1、 专题专题 8 8 二元一次方程组二元一次方程组 一、单选题一、单选题 1在解方程组 2 = 57 4 =时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是 = 13 = 103小亮把常数抄错了，得到的解是 = 9 = 16，则原方程组的符合题意解是（ ） A = 1 = 1 B = 1 = 1 C = 1 = 1 D = 1 = 2 2已知实数 x，y 满足方程组3 2 = 3 + = 1，则 4xy 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 3如图，宽为 40cm 的长方形图案由 10 个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ） A256cm2 B320cm2 C360cm2 D400cm2
2、4 （2022 七下 环翠期末）被历代数学家尊为“算经之首”的 九章算术 是中国古代算法的扛鼎之作 九章算术中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻一雀一燕交而处，衡适平并燕、雀重一斤问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有 5 只雀、6 只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5 只雀、6 只燕重量为 1 斤问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重 x 斤，每只燕重 y 斤，可列方程组为（ ） A5 + = 4 + 5 6 = 1 B4 + = 5 + 5 + 6 = 1 C5 + = 4 + 5 + 6 = 1 D4 + = 5 + 5
3、6 = 1 5 （2022 七下 文登期末）已知代数式2+ + ，当 = 2时，它的值为3；当 = 2时，它的值为19，则，的值分别为（ ） A = 4， = 7 B = 4， = 7 C = 11， = 23 D =32， = 4 6 （2022 七下 新泰期末）我国古典数学文献增删算法统宗 六均输中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计甲对乙说： “我得到你的九只羊， 我的羊就比你多一倍.”乙对甲说： “我得到你的九只羊
4、， 咱俩家的羊一样多.” 两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来请问甲乙各有多少只羊呢？设甲有羊 x 只，乙有羊 y 只，则正确的方程组是（ ） A + 9 = 2 + 9 = B2( + 9) = 9 9 = +9 C 9 = 2( + 9) +9 = 9 D + 9 = 2( 9) 9 = + 9 7（2022 七下 滨城期末）解方程组 + = 2 7 = 8时， 一学生把看错而得到 = 2 = 2， 而正确的解是 = 3 = 2，那么 a+b+c 的值为（ ） A4 B5 C6 D7 8 （2022 七下 宁阳期末）下列各组数值中，是二元一次方程 + 2 = 2的
5、一个解的是（ ） A = 0 = 1 B = 1 =12 C = 1 = 1 D = 2 = 2 9 （2022 七下 新泰期末）已知关于 x，y 的方程22+ 4+1= 6是二元一次方程，则 m，n 的值为（ ） A = 1， = 1 B = 1， = 1 C =13， = 43 D = 13， =43 10 （2022 七下 滨城期末）如图，长青化工厂与，两地有公路、铁路相连这家工厂从地购买一批每吨 1000 元的原料运回工厂，制成每吨 6000 元的产品运到地公路运价为 1.6 元/( )，铁路运价为 1.2 元/( )，这两次运输共支出公路运费 16000 元，铁路运费 97200 元
6、这批产品的销售款比原料费与运输费的和多（ ）元 A1286800 B299000 C1286000 D298000 二、填空题二、填空题 11 （2022 七下 单县期末）在关于、y 的二元一次方程组3 + = 2 = 1中，若2 + 3 2 = 0，则 a 的值为 12 （2022 七下 无棣期末）如表，每一行，的值满足方程 + = 如，当第二行中的 3，2，5 分别对应方程中，的值时，可得3 + 2 = 5根据题意， 的值是 3 2 5 2 3 15 13（2022七下 滨城期末）若关于x、 y的方程组1+ = 12+ = 2的解为 = 1 = 2， 则方程组1 = 1+ 12 = 2+
7、2的解是 14 （2022 七下 环翠期末）小明在解二元一次方程组 = 4 + = 8时，发现系数“*”印刷不清楚数学老师说： “我知道本题标准答案的结果中的 x 和 y 是一对相反数” 原题中的“*”所指的系数为 15 （2022 七下 莱芜期末）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为 7，若把十位上的数字和个位上的数字交换位置，所得的数比原数大 27，则原来的两位数是 16 （2022 七下 新泰期末）淇淇的爸爸骑摩托车载着淇淇在公路上匀速行驶，在 12：00 点时，淇淇看到路边里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和为 7，在 13：00 点时看到路边里程碑上的数仍然是一个两位数
8、， 但十位与个位数字与 12： 00 点时看到的正好互换了， 在 14： 00 点时看到的数比 12：00 点时看到的两位数中间多了个 0则淇淇在 14：00 点时看到路边里程碑上的数为 17 （2022 枣庄）九章算术是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两牛二、羊五，直金八两牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5 头牛、2 只羊共值金 10 两.2 头牛、5 只羊共值金 8 两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得 1 头牛和 1 只羊共值金 两 18 （2022 七下 宁津期末）已知 = 1 = 1是方程 ax+5y=4 的一个解，
9、则 a= 19（2022 七下 龙口期末）小明在求二元一次方程 x+2y=10 的一个正整数解时， 他已求出了 y 的值为 3，则 x 的值应为 . 20 （2022 七下 垦利期末）李明、王超两位同学同时解方程组 + = 2 7 = 9李明解对了，得 = 2 = 3，王超抄错了 m 得 = 2 = 2则原方程组中 a 的值为 三、解答题三、解答题 21 （2022 七下 无棣期末）已知关于 x、 y 的二元一次方程组2 + = 3 = 1的解为 = 1 = 1， 求 2的值 22 （2022 七下 临清期中）已知关于 x，y 的二元一次方程组3 + 5 = + 22 + = 的解适合 + =
10、 5，求 m的值 23 （2021 八上 历下期中）已知 = 1 = 3和 = 0 = 2都是方 = 的解，求 a 与 b 的值 24 （2021 七下 蒙阴期末）若关于 x，y 的方程组 3 = ， + = 的解是 = 1， = 1， 求 | | 的值. 四、综合题四、综合题 25 （2021 八上 枣庄月考）列二元一次方程组解应用题：某大型超市投入 15000 元资金购进 A、B 两种品牌的矿泉水共 600 箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示： 类别/单价 成本价（元/箱） 销售价（元/箱） A 品牌 20 32 B 品牌 35 50 （1）该大型超市购进 A、B 品牌矿泉水各多少箱？ （
11、2）全部销售完 600 箱矿泉水，该超市共获得多少利润？ 26 （2021 招远模拟）烟台苹果享誉全国某水果超市计划从烟台购进“红富士”与“新红星”两种品种的苹果已知 3 箱红富士苹果的进价与 4 箱新红星苹果的进价的和为 396 元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵 6 元 （1）求每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？ （2）该水果超市计划再次购进 100 箱苹果，已知：“红富士”苹果的售价每箱 65 元，“新红星”苹果的售价每箱 60 元，根据市场的实际需求，“红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的 4 倍为使该水果超市售完这 100 箱苹果的总
12、利润最大，该超市应如何进货？并求出最大利润 27 （2021 泰山模拟）某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜 5 个，乙种书柜 2 个，共需要资金 1380 元；若购买甲种书柜 4 个，乙种书柜 3个，共需资金 1440 元 （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2） 若该校计划购进这两种规格的书柜共 24 个， 其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量， 问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 28 （2021 冠县模拟）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价（元/部） 400
13、0 2500 售价（元/部） 4300 3000 该商场计划购进两种手机若干部，共需 15.5 万元，预计全部销售后可获毛利润共 2.1 万元 （毛利润=（售价进价） 销售量） （1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ （2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的 2 倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过 16 万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润 29 （2021 东营模拟）一方有难，八方支援.2020 年初，新冠肺炎爆发，山东某蔬菜基地运输公司计划安排甲、乙
14、两种货车向某疫区运送新鲜蔬菜，两次满载的运输情况如下表： 次数 甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运送吨数 第一次 2 3 19 第二次 3 5 30 （1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨新鲜蔬菜？ （2）目前至少有 36 吨新鲜蔬菜要一次性运输到目的地，该公司拟安排甲、乙两种货车共 8 辆，其中每辆甲种货车一次运送费用为 500 元，每辆乙种货车一次运送费用为 300 元，请问该公司应如何安排甲、乙两种货车使总运送费用最少？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】对于方程组 2 = 57 4 =， 小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是 = 13 = 103 7 (
15、13) 4 (103) = 解得= 11 小亮把常数抄错了，得到的解是 = 9 = 16 (9) 2 (16) = 5 解得 = 3 原方程组为3 2 = 57 4 = 11，解得 = 1 = 1 故答案为：C 【分析】将 = 13 = 103代入7 4 =求出= 11，再将 = 9 = 16代入 2 = 5求出 = 3，可得原方程，再求解即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：3 231， 由得 4xy4，故 D 符合题意 故答案为：D 【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组即可。 3 【答案】A 【解析】【解答】解：设小长方形的宽为 xcm，长为 ycm， 根据题意得 + = 40
16、= 4， 解得 = 8 = 32， 一个小长方形的面积为 32 8=256（cm2） ， 故答案为：A 【分析】设小长方形的宽为 xcm，长为 ycm，根据题意列出方程组 + = 40 = 4求解即可。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得4 + = 5 + 5 + 6 = 1 故答案为：B 【分析】设每只雀重 x 斤，每只燕重 y 斤，根据题意列出方程即可。 5 【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得4 + 2 + = 34 2 + = 19， +得8 + 2 = 22， 解得 = 7， -得4 = 16， 解得 = 4 故答案为：B 【分析】先列出方程组4 + 2 + = 34
17、 2 + = 19，再求解即可。 6 【答案】D 【解析】【解答】解：设甲有羊 x 只，乙有羊 y 只，根据题意得： + 9 = 2( 9) 9 = + 9 故答案为：D 【分析】根据题意先求出 + 9 = 2( 9) 9 = + 9，再作答即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意，将 = 2 = 2和 = 3 = 2代入方程 + = 2得：2 + 2 = 23 2 = 2， 解得 = 4 = 5， 将 = 3 = 2代入 7 = 8得：3 + 14 = 8，解得 = 2， 则 + + = 4 + 5 + (2) = 7， 故答案为：D 【分析】 将 = 2 = 2和 = 3 = 2
18、代入方程 + = 2， 求出 a、 b 的值， 再将 a、 b 的值代入 7 = 8， 求出c 的值，最后计算 a+b+c 即可。 8 【答案】A 【解析】【解答】解：将 = 0 = 1代入 x+2y=2 等式成立，A 符合题意； 将 = 1 =12代入 x+2y=2，得到 0=2，等式不成立，B 不符题意； 将 = 1 = 1代入 x+2y=2，得到-1=2，等式不成立，C 不符题意； 将 = 2 = 2代入 x+2y=2，得到 6=2，等式不成立，D 不符题意； 故答案为：A 【分析】根据二元一次方程的解对每个选项一一判断即可。 9 【答案】A 【解析】【解答】关于 x、y 的方程 x2m
19、n2+ym+n+16 是二元一次方程， 2 2 = 1 + + 1 = 1， 解得 = 1 = 1 故答案为：A 【分析】根据二元一次方程的定义计算求解即可。 10 【答案】A 【解析】【解答】解：设购买了 xt 原料，制成 yt 产品， 依题意得：1.6 10+ 1.6 20 = 160001.2 120+ 1.2 110 = 97200， 解得： = 400 = 300， 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 6000 300-1000 400-16000-97200=1286800（元） 故答案为：A 【分析】设购买了 xt 原料，制成 yt 产品，根据题意列出方程组1.6 10 +
20、1.6 20 = 160001.2 120 + 1.2 110 = 97200，再 求解即可。 11 【答案】3 【解析】【解答】解：3 + = 2 = 1， ，得：2x3ya1， 2 + 3 2 = 0，即 2x3y2， a12， 解得：a3， 故答案为：3 【分析】 利用加减消元法可得 2x3ya1， 再结合2 + 3 2 = 0可得 a12， 再求出 a 的值即可。 12 【答案】10 【解析】【解答】把两组数据分别代入 ax+by=t 得： 3 + 2 = 52 + 3 = 15 ， 解得： = 3 = 7 b-a=7-（-3）=10 故答案为：10 【分析】根据题意列出方程组3 +
21、2 = 52 + 3 = 15，求出 a、b 的值，再将 a、b 的值代入计算即可。 13 【答案】 = 2 = 2 【解析】【解答】解：方程组1 = 1+ 12 = 2+ 2可变形为1( 1) = 12( 1) = 2， 关于、的方程组1+ = 12+ = 2的解为 = 1 = 2， 1 = 1 = 2， 解得 = 2 = 2， 即方程组1 = 1+ 12 = 2+ 2的解是 = 2 = 2， 故答案为： = 2 = 2 【分析】将方程组1 = 1+ 12 = 2+ 2变形为1( 1) = 12( 1) = 2，再根据方程组1+ = 12+ = 2的解为 = 1 = 2，可得 1 = 1 =
22、 2，再求出 x、y 的值即可。 14 【答案】5 【解析】【解答】解：设原题中的“*”所指的系数为 ， x 和 y 是一对相反数， = ， 把 = 代入 = 4得： = 4， = 2， = 2， 方程组的解为 = 2 = 2， 代入 + = 8得：2 2 = 8， = 5. 故答案为：5 【分析】根据题意可得 = ，再将其代入 x-y=4 求出 x、y 的值，再将 x、y 的值代入 + = 8求出 a 的值即可。 15 【答案】25 【解析】【解答】解：设原来的两位数十位上的数字为 x，个位上的数字为 y， 依题意得：710 (10)27， 解得： = 2 = 5， 10 xy10 2525
23、， 即原来的两位数是 25 故答案为：25 【分析】设原来的两位数十位上的数字为 x，个位上的数字为 y，根据题意列出方程组710 (10)27求解即可。 16 【答案】106 【解析】【解答】解：设淇淇在 12：00 点时看到的两位数的十位数字为 x，个位数字为 y， 依题意可得：10y+x-（10 x+y）=100 x+y-（10y+x） y=6x， 又x，y 均为一位整数， x=1，y=6， 100 x +y=100 1+ 6=106 故答案为：106 【分析】 设淇淇在 12： 00 点时看到的两位数的十位数字为 x， 个位数字为 y， 根据题意列出方程 10y+x-（10 x+y）=
24、100 x+y-（10y+x）求出 x、y 的值，即可得到答案。 17 【答案】187 【解析】【解答】解：设每头牛 x 两，每只羊 y 两， 根据题意，可得5 + 2 = 10，2 + 5 = 8， 7 + 7 = 18， + =187， 1 头牛和 1 只羊共值金187两， 故答案为：187 【分析】先求出5 + 2 = 10，2 + 5 = 8，再求出 + =187，最后求解即可。 18 【答案】9 【解析】【解答】解：把 x、y 的值代入原方程，可以得到： a-5=4， a=9， 故答案为：9 【分析】先求出 a-5=4，再解方程即可。 19 【答案】4 【解析】【解答】由已知得：二元
25、一次方程 x+2y=10 的一组解中， = 3 把 = 3代入原方程，可得： + 2 3 = 10 解得： = 4 故答案为：4 【分析】将 y=3 代入 x+2y=10 求出 x 的值即可。 20 【答案】-5 【解析】【解答】把 = 2 = 3和 = 2 = 2代入 ax+by=2 得： 2 + 3 = 22 2 = 2， +得：b=4， 把 b=4 代入得：2a+12=2， 解得：a=-5 故答案为：-5 【分析】利用加减消元法解方程组即可。 21 【答案】解：把 = 1 = 1代入方程组2 + = 3 = 1，得2 = 3 + = 1， 得： 22， 2的值为 2 【解析】【分析】将
26、= 1 = 1代入2 + = 3 = 1可得2 = 3 + = 1，再利用加减消元法可得 2的值。 22 【答案】解： 3 + 5 = +22 + = -得， + 4 = 2， 联立得 + = 5 + 4 = 2 解得 = 6 = 1 = 2 + = 12 1 = 11 【解析】【分析】先利用加减消元法可得 + 4 = 2，再联立 + = 5可得 + = 5 + 4 = 2，再利用加减消元法求出 x、y 的值，最后将 x、y 的值代入计算即可。 23 【答案】解：由 = 1 = 3和 = 0 = 2都是方 = 的解， 可得： 3 = 0 (2) = ， 解得： = 5 = 2， a 的值是 5
27、，b 的值是 2 【解析】【分析】根据题意先求出 3 = 0 (2) = ， 再求解即可。 24 【答案】解：将 = 1， = 1 代入方程组 3 = ， + = ， 可得 2 = ，1 + = ， ， 所以 = 2， = 3， 所以 | | = |2 3| = 1 【解析】【分析】根据二元一次方程组的解的定义和解二元一次方程组即可得解。 25 【答案】（1）解：设该大型超市购进 A 品牌矿泉水 x 箱，B 品牌矿泉水 y 箱， 依题意得： + = 60020 + 35 = 15000， 解得： = 400 = 200 答：该大型超市购进 A 品牌矿泉水 400 箱，B 品牌矿泉水 200 箱
28、 （2）解：(32 20) 400 + (50 35) 200 = 7800（元） 答：全部销售完 600 箱矿泉水，该超市共获得 7800 元利润 【解析】【分析】 （1）设该大型超市购进 A 品牌矿泉水 x 箱，B 品牌矿泉水 y 箱，根据题意列出方程组 + = 60020 + 35 = 15000求解即可； （2）根据总利润=A 品牌利润+B 品牌利润列出算式(32 20) 400 + (50 35) 200 = 7800求解即可。 26 【答案】（1）解：设每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是 x 元、y 元， = 63 + 4 = 396 ， 解得： = 60 =
29、 54 ， 答：每箱“红富士”苹果的进价与每箱“新红星”苹果的进价分别是 60 元，54 元； （2）解：设购买“红富士”苹果 x 箱，获得利润为 w 元，由题意得： = (65 60) + (60 54)(100 ) = + 600 ， = 1 0 ， 随 x 的增大而减小， “红富士”苹果的数量不低于“新红星”苹果数量的 4 倍 4(100 ) ， 80 ， 当 = 80 时，w 取得最大值 此时 = + 600 = 80 + 600 = 520 （元 ) ， 100 = 100 80 = 20 （箱 ) ， 答： 为使该水果超市售完这 100 箱苹果的总利润最大， 该超市应购进“红富士”
30、与“新红星”两种品种的苹果各 80 箱和 20 箱最大利润为 520 元 【解析】【分析】 （1）根据 3 箱红富士苹果的进价与 4 箱新红星苹果的进价的和是 396 元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元， 可以列出相应的二元一次方程组， 从而可以求得每箱“红富士”苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少钱； （2）设购买“红富士”苹果 x 箱，获得总利润为 w 元，根据总利润=“红富士”苹果的利润+“新红星”苹果的利润，可以写出 w 与 x 的函数关系式，根据一次函数的性质即可得出结论。 27 【答案】（1）解：设甲种书柜单价为 元，乙种书柜的单价为 元，由题意得： 5
31、+ 2 = 13804 + 3 = 1440 解得 = 180 = 240 答：甲种书柜单价为 180 元，乙种书柜的单价为 240 元 （2）解：设购买甲种书柜 个，则购买乙种书柜 (24 ) 个，设所需资金为 元 由题意得： 24 解得 12 = 180 + 240(24 ) = 60 + 5760 = 60 0 ， w 随 a 的增大而增大， 当 6 时，w 的值最小，从而该公司安排甲种货车 6 辆，乙种货车 2 辆时总运送费用最少 【解析】【分析】 （1）设甲、乙两种货车每次满载分别能运输 x 吨和 y 吨新鲜蔬菜，根据题意列出方程组，接的 x、y 的值； （2）设安排甲种货车 a 辆，乙种货车 (8 ) 辆，根据题意列出不等式，解得 a 的值，设总运送费用为 w 元，则 = 500 + 300(8 ) = 200 + 2400 ，因为200 0，得出 w 随 a 的增大而增大，即可得出答案