1、第十三章 轴对称一、单选题1下面四幅作品是某设计公司为学校文化墙设计的体育运动简笔画，其中轴对称图形是（）ABCD2对于四个结论：能够完全重合的两个图形叫全等图形；把沿直线BC翻折180，得到，则；三条边分别相等的两个三角形全等；三个角分别相等的两个三角形全等其中正确的结论有（）ABCD3（2022湖南益阳八年级期末）如图，ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE3cm，ADC的周长为9cm，则ABC的周长是()A10cmB12cmC15cmD17cm4（2022湖南永州八年级期末）如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线M
2、N，交BC于点D，连接AD若ADC的周长为10，AB8，则ABC的周长为（）A8B10C18D205（2022湖南郴州八年级期末）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（）ABCD6（2022湖南怀化八年级期末）若点与点关于y轴对称，则（）ABC1D37（2022湖南岳阳八年级期末）如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，BMAD，垂足为M，且AB=5，BM=2，AC=9，则ABC与C的关系为（）AABC=2CBABC=CCABC=CDABC=3C8（2022湖南湘潭八年级期末）已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长是（）A13B17C22D17或229（202
3、2湖南长沙八年级期末）下列说法中正确的是（）角平分线上任意一点到角的两边的距离相等等腰三角形两腰上的高相等；等腰三角形的中线也是它的高线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形ABCD10（2022湖南郴州八年级期末）如图，在ABC中，ACB90，BE平分ABC，EDAB于D如果A30，AE6cm，那么CE等于（）AcmB2cmC3cmD4cm二、填空题11（2022湖南衡阳八年级期末）如图，ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为
4、3厘米/秒，则当BPD与CQP全等时，v的值为_12（2022湖南株洲八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交边于点，的周长等于，则的长等于_cm13（2022湖南怀化八年级期末）点 P（3，4）关于 y 轴对称点的坐标是_14（2022湖南湘西八年级期末）点P(3，)与点Q ( b，2)关于y轴对称, 则a + b=_15（2022湖南常德八年级期末）若实数、满足等式，且恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为_16（2022湖南娄底八年级期末）如图，C是线段AB上的一点，和都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于，则；是等边三角形其中，正确的有_三、解答题17（2022湖
5、南怀化八年级期末）如图，在中，点、分别为、中点，若，求的长 18（2022湖南邵阳八年级期末）如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，ABC的周长为21cm，ABD的周长为13cm，求AE的长19（2022湖南株洲八年级期末）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（3，1）（1）将ABC沿y轴正方向平移3个单位得到A1B1C1，画出A1B1C1，并写出点B1坐标；（2）画出A1B1C1关于y轴对称的A2B2C2，并写出点C2的坐标20（2022湖南岳阳八年级期末）在边长为1的小正方形网格中，AOB的顶点均在格点上（1）B点关于y轴的对称点
6、坐标为 ；（2）将AOB向左平移3个单位长度得到A1O1B1，请画出A1O1B1；（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 21（2022湖南怀化八年级期末）如图，直线l与m分别是ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E(1)若AB10，则CDE的周长是多少？为什么？(2)若ACB125，求DCE的度数22（2022湖南永州八年级期末）在 ABC中，AB = AC (1)如图 1，如果BAD = 30，AD是BC上的高，AD =AE，则EDC= (2)如图 2，如果BAD = 40，AD是BC上的高，AD = AE，则EDC= (3)思考:通过以上两题，你发现BAD与E
7、DC之间有什么关系?请用式子表示: (4)如图 3,如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由 23（2022湖南娄底八年级期末）如图，在中，的平分线交于点，过点作；交于点（1）求证：；（2）若，求的度数24（2022湖南衡阳八年级期末）如图,在ABC中,AB=AC=2,B=C=50,点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),连接AD,作ADE=50,DE交线段AC于点E. (1)在点D的运动过程中,ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出BDA的度数;若不可以,请说明理由.(2)若DC=2,求证:ABDDCE.25（2022湖南常德八年级期
8、末）（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC边上的任意点（不含端点B，C），连接AM，以A为边作等边AMN，并连接CN，求证：ABMACN；求证：ABCN+CM；（2）【类比探究】如图2，在等边ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，则ABCN+CM是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB，CN，CM三者之间的数量关系，并给予证明26（2022湖南长沙八年级期末）如图，ABD、AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F(1)求证：CD=BE；(2)求CFB的度数27（2022湖南怀化八年级期末）问题发现：如图，ABC与ADE是等边三角形，且点B、
9、D，E在同一直线上，连接CE，求的度数，并确定线段BD与CE的数量关系拓展探究：如图，ABC与ADE都是等腰直角三角形，且点B，D，E在同一直线上，于F，连接CE，求的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系参考答案1A【解析】利用轴对称图形定义进行解答即可如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形解：选项、均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个
10、图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形2C【解析】根据翻折变换的性质，全等图形，全等三角形的判定即可进行逐一判断解：能够完全重合的两个图形叫全等图形，正确；把ABC沿直线BC翻折180，得到DBC，根据翻折性质得到AD，正确；根据两个三角形全等的判定定理可知三条边分别相等的两个三角形全等，正确；根据两个三角形全等的判定定理，必须要有边，所以三个角分别相等的两个三角形不能判定它们相等全等，错误，其中正确的结论有，故选：C此题主要考查了翻折变换，全等图形，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握翻折的性质3C【解析】由DE是ABC中边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分
11、线的性质，即可得BD=AD，AB=2AE，又由ADC的周长为9cm，即可得AC+BC=9cm，继而求得ABC的周长解：DE是ABC中边AB的垂直平分线，AD=BD，AB=2AE=23=6（cm），ADC的周长为9cm，即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm，ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）ABC的周长为15cm故答案选C4C【解析】根据线段垂直平分线性质得出ADBD，根据ADC的周长为10求出ACBC10，代入ABACBC求出即可根据做法可知：MN是AB的垂直平分线，ADBD，ADC的周长为10，ADCDAC10，BDDCAC10，ACBC10，AB8，
12、ABC的周长为ABACBC81018，故选C.此题考查了线段垂直平分线的性质与作法.题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用.需要掌握的是线段垂直平分线的性质为:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.5B【解析】直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等即可得出答案解：点Q（-3，7）关于y轴对称的点的坐标是（3，7）故选：B此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号是解题关键6D【解析】利用关于y轴对称“横坐标互为相反数，纵坐标不变”求得m、n的值，再进行有理数的加法运算得出答案解：点与点关于y轴对称，m-1=0，n=2，m=1，m+n=3故选择：
13、D本题考查了关于y轴对称点的坐标变化，掌握关于轴对称坐标变化法则是解题关键7D【解析】延长BM到E，证明ABFAEM，利用线段长度推出BCE是等腰三角形，再根据角度转换求出即可证明如图，延长BM，交AC于E，AD平分BAC，BMAD，BAM=EAM，AMB=AME又AM=AM，ABMAEM，BM=ME，AE=AB，AEB=ABE，BE=BM+ME=4，AE=AB=5，CE=AC-AE=9-5=4，CE=BE，BCE是等腰三角形，EBC=C，又ABE=AEB=C+EBCABE=2C，ABC=ABE+EBC=3C故选D本题考查三角形综合题型，关键在于作出合理的辅助线8C【解析】由于等腰三角形的底和
14、腰长不能确定，故应分两种情况进行讨论分为两种情况：当三角形的三边是4，4，9时，4+49，此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；当三角形的三边是4，9，9时，此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9=22故选C9C【解析】根据角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质对各小题分析判断即可得解角平分线上任意一点到角的两边的距离相等，正确等腰三角形两腰上的高相等，正确应为：等腰三角形的底边上的中线也是它的高，故错误；线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点距离相等，可以构成等腰三角形，正确.故答案为C本题考
15、查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记概念与性质是解题的关键10C【解析】根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半得出AE2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出EDCE，即可得出CE的值EDAB，A30，AE2EDAE6cm，ED3cmACB90，BE平分ABC，EDCE，CE3cm故选C本题考查了含30角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出EDCE112.25或3【解析】分两种情况讨论：若BPDCPQ，根据全等
16、三角形的性质，则BD=CQ=6厘米，BP=CP=BC=9=4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；若BPDCQP，则CP=BD=6厘米，BP=CQ，得出 ，解得：v=3解：ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，BD=6厘米，若BPDCPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=BC=9=4.5（厘米），点Q的运动速度为3厘米/秒，点Q的运动时间为：63=2（s），v=4.52=2.25（厘米/秒）；若BPDCQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，则有 ，解得：v=3v的值为：2.25或3厘米/秒故答案为：2.25或3.本题考查了全等三角形的判定和线段垂直平分线的性质注
17、意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等12【解析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论解：DE是边BC的垂直平分线，CDBDABD的周长AB+BD+ADAB+AD+CDAB+AC18又AB8，AC10cm故答案为：10本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键13（-3，4）【解析】关于y轴对称的点,纵坐标不变,横坐标互为相反数.解：关于y轴对称的点,纵坐标不变,横坐标互为相反数.P（3，4）关于 y 轴对称点的坐标是（-3，4）本题考查了点的对称,属于简单题,熟悉坐标的对称性质是解题关键.14-1.根据P与Q关于y轴对
18、称得b=-3，a=2，所以a+b=-1，故答案为：-1考点：关于y轴对称的点的特点1510【解析】根据非负数的意义列出关于、的方程并求出、的值，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解解：，解得，（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，不能组成三角形；（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，能组成三角形，周长为故答案为：10本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系，解题的关键是利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断16【解析】证明ACEDCB，可得正确；即可求得AOB120，可得错误；再证明ACMDCN，可得
19、正确和CMCN，进而可证明正确，问题得解解：ACDBCE60，DCE60，ACEBCD120，在ACE和DCB中，ACEDCB（SAS），BDCEAC，DBAE，正确；CBDAEC，AOB180OABDBC，AOB180AECOAB120，错误；在ACM和DCN中，ACMDCN（ASA），AMDN，正确；AMCDNC，正确； CMCN，MCN60，CMN是等边三角形，正确；故答案为：本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定等知识，本题中证明ACEDCB和ACMDCN是解题的关键17EG=5cm【解析】连接AE、AG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得EB=EA，再根据
20、等腰三角形两底角相等求出B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出AEG=60，同理求出AGE=60，从而判断出，AEG为等边三角形，再根据等边三角形三边都相等列式求解即可如图，连接AE、AG，D为AB中点，EDAB，EB=EA，ABE为等腰三角形，又B=30，BAE=30，AEG=60，同理可证：AGE=60，AEG为等边三角形， AE=EG=AG，又AE=BE，AG=GC，BE=EG=GC，又BE+EG+GC=BC=15（cm），EG=5（cm）本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性
21、质，作辅助线构造出等腰三角形与等边三角形是解题的关键18AE4cm【解析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=DC，AE=CE=AC，再根据题意可得AB+BC+AC=21cm，AB+BD+AD=13cm，然后可得AC长，进而可得AE长DE是AC的垂直平分线，ADDC，AECEAC，ABC的周长为21cm，AB+BC+AC21cm，ABD的周长为13cm，AB+BD+ADAB+BD+DCAB+BC13cm，AC8cm，AE4cm本题主要考查了线段垂直平分线，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等19（1）画图见解析；点坐标为：（2，1）；（2）画图见解析；点的坐标为：（1，1）
22、【解析】（1）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案解：（1）如图所示：，即为所求；点坐标为：（2，1）；（2）如图所示：，即为所求，点的坐标为：（1，1）考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换20（1）（3，2）； （2）作图见解析（3）（2，3）【解析】（1）关于y轴对称的点坐标是纵坐标相同，横坐标互为相反数（2）分别将三个顶点A、O、B，向左方向平移三个单位，然后连线（3）左平移三个单位的坐标变化规律是纵坐标不变，横坐标减3解：（1）因为B的坐标是（3，2），所以B关于y轴对称的点的坐标是（-3，2）（2）将A向左移三个格
23、得到A1，O向左平移三个单位得到O1，B向左平移三个单位得到B1，再连线得到A1O1B1（3）因为A的坐标是（1，3），左平移三个单位的坐标变化规律是纵坐标不变，横坐标减3，所以A1是（-2，3）本题考查了关于y轴对称点坐标规律及图形平移后点的坐标规律21(1)CDE的周长为10，理由见解析；(2)70【解析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到CDE的周长=CD+DE+CE=AD+DE+BE=AB；（2）依据AD=CD，BE=CE，即可得到A=ACD，B=BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到A+B=55，进而得到ACD+BCE=55，再根据DCE=ACB-（ACD+BCE）进行计算即
24、可（1）解：CDE的周长为10直线l与m分别是ABC边AC和BC的垂直平分线，ADCD，BECE，CDE的周长CD+DE+CEAD+DE+BEAB10；（2）解：直线l与m分别是ABC边AC和BC的垂直平分线，ADCD，BECE，AACD，BBCE，又ACB125，A+B18012555，ACD+BCE55，DCEACB（ACD+BCE）1255570本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等22（1）15；（2）20；（3）BAD=2EDC；（4）成立，理由见解析【解析】（1）根据等腰三角形三线合一，可知DAE=30，再根据AD=AE，可求ADE的度数
25、，从而可知答案；（2）同理易知答案；（3）通过（1）（2）题的结论可知BAD=2EDC，（4）由于AD=AE，所以ADE=AED，根据已知容易证得BAD=2EDC.解：（1）在ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，BAD=CAD=30AD=AE，DEC=90-AD =15；（2）在ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，BAD=CAD=40AD=AE，DEC=90-ADE=20；（3）根据前两问可知：BAD=2EDC（4）仍成立，理由如下：AD=AE，ADE=AEDBAD+B=ADC，ADC=ADE+EDCADC=AED+EDCAED=EDC+CADC=（EDC+C）+EDC=2EDC+C又
26、AB=ACB=CBAD=2EDC本题考查了等腰三角形的三线合一，熟知等腰三角形顶角平分线，底边上的高和中线三线合一是解题的关键.23（1）见详解；（2）【解析】（1）由题意易得，则有，然后问题可求证；（2）由题意易得，则有，然后由（1）可求解（1）证明：BD平分，；（2）解：，由（1）可得本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键24（1）100或115（2）证明见解析【解析】（1）分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当BDA的度数为115或100时，ADE的形状是等腰三角形；（2）利用DEC+EDC
27、=130，ADB+EDC=130，求出ADB=DEC，再利用AB=DC=2，即可得出ABDDCE(1)ADE的形状可以是等腰三角形B=C=50,ADE=50,BDA+EDC=CED+EDC=130,BDA=CED.点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),ADAE.当EA=ED时,如图1所示,EAD=ADE=50,BDA=CED=50+50=100;当DA=DE时,如图2所示,EAD=AED=65,BDA=CED=65+50=115.综上,BDA为100或115.(2) DC=2, AB=AC=2,AB=DC由(1)可得BDA=CED,在ABD和DCE中,ABDDCE(AAS).此题主要考查
28、了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的综合应用，解决问题的关键是运用分类思想进行分类讨论25（1）见解析见解析（2）ABCNCM，证明见解析【解析】（1）据等边三角形的性质得到ABBCAC，BACBACB60，AMMNAN，MANAMNANM60，证明BAMCAN；根据全等三角形的性质、结合图形证明结论；（2）仿照（1）证明BAMCAN（SAS），得出BMCN，则可得出结论（1）证明：ABC是等边三角形，ABBCAC，BACBACB60，AMN是等边三角形，AMMNAN，MANAMNANM60，BACMACMANMAC，即BAMCAN，在BAM和CAN中，
29、BAMCAN（SAS）；BAMCAN，BMCN，ABBCBMCMCNCM；（2）解：ABCNCM不成立，ABCNCM，由（1）可知，BACMAN，BACMACMANMAC，即BAMCAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），BMCN，ABBCBMCMCNCM本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键26(1)见解析(2)60【解析】（1）由等边三角形的性质，证明即可；（2）由可得，由三角形外角的性质及等边三角形角的性质即可解决(1)、都是等边三角形，在和中，(2)，本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质
30、，三角形外角的性质等知识，关键是证明三角形全等27问题发现：AEB的度数为60；线段BD与CE之间的数量关系是：BDCE，理由见解析；拓展探究：BEC90，BFCEAF，理由见解析【解析】问题发现：证明ABDACE，可得BDCE，由点B，D，E在同一直线上，可得BEC60；拓展探究：方法同上，证明ABDACE（SAS），可得BDCE，ADBAEC，由点A，D，E在同一直线上，可得ADBAEC135，进而可得DAE90，由ADAE，AFDE，可得AFDFEF，即可得出BFBDDFCEAF问题发现：ACB和ADE均为等边三角形，ABAC，ADAE，BACDAE60，ADEAED60，BACDACD
31、AEDAC，即BADCAE，在ABD和CAE中，ABDACE（SAS），BDCE，BDACEA，点B，D，E在同一直线上，ADB18060120，AEC120，BECAECAED1206060，综上，可得AEB的度数为60；线段BD与CE之间的数量关系是：BDCE拓展探究：ACB和DAE均为等腰直角三角形，ABAC，ADAE，BACDAE90，ADEAED45，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BDCE，ADBAEC，点A，D，E在同一直线上，ADB18045135，AEC135，BECAECAED1354590；DAE90，ADAE，AFDE，AFDFEF，DEDFEF2AF，BFBDDFCEAF本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键21