1、 第第 1515 讲讲 圆圆 一、单选题一、单选题 1如图，AB 是圆 O 的直径，弦 AD 平分BAC，过点 D 的切线交 AC 于点 E，EAD25 ，则下列结论错误的是（ ） AAEDE BAE/OD CDE=OD DBOD=50 2在 RtABC 中，C=90 ，AC=3，BC=4，以 AC 所在直线为轴，把ABC 旋转 1 周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ） A12 B15 C20 D24 3 （2022 苏州）如图，在 5 6 的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形 OAB 的圆心及弧的两端均为格点.假设飞镖击中每一块小正方形是等可能
2、的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投 1 次） ，任意投掷飞镖 1 次，飞镖击中扇形 OAB（阴影部分）的概率是（ ） A12 B24 C1060 D560 4 （2022 连云港）如图，有一个半径为 2 的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过 9 点和 11 点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ） A23 32 B23 3 C43 23 D43 3 5 （2022 泗洪模拟）若一个圆锥的侧面展开图是半径为9、圆心角为240的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（ ） A6cm B9cm C12cm D18cm 6 （2022 泗洪模拟）已知 的内心为 P，则下列说法错误的是（
3、 ） A = = BP 在 的内部 CP 为 三个内角平分线的交点 DP 到三边距离相等 7 （2022 惠山模拟）下列命题中，是真命题的是 （ ） A长度相等的弧是等弧 B如果|a|=1，那么 a=1 C两直线平行，同位角相等 D如果 xy ，那么2x2y 8 （2022 惠山模拟）如图，在平面直角坐标系中，A（0，3） 、B（3，0） ，以点 B 为圆心、2 为半径的B 上有一动点 P.连接 AP，若点 C 为 AP 的中点，连接 OC，则 OC 的最小值为（ ） A1 B221 C2 D3221 9 （2022 锡山模拟）若圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 4cm，则这个圆锥的侧面积为
4、（ ） A2cm2 B24cm2 C122 D242 10 （2022 江苏模拟）如图，点 A 的坐标是（2，0） ，点 C 是以 OA 为直径的B 上的一动点，点 A关于点 C 的对称点为点 P.当点 C 在B 上运动时， 所有这样的点 P 组成的图形与直线 y=kx3k （k0）有且只有一个公共点，则 k 的值为（ ）. A23 B53 C255 D655 11 （2021 常州模拟）如图，ABC 内接于O，弦 AB6，sinC35，则O 的半径为（ ） A5 B10 C154 D95 二、填空题二、填空题 12 （2022 徐州）如图，A、B、C 点在圆 O 上， 若ACB=36 ， 则
5、AOB= 13 （2022 盐城）如图，在矩形中， = 2 = 2，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 14 （2022 盐城）如图，、是 的弦，过点 A 的切线交的延长线于点，若 = 35，则 = 15（2022 常州）如图， 是 的内接三角形.若 = 45， = 2， 则 的半径是 . 16 （2022 泰州）如图，PA 与O 相切于点 A，PO 与O 相交于点 B，点 C 在 上，且与点 A，B 不重合，若P=26 ，则C 的度数为 . 17 （2022 苏州）如图，AB 是 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，连接 AC，AD.若 = 28 ，则 =
6、18（2022 连云港）如图， 是 的直径， 是 的切线， 为切点， 连接 ， 与 交于点 ，连接 .若 = 82 ，则 = . 19 （2022 九下 沭阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A（1，0） ，点 B（1，0） ，点 M（3，4） ，以 M 为圆心，2 为半径作M.若点 P 是M 上一个动点，则 PA2PB2的最大值为 20 （2022 泗洪模拟）如图，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，且大圆的半径为 5cm，小圆的半径为 3cm，则弦 AB 的长为 cm. 三、综合题三、综合题 21 （2022 徐州）如图，点 A、B、C 在圆 O 上，ABC=60 ，直线 ADBC，AB=A
7、D，点 O 在 BD 上 （1）判断直线 AD 与圆 O 的位置关系，并说明理由； （2）若圆的半径为 6，求图中阴影部分的面积 22 （2022 镇江）操作探究题 （1）已知是半圆的直径， = (180)（是正整数，且不是 3 的倍数）是半圆的一个圆心角 操作：如图 1，分别将半圆的圆心角 = (180)（取 1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） ； 交流：当 = 11时，可以仅用圆规将半圆的圆心角 = (180)所对的弧三等分吗？ 探究： 你认为当满足什么条件时， 就可以仅用圆规将半圆的圆心角 = (180)所对的弧三等分？说说你的理由 （2）如图
8、 2， 的圆周角 = (2707)为了将这个圆的圆周14 等分，请作出它的一条 14 等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 23 （2022 南通）如图，四边形内接于 ，为 的直径，平分， = 22，点 E在的延长线上，连接 （1）求直径的长； （2）若 = 52，计算图中阴影部分的面积 24（2022 无锡）如图， 边长为 6 的等边三角形 ABC 内接于O， 点 D 为 AC 上的动点 （点 A、 C 除外） ，BD 的延长线交O 于点 E，连接 CE. （1）求证 ； （2）当 = 2 时，求 CE 的长. 25 （2022 泗洪模拟）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线
9、互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形. （1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是（ ） A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 （2）如图 1，在等腰 中， = 90， = 1，经过点，的 交边于点，交于点，连接，若四边形为圆美四边形，求的长； （3）如图 2，是 外接圆 的直径，交于点，点在上，延长交 于点，已知2= .问四边形是圆美四边形吗？为什么？ 26 （2022 宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均为格点. （1） 【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过
10、程，请你补充完整： 解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是ABC 和CDE. 在 RtABC 中，tan =12 在 RtCDE 中， ， 所以tan = tan. 所以=. 因为 + = =90 ， 所以 + =90 ， 所以 =90 ， 即. （2） 【拓展应用】如图是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点 P，使= ，写出作法，并给出证明： （3） 【拓展应用】如图是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点 P.使2= ，写出作法，不用证明. 27 （2022 连云港）如图 【问题情境】 在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按
11、照如图 1 所示的方式摆放.其中 = = 90 ， = 30 ， = = 3 . 【问题探究】 小昕同学将三角板 绕点 按顺时针方向旋转. （1）如图 2，当点 落在边 上时，延长 交 于点 ，求 的长. （2）若点 、 、 在同一条直线上，求点 到直线 的距离. （3）连接 ，取 的中点 ，三角板 由初始位置（图 1） ，旋转到点 、 、 首次在同一条直线上（如图 3） ，求点 所经过的路径长. （4）如图 4， 为 的中点，则在旋转过程中，点 到直线 的距离的最大值是 . 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：DE 是O 的切线， ODDE， OA=OD， OAD=
12、ODA， AD 平分BAC， OAD=EAD， EAD=ODA， ODAE， AEDE，故选项 A、B 都正确； OAD=EAD=ODA=25 ， BOD=2OAD=50 ，故选项 D 正确； 如图： 过点 D 作 DFAB 于点 F AD 平分BAC，AEDE，DFAB， DE=DFOD，故选项 C 不正确； 故答案为：C. 【分析】根据切线的性质可得 ODDE，根据等腰三角形的性质得OAD=ODA，根据角平分线的概念得OAD=EAD，则EAD=ODA，推出 ODAE，据此判断 A、B；根据等腰三角形的性质以及角平分线概念得OAD=EAD=ODA=25 ， 由圆周角定理得BOD=2OAD=5
13、0 ， 据此判断 D；根据角平分线的性质可得 DE=DF，据此判断 C. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：C=90 ，AC=3，BC=4， AB= 32+ 42 =5， 以直线 AC 为轴，把ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积= 12 245=20. 故答案为：C. 【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的值，然后根据 S圆锥的侧面积=122BCAB 进行计算. 3 【答案】A 【解析】【解答】解：由图可知，总面积为：5 6=30， = 32+ 12= 10 ， 阴影部分面积为： 9010360=52 ， 飞镖击中扇形 OAB（阴影部分）的概率是 5230=12 . 故答案为：A. 【分析】
14、首先求出长方形网格的面积，利用勾股定理求出 OB，结合扇形的面积公式求出阴影部分的面积，然后用扇形的面积除以整个矩形的面积进行计算. 4 【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示，连接 OA、OB，再过点 O 作 OCAB， 由题意得 A、B 分别为圆的十二等分点， AOB=212 360 =60 ， OAOB， AOB 为等边三角形， ABOAOB2， S阴影=S扇OAB-SAOB=6022360-12 23=23-3. 故答案为：B. 【分析】如图所示，连接 OA、OB，再过点 O 作 OCAB，由题意得 A、B 分别为圆的十二等分点，可求得AOB=60 ，从而推出AOB 为等边三角形，即
15、得 ABOAOB2，再分别计算出扇形 OAB和三角形 AOB 的面积，最后由 S阴影=S扇OAB-SAOB代入数据计算即可求解. 5 【答案】A 【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面半径为 rcm，根据题意得 2 =2409180，解得 r=6， 所以这个圆锥的底面半径长为 6cm. 故答案为：A. 【分析】设这个圆锥的底面半径为 rcm，根据圆锥底面圆的周长为侧面展开扇形的弧长，结合圆的周长公式以及弧长公式进行计算即可. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：A、三角形内心到三角形三条边的距离相等，并不是到三个顶点的距离相等，故符合题意； B、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，所以 P
16、在ABC 的内部，故不符合题意； C、三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，故不符合题意； D、三角形内心到三角形三条边的距离相等，故不符合题意. 故答案为：A. 【分析】三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，内心到三角形三条边的距离相等，据此判断. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，故 A 选项是假命题； 如果|a|=1，那么 = 1，故 B 选项是假命题； 根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，故 C 选项是真命题； 如果 xy，那么2x2y，故 D 选项是假命题. 故答案为：C. 【分析】在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，依此判断
17、A；绝对值就是数轴上的点所表示的数，离开原点的距离，据此判断 B；根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，判断 C；不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，据此判断 D. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：当点 P 运动到 AB 的延长线上时，即如图中点 P1，C1 是 AP1的中点， 当点 P 在线段 AB 上时， C2是中点，取 C1C2的中点为 D， 点 C 的运动路径是以 D 为圆心，以 DC1为半径的圆， （CA： PA=1 ： 2 ，则点 C 轨迹和点 P 轨迹相 似，所以点 C 的轨迹就是圆) ， 当 O、C、D 共线时， OC 的长最小，设线段 AB 交B 于 Q，
18、 中，OA=3，OB=3， = 32. 半径为 2， 1= 2，1= 32 + 2， 1是1的中点， 1=322 + 1， = 32 2， 2是的中点， 2= 2 =322 1， 12=322 + 1 (322 1) = 2， 即 半径为 1， =322 1 + 1 =322 =12， =12 =322， =322 1. 故答案为：D. 【分析】 当点 P 运动到 AB 的延长线上时， 即如图中点 P1， C1 是 AP1的中点， 当点 P 在线段 AB 上时，当点 P 在线段 AB 上时， C2是中点，取 C1C2的中点为 D，确定出点 C 的运动路径是以 D 为圆心，以DC1为半径的圆，当
19、 O、C、D 共线时， OC 的长最小，先求D 的半径，说明 D 是 AB 的中点，设线段 AB 交B 于 Q，根据直角三角形斜边中线是斜边中线的性质求出 OD 长，则可求出 OC 的最小值. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：圆锥底面半径为 3cm，母线长为 4cm， 圆锥的侧面积为 3 4 = 122. 故答案为：C. 【分析】利用圆锥的侧面积等于Rr（R 是展开扇形的半径，r 是底面圆的半径） ，代入计算可求解. 10 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 OP，作过点 P 作 PEx 轴于点 E， 点 P 和点 A 关于点 C 对称，点 C 的运动轨迹是以点 B 为圆心，半径为
20、 1 的圆， 点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心，以 AO 为半径的圆. 当点 C 在B 上运动时， 所有这样的点 P 组成的图形与直线 y=kx3k （k0） 有且只有一个公共点，直线 y=kx3k（k0）过定点 D(3，0)， OPPD， OPD=90 ， 在 RtOPD 中，OP=OA=2，OD=3， 由勾股定理得：PD= 2 2 = 5 由等积法，可得：ODPE=OPPD， 即：3 PE=2 5 ， 解得：PE= 253 在 RtOPE 中，OE= 2 2 = 43 点 P 的坐标为( 43 ， 253 ) 把点 P 的坐标代入 y=kx3k，得： 253=43 3 ， 解得：k= 2
21、55 . 故答案为：C. 【分析】连接 OP，作过点 P 作 PEx 轴于点 E，由题意可得：点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心，AO 为半径的圆，直线 y=kx-3k（k0）过定点 D(3，0)，利用勾股定理可得 PD，根据OPD 的面积公式可得PE，然后利用勾股定理求出 OE，进而可得点 P 的坐标，接下来将点 P 的坐标代入 y=kx-3k 中进行计算就可得到 k 的值. 11 【答案】A 【解析】【解答】解：过 B 作直径 BD，连接 AD， BD 为直径， BAD90 ， DC， sinDsinC =35， AB6， BD10， O 的半径为 5. 故答案为：A. 【分析】过 B 作
22、直径 BD，连接 AD，根据圆周角定理可得BAD90 ，DC，然后根据正弦函数的概念可得 BD 的值，进而可得半径. 12 【答案】72 【解析】【解答】解：ACB=12AOB，ACB=36 ， AOB=2 ACB=72 故答案为：72 【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍可得AOB=2ACB，据此计算. 13 【答案】3 【解析】【解答】解： = 2 = 2， = 1， 矩形 ABCD 中， = = 1， = = 90， 由旋转可知 = ， = 2 = 2， = = 2， cos=12， = 60， = 30， 线段 AB 扫过的面积=3022360=3. 故答案为：3. 【分析
23、】根据已知条件可得 BC=1，根据矩形的性质可得 AD=BC=1，D=DAB=90 ，由旋转的性质可得 AB=AB=2，求出 cosDAB的值，得到DAB、BAB的度数，然后结合扇形的面积公式进行计算. 14 【答案】35 【解析】【解答】解：如图，连接 AO 并延长，交 于点 E，连接 BE 为 的直径， = 90， + = 90， 为 的切线， = 90， + = 90， = = 35， = = 35 故答案为：35. 【分析】连接 AO 并延长，交O 于点 E，连接 BE，根据圆周角定理可得C=E，ABE=90 ，根据切线的性质可得DAE=90 ，由同角的余角相等可得E=BAD=35 ，
24、据此解答. 15 【答案】1 【解析】【解答】解：连接 OA、OC， = 45， = 2 = 90， 2+ 2= 2，即22= 2， 解得： = 1， 故答案为：1. 【分析】连接 OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍可得AOC=2ABC=90 ，然后利用勾股定理进行计算即可. 16 【答案】32 【解析】【解答】解：连接 OA， PA 与O 相切于点 A， PAO=90 ， O=90 -P， P=26 ， O=64 ， C=12O=32 . 故答案为：32. 【分析】连接 OA，根据切线的性质可得PAO=90 ，则根据三角形的内角和求出O 的度数，由同弧所对的圆周角等于圆心角
25、的一半即可求出C 的度数. 17 【答案】62 【解析】【解答】解：连接 BD ， AB 是 的直径， = 90 ， = ， = = 28 ， = 90 = 62 故答案为：62. 【分析】连接 BD，根据圆周角定理可得ADB=90 ，BAC=BDC=28 ，然后根据ADC=ADB-BDC 进行计算. 18 【答案】49 【解析】【解答】解：AB 是直径，AC 是切线， A=90 ， AOD=82 ， B=41 ， C=90 -41 =49 . 故答案为：49. 【分析】根据切线的性质得出A=90 ，根据圆周角定理得出B=12AOD=41 ，即可得出C=90 -41 =49 . 19 【答案】
26、100 【解析】【解答】解：设 P（x，y） ， PA2（x1）2y2，PB2（x1）2y2， PA2PB22x22y222（x2y2）2， OP2x2y2， PA2PB22OP22， 当点 P 处于 OM 与圆的交点 P处时，OP 取得最大值，如图， OP 的最大值为 OPOMPM42+ 3227， PA2PB2最大值为 2 722100. 故答案为：100. 【分析】设 P（x，y） ，根据两点间距离公式表示出 PA2、PB2，结合 OP2x2y2可得 PA2PB22OP2 2，当点 P 处于 OM 与圆的交点 P处时，OP 取得最大值，最大值为 OPOMPM，据此计算. 20 【答案】8
27、 【解析】【解答】解：连接 OA，OC， AB 与小圆相切， OCAB， C 为 AB 的中点，即 ACBC=12AB， 在 RtAOC 中，OA5cm，OC3cm， 根据勾股定理得：AC= 2 2=4cm， 则 AB2AC8cm. 故答案为：8. 【分析】连接 OA，OC，根据切线的性质可得 OCAB，根据垂径定理可得 ACBC=12AB，利用勾股定理求出 AC，进而可得 AB. 21 【答案】（1）解：直线 AD 与圆 O 相切，理由如下： 如图，连接 OA， ， D=DBC， AB=AD， D=ABD， = 60， DBC=ABD=D=30 ， BAD=120 ， OA=OB， BAO=
28、ABD=30 ， OAD=90 ， OAAD， OA 是圆的半径， 直线 AD 与园 O 相切， （2）解：如图，连接 OC，作 OHBC 于 H， OB=OC=6， OCB=OBC=30 ， BOC=120 ， =12 = 3， = 2 2= 33， = 2 = 63， 扇形 BOC 的面积为12062360= 12， =12 =12 63 3 = 93， 阴影部分的面积为扇形= 12 93 【解析】【分析】 （1）连接 OA，根据平行线的性质得D=DBC，根据等腰三角形的性质得D=ABD，则DBC=ABD=D=30 ，BAO=ABD=30 ，推出OAD=90 ，据此证明； （2）连接 OC
29、，作 OHBC 于 H，由等腰三角形的性质“等边对等角”得OCB=OBC=30 ，则BOC=120 ， OH=12OB=3， 利用勾股定理可得BH， 由垂径定理可得BC=2BH， 然后根据S阴影=S扇形BOC-SBOC进行计算. 22 【答案】（1）解：操作： 交流： 60 9 (18028) = (6028) ，或 19 (18028) 2 60 = (6028) ； 探究：设 60 (180) = (60) ，解得 = 3 + 1 （ 为非负整数） 或设 (180) 60 = (60) ，解得 = 3 1 （ 为正整数） 所以对于正整数 （ 不是 3 的倍数） ，都可以仅用圆规将半圆 的圆
30、心角 = (180) 所对的弧三等分； （2）解：如图 【解析】【分析】 （1）操作：分别构造 60 弧、15 弧、12 弧、6 弧即可解决问题； 交流：当 n=28 时，三者之间的数量关系为60 9 (18028) = (6028)； 探究：设 60 (180) = (60) 或设(180) 60 = (60)，用含 k 的式子表示出 n 即可； （2）以 P 为端点，用半径去截圆，与圆交于一点，再以该点为端点，重复上述步骤，得到点 D，以 Q为圆心，QP 为半径画弧，与圆交于一点 C，则弧即为所作. 23 【答案】（1）解：解： （1）BD 为O 的直径， BCDDCE90 ， AC 平分
31、BAD， BACDAC=45 ， = ， BC=DC=22， =sin45=2222= 4. 答：直径 BD 的长为 4. （2）解：在圆 O 中，= ， 弓形 BC 的面积等于弓形 DC 的面积， 阴影部分的面积等于DCE 的面积 = = 52 22 = 32， S阴影部分=SDCE=12 =12 32 22 = 6. 答：阴影部分的面积为 6. 【解析】【分析】 （1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得BCDDCE90 ，利用角平分线的定义可证得BACDAC=45 ，利用圆周角定理可推出 BC=DC；再利用解直角三角形求出 BD 的长. （2）利用在圆 O 中，= ，可证得阴影部分的面积等
32、于DCE 的面积；再求出 CE 的长；然后利用三角形的面积公式求出阴影部分的面积. 24 【答案】（1）证明： 所对的圆周角是 ， ， = ， 又 = ， （2）解： 是等边三角形， = = = 6 = 2 ， = 3， = 2， = 4， ， = ， 2=4， = 8； 连接 ， 如图， = ， = = ， 又 = ， ， = ， 2= = ( + ) = 2+ ， 62= 2+ 8 ， = 27 （负值舍去） 6=274 ， 解得， =1277 【解析】【分析】 （1）根据圆周角定理可得A=E，由对顶角的性质可得BDA=CDE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明； （2）根据等边三角形的
33、性质得 AC=AB=BC=6，结合已知条件可得 AC=3AD，则 AD=2，DC=4，然后根据相似三角形的性质可得 BD DE=8，连接 AE，由圆周角定理可得BAC=BEA，证明ABDEBA，根据相似三角形的性质可得 BD、CE 的值. 25 【答案】（1）D （2）解：连接 AE，BD， 等腰 中， = 90， BD 是O 的直径，BED=BAD =90 ， AC=AB=1， = 2+ 2= 2， =12(180 ) = 45， 四边形为圆美四边形， BDAE， = ， AD=ED， BD=BD， RtABDRtEBD（HL） ， BE=AB=1， CE=BC-BE= 2 1， CED=1
34、80 -BED=90 ， = 90 = 45， = = 2 1； （3）解：四边形是圆美四边形，理由： 连接 BD，AF，设 AF 与 BC 交点为 G， 则ACB=ADB，CAF=CBF， AD 是O 的直径， ABD=90 ， BAD+ADB=90 ， 2= ， =， APB=BPE， APBBPE， BAD=CBF， CAF=BAD， ACB+CAF=ADB+BAD=90 ， AGC=180-（ACB+CAF）=90 ， AFBC， 四边形是圆美四边形. 【解析】【解答】解： （1）圆美四边形满足对角互补，对角线互相垂直两个条件， 正方形是圆美四边形， 故答案为：D； 【分析】 （1）根
35、据圆内接四边形的对角互补可排除 A、C，根据对角线互相垂直排除 B，从而即可得出答案； （2） 连接 AE，BD，先判断出BED=BAD =90 ， 根据等腰直角三角形的性质求出 BC=2，C=45 ， 由圆美四边形可得 BDAE， 由垂径定理及弧、 弦、 圆心角的关系可得 AD=ED， 证明 RtABDRtEBD， 可得 BE=AB=1， 从而求出 CE=BC-BE= 2 1， 再根据等腰直角三角形， 可得 DE 的长； （3） 四边形 ABFC 是圆美四边形， 理由： 连接 BD， AF， 设 AF 与 BC 交点为 G， 证明APBBPE，可得BAD=CBF，从而求出AGC=90 ，根据
36、圆美四边形的定义即证. 26 【答案】（1）tanDCE=12 （2）解：如图中，点 P 即为所求， 作法：取个点 T，连接 AT 交O 于点 P，点 P 即为所求； 证明：由作图可知，OMAP，OM 是半径， = . （3）解：如图中，点 P 即为所求， 作法：取各店 J、K，连接 JK 交 AB 于点 P，点 P 即为所求。 【解析】【解答】解： 【操作探究】在网格中取格点 E，构建两个直角三角形，分别是ABC 和CDE. 在 RtABC 中，tan =12 在 RtCDE 中，tan =12， 所以tan = tan. 所以BAC=DCE. 因为ACP DCE =ACB =90 ， 所以
37、ACP +BAC =90 ， 所以APC =90 ， 即 ABCD. 故答案为：tan =12； 【分析】 （1）在网格中取格点 E，构建两个直角三角形，分别是ABC 和CDE，利用三角函数的概念求出 tanBAC、tanDCE 的值，得到BAC=DCE，结合ACP+DCE=ACB=90 可得ACP +BAC=90 ，利用内角和定理可得APC =90 ，据此解答； （2） 取格点 T， 连接 AT 交O 于点 P， 点 P 即为所求， 由作图可知： OMAP， OM 是半径， 则= ； （3）取各店 J、K，连接 JK 交 AB 于点 P，由圆周角定理可得APM=ABM，又MAP=MAB，则M
38、APMAB，则 AM2=AP AB. 27 【答案】（1）解：由题意得， = = 90， 在 中， = 30， = 3，cos =， =cos=3cos30= 23. （2）解：当点 E 在 BC 上方时， 如图一，过点 D 作 DHBC 于点 H， 在 中， = 90， = 30， = 3， tan =， =tan=3tan30= 33， 在 中， = 90， = = 30， = 3，tan =， = tan30 = 3， 点 C、E、D 在同一直线上，且 = 90， = 180 = 90， 在 中， = 90， = 33， = 3， = 2 2= 32， = + = 32 + 3， =12
39、 =12 ， = 6 + 1； 当点 E 在 BC 下方时， 如图二，过点 D 作 DMBC 于点 M， = 90， = 3， = 33， = 2 2= 32， = = 32 3， =12 =12 ， = 6 1， 综上，点 D 到直线 BC 的距离为6+1 或6-1. （3）解：如图三，取的中点，连接，则 =12 = 3， 点 G 在以 O 为圆心，3为半径的圆上， 当三角板 DEB 绕点 B 顺时针由初始位置旋转到点 C、B、D 首次在同一条直线上时， 点 G 所经过的轨迹为 150 所对的圆弧， 点 G 所经过的路径长=1503602 3 =536. （4）734 【解析】【解答】解：
40、（4）如图四，过点 O 作 OKAB 于 K， 点 O 为 BC 中点，BC=33， OB=12BC=332， 在 Rt OKB 中，KBO=30 ， OK=33212=334， 由（3）可知：点 G 在以 O 为圆心，3为半径的圆上， 点 G 到直线 AB 的距离最大值=3+334=734. 故答案为：734. 【分析】 （1）在 中，有 = 30， = 3，根据 30 角的余弦即可求得 BF 的长； （2） 分两种情况： 当点 E 在 BC 上方， 如图一过点 D 作 DHBC 于点 H， 解直角三角形得 BC=33， = tan30 = 3，由勾股定理求得 CE=32，从而得 CD=32
41、+3，再由三角形 BCD 的面积得 =，代入数据计算即可；当点 E 在 BC 下方时，如图二，过点 D 作 DMBC 于点 M，由勾股定理求得 CE=32，则 CD=32-3，同理由三角形 BCD 的面积得 =，代入数据计算即可； （3）如图三，取的中点，连接，则 =12 = 3，则点 G 在以 O 为圆心，3为半径的圆上，当三角板 DEB 绕点 B 顺时针由初始位置旋转到点 C、B、D 首次在同一条直线上时，点 G 所经过的轨迹为 150 所对的圆弧，最后由弧长计算公式代入数据即可求解； （4）如图四，过点 O 作 OKAB 于 K，由点 O 为 BC 中点，BC=33，求得 OB=12BC=332，解直角三角形可求得 OK=334，由（3）可知：点 G 在以 O 为圆心，3为半径的圆上，即得点 G 到直线 AB的距离最大值