1、 专题专题 1111 分式方程分式方程 一、单选题一、单选题 1 （2022 济宁）一辆汽车开往距出发地 420km 的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行 10km，则提前 1 小时到达目的地设这辆汽车原计划的速度是 x km/h，根据题意所列方程是（ ） A420=42010+ 1 B420+ 1 =420+10 C420=420+10+ 1 D420+ 1 =42010 2 （2022 潍坊）观察我国原油进口月度走势图，2022 年 4 月原油进口量比 2021 年 4 月增加 267 万吨，当月增速为 6.6%（计算方法：2674036 100% 6.6%）.2022 年 3 月当月增
2、速为14.0%，设 2021 年 3月原油进口量为 x 万吨，下列算法正确的是（ ） A42714271 100% = 14.0% B42714271 100% = 14.0% C4271 100% = 14.0% D4271 100% = 14.0% 3 （2022 泰安）已知方程34 =14，且关于 x 的不等式 只有 4 个整数解，那么 b 的取值范围是（ ） A2 3 B3 4 C2 3 D3 4 4 （2022 台儿庄模拟）若关于 x 的分式方程22= 3的解是非负数，则的取值范围是（ ） A 4 Bb6 且 b4 Cb6 且 b4 Db6 5 （2022 淄川模拟）关于 x 的分式
3、方程+6= 1，下列说法正确的是（ ） A方程的解是 xm6 B当 m6 时，方程的解是负数 C当 m6 时，方程的解是正数 D以上说法均不符合题意 6 （2022 泰安模拟）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到 900 里外的城市，需要的时间比规定时间多 1 天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少 3 天已知快马的速度是慢马的 2 倍，求规定时间设规定时间为 x 天，则可列方程为（ ） A900+1=900+3 2 B900+1 2 =900+3 C900+1 2 =9003 D900+1=9003 2 7 （2022 济宁模拟）关于 x 的方程2
4、12=2+ 1有增根，则 m 的值是（ ） A0 B2 或 3 C2 D3 8 （2022 芝罘模拟）若关于 x 的方程22+2= 2的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） A 6 C 6且 10 D 6且 2 9 （2022 乐陵模拟）某工程队在西城路改造一条长 3000 米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行道 x 米，则可得方程300010=3000+ 15，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为（ ） A每天比原计划少铺设 10 米，结果延迟 15 天完成 B每天比原计划多铺设 10 米，结果延迟 15 天完成 C每天比原计划少铺设 10
5、米，结果提前 15 天完成 D每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 15 天完成 10 （2022 莒南模拟）若关于 x 的方程1+ 1 =3+1的解为整数解，则满足条件的所有整数 a 的和是（ ） A6 B0 C1 D9 二、填空题二、填空题 11 （2022 济南）代数式3+2与代数式21的值相等，则 x 12 （2022 崂山模拟）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗某公司计划制作 48 盒粽子送给福利院，为了尽快让福利院拿到粽子，在实际加工过程中加快了制作速度，平均每天多制作了 6 盒，因此提前 4 天完成任务，设原计划 x 天完成，那么根据
6、题意可以列出的方程为： 13 （2022 郯城模拟）分式方程+23+13= 1的解是 14 （2022 郯城模拟）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资 9000 元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了 20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了 3000 元，根据题意，则原计划每间直播教室的建设费用是 15 （2022 长清模拟）方程22=11的解为 16 （2022 济南模拟）分式方程3+1=1 1的解是 17 （2022 惠民模拟）关于 x 的方程2 1 =32的解为 18 （2022 寿光模拟）为提升晚高峰车辆的通行速度，某市设置潮汐车道，
7、首条潮汐车道从市政府广场到人民公园，全程约 3 千米该路段实行潮汐车道设置后，在晚高峰期间，通过该路段的车辆的行驶 速度平均提升 25%，行驶时间平均减少 2 分钟设实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶 x 千米，则可列方程为 19 （2022 莱芜模拟）代数式+1与代数式12的和为 1，则 x= 20 （2022 青岛模拟）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫， 帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场 与去年相比，今年这种水果的产量增加了 1000 千克，每千克的平均批发价比去年降低了 1 元，批发销售总额比去年增加了 20%已知去年这种水果批发销售总额为 10000 元，则
8、这种水果今年每千克的平均批发价是 元 三、计算题三、计算题 21 （2022 章丘模拟）解方程：21 1 =41. 22 （2022 泗水模拟）解方程：22= 1 32 23 （2021 博山模拟）解方程： 1=32 四、综合题四、综合题 24（2022 菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球， 已知每个篮球进价是每个排球进价的 1.5 倍，若用 3600 元购进篮球的数量比用 3200 元购进排球的数量少 10 个 （1）篮球、排球的进价分别为每个多少元? （2） 该健身器材店决定用不多于 28000 元购进篮球和排球共 300 个进行销售， 最多可以购买多少个篮球? 25 （2022 聊
9、城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造在改造一段长 3600 米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了 20%，按这样的进度可以比原计划提前 10 天完成任务 （1）求实际施工时，每天改造管网的长度； （2）施工进行 20 天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过 40 天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？ 26 （2022 枣庄模拟）以下是小明同学解方程13=13 2的过程 方程两边同时乘(x-3)，得 1-x=-1-2 第一步 解得 x=4 第二步 检验：当 x=4 时，x-3 =4-3 =10. 第三步
10、 所以，原分式方程的解为 x=4. 第四步 （1）小明的解法从第 步开始出现错误 （2）写出解方程13=13 2的正确过程 27 （2022 崂山模拟）A、B 两地相距 19.2km，甲、乙两人相向而行，两人的运动速度保持不变。甲从A 地向 B 地出发，当甲运动一段时间后，乙从 B 地向 A 地出发，甲、乙两人同时运动时他们之间的距离 y（km）与乙运动时间 t（h）满足一次函数关系式，其图象如图所示 （1）根据图像求 y 与 t 的函数关系式，并求出两人的速度和； （2）已知甲由 A 地运动到 B 地所用时间是乙由 B 地运动到 A 地所用时间的65倍求甲由 A 地运动到 B 地所用时间是多
11、少小时？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：设这辆汽车原计划的速度是 x km/h，则实际速度为( + 10)km/h， 根据题意所列方程是420=420+10+ 1 故答案为：C 【分析】根据 一辆汽车开往距出发地 420km 的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行 10km，则提前 1 小时到达目的地 ，列方程求解即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】解：设 2021 年 3 月原油进口量为 x 万吨， 则 2022 年 3 月原油进口量比 2021 年 3 月增加（4271-x）万吨， 依题意得：4271100% = 14.0%， 故答案为：D 【分析】 设
12、 2021 年 3 月原油进口量为 x 万吨， 则 2022 年 3 月原油进口量比 2021 年 3 月增加 （4271-x）万吨，根据题意即可列出方程。 3 【答案】D 【解析】【解答】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即 a2-3a-4=0， 分解因式得： （a-4） （a+1）=0， 解得：a=-1 或 a=4， 经检验 a=4 是增根，分式方程的解为 a=-1， 当 a=-1 时，由 axb 只有 4 个整数解，得到 3b4 故答案为：D 【分析】先求出分式方程的解，再根据不等式 只有 4 个整数解即可得到 3b4，从而可得答案。 4 【答案】B 【解析】【解答】解：去
13、分母得，2xb3x6， x6b， x0， 6b0， 解得，b6， 又x20， x2， 即 6b2，b4， 则 b 的取值范围是 b6 且 b4， 故答案为：B 【分析】先求出分式方程的解，再根据分式方程的解为非负数和分式有意义的条件列出不等式组求解即可。 5 【答案】C 【解析】【解答】解：+6= 1， 去分母得： + 6 = ， 解得： = 6， 当 + 6 = 0，即 = 6时，方程产生增根， 当 6时，方程的解是 xm6，故 A 不符合题意； 当 m6 时， = 6 0， 当 = 6时，方程产生增根， 6 6，即 0， 当 m6 时，方程的解是正数，故 C 符合题意；D 不符合题意； 故
14、答案为：C 【分析】先求出分式方程的解，再逐项判断即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：设规定时间为 x 天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天， 由题意得：900+1 2 =9003 故答案为：C 【分析】根据“ 所需的时间比规定时间少 3 天 ”列出方程900+1 2 =9003即可。 7 【答案】D 【解析】【解答】解：去分母得：2 1 = + 2， = + 1， 关于 x 的方程212=2+ 1有增根， x2=0， 解得：x2 = 2 + 1 = 3 故答案为：D 【分析】利用分式方程的增根的定义求解即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意可知
15、 解关于 x 的方程22+2= 2得： = 3 2， 关于 x 的方程22+2= 2的解为正数， 3 2 2 03 20 ， 解得： 6且 2 故答案为：D 【分析】先求出分式方程的解，再根式分式的方程的解为正数列出不等式求解即可。 9 【答案】D 【解析】【解答】解：实际每天改造人行道 x 米， （x10）表示原计划每天改造人行道的长度， 300010表示原计划改造人行道所需时间， 3000表示实际改造人行道所需时间 又300010=3000+15， 每天比原计划多铺设 10 米，结果提前 15 天完成 故答案为：D 【分析】 先根据题意可得300010表示原计划改造人行道所需时间， 300
16、0表示实际改造人行道所需时间，再根据题意列出方程300010=3000+ 15即可得到答案。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：分式方程去分母得：ax1x3， 解得：x41， 由分式方程的解为整数解，得到 a1 1，a1 2，a1 4， 解得：a2，0，3，1，5，3（舍去） ， 则满足条件的所有整数 a 的和是 9， 故答案为：D 【分析】先求出分式方程的解 x41，再根据分式的方程的解为整数可得 a1 1，a1 2，a1 4，最后求出 a 的值即可。 11 【答案】7 【解析】【解答】解：代数式3+2与代数式21的值相等， 3+2=21， 去分母 3( 1) = 2( + 2)， 去括
17、号号 3 3 = 2 + 4， 解得 = 7， 检验：当 = 7时，( + 2)( 1) 0， 分式方程的解为 = 7 故答案为：7 【分析】先求出3+2=21，再解方程求解即可。 12 【答案】48448= 6 【解析】【解答】解：依题意得，48448= 6， 故答案为：48448= 6 【分析】设原计划 x 天完成，根据题意直接列出方程48448= 6即可。 13 【答案】x=1 【解析】【解答】解：+23+13= 1， ( + 2) 1 = 3 ， x+2-1=3-x， 解得：x=1， 检验：当 x=1 时，3-x0， x=1 是原方程的根， 故答案为：x=1 【分析】利用去分母将分式方
18、程化为整式方程，解出整式方程并检验即得. 14 【答案】500 元 【解析】【解答】解：设原计划每间直播教室的建设费用是 x 元，则实际每间建设费用为 1.2x 元，根据题意得：9000+30001.290002， 解得：x=500， 经检验：x=500 是原方程的解， 所以，原计划每间直播教室的建设费用是 500 元， 故填：500 元 【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是 x 元，则实际每间建设费用为 1.2x 元，根据“实际比原计划多建设了两间教室”列出方程并解之即可. 15 【答案】 = 2 【解析】【解答】解：去分母得：x=2， 经检验 x=2 是原方程的解， 方程的解为 x=2
19、， 故答案为：x=2 【分析】利用分式方程的解法求解即可。 16 【答案】2 【解析】【解答】解：去分母得：3（x1）x（x+1）（x+1） （x1） ， 整理得：3x3x2+xx2+1， 解得：x2， 检验：把 x2 代入得： （x+1） （x1）0， 分式方程的解为 x2 故答案为：2 【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为 1 并检验即可。 17 【答案】 =45 【解析】【解答】解：去分母得：( 2)2 ( 2) = 3， 整理得：5 = 4， 解得： =45， 经检验：( 2) =45 (45 2) = 2425 0， =45是原方程的解 故答案为： =45
20、【分析】利用分式方程的解法求解即可。 18 【答案】33(1+25%)=130 【解析】【解答】由题意得，实施潮汐车道之前，在晚高峰期间通过该路段的车辆平均每小时行驶 x 千米，则实行潮汐车道后，在晚高峰期间通过该路段的车辆的行驶速度为(1+25%)x 千米/小时，则列出方程： 33(1+25%)=130， 故答案为：33(1+25%)=130 【分析】 根据“通过该路段的车辆的行驶速度平均提升 25%， 行驶时间平均减少 2 分钟”列出方程即可。 19 【答案】1 【解析】【解答】解：代数式+1与代数式12的和为 1， +1+12= 1， 去分母得， ( + 1)( 2) + = ( 2)，
21、 去括号得， 2 2 + = 2 2， 移项并合并同类项得， 2 = 2， 解得 = 1， 经检验， = 1是原方程的解， = 1， 故答案为：1 【分析】根据题意列出方程+1+12= 1，再求解即可。 20 【答案】4 【解析】【解答】解：设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为（x+1）元 今年的批发销售总额为 10000（1+20%）=12000 元 1200010000+1= 1000 整理得 x2-x-12=0 解得 x=4 或 x=-3 经检验 x=4 或-3 都是分式方程的解（x=-3 不合题意，舍去） 故这种水果今年每千克的平均批发价是 4 元 故答案为：4
22、 【分析】设这种水果今年每千克的平均批发价是 x 元，则去年的批发价为（x+1）元，根据题意列出方程1200010000+1= 1000，再求解即可。 21 【答案】解：21 1 =41， 去分母，得 2x-(x-1)=-4， 去括号，得 2x-x+1=-4， 移项、合并同类项，得 x= -5， 经检验，x= -5 是原方程的根 【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为 1 并检验即可。 22 【答案】解：解方程两边同乘 2得2 = 2 + 3， 解得 = 1， 经检验得 = 1是原方程得解 【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为
23、1 并检验即可。 23 【答案】解：方程两边同乘 ( 2) ，得 2 = 3 ， 移项及合并同类项，得 2 = 2 ， 系数化为 1，得 = 1 ， 经检验， = 1 是原分式方程的解， 原分式方程的解是 = 1 【解析】【分析】将分式方程化为整式方程求出 = 1 ， 再检验求解即可。 24 【答案】（1）解：设每个排球的进价为 x 元，则每个篮球的进价为 1.5x 元 根据题意得36001.5=3200 10 解得 x80 经检验 x80 是原分式方程的解 1.5x120（元） 篮球的进价为 120 元，排球的进价为 80 元 答：每个篮球的进价为 120 元，每个排球的进价为 80 元 （
24、2）解：设该体育用品商店可以购进篮球 a 个，则购进排球（300a）个， 根据题意，得 120a+80（300a）28000 解得 a100 答：该健身器材店最多可以购进篮球 100 个 【解析】【分析】 （1）先求出 36001.5=3200 10，再解方程即可； （2）根据题意先求出 120a+80（300a）28000，再求解即可。 25 【答案】（1）解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网(1 + 20%)米， 由题意得：36003600(1+20%)= 10， 解得： = 60， 经检验， = 60是原方程的解，且符合题意 此时，60 （1+20%）=72（米） 答：实
25、际施工时，每天改造管网的长度是 72 米； （2）解：设以后每天改造管网还要增加米， 由题意得：(40 20)(72 + ) 3600 72 20， 解得： 36 答：以后每天改造管网至少还要增加 36 米 【解析】【分析】 （1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网(1 + 20%)米，根据题意列出方程36003600(1+20%)= 10求解即可； （2）设以后每天改造管网还要增加米，根据题意列出不等式(40 20)(72 + ) 3600 72 20求解即可。 26 【答案】（1）以 （2）解：方程两边同时乘（x3） ，得 1x12x6， 解得 x4. 检验：当 x4 时，x
26、30. 所以，原分式方程的解为 x4. 【解析】【分析】利用分式方程的解法求解即可。 27 【答案】（1）解：设 y 与 t 的函数关系式为 = + ，则 = 162 + = 0，解得 = 16 = 8， y 与 t 的函数关系式为 = 8 + 16； 两人的速度和为：16 2 = 8（km/h） ； （2）解：设甲的速度为甲，乙的速度为乙，则 19.2甲=19.2乙65， 由（1）可知甲+ 乙= 8， 解得：甲=4011，乙=4811； 经检验，甲=4011，乙=4811是原方程的解； 甲由 A 地运动到 B 地所用时间是 = 19.2 4011= 5.28（小时） ； 【解析】【分析】 （1）设 y 与 t 的函数关系式为 = + ，再将点（2，0）和（0，16）代入求出 k、b的值即可； （2）设甲的速度为甲，乙的速度为乙，根据题意列出方程19.2甲=19.2乙65，再结合甲+ 乙= 8求出答案即可