1、 1 第十一章三角形第十一章三角形 一、单选题一、单选题 1一个三角形的两边长分别是 4 和 9，则第三边长可能是（ ） A4 B5 C8 D15 2如图，在ABC中，2021,2018ABAC，AD为中线，则ABD与ACD的周长之差为（ ） A1 B2 C3 D4 3 （2022 湖南湘西 八年级期末）下列图形中具有稳定性的是（ ） A B C D 4 （2022 湖南湘潭 八年级期末）在ABC中，若ABC，那么ABC的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 5 （2022 湖南湘西 八年级期末）在ABC中，90C，54.97A ，则ABC，ABE的度数依次是（
2、） A144.97，54 B54.03，44.97 C35.03，144.97 D90，45 6 （2022 湖南湘西 八年级期末）从九边形的一个顶点出发，可以作条对角线，它们将九边形分成个三角形对于符号、表示的数字正确的是（ ） A6、7 B7、8 C8、8 D9、7 7 （2022 湖南张家界 八年级期末）若一个正多边形的每个内角为150，则这个正多边形的边数是（ ） A10 B11 C12 D13 8 （2022 湖南娄底 八年级期末）一个多边形，它的内角和比外角和的 4 倍多 180 ，则这个多边形的边数是（ ） 2 A9 B10 C11 D12 9 （2022 湖南株洲 八年级期末）
3、如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，40B，120ACD，则A等于（ ） A80 B70 C60 D50 10 （2022 湖南永州 八年级期末）如图，BDC=100 ，C=35 ，A=28 ，则B 的度数是（ ） A43 B33 C47 D37 二、填空题二、填空题 11 （2022 湖南岳阳 八年级期末）在 ABC中，若 AB3，BC5，则 AC 的取值范围是 _ 12 （2022 湖南邵阳 八年级期末）如图，点D、点E分别是ABC的边BC和AC的中点，若DEC的面积是22cm，则ABC的面积为_ 13 （2022 湖南永州 八年级期末）小龙平时爱观察也喜欢动脑，他看到路边的建筑和电线
4、架等，发现了一个现象： 一切需要稳固的物品都是由三角形这个图形构成的，当时他就思考， 数学王国中不仅只有三角形，为何偏偏用三角形稳固它们呢？请你用所学的数学知识解释这一现象的依据为_ 14 （2022 湖南岳阳 八年级期末）在Rt ABC中，90 ,50CA ，则B_ 15 （2022 湖南益阳 八年级期末）如图所示，平面上直线 a、b 分别过线段 AB 两端点，则 a、b 相交所成的锐角为_度 3 16 （2022 湖南郴州 八年级期末）如图，BE是正五边形ABCDE的对角线若过点 A作直线/ /lBE，则1的大小是_度 三、解答题三、解答题 17 （2022 湖南岳阳 八年级期末）一个多边
5、形的每一个外角都等于45，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？ 18 （2022 湖南永州 八年级期末）先化简，再求值已知 a，b，c 为 ABC的三边长，化简|a-b-c|-|b-c+a|，当 a=2、c=3 时，求出代数式的值 19 （2022 湖南长沙 八年级期末） （1）求 12 边形内角和度数； （2）若一个 n 边形的内角和与外角和的差是 720 ，求 n 20（2022 湖南益阳 八年级期末） 如图， ABC 和 ADE是两个叠放在一起的全等的直角三角形， B=30 ， ABC 固定不动， 将 ADE 绕直角顶点 A 旋转， 边 AD与边 BC 交于点 P （不与点 B，
6、 C 重合） ， PAC和PCA的平分线交于点 I (1)当 ABP是等腰三角形时，求PAC的度数； (2)在 ADE的旋转过程中，PD 的长度在不断发生变化，当 PD取最大值时，求AIC的度数； (3)确定AIC 度数的取值范围 21 （2022 湖南长沙 八年级期末） （1）如图 1，在ABC中，BE 平分ABC，CE 平分ACD，试说明：E 4 12A； 【拓展应用】 （2）如图 2，在四边形 ABDC中，对角线 AD 平分BAC 若ACD130 ，BCD50 ，CBA40 ，求CDA 的度数； 若ABD+CBD180 ，ACB82 ，写出CBD与CAD 之间的数量关系 22 （2022
7、 湖南永州 八年级期末）已知：如图，O 是ABC内一点，且 OB、OC 分别平分ABC、ACB （1）若48A ，求BOC； （2）若An ，求BOC； （3）若130BOC，利用第（2）题的结论求A 23（2022 湖南邵阳 八年级期末） 如图， 在ABC中，AE为边BC上的高， 点D为边BC上的一点， 连接AD （1）当AD为边BC上的中线时，若6AE ，ABC的面积为 30，求CD的长； （2）当AD为BAC的角平分线时，若66C，36B ，求DAE的度数 24 （2022 湖南湘西 八年级期末）如图，ABC的B、C的平分线BE、CF相交于点G，求证：1902BGCA. 5 参考答案参考
8、答案 1C 【解析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，结合选项判断即可 解：设第三边长为 a， 由三角形的三边关系，得 94a9+4，即 5a13， 它的第三边长可能是 8， 故选：C 本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键 2C 【解析】根据三角形的周长的计算方法得到 ABD的周长和 ADC 的周长的差就是 AB与 AC的差 解：AD是 ABC中 BC边上的中线， BD=DC=12BC， 2021,2018ABAC ABD与 ACD的周长之差 =（AB+BD+AD）-（AC+DC+AD） =AB-AC =2021-2018 =
9、3 则 ABD与 ACD的周长之差为 3 故选：C 本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法 3B 【解析】根据三角形具有稳定性，即可对图形进行判断. 解：A、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误； B、对角线两侧是三角形，具有稳定性，故本选项正确； C、对角线下方是四边形，不具有稳定性，故本选项错误； 6 D、对角线两侧是四边形，不具有稳定性，故本选项错误 故选 B 本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是利用三角形的稳定性判断. 4B 【解析】根据 ABC 中，ABC，A+B+C180可求出C 的度数，进而得出
10、结论 解：在 ABC 中，ABC，A+B+C180， 2A180， 解得A90， ABC是直角三角形 故选 B 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180是解题的关键 5C 【解析】 根据三角形的内角和等于 180 可求解ABC的度数； 利用三角形外角的性质可求解ABE的度数 解：在 ABC中，C90 ，A54.97 ， 根据三角形内角和定理可得ABC180CA1809054.9735.03 ， 根据三角形外角性质可得ABEAC54.97 90 144.97 ， 故选：C 本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形的内角和定理及外角的性质是解题的关键 6A 【解析
11、】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出 n边形从一个顶点出发可引出 （n-3） 条对角线， 进而得出这 （n-3） 条对角线把多边形分成的2n个三角形，从而可得答案 解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的 6 个顶点引对角线， 即能引出 6 条对角线，它们将九边形分成 7 个三角形 故选：A 本题考查多边形的性质，从 n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形熟记这些规律是解本题的关键 7C 【解析】根据正多边形的外角与它对应的内角互补，得到这个正多边形的每个外角1801503
12、0，再根据多边形外角和为 360 度即可求出边数 解：一个正多边形的每个内角为150， 这个正多边形的每个外角18015030， 7 这个正多边形的边数3601230 故选 C 本题考查了正多边形的外角与它对应的内角互补的性质；也考查了多边形外角和为 360 度以及正多边形的性质 8C 【解析】多边形的内角和比外角和的 4 倍多 180 ，而多边形的外角和是 360 ，则内角和是 1620 n 边形的内角和可以表示成（n-2）180，这个多边形的边数是 n，得到方程，从而求出边数 解：根据题意，得 （n-2）180=3604+180， 解得：n=11 则这个多边形的边数是 11 故选：C 本题
13、考查了多边形的内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解 9A 【解析】 根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和， 经计算即可得到答案 解：D是BC延长线上一点， ACDAB ， 40B ，120ACD， 80A 故选：A 本题考查了三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，从而完成求解 10D 【解析】延长 BD 交 AC于点 E，根据三角形外角的性质可得BDC=A+B+C，计算可求解 解：延长 BD 交 AC于点 E， BDC=C+BEC，BEC=A+B， BCD=A+B+C， BDC=100 ，A=28 ，C
14、=35 ， B=100 -28 -35 =37 ， 8 故选：D 本题主要考查三角形外角的性质，证得BDC=A+B+C 是解题的关键 1128AC 【解析】根据三角形的三边关系，直接求解即可 在 ABC中，AB3，BC5， BCABACBCAB， 即5 35 3AC ， 解得28AC 故答案为：28AC 本题考查的是三角形的三边关系，熟悉相关性质是解题的关键三角形中第三边的长大于两边之差，小于两边之和 1228cm 【解析】首先根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，求出ACDS是多少；然后根据D是BC的中点，用ACD的面积乘以 2，求出ABC的面积为多少即可 解：E是ADC的边AC的中
15、点， 22 24()ACDScm ； 又D是BC的中点， 24 28()ABCScm 故答案是：28cm 此题主要考查了三角形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 13三角形具有稳定性 【解析】直接利用三角形具有稳定性得出答案 解：用三角形稳固它们是因为三角形具有稳定性， 故答案为三角形具有稳定性 此题主要考查了三角形的稳定性，正确把握三角形具有稳定性是解题关键 1440 【解析】RtABC 中，A 与B 互余，A=50 ，则B=90 -A=40 解：在 RtABC 中，90 ,50CA ， A 与B 互余， B=90 -A=40 ， 故答案为：40
16、此题考查了直角三角形中两锐角互余，熟记直角三角形的性质是解题的关键 1520 9 【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解 解：设 a、b相交所成的锐角为 x， 80 +x=100 ，解得：x=20 ， 即 a、b相交所成的锐角为 20 故答案为：20 本题主要考查了三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键 1636 【解析】先根据多边形内角和公式求出每一个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出ABE36 ，然后根据平行线的性质可得答案 解：五边形 ABCDE 是正五边形， BAE（52） 180 5108 ， ABEAEB
17、（180108） 236 ， lBE， 1ABE36 ， 故答案为：36 本题考查了正多边形的性质、平行线的性质；熟练掌握正五边形的性质和平行线的性质是解题的关键 17这个多边形是八边形，它的每一个内角是 135 度 【解析】根据多边形的外角和等于360即可求出这个多边形的边数，再根据每个内角与它对应的外角之和等于180即可求出每一个内角的度数 解：一个多边形的每一个外角都等于45， 这个多边形的边数为360458， 它的每一个内角都相等，且度数是18045135， 答：这个多边形是八边形，它的每一个内角是 135 度 本题考查了多边形的外角和与内角，熟练掌握多边形的外角和等于360是解题关键
18、 18-2a+2c，2 【解析】根据三角形的三边关系去绝对值，然后代入求值即可 解：a，b，c 为 ABC的三边长， a-b-c0，b-c+a0 |a-b-c|-|b-c+a|=-a+b+c-（b-c+a）=-2a+2c 当 a=2、c=3 时，-2a+2c=-2 2+2 3=2 此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题 19 （1）1800 ； （2）8 10 【解析】 （1）根据内角和公式，可得答案； （2） 根据多边形内角和公式 （n-2） 180可得内角和， 再根据外角和为 360 可得方程 （n-2） 180-360 =7
19、20 ，再解方程即可 解： （1）由题意，得 （12-2） 180 =1800 ； （2）由题意得： （n-2）180-360 =720 ， 解得：n=8 此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理 20(1)60 或 15 (2)135 (3)105 AIC150 【解析】 （1）分 AP=BP和 AP=BP 两种情况讨论，计算即可求解； （2）当 AP取最小值时 PD取最大值，此时 AP与 BC垂直，利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解； （3）设BAP=，利用角平分线的定义得到IAC=12PAC，ICA=12PCA，利用三角形内角和定理
20、即可求解 (1) 解：当 AP=BP 时， B=30 ， B=BAP=30 ， BAC=90 ， PAC=90 -30 =60 ； 当 AB=BP 时， B=30 ， APB=BAP=12(180 -30 )= 75 ， BAC=90 ， PAC=90 -75 =15 ； 综上，PAC的度数为 60 或 15 ； (2) 解：AD长为定值， 当 AP 取最小值时 PD 取最大值，此时 AP 与 BC 垂直， 11 B=30 ，BAC=90 ， ACP=60 ，CAP=30 ， AI、CI分别平分PAC，PCA， ICA=12ACP=30 ，IAC=12CAP=15 ， AIC的度数为 180
21、-30 -15 =135 ； (3) 解：设BAP=，则APC=+30 ， ABAC， BAC=90 ，PCA=60 ，PAC=90， AI、CI分别平分PAC，PCA， IAC=12PAC，ICA=12PCA， AIC=180(IAC+ICA) =18012 (PAC+PCA) =18012 (90+60 ) =12+105 090 ， 105 12+105 150 ，即 105 AIC150 本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 21 （1）见解析； （2）CDA20 ；CAD+41 CBD 【解析】 （1）由三角形外角的性质可得AC
22、D=A+ABC，ECDE+EBC；由角平分线的性质可得1()2ECDAABC ，12EBCABC，利用等量代换，即可求得A与E的关系； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；设CBD=a，根据已知条件得到 12 ABC=180 -2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答 （1）证明：ACD是 ABC 的外角 ACDA+ABC CE平分ACD 1()2 ECDAABC 又ECDE+EBC 1()2ECDEBCAABC BE 平分ABC 12EBCABC 11()22 ABCEAABC 12EA； （2）ACD130 ，BCD50 ACBACDBCD130 50 80
23、CBA40 BAC180 ACBABC180 80 40 60 AD平分BAC 1302CADCAB CDA180 CADACD20 ； CAD+41 CBD 设CBD ABD+CBD180 ABC180 2 ACB82 CAB180 ABCACB180 （180 2）82 282 AD平分BAC CAD12CAB41 CAD+41 CBD 本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是 180是解答本题的关键 13 22 （1）BOC114； （2）BOC902n； （3）A80 【解析】证明BOC90 12 A， （1） （2） （3）利用这个公式
24、计算即可解决问题； 解：OB、OC分别平分ABC、ACB， 1212ABC，3412ACB， BOC180（24） ， BOC18012（ABCACB）18012（180A）90 12A （1）A48 ， BOC90 12 48 114 （2）An ， BOC90 12n ， BOC902n. （3）BOC130 ， 130 90 12A， A80 本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是证明BOC90 12A 23 （1）5； （2）15 【解析】 （1）利用三角形的面积公式求出 BC即可解决问题； （2）先根据三角形内角和求得BAC 的度数，再根据 AD 平分BAC，A
25、EBC，求得BAE，BAD的度数，最后根据DAE=BAE-BAD 计算即可 解： （1）AEBC，AE=6， ABC的面积为 30， 12 BC AE=30， 12 BC 6=30， BC=10， AD是 ABC的中线， CD=12BC=5； （2）BAC=180 -B-C=180 -36 -66 =78 AD平分BAC， BAD=12BAC=39 ， 14 AEBC， AEB=90 ， BAE=90 -B=54 ， DAE=BAE-BAD=54 -39 =15 本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中基础题 24见解析 【解析】 先根据 ABC的B和
26、C的平分线BE， CF交于点G得出1=2=12ABC， 3=4=12ACB，再由三角形内角和定理得出ABC+ACB=180 -A，进而可得出2+4=90 -12A，由BGC+（2+4）=180 即可得出结论 ABC 的B 和C 的平分线 BE，CF 交于点 G， 1=2=12ABC，3=4=12ACB， A+ABC+ACB=180 ， ABC+ACB=180 -A， 12（ABC+ACB）=90 -12A，即2+4=90 -12A， BGC+（2+4）=180 ， BGC=180 -（2+4）=180 -（90 -12A）=90 +12A 此题考查三角形内角和定理，熟知“三角形内角和是 180”是解题的关键