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第15讲 圆(含答案解析)2023年江苏省中考数学一轮复习专题训练

1、 第第 1515 讲讲 圆圆 一、单选题一、单选题 1如图,AB 是圆 O 的直径,弦 AD 平分BAC,过点 D 的切线交 AC 于点 E,EAD25 ,则下列结论错误的是( ) AAEDE BAE/OD CDE=OD DBOD=50 2在 RtABC 中,C=90 ,AC=3,BC=4,以 AC 所在直线为轴,把ABC 旋转 1 周,得到圆锥,则该圆锥的侧面积为( ) A12 B15 C20 D24 3 (2022 苏州)如图,在 5 6 的长方形网格飞镖游戏板中,每块小正方形除颜色外都相同,小正方形的顶点称为格点,扇形 OAB 的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能

2、的(击中扇形的边界或没有击中游戏板,则重投 1 次) ,任意投掷飞镖 1 次,飞镖击中扇形 OAB(阴影部分)的概率是( ) A12 B24 C1060 D560 4 (2022 连云港)如图,有一个半径为 2 的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过 9 点和 11 点的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为( ) A23 32 B23 3 C43 23 D43 3 5 (2022 泗洪模拟)若一个圆锥的侧面展开图是半径为9、圆心角为240的扇形,则这个圆锥的底面半径长是( ) A6cm B9cm C12cm D18cm 6 (2022 泗洪模拟)已知 的内心为 P,则下列说法错误的是(

3、 ) A = = BP 在 的内部 CP 为 三个内角平分线的交点 DP 到三边距离相等 7 (2022 惠山模拟)下列命题中,是真命题的是 ( ) A长度相等的弧是等弧 B如果|a|=1,那么 a=1 C两直线平行,同位角相等 D如果 xy ,那么2x2y 8 (2022 惠山模拟)如图,在平面直角坐标系中,A(0,3) 、B(3,0) ,以点 B 为圆心、2 为半径的B 上有一动点 P.连接 AP,若点 C 为 AP 的中点,连接 OC,则 OC 的最小值为( ) A1 B221 C2 D3221 9 (2022 锡山模拟)若圆锥的底面半径为 3cm,母线长为 4cm,则这个圆锥的侧面积为

4、( ) A2cm2 B24cm2 C122 D242 10 (2022 江苏模拟)如图,点 A 的坐标是(2,0) ,点 C 是以 OA 为直径的B 上的一动点,点 A关于点 C 的对称点为点 P.当点 C 在B 上运动时, 所有这样的点 P 组成的图形与直线 y=kx3k (k0)有且只有一个公共点,则 k 的值为( ). A23 B53 C255 D655 11 (2021 常州模拟)如图,ABC 内接于O,弦 AB6,sinC35,则O 的半径为( ) A5 B10 C154 D95 二、填空题二、填空题 12 (2022 徐州)如图,A、B、C 点在圆 O 上, 若ACB=36 , 则

5、AOB= 13 (2022 盐城)如图,在矩形中, = 2 = 2,将线段绕点按逆时针方向旋转,使得点落在边上的点处,线段扫过的面积为 14 (2022 盐城)如图,、是 的弦,过点 A 的切线交的延长线于点,若 = 35,则 = 15(2022 常州)如图, 是 的内接三角形.若 = 45, = 2, 则 的半径是 . 16 (2022 泰州)如图,PA 与O 相切于点 A,PO 与O 相交于点 B,点 C 在 上,且与点 A,B 不重合,若P=26 ,则C 的度数为 . 17 (2022 苏州)如图,AB 是 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,连接 AC,AD.若 = 28 ,则 =

6、18(2022 连云港)如图, 是 的直径, 是 的切线, 为切点, 连接 , 与 交于点 ,连接 .若 = 82 ,则 = . 19 (2022 九下 沭阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,点 A(1,0) ,点 B(1,0) ,点 M(3,4) ,以 M 为圆心,2 为半径作M.若点 P 是M 上一个动点,则 PA2PB2的最大值为 20 (2022 泗洪模拟)如图,大圆的弦 AB 切小圆于点 C,且大圆的半径为 5cm,小圆的半径为 3cm,则弦 AB 的长为 cm. 三、综合题三、综合题 21 (2022 徐州)如图,点 A、B、C 在圆 O 上,ABC=60 ,直线 ADBC,AB=A

7、D,点 O 在 BD 上 (1)判断直线 AD 与圆 O 的位置关系,并说明理由; (2)若圆的半径为 6,求图中阴影部分的面积 22 (2022 镇江)操作探究题 (1)已知是半圆的直径, = (180)(是正整数,且不是 3 的倍数)是半圆的一个圆心角 操作:如图 1,分别将半圆的圆心角 = (180)(取 1、4、5、10)所对的弧三等分(要求:仅用圆规作图,不写作法,保留作图痕迹) ; 交流:当 = 11时,可以仅用圆规将半圆的圆心角 = (180)所对的弧三等分吗? 探究: 你认为当满足什么条件时, 就可以仅用圆规将半圆的圆心角 = (180)所对的弧三等分?说说你的理由 (2)如图

8、 2, 的圆周角 = (2707)为了将这个圆的圆周14 等分,请作出它的一条 14 等分弧(要求:仅用圆规作图,不写作法,保留作图痕迹) 23 (2022 南通)如图,四边形内接于 ,为 的直径,平分, = 22,点 E在的延长线上,连接 (1)求直径的长; (2)若 = 52,计算图中阴影部分的面积 24(2022 无锡)如图, 边长为 6 的等边三角形 ABC 内接于O, 点 D 为 AC 上的动点 (点 A、 C 除外) ,BD 的延长线交O 于点 E,连接 CE. (1)求证 ; (2)当 = 2 时,求 CE 的长. 25 (2022 泗洪模拟)定义:若一个圆内接四边形的两条对角线

9、互相垂直,则称这个四边形为圆美四边形. (1)选择:下列四边形中,一定是圆美四边形的是( ) A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 (2)如图 1,在等腰 中, = 90, = 1,经过点,的 交边于点,交于点,连接,若四边形为圆美四边形,求的长; (3)如图 2,是 外接圆 的直径,交于点,点在上,延长交 于点,已知2= .问四边形是圆美四边形吗?为什么? 26 (2022 宿迁)如图,在网格中,每个小正方形的边长均为 1,每个小正方形的顶点称为格点,点、均为格点. (1) 【操作探究】在数学活动课上,佳佳同学在如图的网格中,用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、,相交于点并给出部分说理过

10、程,请你补充完整: 解:在网格中取格点,构建两个直角三角形,分别是ABC 和CDE. 在 RtABC 中,tan =12 在 RtCDE 中, , 所以tan = tan. 所以=. 因为 + = =90 , 所以 + =90 , 所以 =90 , 即. (2) 【拓展应用】如图是以格点为圆心,为直径的圆,请你只用无刻度的直尺,在上找出一点 P,使= ,写出作法,并给出证明: (3) 【拓展应用】如图是以格点为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦上找出一点 P.使2= ,写出作法,不用证明. 27 (2022 连云港)如图 【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中,小昕同学将一大一小两个三角板按

11、照如图 1 所示的方式摆放.其中 = = 90 , = 30 , = = 3 . 【问题探究】 小昕同学将三角板 绕点 按顺时针方向旋转. (1)如图 2,当点 落在边 上时,延长 交 于点 ,求 的长. (2)若点 、 、 在同一条直线上,求点 到直线 的距离. (3)连接 ,取 的中点 ,三角板 由初始位置(图 1) ,旋转到点 、 、 首次在同一条直线上(如图 3) ,求点 所经过的路径长. (4)如图 4, 为 的中点,则在旋转过程中,点 到直线 的距离的最大值是 . 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解:DE 是O 的切线, ODDE, OA=OD, OAD=

12、ODA, AD 平分BAC, OAD=EAD, EAD=ODA, ODAE, AEDE,故选项 A、B 都正确; OAD=EAD=ODA=25 , BOD=2OAD=50 ,故选项 D 正确; 如图: 过点 D 作 DFAB 于点 F AD 平分BAC,AEDE,DFAB, DE=DFOD,故选项 C 不正确; 故答案为:C. 【分析】根据切线的性质可得 ODDE,根据等腰三角形的性质得OAD=ODA,根据角平分线的概念得OAD=EAD,则EAD=ODA,推出 ODAE,据此判断 A、B;根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得OAD=EAD=ODA=25 , 由圆周角定理得BOD=2OAD=5

13、0 , 据此判断 D;根据角平分线的性质可得 DE=DF,据此判断 C. 2 【答案】C 【解析】【解答】解:C=90 ,AC=3,BC=4, AB= 32+ 42 =5, 以直线 AC 为轴,把ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积= 12 245=20. 故答案为:C. 【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的值,然后根据 S圆锥的侧面积=122BCAB 进行计算. 3 【答案】A 【解析】【解答】解:由图可知,总面积为:5 6=30, = 32+ 12= 10 , 阴影部分面积为: 9010360=52 , 飞镖击中扇形 OAB(阴影部分)的概率是 5230=12 . 故答案为:A. 【分析】

14、首先求出长方形网格的面积,利用勾股定理求出 OB,结合扇形的面积公式求出阴影部分的面积,然后用扇形的面积除以整个矩形的面积进行计算. 4 【答案】B 【解析】【解答】解:如图所示,连接 OA、OB,再过点 O 作 OCAB, 由题意得 A、B 分别为圆的十二等分点, AOB=212 360 =60 , OAOB, AOB 为等边三角形, ABOAOB2, S阴影=S扇OAB-SAOB=6022360-12 23=23-3. 故答案为:B. 【分析】如图所示,连接 OA、OB,再过点 O 作 OCAB,由题意得 A、B 分别为圆的十二等分点,可求得AOB=60 ,从而推出AOB 为等边三角形,即

15、得 ABOAOB2,再分别计算出扇形 OAB和三角形 AOB 的面积,最后由 S阴影=S扇OAB-SAOB代入数据计算即可求解. 5 【答案】A 【解析】【解答】解:设这个圆锥的底面半径为 rcm,根据题意得 2 =2409180,解得 r=6, 所以这个圆锥的底面半径长为 6cm. 故答案为:A. 【分析】设这个圆锥的底面半径为 rcm,根据圆锥底面圆的周长为侧面展开扇形的弧长,结合圆的周长公式以及弧长公式进行计算即可. 6 【答案】A 【解析】【解答】解:A、三角形内心到三角形三条边的距离相等,并不是到三个顶点的距离相等,故符合题意; B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点,所以 P

16、在ABC 的内部,故不符合题意; C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点,故不符合题意; D、三角形内心到三角形三条边的距离相等,故不符合题意. 故答案为:A. 【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点,内心到三角形三条边的距离相等,据此判断. 7 【答案】C 【解析】【解答】解:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧,故 A 选项是假命题; 如果|a|=1,那么 = 1,故 B 选项是假命题; 根据平行线的性质,两直线平行,同位角相等,故 C 选项是真命题; 如果 xy,那么2x2y,故 D 选项是假命题. 故答案为:C. 【分析】在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧,依此判断

17、A;绝对值就是数轴上的点所表示的数,离开原点的距离,据此判断 B;根据平行线的性质,两直线平行,同位角相等,判断 C;不等式的两边同时除以一个负数,不等号的方向改变,据此判断 D. 8 【答案】D 【解析】【解答】解:当点 P 运动到 AB 的延长线上时,即如图中点 P1,C1 是 AP1的中点, 当点 P 在线段 AB 上时, C2是中点,取 C1C2的中点为 D, 点 C 的运动路径是以 D 为圆心,以 DC1为半径的圆, (CA: PA=1 : 2 ,则点 C 轨迹和点 P 轨迹相 似,所以点 C 的轨迹就是圆) , 当 O、C、D 共线时, OC 的长最小,设线段 AB 交B 于 Q,

18、 中,OA=3,OB=3, = 32. 半径为 2, 1= 2,1= 32 + 2, 1是1的中点, 1=322 + 1, = 32 2, 2是的中点, 2= 2 =322 1, 12=322 + 1 (322 1) = 2, 即 半径为 1, =322 1 + 1 =322 =12, =12 =322, =322 1. 故答案为:D. 【分析】 当点 P 运动到 AB 的延长线上时, 即如图中点 P1, C1 是 AP1的中点, 当点 P 在线段 AB 上时,当点 P 在线段 AB 上时, C2是中点,取 C1C2的中点为 D,确定出点 C 的运动路径是以 D 为圆心,以DC1为半径的圆,当

19、 O、C、D 共线时, OC 的长最小,先求D 的半径,说明 D 是 AB 的中点,设线段 AB 交B 于 Q,根据直角三角形斜边中线是斜边中线的性质求出 OD 长,则可求出 OC 的最小值. 9 【答案】C 【解析】【解答】解:圆锥底面半径为 3cm,母线长为 4cm, 圆锥的侧面积为 3 4 = 122. 故答案为:C. 【分析】利用圆锥的侧面积等于Rr(R 是展开扇形的半径,r 是底面圆的半径) ,代入计算可求解. 10 【答案】C 【解析】【解答】解:如图,连接 OP,作过点 P 作 PEx 轴于点 E, 点 P 和点 A 关于点 C 对称,点 C 的运动轨迹是以点 B 为圆心,半径为

20、 1 的圆, 点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心,以 AO 为半径的圆. 当点 C 在B 上运动时, 所有这样的点 P 组成的图形与直线 y=kx3k (k0) 有且只有一个公共点,直线 y=kx3k(k0)过定点 D(3,0), OPPD, OPD=90 , 在 RtOPD 中,OP=OA=2,OD=3, 由勾股定理得:PD= 2 2 = 5 由等积法,可得:ODPE=OPPD, 即:3 PE=2 5 , 解得:PE= 253 在 RtOPE 中,OE= 2 2 = 43 点 P 的坐标为( 43 , 253 ) 把点 P 的坐标代入 y=kx3k,得: 253=43 3 , 解得:k= 2

21、55 . 故答案为:C. 【分析】连接 OP,作过点 P 作 PEx 轴于点 E,由题意可得:点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心,AO 为半径的圆,直线 y=kx-3k(k0)过定点 D(3,0),利用勾股定理可得 PD,根据OPD 的面积公式可得PE,然后利用勾股定理求出 OE,进而可得点 P 的坐标,接下来将点 P 的坐标代入 y=kx-3k 中进行计算就可得到 k 的值. 11 【答案】A 【解析】【解答】解:过 B 作直径 BD,连接 AD, BD 为直径, BAD90 , DC, sinDsinC =35, AB6, BD10, O 的半径为 5. 故答案为:A. 【分析】过 B 作

22、直径 BD,连接 AD,根据圆周角定理可得BAD90 ,DC,然后根据正弦函数的概念可得 BD 的值,进而可得半径. 12 【答案】72 【解析】【解答】解:ACB=12AOB,ACB=36 , AOB=2 ACB=72 故答案为:72 【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍可得AOB=2ACB,据此计算. 13 【答案】3 【解析】【解答】解: = 2 = 2, = 1, 矩形 ABCD 中, = = 1, = = 90, 由旋转可知 = , = 2 = 2, = = 2, cos=12, = 60, = 30, 线段 AB 扫过的面积=3022360=3. 故答案为:3. 【分析

23、】根据已知条件可得 BC=1,根据矩形的性质可得 AD=BC=1,D=DAB=90 ,由旋转的性质可得 AB=AB=2,求出 cosDAB的值,得到DAB、BAB的度数,然后结合扇形的面积公式进行计算. 14 【答案】35 【解析】【解答】解:如图,连接 AO 并延长,交 于点 E,连接 BE 为 的直径, = 90, + = 90, 为 的切线, = 90, + = 90, = = 35, = = 35 故答案为:35. 【分析】连接 AO 并延长,交O 于点 E,连接 BE,根据圆周角定理可得C=E,ABE=90 ,根据切线的性质可得DAE=90 ,由同角的余角相等可得E=BAD=35 ,

24、据此解答. 15 【答案】1 【解析】【解答】解:连接 OA、OC, = 45, = 2 = 90, 2+ 2= 2,即22= 2, 解得: = 1, 故答案为:1. 【分析】连接 OA、OC,根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍可得AOC=2ABC=90 ,然后利用勾股定理进行计算即可. 16 【答案】32 【解析】【解答】解:连接 OA, PA 与O 相切于点 A, PAO=90 , O=90 -P, P=26 , O=64 , C=12O=32 . 故答案为:32. 【分析】连接 OA,根据切线的性质可得PAO=90 ,则根据三角形的内角和求出O 的度数,由同弧所对的圆周角等于圆心角

25、的一半即可求出C 的度数. 17 【答案】62 【解析】【解答】解:连接 BD , AB 是 的直径, = 90 , = , = = 28 , = 90 = 62 故答案为:62. 【分析】连接 BD,根据圆周角定理可得ADB=90 ,BAC=BDC=28 ,然后根据ADC=ADB-BDC 进行计算. 18 【答案】49 【解析】【解答】解:AB 是直径,AC 是切线, A=90 , AOD=82 , B=41 , C=90 -41 =49 . 故答案为:49. 【分析】根据切线的性质得出A=90 ,根据圆周角定理得出B=12AOD=41 ,即可得出C=90 -41 =49 . 19 【答案】

26、100 【解析】【解答】解:设 P(x,y) , PA2(x1)2y2,PB2(x1)2y2, PA2PB22x22y222(x2y2)2, OP2x2y2, PA2PB22OP22, 当点 P 处于 OM 与圆的交点 P处时,OP 取得最大值,如图, OP 的最大值为 OPOMPM42+ 3227, PA2PB2最大值为 2 722100. 故答案为:100. 【分析】设 P(x,y) ,根据两点间距离公式表示出 PA2、PB2,结合 OP2x2y2可得 PA2PB22OP2 2,当点 P 处于 OM 与圆的交点 P处时,OP 取得最大值,最大值为 OPOMPM,据此计算. 20 【答案】8

27、 【解析】【解答】解:连接 OA,OC, AB 与小圆相切, OCAB, C 为 AB 的中点,即 ACBC=12AB, 在 RtAOC 中,OA5cm,OC3cm, 根据勾股定理得:AC= 2 2=4cm, 则 AB2AC8cm. 故答案为:8. 【分析】连接 OA,OC,根据切线的性质可得 OCAB,根据垂径定理可得 ACBC=12AB,利用勾股定理求出 AC,进而可得 AB. 21 【答案】(1)解:直线 AD 与圆 O 相切,理由如下: 如图,连接 OA, , D=DBC, AB=AD, D=ABD, = 60, DBC=ABD=D=30 , BAD=120 , OA=OB, BAO=

28、ABD=30 , OAD=90 , OAAD, OA 是圆的半径, 直线 AD 与园 O 相切, (2)解:如图,连接 OC,作 OHBC 于 H, OB=OC=6, OCB=OBC=30 , BOC=120 , =12 = 3, = 2 2= 33, = 2 = 63, 扇形 BOC 的面积为12062360= 12, =12 =12 63 3 = 93, 阴影部分的面积为扇形= 12 93 【解析】【分析】 (1)连接 OA,根据平行线的性质得D=DBC,根据等腰三角形的性质得D=ABD,则DBC=ABD=D=30 ,BAO=ABD=30 ,推出OAD=90 ,据此证明; (2)连接 OC

29、,作 OHBC 于 H,由等腰三角形的性质“等边对等角”得OCB=OBC=30 ,则BOC=120 , OH=12OB=3, 利用勾股定理可得BH, 由垂径定理可得BC=2BH, 然后根据S阴影=S扇形BOC-SBOC进行计算. 22 【答案】(1)解:操作: 交流: 60 9 (18028) = (6028) ,或 19 (18028) 2 60 = (6028) ; 探究:设 60 (180) = (60) ,解得 = 3 + 1 ( 为非负整数) 或设 (180) 60 = (60) ,解得 = 3 1 ( 为正整数) 所以对于正整数 ( 不是 3 的倍数) ,都可以仅用圆规将半圆 的圆

30、心角 = (180) 所对的弧三等分; (2)解:如图 【解析】【分析】 (1)操作:分别构造 60 弧、15 弧、12 弧、6 弧即可解决问题; 交流:当 n=28 时,三者之间的数量关系为60 9 (18028) = (6028); 探究:设 60 (180) = (60) 或设(180) 60 = (60),用含 k 的式子表示出 n 即可; (2)以 P 为端点,用半径去截圆,与圆交于一点,再以该点为端点,重复上述步骤,得到点 D,以 Q为圆心,QP 为半径画弧,与圆交于一点 C,则弧即为所作. 23 【答案】(1)解:解: (1)BD 为O 的直径, BCDDCE90 , AC 平分

31、BAD, BACDAC=45 , = , BC=DC=22, =sin45=2222= 4. 答:直径 BD 的长为 4. (2)解:在圆 O 中,= , 弓形 BC 的面积等于弓形 DC 的面积, 阴影部分的面积等于DCE 的面积 = = 52 22 = 32, S阴影部分=SDCE=12 =12 32 22 = 6. 答:阴影部分的面积为 6. 【解析】【分析】 (1)利用直径所对的圆周角是直角,可证得BCDDCE90 ,利用角平分线的定义可证得BACDAC=45 ,利用圆周角定理可推出 BC=DC;再利用解直角三角形求出 BD 的长. (2)利用在圆 O 中,= ,可证得阴影部分的面积等

32、于DCE 的面积;再求出 CE 的长;然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积. 24 【答案】(1)证明: 所对的圆周角是 , , = , 又 = , (2)解: 是等边三角形, = = = 6 = 2 , = 3, = 2, = 4, , = , 2=4, = 8; 连接 , 如图, = , = = , 又 = , , = , 2= = ( + ) = 2+ , 62= 2+ 8 , = 27 (负值舍去) 6=274 , 解得, =1277 【解析】【分析】 (1)根据圆周角定理可得A=E,由对顶角的性质可得BDA=CDE,然后根据相似三角形的判定定理进行证明; (2)根据等边三角形的

33、性质得 AC=AB=BC=6,结合已知条件可得 AC=3AD,则 AD=2,DC=4,然后根据相似三角形的性质可得 BD DE=8,连接 AE,由圆周角定理可得BAC=BEA,证明ABDEBA,根据相似三角形的性质可得 BD、CE 的值. 25 【答案】(1)D (2)解:连接 AE,BD, 等腰 中, = 90, BD 是O 的直径,BED=BAD =90 , AC=AB=1, = 2+ 2= 2, =12(180 ) = 45, 四边形为圆美四边形, BDAE, = , AD=ED, BD=BD, RtABDRtEBD(HL) , BE=AB=1, CE=BC-BE= 2 1, CED=1

34、80 -BED=90 , = 90 = 45, = = 2 1; (3)解:四边形是圆美四边形,理由: 连接 BD,AF,设 AF 与 BC 交点为 G, 则ACB=ADB,CAF=CBF, AD 是O 的直径, ABD=90 , BAD+ADB=90 , 2= , =, APB=BPE, APBBPE, BAD=CBF, CAF=BAD, ACB+CAF=ADB+BAD=90 , AGC=180-(ACB+CAF)=90 , AFBC, 四边形是圆美四边形. 【解析】【解答】解: (1)圆美四边形满足对角互补,对角线互相垂直两个条件, 正方形是圆美四边形, 故答案为:D; 【分析】 (1)根

35、据圆内接四边形的对角互补可排除 A、C,根据对角线互相垂直排除 B,从而即可得出答案; (2) 连接 AE,BD,先判断出BED=BAD =90 , 根据等腰直角三角形的性质求出 BC=2,C=45 , 由圆美四边形可得 BDAE, 由垂径定理及弧、 弦、 圆心角的关系可得 AD=ED, 证明 RtABDRtEBD, 可得 BE=AB=1, 从而求出 CE=BC-BE= 2 1, 再根据等腰直角三角形, 可得 DE 的长; (3) 四边形 ABFC 是圆美四边形, 理由: 连接 BD, AF, 设 AF 与 BC 交点为 G, 证明APBBPE,可得BAD=CBF,从而求出AGC=90 ,根据

36、圆美四边形的定义即证. 26 【答案】(1)tanDCE=12 (2)解:如图中,点 P 即为所求, 作法:取个点 T,连接 AT 交O 于点 P,点 P 即为所求; 证明:由作图可知,OMAP,OM 是半径, = . (3)解:如图中,点 P 即为所求, 作法:取各店 J、K,连接 JK 交 AB 于点 P,点 P 即为所求。 【解析】【解答】解: 【操作探究】在网格中取格点 E,构建两个直角三角形,分别是ABC 和CDE. 在 RtABC 中,tan =12 在 RtCDE 中,tan =12, 所以tan = tan. 所以BAC=DCE. 因为ACP DCE =ACB =90 , 所以

37、ACP +BAC =90 , 所以APC =90 , 即 ABCD. 故答案为:tan =12; 【分析】 (1)在网格中取格点 E,构建两个直角三角形,分别是ABC 和CDE,利用三角函数的概念求出 tanBAC、tanDCE 的值,得到BAC=DCE,结合ACP+DCE=ACB=90 可得ACP +BAC=90 ,利用内角和定理可得APC =90 ,据此解答; (2) 取格点 T, 连接 AT 交O 于点 P, 点 P 即为所求, 由作图可知: OMAP, OM 是半径, 则= ; (3)取各店 J、K,连接 JK 交 AB 于点 P,由圆周角定理可得APM=ABM,又MAP=MAB,则M

38、APMAB,则 AM2=AP AB. 27 【答案】(1)解:由题意得, = = 90, 在 中, = 30, = 3,cos =, =cos=3cos30= 23. (2)解:当点 E 在 BC 上方时, 如图一,过点 D 作 DHBC 于点 H, 在 中, = 90, = 30, = 3, tan =, =tan=3tan30= 33, 在 中, = 90, = = 30, = 3,tan =, = tan30 = 3, 点 C、E、D 在同一直线上,且 = 90, = 180 = 90, 在 中, = 90, = 33, = 3, = 2 2= 32, = + = 32 + 3, =12

39、 =12 , = 6 + 1; 当点 E 在 BC 下方时, 如图二,过点 D 作 DMBC 于点 M, = 90, = 3, = 33, = 2 2= 32, = = 32 3, =12 =12 , = 6 1, 综上,点 D 到直线 BC 的距离为6+1 或6-1. (3)解:如图三,取的中点,连接,则 =12 = 3, 点 G 在以 O 为圆心,3为半径的圆上, 当三角板 DEB 绕点 B 顺时针由初始位置旋转到点 C、B、D 首次在同一条直线上时, 点 G 所经过的轨迹为 150 所对的圆弧, 点 G 所经过的路径长=1503602 3 =536. (4)734 【解析】【解答】解:

40、(4)如图四,过点 O 作 OKAB 于 K, 点 O 为 BC 中点,BC=33, OB=12BC=332, 在 Rt OKB 中,KBO=30 , OK=33212=334, 由(3)可知:点 G 在以 O 为圆心,3为半径的圆上, 点 G 到直线 AB 的距离最大值=3+334=734. 故答案为:734. 【分析】 (1)在 中,有 = 30, = 3,根据 30 角的余弦即可求得 BF 的长; (2) 分两种情况: 当点 E 在 BC 上方, 如图一过点 D 作 DHBC 于点 H, 解直角三角形得 BC=33, = tan30 = 3,由勾股定理求得 CE=32,从而得 CD=32

41、+3,再由三角形 BCD 的面积得 =,代入数据计算即可;当点 E 在 BC 下方时,如图二,过点 D 作 DMBC 于点 M,由勾股定理求得 CE=32,则 CD=32-3,同理由三角形 BCD 的面积得 =,代入数据计算即可; (3)如图三,取的中点,连接,则 =12 = 3,则点 G 在以 O 为圆心,3为半径的圆上,当三角板 DEB 绕点 B 顺时针由初始位置旋转到点 C、B、D 首次在同一条直线上时,点 G 所经过的轨迹为 150 所对的圆弧,最后由弧长计算公式代入数据即可求解; (4)如图四,过点 O 作 OKAB 于 K,由点 O 为 BC 中点,BC=33,求得 OB=12BC=332,解直角三角形可求得 OK=334,由(3)可知:点 G 在以 O 为圆心,3为半径的圆上,即得点 G 到直线 AB的距离最大值