1、2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高二年级上期中数学试卷一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）1. 已知集合，则()A. B. C. D. 2. 已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点，则圆C的方程为()A. B. C. D. 3. 党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管水管半径忽略不计，它喷出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱的最大高度为()A.
2、B. C. D. 4. 已知函数，则的解集为()A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线上，则下列曲线中，与曲线C的实轴长相等的双曲线是()A. B. C. D. 6. 已知函数，下列说法正确的是()A. 函数的最小正周期是B. 函数的最大值为C. 函数的图象关于点对称D. 函数在区间上单调递增7. 设P为直线上的动点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，则的最小值为()A. B. C. D. 8. 已知F是椭圆的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若，且，则椭圆E的离心率为()A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4题，每题5分，
3、共20分）9. 下列说法正确的是()A. 命题“，”的否定为“”B. 在中，若“”，则“”C. 若，则的充要条件是D. 若直线与平行，则或210. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是()A. B. 向量与所成角的余弦值为C. 平面AEF的一个法向量是D. 点D到平面AEF的距离为11. 已知直线l与抛物线交于A，B两点，则下列说法正确的是()A. 若点D的坐标为，则B. 直线AB过定点C. D点的轨迹方程为原点除外D. 设AB与x轴交于点M，则的面积最大时，直线AB的斜率为112. 在正方体中，点M在正方体内部及表面上运动，下列说
4、法正确的是()A. 若M为棱的中点，则直线平面BDMB. 若M在线段上运动，则的最小值为C. 当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为D. 若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 某中学高一年级有600人，高二年级有480人，高三年级有420人，因新冠疫情防控的需要，现用分层抽样从中抽取一个容量为300人的样本进行核酸检测，则高三年级被抽取的人数为_.14. 设双曲线的左、右焦点分别为，P是渐近线上一点，且满足，则双曲线C的离心率为_.15. 已知动点在运动过程中总满足关系式，记，则面积的最大值为_.16. 在圆幂定理中有一个切
5、割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是_.四、解答题（本大题共6题，共70分）17. 已知双曲线的左右焦点分别为，点M在双曲线C的右支上，且，离心率求双曲线C的标准方程;若，求的面积.18. 10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制即先胜三局的团队获得比赛的胜利，假设在
6、一局比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，各局比赛结果相对独立.求这场选拔赛三局结束的概率;若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.19. 已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且求角B的大小;若，求面积的取值范围.20. 已知点，点A关于直线的对称点为点求B点坐标;在中，求面积的最大值.21. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，E为PA中点.求证：面求证：面点Q在棱PB上，设，若二面角的余弦值为，求22. 已知椭圆过点，A为左顶点，且直线DA的斜率为求椭圆C的标准方程;设在椭圆内部，在椭圆外部，过M作斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，若，求证：
7、为定值，并求出这个定值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：，2.【答案】B【解析】圆心，半径，故圆C方程为3.【答案】C【解析】解：取一截面建系如图，设抛物线方程为，记最大高度为h，如图：，在抛物线上，故两式相除有，解得4.【答案】D【解析】解：因为，所以为偶函数，当时，又，在上均为增函数，所以在上均为增函数，所以，即，解得或，所以的解集为5.【答案】B【解析】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点，是双曲线的顶点，故双曲线C的实轴长6.【答案】D【解析】解：由知A，B错误.由，所以C错误.当时，所以D正确.7.【答案】D【解析】解：连接CA，CB，有，由PC垂直平分A
8、B，知其中d为圆心C到直线l的距离，有，8.【答案】C【解析】设椭圆右焦点为，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，因为，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，即故椭圆离心率9.【答案】BC【解析】解：对否定为：，所以A错误;对D，当时，两直线重合，所以D错误.由正弦定理可知B正确，C中由a与b同号易判断.10.【答案】BCD【解析】解：对于A，正方体中，故A错误;对于B，故向量夹角余弦值为，故B正确;对于C，故是平面AEF的一个法向量，故C正确;对于D，则点D到平面AEF的距离为，故D正确.11.【答案】ABC【解析】，由知AB方程为，联立，消去x有，记，则，由，故A正确;对选项BC
9、D，可设，代入有，则，由，故直线AB为，过定点，即，故B正确;由，得D在以OM为直径的圆：上运动原点除外，故C正确;当时，面积最大，此时，有，故D错误.12.【答案】ACD【解析】解：易知A，D正确;对选项展开与到同一平面上如图.知，故B错误;对选项与重合时，在侧面上的射影为，故交线是以为圆心的一段圆弧个圆，且圆半径，故圆弧长，所以C正确.13.【答案】84【解析】解：由分层抽样易得.高三年级被抽取人数14.【答案】【解析】由题，可知，不妨设P在第一象限，则，依题意：，离心率15.【答案】18【解析】解：易得M在椭圆上运动，且B在椭圆上，A为左顶点，由AB方程：，设直线与椭圆相切于点联立消去x
10、得，由，依题意，时，面积最大，此时直线l与AB距离为，又，16.【答案】【解析】解：，点T的轨迹是圆，其方程是，过点P作该圆的切线PC，C为切点，则，由切割线定理得，所以当且仅当时取等号17.【答案】由题意，又，故双曲线C的方程为，则由双曲线定义可得，由三角形余弦定理得，有，的面积18.【答案】解：设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件，记“三局结束比赛”，则，记“决胜局进入第五局比赛”，则，19.【答案】解：由，由正弦定理得，又，在锐角中，由知，有，令，则，由正弦定理得，的面积，由得，则，于是得，所以面积的取值范围是20.【答案】设B的坐标为，则则B的坐标为设，【解析】本题考查点线间的对称问题及距离问题，属于一般题.21.【答案】解：证明：取PB中点F，连接EF，CF，则，又，四边形EFCD是平行四边形，又面PBC，面PBC，面证明：由题意：，同理，又，又面而ABCD，面PAD，面PAD，又且，面以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，由，有，令是面ADQ的法向量，则令，有，取面PAD的法向量，由，22.【答案】解：由题意：，故椭圆C的标准方程为设，联立消去x，有，记，则且，若，则，定值，综上：mt为定值