1、安徽省芜湖市普通高中2022-2023学年高二上期中联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知向量，若，则（ ）A.3B.C.12D.2.过点且与直线垂直的直线的方程是（ ）A.B.C.D.3.圆关于直线对称的圆的方程为（ ）A.B.C.D.4.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围为（ ）A.B.C.D.5.美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图，
2、假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为1cm，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（ ）A.B.C.D.6.已知点，分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.7.在正三棱锥中，且，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ）A.B.C.D.8.已知正方体的棱长为2，、分别是棱、的中点，点为底面四边形内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）A.2 B.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小
3、题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列正确的是（ ）A.B.C.D.10.圆和圆的交点为，则有（ ）A.公共弦所在直线的方程为B.公共弦所在直线的方程为C.公共弦的长为D.为圆上一动点，则到直线距离的最大值为11.设椭圆的左、右焦点分别为，是上的动点，则（ ）A.B.椭圆的离心率为C.面积的最大值为D.椭圆上有且只有4个点，使得是直角三角形12.在长方体中，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A.当为中点时，为锐角B.存在点，使得平面C.的最小值D.顶点到平面的最大距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，
4、共20分.13.在线段上运动，已知，则的取值范围是_.14.已知四棱柱的底面是正方形，底面边长和侧棱长均为2，则四棱柱体对角线的长为_.15.已知圆与圆相交于，两点，则_.16.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与所成角的正弦值的最小值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知空间向量，.（1）若，求；（2）若，求实数的值.18.（12分）已知圆，直线.（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的最短弦长以及此时直线的方程.19.（12分）已知点，动点满足.（1）若点的轨迹为曲线，求此曲线
5、的方程；（2）若点在直线上，直线经过点且与曲线只有一个公共点，求的最小值.20.（12分）在四棱锥中，平面平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.21.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，且离心率为.（1）求的方程；（2）直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，求证：，四点共圆.22.（12分）如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中，与相交于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）.（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
6、.1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.B 8.D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BCD10.AD11.ACD12.ABD第卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.15.16. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为，得，故.（5分）（2），由，得，得的值为.（10分）18.【解析】（1）直线化为，则，解得，所以直线恒过定点，（3分）圆心，半径，又因，所以点在圆内，所以不论
7、取什么实数，直线与圆恒交于两点；（6分）（2）当直线所过的定点为弦的中点，即时，直线被圆截得的弦长最短，最短弦长为，（9分），所以直线的斜率为2，即，解得，所以直线的方程为.（12分）19.【解析】（1）设点的坐标为，则，化简可得，此方程即为所求.（5分）（2）曲线是以点为圆心，4为半径的圆，如图所示.由题意知直线是此圆的切线，连接，则，当最小时，最小，此时，（10分）则的最小值为.（12分）20.【解析】（1）作于点，因为平面平面，平面平面则平面，平面，则.又，平面，平面，则.因，所以平面.（5分）（2）取中点为，则由，得又平面，得，所以平面以为原点，方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标
8、系，则，设平面的法向量为，则，则，令，则（7分）设平面的法向量为，则，则，令，则（9分）故故二面角的正弦值为.（12分）21.【解析】（1）由题意知，解得，所以的方程为.（5分）（2）证明：设点（不妨设，则点，由，消去得，所以，所以直线的方程为.（7分）因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点.（9分）所以，所以，所以，同理.（11分）则以为直径的圆恒过焦点，即，四点共圆.综上所述，四点共圆.（12分）22.【解析】（1），.如下图所示，连接，则，所以，所以，结合折叠前后图形的关系可知，故四边形为正方形，即为的中点，.侧面底面，侧面底面，平面，（3分）易知，两两垂直.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则，.设平面的法向量为，则，令，得，则为平面的一个法向量，则点到平面的距离.（5分）（2）假设存在满足题意的点，且.，.设平面的法向量为，又，令，则，取为平面的一个法向量.（7分）易知平面的一个法向量为，二面角的余弦值为，（10分）化简，得，解得或（舍去）.线段上存在满足题意的点，且.（12分）