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湖南省益阳市桃江县2022-2023学年高二上期中考试数学试卷(含答案)

1、2022-2023学年湖南省益阳市桃江县高二年级上期中数学试卷一、单选题(本大题共8题,每题5分,共40分)1. 已知集合,则()A. B. C. D. 2. 已知圆C的圆心坐标为,且过坐标原点,则圆C的方程为()A. B. C. D. 3. 党的十八大报告指出,必须坚持在发展中保障和改善民生,不断实现人民对美好生活的向往,为响应中央号召,某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来规划喷泉景观.设计如下:在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管水管半径忽略不计,它喷出的水柱呈抛物线型,要求水柱在与水池中心水平距离为处达到最高,且水柱刚好落在池内,则水柱的最大高度为()A.

2、B. C. D. 4. 已知函数,则的解集为()A. B. C. D. 5. 已知幂函数的图象是等轴双曲线C,且它的焦点在直线上,则下列曲线中,与曲线C的实轴长相等的双曲线是()A. B. C. D. 6. 已知函数,下列说法正确的是()A. 函数的最小正周期是B. 函数的最大值为C. 函数的图象关于点对称D. 函数在区间上单调递增7. 设P为直线上的动点,PA,PB为圆的两条切线,A,B为切点,则的最小值为()A. B. C. D. 8. 已知F是椭圆的左焦点,经过原点O的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若,且,则椭圆E的离心率为()A. B. C. D. 二、多选题(本大题共4题,每题5分,

3、共20分)9. 下列说法正确的是()A. 命题“,”的否定为“”B. 在中,若“”,则“”C. 若,则的充要条件是D. 若直线与平行,则或210. 如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点,F为的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是()A. B. 向量与所成角的余弦值为C. 平面AEF的一个法向量是D. 点D到平面AEF的距离为11. 已知直线l与抛物线交于A,B两点,则下列说法正确的是()A. 若点D的坐标为,则B. 直线AB过定点C. D点的轨迹方程为原点除外D. 设AB与x轴交于点M,则的面积最大时,直线AB的斜率为112. 在正方体中,点M在正方体内部及表面上运动,下列说

4、法正确的是()A. 若M为棱的中点,则直线平面BDMB. 若M在线段上运动,则的最小值为C. 当M与重合时,以M为球心,为半径的球与侧面的交线长为D. 若M在线段上运动,则M到直线的最短距离为三、填空题(本大题共4题,每题5分,共20分)13. 某中学高一年级有600人,高二年级有480人,高三年级有420人,因新冠疫情防控的需要,现用分层抽样从中抽取一个容量为300人的样本进行核酸检测,则高三年级被抽取的人数为_.14. 设双曲线的左、右焦点分别为,P是渐近线上一点,且满足,则双曲线C的离心率为_.15. 已知动点在运动过程中总满足关系式,记,则面积的最大值为_.16. 在圆幂定理中有一个切

5、割线定理:如图1所示,QR为圆O的切线,R为切点,QCD为割线,则如图2所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点,点P是圆上的任意一点,过点作直线BT垂直AP于点T,则的最小值是_.四、解答题(本大题共6题,共70分)17. 已知双曲线的左右焦点分别为,点M在双曲线C的右支上,且,离心率求双曲线C的标准方程;若,求的面积.18. 10月9日晚,2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史,始终领先世界水平,被国人称为“国球”,在某次团体选拔赛中,甲乙两队进行比赛,采取五局三胜制即先胜三局的团队获得比赛的胜利,假设在

6、一局比赛中,甲队获胜的概率为,乙队获胜的概率为,各局比赛结果相对独立.求这场选拔赛三局结束的概率;若第一局比赛乙队获胜,求比赛进入第五局的概率.19. 已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,且求角B的大小;若,求面积的取值范围.20. 已知点,点A关于直线的对称点为点求B点坐标;在中,求面积的最大值.21. 如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,E为PA中点.求证:面求证:面点Q在棱PB上,设,若二面角的余弦值为,求22. 已知椭圆过点,A为左顶点,且直线DA的斜率为求椭圆C的标准方程;设在椭圆内部,在椭圆外部,过M作斜率不为0的直线交椭圆C于P,Q两点,若,求证:

7、为定值,并求出这个定值.答案和解析1.【答案】C【解析】解:,2.【答案】B【解析】圆心,半径,故圆C方程为3.【答案】C【解析】解:取一截面建系如图,设抛物线方程为,记最大高度为h,如图:,在抛物线上,故两式相除有,解得4.【答案】D【解析】解:因为,所以为偶函数,当时,又,在上均为增函数,所以在上均为增函数,所以,即,解得或,所以的解集为5.【答案】B【解析】由双曲线几何性质知,双曲线的焦点在实轴上,实轴与双曲线的交点,是双曲线的顶点,故双曲线C的实轴长6.【答案】D【解析】解:由知A,B错误.由,所以C错误.当时,所以D正确.7.【答案】D【解析】解:连接CA,CB,有,由PC垂直平分A

8、B,知其中d为圆心C到直线l的距离,有,8.【答案】C【解析】设椭圆右焦点为,连接,根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形,则,因为,可得,所以,则,由余弦定理可得,即,即故椭圆离心率9.【答案】BC【解析】解:对否定为:,所以A错误;对D,当时,两直线重合,所以D错误.由正弦定理可知B正确,C中由a与b同号易判断.10.【答案】BCD【解析】解:对于A,正方体中,故A错误;对于B,故向量夹角余弦值为,故B正确;对于C,故是平面AEF的一个法向量,故C正确;对于D,则点D到平面AEF的距离为,故D正确.11.【答案】ABC【解析】,由知AB方程为,联立,消去x有,记,则,由,故A正确;对选项BC

9、D,可设,代入有,则,由,故直线AB为,过定点,即,故B正确;由,得D在以OM为直径的圆:上运动原点除外,故C正确;当时,面积最大,此时,有,故D错误.12.【答案】ACD【解析】解:易知A,D正确;对选项展开与到同一平面上如图.知,故B错误;对选项与重合时,在侧面上的射影为,故交线是以为圆心的一段圆弧个圆,且圆半径,故圆弧长,所以C正确.13.【答案】84【解析】解:由分层抽样易得.高三年级被抽取人数14.【答案】【解析】由题,可知,不妨设P在第一象限,则,依题意:,离心率15.【答案】18【解析】解:易得M在椭圆上运动,且B在椭圆上,A为左顶点,由AB方程:,设直线与椭圆相切于点联立消去x

10、得,由,依题意,时,面积最大,此时直线l与AB距离为,又,16.【答案】【解析】解:,点T的轨迹是圆,其方程是,过点P作该圆的切线PC,C为切点,则,由切割线定理得,所以当且仅当时取等号17.【答案】由题意,又,故双曲线C的方程为,则由双曲线定义可得,由三角形余弦定理得,有,的面积18.【答案】解:设“第i局甲胜”为事件,“第j局乙胜”为事件,记“三局结束比赛”,则,记“决胜局进入第五局比赛”,则,19.【答案】解:由,由正弦定理得,又,在锐角中,由知,有,令,则,由正弦定理得,的面积,由得,则,于是得,所以面积的取值范围是20.【答案】设B的坐标为,则则B的坐标为设,【解析】本题考查点线间的对称问题及距离问题,属于一般题.21.【答案】解:证明:取PB中点F,连接EF,CF,则,又,四边形EFCD是平行四边形,又面PBC,面PBC,面证明:由题意:,同理,又,又面而ABCD,面PAD,面PAD,又且,面以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,由,有,令是面ADQ的法向量,则令,有,取面PAD的法向量,由,22.【答案】解:由题意:,故椭圆C的标准方程为设,联立消去x,有,记,则且,若,则,定值,综上:mt为定值