1、 第第 1717 讲讲 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1 （2022 徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为 1，则阴影部分的面积为（ ） A5 B6 C163 D173 2 （2022 镇江）如图，点、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为 1，则的长等于（ ） A2 B73 C625 D925 3 （2022 盐城）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法 步骤： 第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直； 第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上； 第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大
2、拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度； 第四步：将横向距离乘以 10（人的手臂长度与眼距的比值一般为 10） ，得到的值约为被测物体离观测，点的距离值 如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为 4 米，则汽车到观测点的距离约为（ ） A40 米 B60 米 C80 米 D100 米 4（2022 扬州）如图， 在中， ， 将 以点为中心逆时针旋转得到 ， 点在边上，交于点.下列结论： ；平分； = ，其中所有正确结论的序号是（ ） A B C D 5 （2022 连云港）如图，将矩形 沿着 、 、 翻折，使得点 、 、 恰好都落
3、在点 处，且点 、 、 在同一条直线上，同时点 、 、 在另一条直线上.小炜同学得出以下结论： ； =435 ； = 6 ； = 22 ； . 其中正确的是（ ） A B C D 6 （2022 连云港）ABC 的三边长分别为 2，3，4，另有一个与它相似的三角形 DEF ，其最长边为12，则 DEF 的周长是（ ） A54 B36 C27 D21 7 （2022 泗阳模拟）两个相似三角形，其周长之比为 3：2，则其面积比为（ ） A3：2 B3：2 C9：4 D不能确定 8 （2022 泗阳模拟）如图，在 中， ， = ， = ，若内接正方形的边长是 x，则 h、c、x 的数量关系为（ ）
4、A2+ 2= 2 B12 + = C2= D1=1+1 9 （2021 无锡）如图，D、E、F 分别是 各边中点，则以下说法错误的是（ ） A 和 的面积相等 B四边形 是平行四边形 C若 = ，则四边形 是菱形 D若 = 90 ，则四边形 是矩形 10 （2021 姑苏模拟）如图，AB 为O 的直径，弦 CD 与 AB 交于点 E.若 ACAE，CE4，DE6，则 的值为（ ） A12 B13 C23 D512 二、填空题二、填空题 11（2022 常州）如图， 在Rt 中， = 90， = 9， = 12.在Rt 中， = 90， = 3， = 4.用一条始终绷直的弹性染色线连接，Rt 从
5、起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合） ，且斜边始终在线段上，则Rt 的外部被染色的区域面积是 . 12 （2022 扬州模拟）如图，在ABC 中，DEBC，若 AD1，DB2，则的值为 . 13 （2022 泗洪模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，在边 BC 上取点 P，使DAP 的平分线过 DC 的中点 Q，则线段 BP 的长等于 . 14 （2022 惠山模拟）如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的点，且 ，BE、CD 相交于点 O，若 SDOE：SEOC1：9，则当 SADE1 时，四边形 DBCE 的面积是 . 15 （2021 徐州）如图，在
6、中，点 ， 分别在边 ， 上，且 =32 ， 与四边形 的面积的比为 . 16 （2021 无锡）下列命题中，正确命题的个数为 . 所有的正方形都相似 所有的菱形都相似 边长相等的两个菱形都相似 对角线相等的两个矩形都相似 17 （2021 镇江）如图，点 D，E 分别在ABC 的边 AC，AB 上，ADEABC，M，N 分别是 DE，BC 的中点，若 12 ，则 . 18 （2021 宿迁）如图，在ABC 中，AB=4，BC=5，点 D、E 分别在 BC、AC 上，CD=2BD，CF=2AF，BE 交 AD 于点 F，则AFE 面积的最大值是 . 19 （2021 扬州）如图，在 中， =
7、，矩形 的顶点 D、E 在 上，点 F、G 分别在 、 上，若 = 4 ， = 3 ，且 = 2 ，则 的长为 . 20 （2021 建湖模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为 13，点 A、B、E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为 . 三、综合题三、综合题 21 （2021 泰州）如图，在O 中，AB 为直径，P 为 AB 上一点，PA1，PBm（m 为常数，且 m0）.过点 P 的弦 CDAB，Q 为 上一动点（与点 B 不重合） ，AHQD，垂足为 H.连接 AD、BQ. （1）
8、若 m3. 求证：OAD60 ； 求 的值； （2）用含 m 的代数式表示 ，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的O，对于点 Q 的任意位置，都有 BQ22DH2+PB2的值是一个定值，求此时Q 的度数. 22 （2021 无锡）如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， 与 交于点 E， 切 于点 B. （1）求证： = ； （2）若 = 20 ， = 40 ，求证： . 23 （2022 镇江）已知，点、分别在正方形的边、上 （1）如图 1，当四边形是正方形时，求证： + = ； （2）如图 2，已知 = ， = ，当、的大小有 关系时，四边形是矩形； （3） 如图 3， = ， 、 相
9、交于点， ： = 4：5， 已知正方形的边长为 16， 长为20，当 的面积取最大值时，判断四边形是怎样的四边形？证明你的结论 24（2022 无锡）如图， 边长为 6 的等边三角形 ABC 内接于O， 点 D 为 AC 上的动点 （点 A、 C 除外） ，BD 的延长线交O 于点 E，连接 CE. （1）求证 ； （2）当 = 2 时，求 CE 的长. 25 （2022 泗阳模拟）如图， = ， = . （1） 与 相似吗？为什么？ （2）如果 = 2， = 4，那么的长为多少？ 26 （2022 锡山模拟）【学习概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余
10、线. （1） 【理解运用】 如图 1，对余四边形中，AB = 5，BC = 6，CD = 4，连接 AC，若 AC = AB，则 cosABC= ， sinCAD= . （2）如图 2，凸四边形中，AD = BD，ADBD，当 2CD2 + CB2 = CA2时，判断四边形 ABCD 是否为对余四边形，证明你的结论. （3） 【拓展提升】 在平面直角坐标中，A（1，0） ，B（3，0） ，C（1，2） ，四边形 ABCD 是对余四边形，点 E 在对余线 BD 上，且位于ABC 内部，AEC = 90 + ABC.设 = u，点 D 的纵坐标为 t，请在下方横线上直接写出 u 与 t 的函数表达
11、，并注明 t 的取值范围 . 27 （2021 丰县模拟）如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A，B 的坐标分别为（4，0） ，（4，3） ，动点 M，N 分别从 O，B 同时出发.以每秒 1 个单位的速度运动.其中，点 M 沿 OA 向终点 A运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动.过点 M 作 MPOA，交 AC 于 P，连接 NP，已知动点运动了 x 秒. （1）P 点的坐标为多少（用含 x 的代数式表示） ； （2）试求NPC 面积 S 的表达式，并求出面积 S 的最大值及相应的 x 值； （3）当 x 为何值时，NPC 是一个等腰三角形？简要说明理由. 答案解析部
12、分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：如图： CDAB， ABECDE， =42=2， 阴影=23=2312 4 4 =163. 故答案为：C. 【分析】对图形进行点标注，易证ABECDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得 S阴影=23SABC，然后结合三角形的面积公式进行计算. 2 【答案】A 【解析】【解答】解： AD= 32+ 42= 5 ，AB=2，CD=3， ABDC， AOBDOC， =23 ， 设 AO=2x，则 OD=3x， AO+OD=AD， 2x+3x=5 解得：x=1， AO=2. 故答案为：A. 【分析】利用勾股定理可得
13、AD 的值，由图形可得 AB=2，CD=3，易证AOBDOC，根据相似三角形的性质可得=23，设 AO=2x，则 OD=3x，根据 AO+OD=AD 可得 x 的值，据此解答. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的 10 倍 观察图形，横向距离大约是汽车长度的 2 倍，为 8 米， 所以汽车到观测点的距离约为 80 米. 故答案为：C. 【分析】由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的 10 倍，观察图形可得横向距离大约是汽车长度的 2 倍，据此解答. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：将ABC 以点 A 为中心逆时针旋
14、转得到ADE， ， = ， = ， ，故正确； ， = ， = = ， = ， 平分，故正确； ， = ， = ， ， = ， = ， 故正确 故答案为：D. 【分析】根据旋转的性质可得ADEABC，则E=C，根据对顶角的性质可得AFE=DFC，然后根据相似三角形的判定定理可判断；根据全等三角形的性质可得 AB=AD，ADE=ABC，由等腰三角形的性质可得ABD=ADB，则ADB=ADE，据此判断；根据全等三角形的性质可得BAC=DAE，则BAD=CAE，根据相似三角形的性质可得CAE=CDF，据此判断. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：矩形 ABCD 沿着 GE、EC、GF 折叠，使得点
15、 A、B、D 恰好落在点 O 处， DGOGAG，AEOEBE，OCBC，DGFFGO，AGEOGE，AEGOEG，OECBEC， FGEFGO+OGE90 ，GECOEG+OEC90 ， FGE+GEC180 ， GFCE， 符合题意； 设 AD2a，AB2b，则 DGOGAGa，AEOEBEb， CGOG+OC3a， 在 RtAGE 中，由勾股定理得 GE2=AG2+AE2，即 GE2=a2+b2， 在 RtEBC 中，由勾股定理得 CE2=EB2+BC2，即 CE2=b2+（2a）2， 在 RtCGE 中，由勾股定理得 CG2GE2+CE2， （3a）2a2+b2+b2+（2a）2， 整
16、理，解得：b2a， AB2AD， 不符合题意； 设 OFDFx，则 CF2b-x22a-x， 在 RtCOF 中，由勾股定理得 OF2+OC2=CF2， x2+（2a）2（2 a-x）2， 解得：x22a， OFDF22a， 6DF622a3a， 又GE2=a2+b2， GE=3a， GE=6DF， 符合题意； 22OF2222a2a， OC=22OF， 符合题意； 无法证明FCOGCE， 无法判断COFCEG， 不符合题意； 正确的有. 故答案为：B. 【分析】由矩形性质和折叠的性质可得 DGOGAG，AEOEBE，OCBC，DGFFGO， AGEOGE，AEGOEG，OECBEC，从而可得
17、FGEFGO+OGE90 ，GECOEG+OEC90 ，得FGE+GEC180 ，可判定 GFCE；设 AD2a，AB2b，则 DGOGAGa，AEOEBEb，得 CGOG+OC3a，由勾股定理得 GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2GE2+CE2，即得（3a）2a2+b2+b2+（2a）2，解得 b2a，从而得 AB2AD；设 OFDFx，则 CF2b-x22a-x，由勾股定理得 OF2+OC2=CF2，即 x2+（2a）2（2 a-x）2，解得 x22a，从而得 OFDF22a，进而求得 GE=6DF；又 22OF2222a2a，从而可得OC=22OF；因条件不足，无法证明
18、FCOGCE，因而无法判断COFCEG. 据此逐项分析即可得出正确答案. 6 【答案】C 【解析】【解答】ABCDEF，相似比=412=13， 的周长的周长=13， DEF 的周长=3（2+3+4）=27. 故答案为：C. 【分析】先求出ABCDEF 的相似比=13，从而得出的周长的周长=13，即可得出DEF 的周长=3（2+3+4）=27. 7 【答案】C 【解析】【解答】解： 相似三角形的周长比是 3：2 这两个三角形对应边之比为 3：2 这两个三角形面积比为 9：4 故答案为：C. 【分析】根据相似三角形的相似比等于周长比，面积比等于相似比的平方进行解答. 8 【答案】D 【解析】【解答
19、】解：设 CH 与 GF 交于点 M， 正方形 DEFG， ， = = 90， ， =， ， = 90， 四边形 DHMG 是矩形， = ， = ， = ，正方形 DEFG 的边长是 x， = ， = = ， =， 整理得1=1+1. 故答案为：D. 【分析】 设 CH 与 GF 交于点 M， 根据正方形性质得 GFDE， GDE=DGF=90 ， 证CGFCAB，易得四边形 DHMG 是矩形，得到 DG=MH，由题意可得 MH=x，CM=h-x，然后根据相似三角形的性质进行解答. 9 【答案】C 【解析】【解答】解： 点 D、E、F 分别是ABC 三边的中点， DE、DF 为ABC 得中位线
20、， EDAC，且 ED 12 ACAF；同理 DFAB，且 DF 12 ABAE， 四边形 AEDF 一定是平行四边形，故 B 正确； ， =14 ， =14 ， 和 的面积相等，故 A 正确； = ， DF 12 AB=AE， 四边形 不一定是菱形，故 C 错误； A90 ，则四边形 AEDF 是矩形，故 D 正确； 故答案为：C. 【分析】 根据三角形中位线定理可得 EDAC， 且 ED 12 ACAF， DFAB， 且 DF 12 ABAE，可证四边形 AEDF 一定是平行四边形，由A=90 ，可证四边形 AEDF 是矩形；根据平行线可证 ， ， 利用相似三角形的性质可得 =14， =1
21、4，据此判断 A、B、D；由 = ，可得 DF 12 AB=AE，从而得出四边形 不一定是菱形，据此判断 C. 10 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点 O 作 OHCD 于点 H，过点 A 作 AMCD 于点 M DE=6，CE=4 CD=10 OHCD DH=CH= 12 CD=5 HE=1 AE=AC，AMCE EM=CM= 12 CE=2 OHCD，AMCD OHAM =12 设 OE=x，则 AE=2x OB=OA=3x BE=OE+OB=3x+x=4x =24=12 故答案为：A. 【分析】过点 O 作 OHCD 于点 H，过点 A 作 AMCD 于点 M，根据线段间的和差
22、关系求出 CD 的长，然后根据垂径定理求出 DH 的长，根据等腰三角形的性质求出 EM 的长，根据 OHAM，列出比例式，设 OE=x，则 AE=2x，OB=3x，再根据线段间的和差关系求出 BE=4x，最后求比值即可. 11 【答案】21 【解析】【解答】解：过点 F 作 AB 的垂线交于 G，同时在图上标出 M、N、F如下图： = 90， = 9， = 12， = 2+ 2= 15， 在Rt 中， = 90， = 3， = 4. = 2+ 2= 5， = = 15 5 = 10， /， = ， 四边形为平行四边形， = = 10， =12 =12 = 6， 解得： =125， /， = ，
23、 = ， ， =13， =13 =14 =154， /， 同理可证： ， =13， = 3 =34 =454， = =454154=304， 的外部被染色的区域面积为梯形=12 (304+ 10) 125= 21， 故答案为：21. 【分析】过点 F 作 AB 的垂线交于 G，同时在图上标出 M、N、F，利用勾股定理可得 AB、DE，由AE=AB-DE 可得 AE，推出四边形 AEFF为平行四边形，得到 AE=FF=10，根据三角形的面积公式可得GF，证明DFMACM，ANFDNC，根据相似三角形的性质可得 DM、DN，由 MN=DN-DM可得 MN，然后根据 RtABC 的外部被染色的区域面
24、积为 S梯形MNFF结合梯形的面积公式进行计算. 12 【答案】13 【解析】【解答】解： DEBC ADEABC = 即=13 故答案为： 13 . 【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得ADEABC，进而根据相似三角形对应边成比例可得=，据此计算. 13 【答案】83 【解析】【解答】解：如图，延长 BC，AQ 交于点 E， 点 Q 是 CD 中点， CQDQ， 四边形 ABCD 是矩形， BCAD，BCAD3， CQEDQA， = 1， CEAD3， BE6， AQ 平分PAD， PAQDAQ， BCAD， EDAQ， EPAQ， APPE， 在 Rt
25、ABP 中，AP2AB2+BP2， （6BP）24+BP2， BP=83. 故答案为：83. 【分析】延长 BC，AQ 交于点 E，根据中点的概念可得 CQDQ，根据矩形的性质可得 BCAD，BCAD3，证明CQEDQA，根据相似三角形的性质可得 CEAD3，则 BE6，由角平分线的概念可得PAQDAQ，由平行线的性质可得EDAQ，推出 APPE，接下来利用勾股定理计算即可. 14 【答案】8 【解析】【解答】解： ， DOECOB，ADEABC， =， = ()2=19， =13， = ()2=19， = 9= 9， 四边形= = 8， 故答案为：8. 【分析】 由 ， 得出DOECOB，
26、ADEABC， 得出=， 再由= ()2=19，根据相似三角形的性质得出=13，结合相似比等于面积比的平方，求出ABC 的面积，即可求出四边形 DBCE 的面积 . 15 【答案】421 【解析】【解答】解：=32 ， =23 =25 B=B， ， = ()2= (25)2=425 与四边形 的面积的比= 421 . 故答案是： 421 . 【分析】证明 ，可得= ()2，据此即可求出结论. 16 【答案】 【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以正确； 所有的菱形不一定相似，所以错误； 边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以错误； 对角线相等的两个矩形，
27、对应边不一定成比例，即不一定相似，所以错误； 故答案是：. 【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可. 17 【答案】14 【解析】【解答】解：M，N 分别是 DE，BC 的中点， AM、AN 分别为ADE、ABC 的中线， ADEABC， 12 ， ( )2 14 ， 故答案为： 14 . 【分析】根据相似三角形的中线比等于相似比得出的比值，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答. 18 【答案】43 【解析】【解答】解：如图，连接 DF， CD=2BD，CF=2AF， =23 ， C=C， CDFCBA， =23 ，CFD=CAB， DFBA， DFEABE， =23 ， =3
28、5 ， CF=2AF， =13 ， =15 ， CD=2BD， =23 ， =215 ， ABC 中，AB=4，BC=5， ，当 ABBC 时，ABC 面积最大，为 12 4 5 = 10 ， 此时AFE 面积最大为 10 215=43 . 故答案为： 43 【分析】 连接 DF，由=23 ，C=C，易得CDFCBA，可得CFD=CAB，即可得DFBA， 即DFEABE， 可得 =23 ， 根据AEF 与ADF 同高， 可得 =35 ，同理可得 =13 ， =23 ， 可得=215 ， 当ABC 面积最大时， AFE面积最大，当 ABBC 时，ABC 面积最大，可得结果. 19 【答案】125
29、 【解析】【解答】解：DE=2EF，设 EF=x，则 DE=2x， 四边形 DEFG 是矩形， GFAB， CGFCAB， =44+3=47 ，即 2=47 ， =72 ， AD+BE=AB-DE= 72 2 = 32 ， AC=BC， A=B，又 DG=EF，ADG=BEF=90 ， ADGBEF（AAS） ， AD=BE= 1232 = 34 ， 在BEF 中， 2+ 2= 2 ， 即 (34)2+ 2= 32 ， 解得：x= 125 或 125 （舍） ， EF= 125 ， 故答案为： 125 . 【分析】设 EF=x，则 DE=2x，证明CGFCAB，利用相似三角形的性质求出 =72
30、，从而求出AD+BE=AB-DE= 32，证明ADGBEF（AAS） ，可得 AD=BE= 34 ，在BEF 中， 2+ 2=2 ，可得 (34)2+ 2= 32 ，求出 x 值即可. 20 【答案】（3，2） 【解析】【解答】解： 正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且位似比为 13 . =13 ， 而 = = 6 ， 6=+6=13 ， = 2 ， = 3 ， (3，2) . 故答案为： （3，2）. 【分析】根据位似图形的性质得出=13，从而得出6=+6=13，求出 BC，OB 的长，即可得出点 C 的坐标. 21 【答案】（1）解：如图，连接 OD，则 OA=OD AB=
31、PA+PB=1+3=4 OA= 12 = 2 OP=AP=1 即点 P 是线段 OA 的中点 CDAB CD 垂直平分线段 OA OD=AD OA=OD=AD 即OAD 是等边三角形 OAD=60 连接 AQ AB 是直径 AQBQ 根据圆周角定理得：ABQ=ADH， cos = cos AHDQ 在 RtABQ 和 RtADH 中 cos = cos = = AD=OA=2，AB=4 =42= 2 （2）解：连接 AQ、BD 与（1）中的相同，有 = AB 是直径 ADBD DAB+ADP=DAB+ABD=90 ADP=ABD RtAPDRtADB = AB=PA+PB=1+m = = 1
32、+ =1+1+=1+ （3）解：由（2）知， =1 + BQ= 1+ 即 2= (1 + )2 BQ22DH2+PB2= (1 + )2 22+ 2= ( 1)2+ 2 当 m=1 时，BQ22DH2+PB2是一个定值，且这个定值为 1，此时 PA=PB=1，即点 P 与圆心 O 重合 CDAB，OA=OD=1 AOD 是等腰直角三角形 OAD=45 OAD 与Q 对着同一条弧 Q=OAD=45 故存在半径为 1 的圆，对于点 Q 的任意位置，都有 BQ22DH2+PB2的值是一个定值 1，此时Q 的度数为 45. 【解析】【分析】 （1）连接 OD， 可得 AB=4，OA=2，OP=AP=1
33、，从而得出 CD 垂直平分线段 OA，证明 OAD 是等边三角形， 可得OAD=60 ； 连接 AQ， 由圆周角定理可得 AQBQ， ABQ=ADH，即得cos = cos =，代入相应数据即得结论； （2） 连接 AQ、 BD ， 同 （1） 中的相同， 有 = ， 证明 RtAPDRtADB， 可得=， 由AB=PA+PB=1+m；可求出 = = 1 + ，代入=即可求出结论； （3） 由 （2） 得 BQ= 1 + ， 即 2= (1 + )2， 从而求出 BQ22DH2+PB2= (1 + )222+ 2= ( 1)2+ 2， 可知当 m=1 时，BQ22DH2+PB2是一个定值，且这
34、个定值为 1，此时 PA=PB=1，即点 P 与圆心 O 重合 ， 证出AOD 是等腰直角三角形 ，可得 Q= OAD=45 ，据此即得结论. 22 【答案】（1）证明： 是 的直径， ABC=90 ， 切 于点 B， OBP=90 ， + = + = 90 ， = ； （2）证明： = 20 ， = ， = 20 ， OB=OC， = = 20 ， AOB=20 +20 =40 ， OB=OA， OAB=OBA=(180 -40 ) 2=70 ， ADB= 12 AOB=20 ， 是 的直径， ADC=90 ， CDE=90 -20 =70 ， CDE=OAB， = 40 ， = = 40
35、， . 【解析】【分析】 （1）根据圆周角定理且切线的性质可得ABC=90 ，OBP=90 ， 从而可得 + = + = 90，根据余角的性质即得结论； （2）由三角形外角的性质得出AOB=ACB+OBC=40 ，从而得出AOB=ACD，由圆周角定理可得CDE=OAB，根据两角分别相等可证 . 23 【答案】（1）证明：四边形 为正方形， = = 90 ， + = 90 四边形 为正方形， = ， = 90 ， + = 90 ， = 在 和 中， = = 90 ， = ， = ， = + = + = ； （2）AE=CF （3）解：四边形 为正方形， = ， ， 四边形 为平行四边形 过点 作
36、 ，垂足为点 ，交 于点 ， = ： = 4：5 ， 设 = 4 ， = 5 ， = ，则 16=20520 ， = 4(4 ) =12 =12 4 4(4 ) = 8( 2)2+ 32 当 = 2 时， 的面积最大， = 4 = 8 =12 = ， = 5 = 10 =12 = ， 四边形 是平行四边形 【解析】【解答】解： （2） AE=CF ，证明如下： 四边形 ABCD 为正方形， = = 90 ，AB=BC=AD=CD， AE=AH，CF=CG，AE=CF， AH=CG， ， EH=FG AE=CF， ABAE=BCCF，即 BE=BF， BEF 是等腰直角三角形， BEF=BFE=
37、45 ， AE=AH，CF=CG， AEH=CFG=45 ， HEF=EFG=90 ， EHFG， 四边形 EFGH 是矩形. 【分析】 （1）根据正方形的性质可得A=B=90 ，EH=EF，HEF=90 ，根据同角的余角相等可得BEF=AHE，证明AEHBFE，得到 AH=BE，据此证明； （2）同理证明AEHFCG，得到 EH=FG，根据线段的和差关系可得 BE=BF，推出EBF 是等腰直角三角形，得到BEF=BFE=45 ，易得AEH=CFG=45 ，则HEF=EFG=90 ，推出 EHFG，然后根据矩形的判定定理进行解答； （3） 根据正方形的性质可得 ABCD， 易得四边形 AEGD
38、 为平行四边形， 则 ADEG， 过点 H 作 HMBC，垂足为点 M，交 EG 于点 N，设 OE=4x，OF=5x，HN=h，根据平行线分线段成比例的性质可得h，由三角形的面积公式可得 S，根据二次函数的性质可得 S 的最大值以及对应的 x 的值，进而求出OE、OF，然后结合平行四边形的判定定理进行解答. 24 【答案】（1）证明： 所对的圆周角是 ， ， = ， 又 = ， （2）解： 是等边三角形， = = = 6 = 2 ， = 3， = 2， = 4， ， = ， 2=4， = 8； 连接 ， 如图， = ， = = ， 又 = ， ， = ， 2= = ( + ) = 2+ ，
39、62= 2+ 8 ， = 27 （负值舍去） 6=274 ， 解得， =1277 【解析】【分析】 （1）根据圆周角定理可得A=E，由对顶角的性质可得BDA=CDE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明； （2）根据等边三角形的性质得 AC=AB=BC=6，结合已知条件可得 AC=3AD，则 AD=2，DC=4，然后根据相似三角形的性质可得 BD DE=8，连接 AE，由圆周角定理可得BAC=BEA，证明ABDEBA，根据相似三角形的性质可得 BD、CE 的值. 25 【答案】（1）解：BAD=CAE， BAD+CAD=CAE+CAD， 即BAC=DAE， 在ABC 和ADE 中 = = AB
40、CADE； （2）解：ABCADE， =， AB=2AD，BC=4， 4=12， DE=2， 即 DE 的长为 2. 【解析】【分析】 （1）根据BAD=CAE 结合角的和差关系可得BAC=DAE，然后根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明； （2）根据 AB=2AD，BC=4 结合相似三角形的性质可得 DE 的长. 26 【答案】（1）35；1225 （2）解：如图中，结论：四边形 ABCD 是对余四边形. 理由：过点 D 作 DMDC，使得 DMDC，连接 CM. 四边形 ABCD 中，ADBD，ADBD， DABDBA45 ， DCMDMC45 ， CDMADB90 ， ADCBDM
41、， ADDB，CDDM， ADCBDM（SAS） ， ACBM， 2CD2+CB2CA2，CM2DM2+CD22CD2， CM2+CB2BM2， BCM90 ， DCB45 ， DAB+DCB90 ， 四边形 ABCD 是对余四边形. （3） =2(0 4) 【解析】【解答】解： （1）过 A 作 AEBC 于 E，过 C 作 CFAD 于 F AB=AC，AEBC BE=CE= 12 BC=3， cosABC= =35 四边形 ABCD 是对余四边形， B+D=90 又B+BAE=90 D=BAE 又CFD=AEB=90 ABEDCF = 54=3 CF= 125 sinCAD = 1225
42、 故答案为： 35 ， 1225 ； (3)如图中，过点 D 作 DHx 轴于 H. A（1，0） ，B（3，0） ，C（1，2） ， OA1，OB3，AB4，ACBC2 2 ， AC2+BC2AB2， ACB90 ， CBACAB45 ， 四边形 ABCD 是对余四边形， ADC+ABC90 ， ADC45 ， AEC90 +ABC135 ， ADC+AEC180 ， A，D，C，E 四点共圆， ACEADE， CAE+ACECAE+EAB45 ， EABACE， EABADB， ABEDBA， ABEDBA， = ， = ， u 4 ， 设 D（x，t） ， 四边形 ABCD 是对余四边形
43、， 可得 BD22CD2+AD2， （x3）2+t22（x1）2+（t2）2+（x+1）2+t2， 整理得（x+1）24tt2， 在 RtADH 中，AD 2+ 2=( + 1)2+ 2 2 ， u 4=2 （0t4） ， 即 u 2 （0t4） 故答案为：u 2 （0t4）. 【分析】（1） 过 A 作 AEBC 于 E， 过 C 作 CFAD 于 F， 根据等腰三角形的性质可得 BE=CE=12 BC=3，根据三角函数的概念可得 cosABC 的值，根据四边形 ABCD 是对余四边形可得B+D=90 ，根据同角的余角相等可得D=BAE，证明ABEDCF，由相似三角形的性质可得 CF，然后根
44、据三角函数的概念进行计算； （2）过点 D 作 DMDC，使得 DMDC，连接 CM，易得DABDBA45 ，ADCBDM，证明ADCBDM，得到 ACBM，根据勾股定理可得 CM2DM2+CD22CD2，结合已知条件可得 CM2+CB2BM2，推出BCM90 ，则DCB45 ，DAB+DCB90 ，据此证明； （3） 过点 D 作 DHx 轴于 H， 根据点 A、 B、 C 的坐标可得 OA1， OB3， AB4， ACBC22 ， 结合勾股定理逆定理知ACB90 ，根据四边形 ABCD 是对余四边形可得ADC+ABC90 ，则 ADC45 ，易得 A，D，C，E 四点共圆，得到ACEADE
45、，根据角的和差关系可推出EAB=ACE，证明ABEDBA，由相似三角形的性质可得 =， 则 u4，设 D（x，t） ，根据对余四边形的概念可得 BD22CD2+AD2，代入并整理可得(x+1)24t-t2，根据勾股定理表示出 AD，然后表示出 u 即可. 27 【答案】（1）解：过点 P 作 PQBC 于点 Q， 四边形 ABCO 为矩形， ABBC，OCBC， PQAB，MQOC， CQPCBA，CQ=OM，QM=OC， =， =， 点 A，B 的坐标分别为（4，0） ， （4，3） ， BC=OA=4，AB=OC=3， =34 解得：QP=34x， PM=334x， 由题意可知，C（0，3
46、） ，M（x，0） ，N（4x，3） ， P 点坐标为（x，334x） ； （2）解：设NPC 的面积为 S，在NPC 中，NC=4x， NC 边上的高为34，其中，0 x4. S=12（4x）34x=38（x2+4x） =38（x2）2+32. S 的最大值为32，此时 x=2. （3）解：若 NP=CP， PQBC， NQ=CQ=x. x+x+x=4， x=43； 若 CP=CN，则 CN=4x，PQ=x，CP=54x， 4x=54x， x=169； 若 CN=NP，则 CN=4x.则 NQ=42x， PQ=34x， 在 RtPNQ 中，PN2=NQ2+PQ2， （4x）2=（42x）2+
47、（34x）2， x=12857. 综上所述，当 x 为43或169或12857时，NPC 是一个等腰三角形. 【解析】【分析】 （1）过点 P 作 PQBC 于点 Q，由矩形性质得 CQ=OM，QM=OC，ABBC，OCBC，则 PQAB，MQOC，证明CQPCBA，根据点 A、B 的坐标可得 BC=OA=4，AB=OC=3，根据相似三角形的性质可得 QP，进而可得 PM，据此可得点 P 的坐标； （2）设NPC 的面积为 S，根据三角形的面积公式可表示出 S，然后根据二次函数的性质进行解答； （3）若 NP=CP，则 NQ=CQ=x，据此可得 x 的值；若 CP=CN，则 CN=4-x，PQ=x，CP=54x，同理可得 x；若 CN=NP，则 CN=4x，NQ=4-2x，PQ=34x， 然后在 RtPNQ 中，应用勾股定理求解即可