1、 第第 1212 讲讲 图形认识初步、平行线与相交线图形认识初步、平行线与相交线 一、单选题一、单选题 1如图，已知骰子相对两面的点数之和为 7，下列图形为该骰子表面展开图的是（ ） A B C D 2 （2022 南通）如图， ，3 = 80，1 2 = 20，则1的度数是（ ） A30 B40 C50 D80 3 （2022 盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A强 B富 C美 D高 4 （2022 盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则与的关系是（ ） A互余 B互补 C同位角 D同旁内角
2、 5 （2022 南通模拟）如图，下列四个选项中不能判断 / 的是（ ） A1 = 3 B + = 180 C = 5 D2 = 4 6 （2022 常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路.小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ） A垂线段最短 B两点确定一条直线 C过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 7（2022 苏州）如图， 直线 AB 与 CD 相交于点 O， = 75 ， 1 = 25 ， 则 2 的度数是 （ ） A25 B30 C40 D50 8 （2022 宿迁）如图，ABED，若
3、1=70 ，则2 的度数是（ ） A70 B80 C100 D110 9 （2022 沭阳模拟）已知长方形纸条 ABCD，点 E、G 在 AD 边上，点 F、H 在 BC 边上.将纸条分别沿着 EF、GH 折叠，如图，当 DC 恰好落在上时，1与2的数量关系是（ ） A1 + 2 = 135 B2 1 = 15 C1 + 2 = 90 D22 1 = 90 10 （2022 建湖模拟）如图，1 2，将一副直角三角板作如下摆放，图中点 A、B、C 在同一直线上，则1的度数为（ ）. A60 B75 C80 D85 二、填空题二、填空题 11 （2022 镇江）一副三角板如图放置， = 45， =
4、 30， ，则1 = 12 （2022 南通模拟）如图，在四边形 中， = 90 ， / ， = ， ，垂足为 . 若 = 4 ， = 3 ，则 的长为 13（2022 扬州）将一副直角三角板如图放置， 已知 = 60， = 45， ， 则 = . 14 （2022 泗洪模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，在边 BC 上取点 P，使DAP 的平分线过 DC 的中点 Q，则线段 BP 的长等于 . 15 （2022 江苏模拟）如图，已知 AB 是O 的直径，BC 为弦，过圆心 O 作 ODBC 交弧 BC 于点 D，连接 DC， 若DCB34 ，则BAC . 16 （2021 常州
5、模拟）如图，EFG 的三个顶点 E，G 和 F 分别在平行线 AB，CD 上，FH 平分EFG，交线段 EG 于点 H，若AEF36 ，BEG57 ，则EHF 的大小为 . 17 （2021 泰州）如图，木棒 AB、CD 与 EF 分别在 G、H 处用可旋转的螺丝铆住，EGB100 ，EHD80 ，将木棒 AB 绕点 G 逆时针旋转到与木棒 CD 平行的位置，则至少要旋转 . 18 （2021 常州）中国古代数学家刘徽在九章算术注中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示，在 中，分别取 、 的中点 D、E，连接 ，过点 A 作 ，垂足为 F，将 分割后拼接成矩形 .若 = 3， =
6、2 ，则 的面积是 . 19 （2021 洪泽模拟）如图，一副三角板按图示放置，已知AOC65 ，则AOB . 20 （2021 高港模拟）如图，已知直线 ABCD，FCD110 且 AEAF，则 . 三、综合题三、综合题 21 （2021 泰州）如图 （1）如图，O 为 AB 的中点，直线 l1、l2分别经过点 O、B，且 l1l2，以点 O 为圆心，OA 长为半径画弧交直线 l2于点 C，连接 AC.求证：直线 l1垂直平分 AC； （2）如图，平面内直线 l1l2l3l4，且相邻两直线间距离相等，点 P、Q 分别在直线 l1、l4上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l4上求作一点D，
7、 使线段PD最短. （两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹） 22 （2021 常州）如图，B、F、C、E 是直线 l 上的四点， /， = ， = . （1）求证： ； （2）将 沿直线 l 翻折得到 . 用直尺和圆规在图中作出 （保留作图痕迹，不要求写作法） ； 连接 ，则直线 与 l 的位置关系是 . 23 （2021 建湖模拟）如图 1，点 D 在线段 AB 上，在ABC 和ADE 中，ABAC，DEDA，DEAC. （1）求证：BCAE； （2）若 D 为 AB 中点，请用无刻度的直尺 在图 2 中作BAC 的平分线 AF.（保留画图痕迹，不写画法） 24 （2021 大丰模拟）
8、如图， 中，点 为 的中点. （1）过点 作 / ； （尺规作图，并保留作图痕迹，不写作法.） （2） 在线段 上任意找一点 （不与 、 重合） ， 连接 并延长， 交 于点 连接 ， .求证：四边形 是平行四边形. 25 （2021 江阴模拟）如图， 的对角线 、 相交于点 O，且 = . （1）求证： ； （2）求证： / . 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】D 【解析】【解答】解：A、2 的对面是 4，点数之和不为 7，故 A 项错误； B、2 的对面是 6，点数之和不为 7，故 B 项错误； C、2 的对面是 6，点数之和不为 7，故 C 项错误； D、1 的对面是 6，2 的对
9、面是 5，3 的对面是 4，相对面的点数之和都为 7，故 D 项正确. 故答案为：D. 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，然后根据相对两面的点数之和为 7进行判断. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：过点 A 作 ca， ab， abc， 2=4，1=5， 3=4+5=1+2=80 ，1-2=20 ， 解之：1=50 . 故答案为：C. 【分析】过点 A 作 ca，利用平行线的性质可证得2=4，1=5，由3=4+5 可得到1+2=80 ，然后结合已知条件可求出1 的度数. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得： “盐”字所在面相对的面上的汉字是“高”. 故
10、答案为：D. 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点 G 作 GH 平行于 BC，则 GHDE， = ， = ， + = 90， + = 90 故答案为：A 【分析】过点 G 作 GHBC，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得 GHBCDE，根据平行线的性质可得ABC=AGH，DEF=FGH，然后结合AGH+FGH=90 进行解答. 5 【答案】D 【解析】【解答】解： 、 1 = 3 ， / ，故此选项不符合题意； B、 + = 180 ， / ，故此选项不符合题意； C、 = 5 ， / ，故此选项不
11、符合题意； D、 2 = 4 ， / ，故此选项符合题意； 故答案为：D. 【分析】内错角相等，两直线平行，据此判断 ACD；同旁内角互补，两直线平行，据此判断 B. 6 【答案】A 【解析】【解答】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短. 故答案为：A. 【分析】根据垂线段最短的性质进行解答即可. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：由题可知 = = 75 ， 1 = 25 ， 2 = 1 = 75 25 = 50 . 故答案为：D. 【分析】由对顶角的性质可得BOD=AOC=75 ，然后根据2=BOD-1 进行计算. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：如图： AB
12、ED， 3+2=180 ， 3=1，1=70 ， 2=180 -3=180 -1=180 -70 =110 . 故答案为：D. 【分析】 对图形进行角标注， 根据平行线的性质可得3+2=180 ， 根据对顶角的性质可得3=1=70 ，据此计算. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， GDC=90 ， + = 90， 根据折叠的性质，得= 22，= 21， 180 -21+180 -22=90 ， 解得1 + 2 = 135. 故答案为：A. 【分析】根据矩形的性质可得GDC=GDE=90，则GED+EGD=90，根据折叠的性质可得DGD=22，AEA=21，结合平角的
13、概念可得 180 -21+180 -22=90 ，据此求解. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过 C 点作 CFl2，由题意可知：ACG30 ，EDB45 ， CFl2，1 2， CFl1， CFl2， DCFEDB45 ， ACG30 ， GCD150 ， GCFGCDDCF150 45 105 . CFl1， 1180 GCF180 105 75 . 故答案为：B. 【分析】过 C 点作 CFl2，由题意可知：ACG30 ，EDB45 ，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得 CFl1，根据平行线的性质可得DCFEDB45 ，根据邻补角的概念可得GCD180 -ACG=150
14、 ，则GCFGCDDCF105 ，然后根据平行线的性质进行计算. 11 【答案】105 【解析】【解答】解：如图， ， 2 = = 45 ， = 30 ， = 90 ， = 60 ， 1 = 2 + = 45 + 60 = 105 故答案为：105. 【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得2=A=45 ，由内角和定理可得D=60 ，由外角的性质可得1=2+D，据此计算. 12 【答案】1 【解析】【解答】解： / ， = ， ， = 90 ， = = 90 ， 在 和 中， = = = ， () ， = = 4 ， = = 3 ， = ， 由勾股定理可得： = 2+ 2= 42+ 32
15、= 5 ， = = 5 4 = 1 ， 故答案为：1. 【分析】根据平行线的性质可得ADB=EBC，根据垂直的概念可得BEC=90 ，有已知条件可知BD=BC，证明ABDECB，得到 AD=BE=4，AB=CE=3，BD=BC，利用勾股定理求出 BC，然后根据 DE=BD-BE 进行计算. 13 【答案】105 【解析】【解答】解： = = 45， ， = = 45， E=60 ， F=30 ， = = 180 = 105 故答案为：105. 【分析】根据平行线的性质可得FAN=B=45 ，根据余角的性质可得F=90 -E=30 ，由对顶角的性质可得BND=ANF，然后结合内角和定理进行计算.
16、 14 【答案】83 【解析】【解答】解：如图，延长 BC，AQ 交于点 E， 点 Q 是 CD 中点， CQDQ， 四边形 ABCD 是矩形， BCAD，BCAD3， CQEDQA， = 1， CEAD3， BE6， AQ 平分PAD， PAQDAQ， BCAD， EDAQ， EPAQ， APPE， 在 RtABP 中，AP2AB2+BP2， （6BP）24+BP2， BP=83. 故答案为：83. 【分析】延长 BC，AQ 交于点 E，根据中点的概念可得 CQDQ，根据矩形的性质可得 BCAD，BCAD3，证明CQEDQA，根据相似三角形的性质可得 CEAD3，则 BE6，由角平分线的概念
17、可得PAQDAQ，由平行线的性质可得EDAQ，推出 APPE，接下来利用勾股定理计算即可. 15 【答案】68 【解析】【解答】解： BOD 与BCD 为 BD 所对的圆心角和圆周角，DCB34 ， BOD=2BCD=68 ， AB 是O 的直径， ACBC， 又 ODBC， ， BAC=BOD=68 . 故答案为： 68 . 【分析】根据圆周角定理可得BOD=2BCD=68 ， ACBC，推出 ACOD，然后根据平行线的性质进行解答. 16 【答案】75 【解析】【解答】解：AEF36 ，BEG57 ， FEH180 36 57 87 ； ， EFGAEF36 ， FH 平分EFG， EFH
18、 =12EFG =1236 18 ， EHF180 FEHEFH180 87 18 75 . 故答案为：75 . 【分析】根据平角的概念可得FEH87 ，根据平行线的性质可得EFGAEF36 ，根据角平分线的概念可得EFH18 ，然后根据内角和定理进行计算. 17 【答案】20 【解析】【解答】解：过点 G 作 MN，使EHDEGN=80 ， MN/CD， EGB100 ， BGN=EGB-EGN=100 -80 =20 ， 至少要旋转 20 . 【分析】过点 G 作 MN，使EHDEGN=80 ，可得 MN/CD，利用平行线的性质可得BGN= EGB-EGN=20 ，据此即得结论. 18 【
19、答案】12 【解析】【解答】解：D 是 的中点，四边形 是矩形， AD=BD，G=AFD=90 ， 又ADF=BDG， ， DF=DG，AF=BG=2， 同理： ， EF=EH， GH=2(DF+EF)=2DE=2 3=6， 的面积=矩形 的面积=2 6=12. 【分析】易证ADFBDG，AEFCEH，得到 DF=DG，AF=BG=2，EF=EH，据此可求得 GH 的 值，然后根据ABC 的面积=矩形 BCHG 的面积进行求解. 19 【答案】155 【解析】【解答】解：BOC90 ， AOC65 ， AOBAOC+BOC65 +90 155 故答案为：155. 【分析】结合学具的性质，根据角
20、的构成AOBAOC+BOC 可求解. 20 【答案】40 【解析】【解答】解：ABCD， DCFBFC180 ， BFC70 ， EFA70 ， 又AEF 中，AEAF， EEFA70 ， A180BFCEFA40 . 故答案为：40. 【分析】根据平行线的性质可得DCFBFC180 ，结合FCD 的度数可得BFC 的度数，根据对顶角的性质可得EFABFC70 ，根据等腰三角形的性质可得EEFA70 ，然后结合内角和定理进行计算. 21 【答案】（1）证明：如图，连接 OC， OB=OA，l1l2， 直线 l1平分 AC， 由作图可知：OB=OA=OC， ACB=90 ， l2垂直 AC， l
21、1l2， l1垂直 AC， 即直线 l1垂直平分 AC （2）解：如图，以 l2与 PQ 的交点 O 为圆心，OP 长为半径画弧交直线 l3于点 C，连接 PC 并延长交直线 l4于点 D，此时线段 PD 最短，点 D 即为所求. 【解析】【分析】 （1） 如图，连接 OC，由 OB=OA，l1l2，可得直线 l1平分 AC，由 OB=OA=OC， 可求出ACB=90 ，从而可得 l1垂直 AC，继而得出结论； （2） 以 l2与 PQ 的交点 O 为圆心， OP 长为半径画弧交直线 l3于点 C， 连接 PC 并延长交直线 l4于点 D，此时线段 PD 最短，点 D 即为所求. 22 【答案
22、】（1）证明： = ， BC=EF， / ， ABC=DEF， 又 = ， （2）解：如图所示， 即为所求； ；平行 【解析】【解答】 （2） l，理由如下： ， 与 关于直线 l 对称， ， 过点 作 Ml，过点 D 作 DNl，则 MDN，且 M=DN， 四边形 MND 是平行四边形， l， 故答案是：平行. 【分析】 （1）由 BF=CE 可得 BC=EF，由平行线的性质可得ABC=DEF，然后根据全等三角形的判定定理进行证明； （2）找出点 A 关于直线 l 的对称点 A，然后连接 A、B、C 即可； 易得ABCDEF，过点 A作 AMl，过点 D 作 DNl，则 AMDN，且 AM=
23、DN，推出四边形 AMND 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论. 23 【答案】（1）证明：DEAC， CAB=ADE， 又 AB=AC，DE=DA， ABC=ACB= 12 (180CAB)， 同理可得：DAE=DEA= 12 (180ADE)， ABC=DAE， BCAE. （2）解：如图 3 所示，AF 为所作. 【解析】【分析】 （1）由平行线的性质得CAB=ADE， 由等腰三角形的性质得ABC=ACB=12 (180CAB)，DAE=DEA=12(180ADE)，从而得出ABC=DAE， 即可得出 BCAE； （2）延长 ED 交 BC 于点 F，过点 F 作射线 AF，
24、该线就是所求的线；因为易证DBF 是等腰三角形，根据等腰三角形的两腰相等得 BD=DF，结合中点的定义可以推出 AD=DF，根据等边对等角得出 DAF=DFA，根据平行线的性质得出DFA=CAF，故CAF=DAF，从而得出 AF 就是BAC 的角平分线. 24 【答案】（1）解：如图所示： / （2）证明：如图所示： / = 点 为 的中点 = 在 和 中 = = = （ASA） = / 四边形 是平行四边形 【解析】【分析】 （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法，作PBA=BAC 即可； （2）由平行线的性质可得FBA=EAB，由线段中点的概念可得 AD=BD，证明ADEBDF，得到 AE=BF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明. 25 【答案】（1）下面： 的对角线 、 相交于点 O， = ， 在 和 中， = = = ， () ； （2）证明：由（1） ， OBE=ODF， BEDF. 【解析】【分析】 （1） 由平行四边形的性质得出 OB=OD， 由 SAS 证明 BOEDOF 即可； （2） 由 （1）的结论证明OBE=ODF，即可得出 BEDF.