1、 专题专题 10 10 一元二次方程一元二次方程 一、单选题一、单选题 1已知， 关于 x 的分式方程 +4+34= 3 有增根， 且 2+ 2+ 2 6 + 11 = 0 ， 则 + 的值是（ ） A1 B2 C3 D4 2在平面直角坐标系中，如果点 P 的横坐标和纵坐标相等，则称点 P 为和谐点例如点（1，1） ， （13，13） ， （2，2） ，都是和谐点若二次函数 yax2+4x+c（a0）的图象上有且只有一个和谐点（32，32） ，当 0 xm 时，函数 yax2+4x+c34（a0）的最小值为3，最大值为 1，m 的取值范围是（ ） Am4 Bm2 C2m4 D2m4 3 （20
2、22 莘县模拟）已知关于 x 的一元二次方程2 ( + 2) +4= 0有两个不相等的实数根 x1，x2若11+12= 4，则 m 的值是（ ） A2 B1 C2 或1 D不存在 4 （2022 济南模拟）对于一个函数：当自变量 x 取 a 时，其函数值 y 也等于 a，我们称 a 为这个函数的不动点 若二次函数yx2+2x+c （c为常数） 有两个不相等且都小于1的不动点， 则c的取值范围是 （ ） Ac3 B3c2 C2c14 Dc14 5 （2022 汶上模拟）关于的一元二次方程2 4 + = 0有两个相等的实数根，点(1，1)、(2，2)是反比例函数 =的图象上的两个点，若1 2 0，
3、则1、2的大小关系为（ ） A1 2 C1= 2 D不能确定 6 （2022 聊城）用配方法解一元二次方程32+ 6 1 = 0时，将它化为( + )2= 的形式，则 a+b的值为（ ） A103 B73 C2 D43 7（2022 日照模拟）已知、 是一元二次方程2+ 2022 = 0的两个实数根， 则代数式2+ 2 + 的值等于（ ） A2019 B2020 C2021 D2022 8 （2022 东明模拟）直线 = 不经过第二象限，则关于 x 的方程2 2 + 1 = 0实数解的个数是（ ） A0 个或 1 个 B0 个或 2 个 C1 个或 2 个 D0 个或 1 个或 2 个 9 （
4、2022 梁山模拟）已知1、2是方程2+ 6 + 3 = 0的两个实数根，则21+12的值等于（ ） A6 B6 C10 D10 10 （2022 曹县模拟）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 没有实数根，则 m 的值可以是（ ） A1 B0 C1 D2 二、填空题二、填空题 11 （2022 济南模拟）已知 xm 是一元二次方程 x2x10 的一个根，则代数式 m2m+2021 的值为 12 （2022 临淄模拟）若实数 ，且 a、b 满足 2 5 + 3 = 0 ， 2 5 + 3 = 0 ，则代数式 2 (6 ) 的值为 13 （2022 济南模拟）已知 x=m 是一元二次方程
5、x2x1=0 的一个根，则代数式 m2m+2021 的值为 14 （2022 德城模拟）若直角三角形的两边长分别是一元二次方程 x27x120 的两个实数根，则该直角三角形的面积是 15（2022 莱芜模拟）某学区房房价连续两次上涨， 由原来的每平方米 10000 元涨至每平方米 12100 元，设每次涨价的百分率相同，则涨价的百分率为 16 （2022 金乡县模拟）2021 年 3 月 25 日，国家卫健委新闻发言人米锋在发布会上表示，疫情仍在全球扩散蔓延，但我国疫情已得到有效控制新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有 169 人患新冠肺炎（假设每轮传染
6、的人数相同） ，则每轮传染中平均每个人传染了 人 17 （2022 威海）若关于 x 的一元二次方程2 4 + 1 = 0有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 18 （2022 鄄城模拟）在平面直角坐标系中，若直线 = + 不经过第一象限，则关于 x 的方程2+ + 1 = 0的实数根的个数为 19 （2022 长清模拟）如图，邻边不等的矩形花园 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙（墙足够长） ，另外三边所围的栅栏的总长度是 18m，若矩形的面积为 36m2，则 AB 的长度是 m 20 （2022 博山模拟）若方程 2+ + = 0 （其中 a，b，c 为常数且 0 ）的两个实数
7、根分别为 1 ， 2 ，则 1+ 2= ， 12= （用 a，b，c 表示） 三、综合题三、综合题 21 （2022 烟台模拟）为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店七月份销售 256 袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售 量达到 400 袋 （1）求八、九这两个月销售量的月平均增长率； （2）若农产品每袋成本价 25 元，原售价为每袋 40 元，该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价 1 元， 销售量可增加 5 袋， 当农产品每袋降价多少元时， 这种农产品在十月份可获利 4250元？ 22 （2022 潍城模
8、拟）已知关于 x 的一元二次方程2 6 + 9 1 = 0有1，2两个实数根 （1）求 m 的取值范围； （2）若1= 1，求2 23 （2022 东营模拟）某文具店经营某种品牌的文具盒，购进时的单价是 30 元，根据统计调查：在一段时间内，销售单价是 40 元时，文具盒销售量是 600 个，而销售单价每涨 2 元，就会少售出 20 个文具盒. （1）不妨设该种品牌文具盒的销售单价为元（ 40） ，请你分别用的代数式来表示销售量个和销售该品牌文具盒获得利润元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 销售量（个） 销售文具盒获得利润（元） （2） 在 （1） 问条件下， 若该文具店获得了 600
9、0 元销售利润， 求该文具盒销售单价应定为多少元？ （3）在（1）问条件下，若厂家规定该品牌文具盒销售单价不低于 44 元，且文具店要完成不少于380 个的销售目标，求该文具店销售该品牌文具盒获得的最大利润是多少元？ 24 （2022 济宁模拟）已知关于 x 的一元二次方程2+ 2 + = 0 （1）当 = 0时，求方程的根； （2）当 = 3时，判断方程的根的情况 25 （2021 烟台）直播购物逐渐走进了人们的生活某电商在抖音上对一款成本价为 40 元的小商品进行直播销售，如果按每件 60 元销售，每天可卖出 20 件通过市场调查发现，每件小商品售价每降低 5元，日销售量增加 10 件 （
10、1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件 62.5 元为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 26 （2021 临淄模拟）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进人普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2016 年底全市汽车拥有量为 15 万辆，而截止到 2018 年底，全市的汽车拥有量已达 21.6 万辆. （1）求 2016 年底至 2018 年底该市汽车拥有量的年平均增长率； （2
11、） 为了保护环境， 缓解汽车拥堵状况， 从 2019 年起， 该市交通部门拟控制汽车总量， 要求到 2020年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆； 另据估计， 该市从 2019 年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆. 27 （2021 薛城模拟）阅读材料：已知方程 p2p10，1qq20 且 pq1，求 +1 的值 解：由 p2p10，及 1qq20 可知 p0， 又pq1， p 1 1qq20 可变形为 (1)21 10， 根据 p2p10 和 (1)21 10 的特征， p、 1
12、 是方程 x2x10 的两个不相等的实数根， 则 p+ 1 ，即 +1= 1 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答 已知：2m25m10， 12+5 2 = 0 ，且 mn，求： （1）mn 的值； （2）12+12 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】B 【解析】【解答】解： +4+34= 3 ， 解得 = 6 分式方程有增根， x-4=0， 即 x=4， 6-m=4， 解得 m=2 当 m=2 时， 22+ 2+ 4 6 + 11 = 0 ， 即 2( + 1)2+ ( 3)2= 0 ， 解得 a=-1，b=3 则 a+b=-1+3=2 故答案为：B 【分析】先根据分式方程有增根求出
13、 m 的值，再将 m 的值代入2+ 2+ 2 6 + 11 = 0可得2( + 1)2+ ( 3)2= 0，再求出 a、b 的值，最后代入计算即可。 2 【答案】C 【解析】【解答】解：将点(32，32)代入 = 2+ 4 + 得：94 + 4 32+ =32，即9 + 4 = 18， 二次函数 = 2+ 4 + ( 0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)， 二次函数 = 2+ 4 + ( 0)与 = 有且只有一个交点， 关于的一元二次方程2+ 4 + = 只有一个实数根， 此方程根的判别式 = 9 4 = 0，即4 = 9， 联立9 + 4 = 184 = 9，解得 = 1 = 94，
14、 则函数 = 2+ 4 + 34为 = 2+ 4 3 = ( 2)2+ 1， 当 = 3时，2+ 4 3 = 3，解得 = 0或 = 4， 画出二次函数 = 2+ 4 3的图象如下： 则当 2时，随的增大而减小；当 = 2时，取得最大值，最大值为 1， 当0 时，函数 = 2+ 4 3的最小值为3，最大值为 1， 2 4， 故答案为：C 【分析】将点(32，32)代入 yax2+4x+c 中，可得9 + 4 = 18，由于 = 2+ 4 + ( 0)的图象上有且只有一个和谐点(32，32)，可得二次函数 = 2+ 4 + ( 0)与 = 有且只有一个交点， 即得关于的一元二次方程2+ 4 +
15、= 只有一个实数根， 从而得出 = 9 4 = 0， 联立可得 a=-1，c=94，可得函数 = 2+ 4 + 34为 = 2+ 4 3 = ( 2)2+ 1，画出函数图象，根据函数图象及最小值为3，最大值为 1，可确定 m 的范围. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程 mx2(m+2)x+4=0 有两个不相等的实数根 x1、x2， 0 = ( + 2)24 4 0， 解得：m1 且 m0， x1、x2是方程 mx2(m+2)x+4=0 的两个实数根， 1+ 2=+2，12=14， 11+12= 4， +214= 4， m=2 或1， m1， m=2 故答案为：A 【
16、分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得1+ 2=+2，12=14，再结合11+12= 4可得+214= 4，最后求出 m 的值即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：设二次函数 yx2+2x+c 有两个不相等的不动点为 x1，x2， x1，x2是方程 x2+2x+c=x 的两个根， x2+x+c=0， =1-4c0， c14， 两个不动点均小于 1， 如图，画出二次函数的图象， 当 x=1 时，y= x2+2x+c=2+c0， c-2， -2c14. 故答案为：C. 【分析】根据不动点的定义得出 x1，x2是方程 x2+2x+c=x 的两个根，根据根的判别式得出 c14，再根据两个不动点
17、均小于 1，得出当 x=1 时，y0，得出 c-2，即可得出 c 的取值范围. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：一元二次方程 x24x+m0 有两个相等的实数根， 164m0， 解得 m4， m0， 反比例函数 y的图象在一三象限，在每个象限 y 随 x 的增大而减少， x1x20， y1y2， 故答案为：B 【分析】先利用一元二次方程根的判别式求出 m=4，再利用反比例函数的性质求解即可。 6 【答案】B 【解析】【解答】解：32+ 6 1 = 0， 32+ 6 = 1，2+ 2 =13， 则2+ 2 + 1 =13+ 1，即( + 1)2=43， = 1， =43， + =73 故答案
18、为：B 【分析】利用配方法的计算方法将原方程变形为( + 1)2=43，再利用待定系数法可得 a、b 的值，最后将 a、b 的值代入计算即可。 7 【答案】C 【解析】【解答】解： 是一元二次方程2+ 2022 = 0的实数根， 2+ 2022 = 0， 2+ = 2022， 2+ 2 + = 2+ + + = 2022 + + ， ，是一元二次方程2+ 2022 = 0的两个实数根， + = 1， 2+ 2 + = 2022 1 = 2021 故答案为： 【分析】根据一元二次方程的根可得2+ = 2022，再利用一元二次方程根与系数的关系可得 + = 1，再将其代入2+ 2 + 计算即可。
19、8 【答案】D 【解析】【解答】解：直线 = 不经过第二象限， 0， 0， 当 = 0时，关于的方程2 2 + 1 = 0是一元一次方程，解为 =12， 当 0时，关于的方程2 2 + 1 = 0是一元二次方程， = (2)2 4 = 4(1 )， 当0 0，方程有两个不相等的实数根； 当 = 1时，则= 0，方程有两个相等的实数根； 当 1时，则 0 解得：m5 故答案为：m5 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。 18 【答案】1 或 2 【解析】【解答】解：直线 = + 不经过第一象限， 0， 当 = 0时，方程2+ + 1 = 0是一次方程，有一个根， 当 0， 关于
20、 x 的方程2+ + 1 = 0有两个不相等的实数根， 故答案为：1 或 2 【分析】 根据一次函数的图象与系数的关系求出 m 的取值范围， 再分两种情况当 = 0时， 当 0； （2）解：方程有一个为1= 1， 6 + 9 1 = 0， 解得 =14， 14232 +54= 0即2 6 + 5 = 0， 解得1= 1，2= 5， 2= 5 【解析】【分析】 （1）利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）将1= 1代入2 6 + 9 1 = 0求出 m 的值，再求解一元二次方程即可。 23 【答案】（1）100-10 x；102+ 1300 30000 （2）解：依题意得， = 102+
21、1300 30000 = 6000， 解得，1= 40，2= 90， 40， = 90， 答：该文具店获得了 6000 元销售利润，求该文具盒销售单价应定为 90 元 （3）解：依题意得， 441000 10 380， 解得：44 62，且为整数， 10 0， 抛物线开口向下且对称轴为 = 65， 当44 62时，随的增大而增大， 当 = 62时，利润最大为 12160 元， 答：该文具店销售该品牌文具盒获得的最大利润是 12160 元. 【解析】【解答】解： （1）由题意得： = 600 ( 40) 202= 1000 10， = ( 30) = ( 30)(1000 10) = 102+
22、1300 30000 【分析】 （1）根据销售量 y=600-20 （x-40） 2，再根据利润=销售量 每件的利润，即可解决问题； （2）当 w=6000 元时，得到关于 x 的一元二次方程，解方程得出根取大于 40 的值即可； （3）首先根据题意确定自变量的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题。 24 【答案】（1）解：根据题意得：当 = 0时， 原方程为：x2+2x0， x（x+2）0， x0 或 x+20 解得：x10，x22 （2）解：解根据题意得：当 = 3时， 原方程为：x2+2x+30， b24ac44 1 380， 方程无实数根 【解析】【分析】 （1）将 m=0 代
23、入方程，再利用因式分解法求出一元二次方程即可； （2）将 m=3 代入方程，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。 25 【答案】（1）解：设每件的售价定为 x 元， 则有： (605 10 + 20) ( 40) = (60 40) 20 ， 解得： 1= 50，2= 60 (舍)， 答：每件售价为 50 元 （2）解：设该商品至少打 m 折， 根据题意得： 62.5 50 ， 解得： 0.8 ， 答：至少打八折销售价格不超过 50 元 【解析】【分析】 （1）根据等量关系列出一元二次方程，求出答案即可； （2）根据销售价格不超过 50 元，列出不等式求出答案即可。 26 【答案】（1）解：
24、设该市汽车拥有量的年平均增长率为 ， 根据题意，得 15(1 + )2= 21.6 ， 解得 1= 0.2 = 20% ， 2= 2.2 （不合题意，舍去）. 故该市汽车拥有量的年平均增长率为 20% （2）解：设全市每年新增汽车数量为 万辆， 2019 年底全市的汽车拥有量为 (21.6 90% + ) 万辆， 2020 年底全市的汽车拥有量为 (21.6 90% + ) 90% + 万辆. 到 2020 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆， (21.6 90% + ) 90% + 23.196 . 解得 3 . 该市每年新增汽车数量最多不能超过 3 万辆 【解析】【解答】 （1）
25、解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为 ， 根据题意，得 15(1 + )2= 21.6 ， 解得 1= 0.2 = 20% ， 2= 2.2 （不合题意，舍去）. 故该市汽车拥有量的年平均增长率为 20% (2)解：设全市每年新增汽车数量为 万辆， 2019 年底全市的汽车拥有量为 (21.6 90% + ) 万辆， 2020 年底全市的汽车拥有量为 (21.6 90% + ) 90% + 万辆. 到 2020 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆， (21.6 90% + ) 90% + 23.196 . 解得 3 . 该市每年新增汽车数量最多不能超过 3 万辆 【分析】 （1）重点
26、需要知道增长率的计算公式. （2）该题的解题关键在于充分理解题意，把题意转化为数学语言，列出关系式. 27 【答案】（1）解：由 22 5 1 = 0 知 m0， 12+5 2 = 0 ， 12+5 2 = 0 ，mn， 11 ， 1 和 1 是方程 2+ 5 2 = 0 的两个根， 由 1 和 1 是方程 2+ 5 2 = 0 的两个根得 11= 2 ， = 12 ； 经检验： = 12 是原方程的根，且符合题意 （2）解：由 1 和 1 是方程 2+ 5 2 = 0 的两个根得 1+1= 5 ， 11= 2 ， 12+12= (1+1)22= 25+ 4 = 29 【解析】【分析】 （1）先求出1 和 1 是方程 2+ 5 2 = 0 的两个根， 再求出 11= 2 ， 最后求解即可； （2）先求出 1+1= 5 ， 11= 2 ，再利用完全平方公式计算求解即可