 的横坐标为2，则点 E 的横坐标为 2， 点 A（6，6） 、E（2，10） ， ABCDm 2m10+6，解得 m8 m 的值为 8 13 （2022 秋瑞安市期中）某公司生产中考专用跳绳，每条需要成本 50 元，销售单价不低于 62 元，且不高于 80 元根据市场调研，当每条定价为 70 元时，日均销量为 1100 条，销售单价每提高 1 元，则日均销售量减少 50 条 （1）求出该跳绳的日均销量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （2）当跳绳的单价定为多少元时，公司所获的总利润最大？最大利润为多少元？ （3）公司决定每销售一条跳绳，
31、就捐赠 n 元给农村留守儿童基金会捐款后，公司的日销售利润最少为13500 元，求 n 的值 【解答】解： （1）根据题意得，y110050（x70） ， 即日均销量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为 y50 x+4600； （2）设跳绳的单价定为 x 元时，公司所获的利润为 w 元， 根据题意得， w （x50） y （x50） （50 x+4600） 50 x2+7100 x23000050 （x71）2+22050， 500， 当跳绳的单价定为 71 元时，公司所获的总利润最大，最大利润为 22050 元； （3）根据题意可得，利润 w（x50n）y（x50n） （50 x+460
32、0）50 x2+（7100+50n）x2300004600n， w的对称轴为直线 x71+2， 500 且 62x80， 当 x62 时，w最小，即50622+（7100+50n）622300004600n13500， 解得 n3 综上，n 的值为 3 14 （2022 秋温州期中）某商场销售成本为每件 40 元的商品据市场调查分析，如果按每件 50 元销售，一周能卖出 500 件；若销售单价每涨 1 元，每周销量就减少 10 件设销售单价为 x（x50）元 （1）写出一周销售量 y（件）与 x（元）的函数关系式 （2）设一周销售获得毛利润 w 元，写出 w 与 x 的函数关系式，并确定当 x
33、 在什么取值范围内变化时，毛利润 w 随 x 的增大而增大 （3） 超市扣除销售额的 20%作为该商品的经营费用， 为使得一周内净利润 （净利润毛利润经营费用）最大，超市对该商品定价为 75 元，最大净利润为 5000 元 【解答】解： （1）由题意得：y50010（x50）100010 x， 501000 10 0， 50 x100， 一周销售量 y 与 x 的函数关系式为 y100010 x（50 x100） ； （2）由题意得：w（x40） （100010 x）10 x2+1400 x4000010（x70）2+9000， 100，50 x100， 当 50 x70 时，毛利润 w 随
34、x 的增大而增大； （3）设该超市的净利润为 S 元， 根据题意得：Swx（100010 x）20% 10 x2+1400 x40000（200 x2x2） 8x2+1200 x40000 8（x75）2+5000， 80， 当 x75 时，S 最大，最大值为 5000， 故答案为：75，5000 15 （2021 秋瑞安市期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx3 经过点 A（1，0） ，B（5，0） （1）求抛物线的表达式 （2）过点 C（0，m）作直线 lx 轴交抛物线于点 P，Q（点 P 在点 Q 的左侧） ，若 QC3PC，求 m 的值 【解答】解： （1）把点 A（1
35、，0） ，B（5，0）代入抛物线 yax2+bx3 中可得： 3 = 025 + 5 3 = 0， 解得： =35 = 125， 抛物线的表达式为：y=35x2125x3； （2）PQx 轴，QC3PC， 设点 P（n，m） ，点 Q（3n，m） ， 把点 P（n，m） ，点 Q（3n，m）代入 y=35x2125x3 中可得： 352+125 3 = 2752365 3 = ， 解得： = 2 =215， m 的值为215 16 （2021 秋瑞安市期末）冬至吃汤圆是我国南方的一项传统民俗，既代表着团圆，又寓意着添岁为了迎接冬至的来临，瑞安市某商家向广大市民出售肉馅汤圆，已知该汤圆的成本价为
36、 20 元/盒，经调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量 y（盒）与售价 x（元/盒）成一次函数关系其对应关系如表： 售价（元/盒） 25 30 35 日销售量（盒） 110 a 90 （1）根据以上信息，填空：表中 a 的值是 100 ，y 关于 x 的函数关系式是 y2x+160 （2）若根据市场的定价规则，该汤圆的售价不得高于 40 元/盒，求售价为多少时，日销售利润最大，最大利润是多少？ （3）在（1）的条件下，为了增加店铺的人气，商家决定搞促销活动顾客每购买一盒肉馅汤圆可以获得 m 元的现金奖励（m0） ，商家想在日销售量不少于 60 盒的基础上，日销售最大利润为 1650 元，求
37、出此时 m 的值 【解答】解： （1）设日销售量与售价之间的函数关系式为 ykx+b， 由表格可知，当 x25 时，y110，当 x35 时，y90， 则25 + = 11035 + = 90， 解得 = 2 = 160， 即日销售量与售价之间的函数关系式为 y2x+160， 当 x30 时，y230+160100， 即 a 的值为 100， 故答案为：100，y2x+160； （2）设利润为 w 元， 由题意可得：w（x20） （2x+160）2（x50）2+1800， 该函数图象开口向下，当 x50 时，w 随 x 的增大而增大， 该汤圆的售价不得高于 40 元/盒，成本价为 20 元/盒
38、， 20 x40， 当 x40 时，w 取得最大值，此时 w1600， 答：售价为 40 元/盒时，日销售利润最大，最大利润是 1600 元； （3）由题意得： w（x20m） （2x+160）2x2+（2m+200）x3200160m， 对称轴为直线 x=2+2004=12m+5050， 抛物线开口向下，w 随着 x 的增大而增大 日销售量不少于 60 盒， 2x+16060， x50， 20 x50， 当 x50 时，w 取得最大值，此时 w2502+（2m+200）503200160m， 日销售最大利润为 1650 元， 2502+（2m+200）503200160m1650， 解得 m
39、2.5， 即此时 m 的值为 2.5 17 （2021 秋鹿城区校级期末）如图直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 yx2+6x+3 交 y 轴于点 A，过 A 作 ABx 轴，交抛物线于点 B，连接 OB点 P 为抛物线上 AB 上方的一个点，连接 PA，作 PQAB垂足为 H，交 OB 于点 Q （1）求 AB 的长； （2）当APQB 时，求点 P 的坐标； （3）当APH 面积是四边形 AOQH 面积的 2 倍时，求点 P 的坐标 【解答】解： （1）对于 yx2+6x+3，令 x0，则 y3，故点 A（0，3） ， 令 yx2+6x+33，解得 x0 或 6，故点 B（6，3） ，
40、故 AB6； （2）设 P（m，m2+6m+3） ， PB，AHPOAB90， ABOHPA，故=， ;2:66=3， 解得 m4 P（4，11） ； （3）当APH 的面积是四边形 AOQH 的面积的 2 倍时， 则 2（AO+HQ）PH， 2（3+62）m2+6m， 解得：m14，m23， P（4，11）或 P（3，12） 18 （2022 秋苍南县期中）抛物线 yax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（4，0） ，与 y 轴交于点 C，连接 BC点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点（不与点 B，C 重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交BC于M，交x轴于N，
41、设点P的横坐标为 t （1）求该抛物线的解析式； （2）用关于 t 的代数式表示线段 PM，求 PM 的最大值及此时点 M 的坐标； （3）过点 C 作 CHPN 于点 H，SBMN9SCHM， 求点 P 的坐标； 连接 CP，在 y 轴上是否存在点 Q，使得CPQ 为直角三角形，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx4（a0）与 x 轴交于点 A（2，0）和 B（4，0） ， 4 2 4 = 016 + 4 4 = 0， 解得： =12 = 1， 该抛物线的解析式为 y=12x2x4； （2）在 y=12x2x4 中，令 x0，得 y4，
42、 C（0，4） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+c，则4 + = 0 = 4， 解得： = 1 = 4， 直线 BC 的解析式为 yx4， 设 P（t，12t2t4） ，则 M（t，t4） ， PMt4（12t2t4）= 12t2+2t， PM= 12t2+2t= 12（t2）2+2，120， 当 t2 时，PM 取得最大值 2，此时点 M 的坐标为（2，2） ； （3）如图 1，P（t，12t2t4） ，M（t，t4） ，N（t，0） ，B（4，0） ，C（0，4） ，CHPN， BN4t，MN4t，CHt，MHt4（4）t， SBMN9SCHM， 12（4t）2912t2， 解得：t
43、11，t22， 点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动点， 0t4， t1， P（1，92） ； 存在点 Q 使得CPQ 为直角三角形，设 Q（0，m） ， C（0，4） ，P（1，92） ， CP2（10）2+（92+4）2=54，CQ2（4m）2，PQ212+（92m）2， 当CQP90时，如图 2，PQy 轴， Q（0，92） ； 当CPQ90时，如图 3， 在 RtCPQ 中，CP2+PQ2CQ2， 54+12+（92m）2（4m）2， 解得：m= 132， Q（0，132） ； 综上所述，点 Q 的坐标为（0，92）或（0，132） 19 （2021 秋瑞安市期末）如图，yax2
44、2ax+a4 与 x 轴负半轴交于 A，交 y 轴于 B，过抛物线顶点 C作 CDy 轴，垂足为 D，四边形 AOCD 是平行四边形 （1）求抛物线的对称轴以及二次函数的解析式 （2）作 BEx 轴交抛物线于另一点 E，交 OC 于 F，求 EF 的长 （3）该二次函数图象上有一点 G（m，n） ，若点 G 到 y 轴的距离小于 2，则 n 的取值范围为 4n5 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为直线 x= 2=1， ADCO 是平行四边形， AOCD1， A（1，0）代入 yax22ax+a4， a+2a+a40， 解得 a1， yx22x3； （2）yx22x3（x1）24， C（1，4
45、） ， CD1，OD4， 当 x0 代入 y3， OB3， BEDC， OBFOCD， 1=34， BF=34， 由对称性得 BE2CD2， EF234=54； （3）点 G 到 y 轴的距离小于 2， 2m2， y（x1）24， 当 x2 时，y5， 当 x1 时，y4， 4n5， 故答案为：4n5 20 （2022 秋苍南县期中）如图，抛物线 yax2+bx+4（a0，a、b 为常数）的对称轴为直线 =52，图象与 x 轴交于 A （1， 0） 和点 B， 与 y 轴的正半轴交于点 C， 过点 C 的直线 = 43 + 4与 x 轴交于点 D （1）求抛物线的表达式，并直接写出点 B 的坐
46、标； （2）若点 M 是抛物线上一动点，过点 M 作 MECD 于点 E，MFx 轴交直线 CD 于点 F，当MEFCOD 时，请求出点 M 的坐标 【解答】解： （1）将 A（1，0）代入 yax2+bx+4 得：ab+40， 抛物线 yax2+bx+4（a0，a、b 为常数）的对称轴为直线 =52， 2=52， a= 23，b=103， 抛物线的表达式为 y= 23x2+103x+4， 当 y0 时，23x2+103x+40， 解得：x11，x26， B（6，0） ； （2）MECD， MEF90， MFx 轴， FMECDO， MEFCOD， MFCD， 当 y0 时，43x+40， x3， OD3， OC4， CD5， FM5， 设 M（m，23m2+103m+4） ，则 F（m5，23m2+103m+4） ， EF 点在直线 CD 上， 23m2+103m+4= 43（m5）+4， m2 或 m5， M（2，8）或 M（5，4）