1、 第第 6 章图形的相似章图形的相似 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1如图，在ABC 中，BAC45，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，连接 DE，若 DE2，则 BC 的长为（ ） A5 B322 C52 D22 2如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，=13，DEBC，若ADE 的面积为 6，则ABC的面积等于（ ） A12 B18 C24 D54 3（2021 秋建邺区期末） 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点 （APPB） ， 若 AB10， 则 AP 的长约为 （ ） A0.382 B0.618 C3.82 D6.18 4 （2021 秋溧水
2、区期末）如图，在平面直角坐标系中，以原点 O 为位似中心将OAB 放大得到OCD若点 A、C 的横坐标分别为 1、2，且 AB= 5，则线段 CD 的长为（ ） A2 B5 C4 D25 5 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，=13，DEBC，若ADE 的周长为 6，则ABC 的周长等于（ ） A24 B18 C12 D9 6 （2021 秋秦淮区期末）2021 年 12 月 28 日，南京市第一条跨市域地铁 S6（宁句城际）正式运营，在比例尺为 1：100000 的工程示意图上，南京地铁 S6 号线全长约为 43.7cm，它的实际长度约为（
3、） A0.437km B4.37km C43.7km D437km 7 （2021 秋南京期末）如图，在矩形 ABCD 中，E，F，G 分别在 AB，BC，CD 上，DEEF，EFFG，BE3，BF2，FC6，则 DG 的长是（ ） A4 B133 C143 D5 8 （2021 秋南京期末）如图，在ABC 中，DEBC，=13，则下列结论中正确的是（ ） A=13 B=12 C的周长的周长=13 D的面积的面积=13 二填空题（共二填空题（共 11 小题）小题） 9 （2021 秋鼓楼区校级期末）若=13，则;= 10 （2021 秋建邺区期末）如图，在 RtABC 中，P 是斜边 AB 边
4、上一点，且 BP2AP，分别过点 A、B作 l1、l2平行于 CP，若 CP4，则 l1与 l2之间的最大距离为 11 （2021 秋南京期末）如图，在边长为 1 的正方形网格中，A、B、C、D 为格点，连接 AB、CD 相交于点 E，则 AE 的长为 12 （2021 秋溧水区期末）已知ABCDEF，相似比为23，且DEF 的面积为 9，则ABC 的面积为 13 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC 中，BAC45，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，连接 DE，若 DE2，则 BC 的长为 14 （2021 秋南京期末）如图，l1l2l3，若 AB2，BC3，AD1，CF4，
5、则 BE 的长为 15 （2021 秋玄武区期末）已知ABCDEF，且ABC 与DEF 的面积之比为 1：2，当 BC1cm，对应边 EF 的长是 16 （2021 秋秦淮区期末）若=23，则;= 17 （2021 秋建邺区校级期末）在 RtAOB 中，AOB90，OA8，OB10，以 O 为圆心，4 为半径 作圆 O，交两边于点 C，D，P 为劣弧 CD 上一动点，则12PA+PB 最小值为 18 （2020 秋南京期末）若 2x3y，则= 19 （2020 秋南京期末）如图，在ABC 中，AB9，AC6，BC12，点 M 在边 AB 上，AM3，过点M 作直线 MN 与边 AC 交于点 N
6、，使截得的三角形与原三角形 ABC 相似，则 MN 的长为 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 20 （2021 秋南京期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上一动点，过点 E 作 EFAE，交 DC于点 F，连接 AF （1）求证：ABEECF； （2）求 AF 长度的最小值 21 （2021 秋溧水区期末）折叠矩形 ABCD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 AE （1）求证ABFFCE； （2）若 CF4，EC3，求矩形 ABCD 的面积 22 （2021 秋溧水区期末）如图，O 是ABC 的外接圆，且 ABAC，四边形 ABCD 是平行四边形，
7、边CD 与O 交于点 E，连接 AE （1）求证ABCADE； （2）求证：AD 是O 的切线 23 （2021 秋溧水区期末） 【认识模型】 （1） 如图 1， 直线 l1l2， 直线 m、 n 分别与 l1、 l2交于点 A、 B 和点 F、 D， m 和 n 交于点 E 则= ； 【应用模型】 （2）如图 2，在ABC 中，D 是边 AB 上一点，且=13若 BC4，AB10，求 AC 的长 24（2021 秋玄武区期末） 在ABC 与ABC中， 点 D 与 D分别在边 BC， BC上， BB，= （1）如图 1，当BADBAD时，求证ABCABC； （2）当CADCAD时，ABC 与A
8、BC相似吗？小明发现：ABC 与ABC不一定相似小明先画出了ABCABC的示意图， 如图 2 所示， 请你利用直尺和圆规在小明所画的图中， 作出ABC与ABC不相似的反例 （3）小明进一步探索：当BB30，CADCAD60时，设=k（0k1） ，如果存在ABCABC，那么 k 的取值范围为 25 （2021 秋南京期末）如图，AD 和 BG 是ABC 的高，连接 GD （1）求证ADCBGC； （2）求证CDGCAB 26 （2021 秋南京期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，且= （1）求证ACDABC； （2）若 AD3，BD2，求 CD 的长 27 （202
9、1 秋南京期末）如图，在O 中，弦 AC 与弦 BD 交于点 P，ACBD （1）求证 APBP； （2）连接 AB，若 AB8，BP5，DP3，求O 的半径 参考答案解析参考答案解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1如图，在ABC 中，BAC45，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，连接 DE，若 DE2，则 BC 的长为（ ） A5 B322 C52 D22 【解答】解：在 RtADB 中，BAC45， 则=22， 同理：=22， =， DAEBAC， ADEABC， =22， DE2， BC22， 故选：D 2 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，D，E 分别是ABC
10、 的边 AB，AC 上的点，=13，DEBC，若ADE 的面积为 6，则ABC 的面积等于（ ） A12 B18 C24 D54 【解答】解：DEBC， ADEABC = ()2 =13， =19 SABC9SADE54 故选：D 3（2021 秋建邺区期末） 已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点 （APPB） ， 若 AB10， 则 AP 的长约为 （ ） A0.382 B0.618 C3.82 D6.18 【解答】解：点 P 是线段 AB 的黄金分割点（APPB） ， 0.618， AB10， AP0.618AB6.18， 故选：D 4 （2021 秋溧水区期末）如图，在平面直角坐标系中
11、，以原点 O 为位似中心将OAB 放大得到OCD若点 A、C 的横坐标分别为 1、2，且 AB= 5，则线段 CD 的长为（ ） A2 B5 C4 D25 【解答】解：以原点 O 为位似中心将OAB 放大得到OCD，点 A、C 的横坐标分别为 1、2， OAB 与OCD 的相似比为 1：2， AB= 5， CD2AB25， 故选：D 5 （2021 秋鼓楼区校级期末）如图，D，E 分别是ABC 的边 AB，AC 上的点，=13，DEBC，若ADE 的周长为 6，则ABC 的周长等于（ ） A24 B18 C12 D9 【解答】解：DEBC， ADEABC， =13， ADE 的周长为 6， A
12、BC 的周长为 18， 故选：B 6 （2021 秋秦淮区期末）2021 年 12 月 28 日，南京市第一条跨市域地铁 S6（宁句城际）正式运营，在比例尺为 1：100000 的工程示意图上，南京地铁 S6 号线全长约为 43.7cm，它的实际长度约为（ ） A0.437km B4.37km C43.7km D437km 【解答】解：根据比例尺图上距离：实际距离，得： 它的实际长度为 43.71000004370000（cm）43.7（km） 故选：C 7 （2021 秋南京期末）如图，在矩形 ABCD 中，E，F，G 分别在 AB，BC，CD 上，DEEF，EFFG，BE3，BF2，FC6
13、，则 DG 的长是（ ） A4 B133 C143 D5 【解答】解：EFFG， EFB+GFC90， 四边形 ABCD 为矩形， ABC90，ABCD， GFC+FGC90， EFBFGC， EFBFGC， =， BE3，BF2，FC6， 36=2， CG4， 同理可得DAEEBF， =， 83=2， AE=163， BAAE+BE=163+3=253， DGCDCG=2534=133 故选：B 8 （2021 秋南京期末）如图，在ABC 中，DEBC，=13，则下列结论中正确的是（ ） A=13 B=12 C的周长的周长=13 D的面积的面积=13 【解答】解：DEBC， ADEABC，
14、=13，故 A，B 错误； 的周长的周长=13，故 C 正确； =（13）2=19故 D 错误 故选：C 二填空题（共二填空题（共 11 小题）小题） 9 （2021 秋鼓楼区校级期末）若=13，则;= 23 【解答】解：=13， y3x， ;=3;3=23 故答案为：23 10 （2021 秋建邺区期末）如图，在 RtABC 中，P 是斜边 AB 边上一点，且 BP2AP，分别过点 A、B作 l1、l2平行于 CP，若 CP4，则 l1与 l2之间的最大距离为 9 【解答】解：如图，当点 A 在 P 的左侧时，以 AB 为直径作圆，延长 AC 交 l2于点 D，过点 C 作 CGl2于点 G
15、，取 BD 的中点 E，连接 CE， CPBD，BP2AP，CP4， =13， BD12， BCD90，E 是 BD 的中点， CE=12BD6， 设 l1与 l2之间的距离为 d， 则 d=32CG3269， 则 l1与 l2之间的最大距离为 9； 如图，当点 A 在 P 的右侧时，过点 A 作 AGl2于点 G，延长 CP 交 AG 于点 F， PFBG， APFABG， =， BP2AP， 设 BP2x，APx，PFa， （a0） ， BG3a，AG3AF， 过点 C 作 CDl1于点 D， l1l2， CEl2， 得矩形 CEGF， EGCFCP+PF4+a， BEEGBG4+a3a4
16、2a， 在 RtAPF 中，根据勾股定理，得 AF= 2 2= 2 2， FG2AF22 2， CEFG22 2， ADCCEB90， ACD+CAD90， ACB90， ACD+CCB90， CADECB， CADECB， =， ADEG4+a，CE22 2，BE42a，CDAF= 2 2， 2;24;2=4:22;2， （2 2）2（2a） （4+a）a22a+8， AF2a22a+8（a+1）2+9， 因为二次函数开口向下，当对称轴 a1 时，AF 取最大值是 9， a1 反映的是 A 在 B 正上方的左边， a1 时，AF2取得最大值为 9， AF3， AG3AF9， l1与 l2之间
17、的最大距离为 9 故答案为：9 11 （2021 秋南京期末）如图，在边长为 1 的正方形网格中，A、B、C、D 为格点，连接 AB、CD 相交于点 E，则 AE 的长为 625 【解答】解：根据题意可知：AB32，ACBD，AC2，BD3， AECBED， =， 32;=23， 解得 AE=625 故答案为：625 12（2021秋溧水区期末） 已知ABCDEF， 相似比为23， 且DEF的面积为9， 则ABC的面积为 4 【解答】解：ABCDEF，相似比为 2：3， ABC 与DEF 的面积比为 4：9， DEF 的面积为 9， ABC 的面积为 4， 故答案为：4 13 （2021 秋鼓
18、楼区校级期末）如图，在ABC 中，BAC45，BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高，连接 DE，若 DE2，则 BC 的长为 22 【解答】解：BD、CE 分别是 AC、AB 边上的高， AECADB90， BAC45， ACE 和ABD 是等腰直角三角形， =22， ADEABC， =22， DE2， BC22， 故答案为：22 14 （2021 秋南京期末）如图，l1l2l3，若 AB2，BC3，AD1，CF4，则 BE 的长为 115 【解答】解：连接 AF 交 BE 于 H， l1l2l3， =23， BHCF， ABHACF， =， 22:3=4， BH=85， HEAD， FE
19、HFDA， =， 33:2=1， EH=35， BEBH+EH=85+35=115， 故答案为：115 15 （2021 秋玄武区期末）已知ABCDEF，且ABC 与DEF 的面积之比为 1：2，当 BC1cm，对应边 EF 的长是 2cm 【解答】解：ABCDEF，ABC 与DEF 的面积之比为 1：2， （BC：EF）21：2， 解得 BC：EF1：2， BC1cm， EF= 2cm 故答案为：2cm 16 （2021 秋秦淮区期末）若=23，则;= 13 【解答】解：=23， a=23b， 则;=23;= 13 故答案为：13 17 （2021 秋建邺区校级期末）在 RtAOB 中，AO
20、B90，OA8，OB10，以 O 为圆心，4 为半径作圆 O，交两边于点 C，D，P 为劣弧 CD 上一动点，则12PA+PB 最小值为 226 【解答】解：如图， 连接 OP，取 OC 的中点 E， =12，POEAOP， POEAOP， =12， 12PA+PBPE+PB， PE+PBBE， 当 B、P、E 共线时，PE+PB 最小， OE=12OC2，OB10， BE= 2+ 2= 22+ 102=226， 12PA+PB 的最小值是 226 18 （2020 秋南京期末）若 2x3y，则= 32 【解答】解：2x3y， =32 故答案为：32 19 （2020 秋南京期末）如图，在AB
21、C 中，AB9，AC6，BC12，点 M 在边 AB 上，AM3，过点M 作直线 MN 与边 AC 交于点 N，使截得的三角形与原三角形 ABC 相似，则 MN 的长为 4 或 6 【解答】解：AMN 和ABC 相似， 如图 1，AMNABC， =， AM3，BC12，AB9， 12=39， 解得 MN4 如图 2，AMNACB， =， AM3，AC6，BC12， 12=36，MN6， 综上所述，MN 为 4 或 6 故答案为：4 或 6 三解答题（共三解答题（共 8 小题）小题） 20 （2021 秋南京期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 上一动点，过点 E 作 EFA
22、E，交 DC于点 F，连接 AF （1）求证：ABEECF； （2）求 AF 长度的最小值 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， BC90， BAE+BEA90， EFAE， AEF90， BEA+CEF90， BAECEF， 又BC90， ABEECF； （2）解：设 BEx，则 CE4x， ABEECF， =，即=44;， CF=(4)4= 14（x2）2+1， 当 x2 时，CF 取最大值 1，此时 DF 有最小值 3， 在 RtADF 中，AF= 2+ 2= 2+ 42， 当 DF3 时，AF 取最小值，AF 的最小值为32+ 42=5， AF 长度的最小值为 5 21
23、（2021 秋溧水区期末）折叠矩形 ABCD，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 AE （1）求证ABFFCE； （2）若 CF4，EC3，求矩形 ABCD 的面积 【解答】 （1）证明：由矩形 ABCD 可得，BCD90， BAF+AFB90 由折叠得AFED90 AFB+EFC90 BAFEFC ABFFCE； （2）解：CF4，EC3，C90， EFDE5， ABCD8， 由（1）得ABFFCE， =， BF6 BC10， 矩形 ABCD 的面积ABCB10880 答：矩形 ABCD 的面积为 80 22 （2021 秋溧水区期末）如图，O 是ABC 的外接圆，且 ABAC，
24、四边形 ABCD 是平行四边形，边CD 与O 交于点 E，连接 AE （1）求证ABCADE； （2）求证：AD 是O 的切线 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， BD， 四边形 ABCE 为O 的内接四边形， B+AEC180 AED+AEC180 BAED， ABAC， ABACB， ACBAED， ABCADE； （2）如图，连接 AO 并延长，交 BC 于点 M，连接 OB、OC ABAC，OBOC， AM 垂直平分 BC AMC90， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC DAO90， 点 A 在O 上， AD 是O 的切线 23 （2021 秋溧水区期末）
25、 【认识模型】 （1）如图 1，直线 l1l2，直线 m、n 分别与 l1、l2交于点 A、B 和点 F、D，m 和 n 交于点 E则= ； 【应用模型】 （2）如图 2，在ABC 中，D 是边 AB 上一点，且=13若 BC4，AB10，求 AC 的长 【解答】解： （1）l1l2， =， 故答案为：； （2）如图 2，过点 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于点 E，作 CHAE，垂足为 H，交 AB 于点 F， BCAE， =13， =， ACCE， =13， =12， BCAE， CDBEDA， =12，即4=12， 解得：AE8， ACCE，CHAE， AHHE4， AHCB，
26、 AHBC， AFBF=12AB5，FHFC， 在 RtAHF 中，HF= 2 2= 52 42=3， HC6， 在 RtACH 中，AC= 2+ 2= 42+ 62=213 24（2021 秋玄武区期末） 在ABC 与ABC中， 点 D 与 D分别在边 BC， BC上， BB，= （1）如图 1，当BADBAD时，求证ABCABC； （2）当CADCAD时，ABC 与ABC相似吗？小明发现：ABC 与ABC不一定相似小明先画出了ABCABC的示意图， 如图 2 所示， 请你利用直尺和圆规在小明所画的图中， 作出ABC与ABC不相似的反例 （3）小明进一步探索：当BB30，CADCAD60时，
27、设=k（0k1） ，如果存在ABCABC，那么 k 的取值范围为 0k423 【解答】 （1）证明：BB，BADBAD， ABDABD， =， = =， =， =，BB， ABCABC； （2）如图，作ACD的外接圆交 AB于点 A，连接 AD， 则CADCAD， CADCAD， CADCAD， 但ABC 与ABC不相似， 故图中的ABC为所求作的反例； （3）如图， 当C45时，最大， 作 DFAC 于 F，DEAB 于 E， BAC180BC105， BADBACDAC1056045， 不妨设 DE1， AD= 2 = 2， B30， BD2DE2， 在 RtADF 中，DAC60， DF
28、ADsin60= 2 32=62， 在 RtDCF 中，C45， CD= 2 = 3， =22:3=423， 故答案是：0k423 25 （2021 秋南京期末）如图，AD 和 BG 是ABC 的高，连接 GD （1）求证ADCBGC； （2）求证CDGCAB 【解答】 （1）证明：在ABC 中，AD 和 BG 是ABC 的高， BGCADC90， 又CC， ADCBGC； （2）证明：ADCBGC， =， = 又CC， CDGCAB 26 （2021 秋南京期末）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在 AB 上，且= （1）求证ACDABC； （2）若 AD3，BD2，求 CD 的
29、长 【解答】 （1）证明：=，AA， ACDABC； （2）解：ACDABC， ACDB， ACB90， A+B90， A+ACD90， ADC90， ADCBDC， ACDB， ACDCBD， =， 2=3， CD= 6 27 （2021 秋南京期末）如图，在O 中，弦 AC 与弦 BD 交于点 P，ACBD （1）求证 APBP； （2）连接 AB，若 AB8，BP5，DP3，求O 的半径 【解答】 （1）证明：连接 AB， ACBD， = ， = ， = ， AB， APBP； （2）解：连接 OA，OB，连接 PO 并延长交 AB 于点 E，过点 O 作 OFBD，垂足为 F， APBP，OAOB， PE 是 AB 的垂直平分线， BE=12AB4， PE= 2 2= 52 42=3， BP5，DP3， BDBP+DP8， OFBD， BF=12BD4， PFBPBF1， PEBPFO90，EPBOPF， POFPBE， =， 13=4， OF=43， OB= 2+ 2=42+ (43)2=4103， O 的半径为4103