1、 2022-2023 学年北京市朝阳区九年级学年北京市朝阳区九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1随着 2022 年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集 2022 年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案 4506 件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m10 有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 3将二次函数图象 y2x
2、2向下平移 1 个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ） Ay2x2+1 By2x21 Cy2（x1）2 Dy2（x+1）2 4在平面直角坐标系 xOy 中，下列函数的图象上存在点 P（m，n） （m0，n0）的是（ ） Ay Byx1 Cyx21 Dy3x 5用配方法解方程 3x26x+20，将方程变为（xm）2的形式，则 m 的值为（ ） A9 B9 C1 D1 6南宋著名数学家杨辉所著的杨辉算法中记载： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是 864 平方步，只知道它的长与宽的和是 60 步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为 x 步
3、，根据题意可以列方程为（ ） Ax260 x8640 Bx（x+60）864 Cx260 x+8640 Dx（x+30）864 7已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x 1 0 1 3 y 0 1.5 2 0 根据表格中的信息，得到了如下的结论： 二次函数 yax2+bx+c 可改写为 ya（x1）22 的形式 二次函数 yax2+bx+c 的图象开口向下 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c1.5 的两个根为 0 或 2 若 y0，则 x3 其中所有正确的结论为（ ） A B C D 8老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖” ：商贩将高丽纸裁成许多小条
4、，用矾水在上面写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖一个商贩准备了 10 张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有 5 张，能得到三块塘的纸条有 3 张，能得到五块糖的纸条有 2 张从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 已知关于 x 的一元二次方程 x2+ （2a1） x+a20 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是 10对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+
5、b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 11如图，A，B 两点的坐标分别为 A（3，0） ，B（0，） ，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BC若点 C 恰好落在 x 轴的负半轴上，则旋转角为 12如图，在 RtABC 中，BAC90，B60，ABC可以由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到（点 B与点 B 是对应点，点 C与点 C 是对应点） ，连接 CC，则CCB的度数是 13已知电路 AB 由如图所示的开关控制，闭合 a，b，c，d，e 五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是 14一个函数满足过点（0，1） ，且当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，该函数可
6、以为 15 已知抛物线 yx2 （m+1） x 与 x 轴的一个交点的横坐标大于 1 且小于 2， 则 m 的取值范围是 16如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x（m）满足关系式 ya（x6）2+h已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m若球能越过球网，又不出边界，则 h 的取值范围为 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （4 分）用适当的方法解下列方程： （1）2x2180 （2） （m1）21+m0 18 （5 分）
7、已知关于 x 的一元二次方程 x22kx+k210 （1）不解方程，判断此方程根的情况； （2）若 x2 是该方程的一个根，求代数式2k2+8k+5 的值 19 （5 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合） ，连结 CD，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE （1）求证：ACDBCE； （2）当BDE25时，求BEF 的度数 20 （4 分）已知二次函数 yx24x+3 （1）用配方法将 yx24x+3 化成 ya（xh）2+k 的形式； （2）在平面直角坐标系 xOy 中
8、画出该函数的图象； （3）当 0 x3 时，y 的取值范围是 2112 月 4 日是全国法制宣传日下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表： 成绩 x 人数 班级 70 x75 75x80 80 x85 85x90 90 x95 95x100 一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 0 1 4 7 7 1 四班 m 0 3 7 5 2 （1）频数分布表中，m ； （2） 从 70 x75 中， 随机抽取 2 名学生， 那么所抽取的学生中， 至少有 1 人是一班学生的概率是多少？ 22 （5 分）某工厂设计了一款成本为
9、20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据： 销售单价 x（元件） 30 40 50 60 每天销售量 y（件） 500 400 300 200 （1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式； （2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 8000 元？ 23 （6 分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分若记水柱上某一位置与水管的水 平距离为 d
10、米，与湖面的垂直高度为 h 米下面的表中记录了 d 与 h 的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在下面网格（图 1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示 h 与 d 函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为 m 米，则 m ； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过如图 2 所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 0.5 米已知游船顶棚宽度为 3 米，
11、顶棚到湖面的高度为 2 米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数） 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2）在抛物线 yx2+（2a2）xa2+2a上，其中 x1x2 （1）求抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示） ； （2）当 xa 时，求 y 的值； 若 y1y20，求 x1的值（用含 a 的式子表示） （3）若对于 x1+x24，都有 y1y2，求 a 的取值范围 25 （7 分）已知MAN30，点 B 为边 AM 上一个定点，点 P 为线段 AB 上一个动点（不与
12、点 A，B 重合） ，点 P 关于直线 AN 的对称点为点 Q，连接 AQ，BQ，点 A 关于直线 BQ 的对称点为点 C，连接 PQ，CP （1）如图 1，若点 P 为线段 AB 的中点； 直接写出AQB 的度数； 依题意补全图形，并直接写出线段 CP 与 AP 的数量关系； （2）如图 2，若线段 CP 与 BQ 交于点 D 设BQP，求CPQ 的大小（用含 的式子表示） ； 用等式表示线段 DC，DQ，DP 之间的数量关系，并证明 26 （7 分） 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W， 给出如下定义： 点 P 是图形 W 上任意一点， 若存在点 Q，使得OQP 是直角，则称点 Q
13、是图形 W 的“直角点” （1）已知点 A（6，8） ，在点 Q1（0，8） ，Q2（4，2） ，Q3（8，4）中， 是点 A 的“直角点” ； （2）已知点 B（3，4） ，C（4，4） ，若点 Q 是线段 BC 的“直角点” ，求点 Q 的横坐标 n 的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点 D（t，0） ，E（t+1，0） ，以线段 DE 为边在 x 轴上方作正方形 DEFG若正方形 DEFG 上的所有点均为线段 BC 的“直角点” ，直接写出 t 的取值范围 参考答案与详解参考答案与详解 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1随着 2022 年北
14、京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集 2022 年冬奥会会徽和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案 4506 件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形故本选项不合题意； B不是轴对称图形，也不是中心对称图形故本选项不符合题意； C既是轴对称图形又是中心对称图形故本选项符合题意； D不是轴对称图形，也不是中心对称图形故本选项不合题意 故选：C 2已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+m10 有两个
15、不相等的实数根，下列结论正确的是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm2 【分析】根据判别式的意义得到m241（m1）（m2）20，即可求得 m2 【解答】解：根据题意得m241（m1）（m2）20， 解得 m2， 故选：A 3将二次函数图象 y2x2向下平移 1 个单位长度，所得二次函数的解析式是（ ） Ay2x2+1 By2x21 Cy2（x1）2 Dy2（x+1）2 【分析】原抛物线顶点坐标为（0，0） ，平移后抛物线顶点坐标为（0，1） ，据此写出平移后抛物线解析式 【解答】解：抛物线 y2x2的顶点坐标为（0，0） ，向下平移 1 个单位长度的顶点坐标为（0，1） ， 所得二次函数的解
16、析式是 y2x21 故选：B 4在平面直角坐标系 xOy 中，下列函数的图象上存在点 P（m，n） （m0，n0）的是（ ） Ay Byx1 Cyx21 Dy3x 【分析】由题意，图象经过第一象限的函数都是满足条件的，由此判断即可 【解答】解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的， A、函数 y的图象在一、三象限，满足条件； B、函数 yx1 的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件； C、函数 yx21 的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件； D、函数 y3x 的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件； 故选：A 5用配方法解方程 3x26x+20，
17、将方程变为（xm）2的形式，则 m 的值为（ ） A9 B9 C1 D1 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出 m 的值 【解答】解：方程 3x26x+20， 变形得：x22x， 配方得：x22x+1，即（x1）2， 则 m1 故选：C 6南宋著名数学家杨辉所著的杨辉算法中记载： “直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是 864 平方步，只知道它的长与宽的和是 60 步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为 x 步，根据题意可以列方程为（ ） Ax260 x8640 Bx（x+60）864 Cx260 x+8640 Dx（
18、x+30）864 【分析】由矩形田地的长与宽的和是 60 步，可得出矩形田地的宽为（60 x）步，根据矩形田地的面积是 864 平方步，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：矩形田地的长为 x 步，矩形田地的长与宽的和是 60 步， 矩形田地的宽为（60 x）步 依题意得：x（60 x）864， 整理得：x260 x+8640 故选：C 7已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x 1 0 1 3 y 0 1.5 2 0 根据表格中的信息，得到了如下的结论： 二次函数 yax2+bx+c 可改写为 ya（x1）22 的形式 二次函数 yax2+b
19、x+c 的图象开口向下 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c1.5 的两个根为 0 或 2 若 y0，则 x3 其中所有正确的结论为（ ） A B C D 【分析】根据表格数据求出顶点坐标，即可判断；根据二次函数的图象与一元二次方程的关系可判断；根据函数的图象和性质可以判断 【解答】解：x1 和 x3 时的函数值相同，都是 1， 抛物线的对称轴为直线 x1， 当 x1 时，y2 抛物线的顶点为（1，2） ， 二次函数 yax2+bx+c 可改写为 ya（x1）22 的形式， 所以正确； 由表格可知 x1 时函数的值最小， 抛物线的开口向上， 故错误； x0 与 x2 关于对称轴对称， x
20、0 时，y1.5，x3 时，y1.5， 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c1.5 的两个根为 0 或 2， 故正确； 抛物线的开口向上，x1 和 x3 时，y0， 若 y0，则 x3 或 x1， 故错误； 综上所述：其中正确的结论有 故选：D 8老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖” ：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖一个商贩准备了 10 张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有 5 张，能得到三块塘的纸条有 3 张，能得到五块糖的纸条有
21、 2 张从中随机抽取一张纸条， 恰好是能得到三块塘的纸条的概率是（ ） A B C D 【分析】根据概率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 【解答】解：共有 10 张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有 3 张， 从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是； 故选：B 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 9 已知关于 x 的一元二次方程 x2+ （2a1） x+a20 有两个不相等的实数根， 则 a 的取值范围是 a 【分析】根据根的判别式的意义得到（2a1）24a20，然后解不等式即可 【解答】
22、解：根据题意得（2a1）24a20， 解得 a， 所以 a 的取值范围是 a 故答案为：a 10对于实数 a，b，定义运算“”如下：ab（a+b）2（ab）2若（m+2）（m3）24，则m 3 或 4 【分析】利用新定义得到（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224，整理得到（2m1）2490，然后利用因式分解法解方程 【解答】解：根据题意得（m+2）+（m3）2（m+2）（m3）224， （2m1）2490， （2m1+7） （2m17）0， 2m1+70 或 2m170， 所以 m13，m24 故答案为3 或 4 11如图，A，B 两点的坐标分别为 A（3，0） ，B（0，） ，将线段
23、 BA 绕点 B 顺时针旋转得到线段 BC若 点 C 恰好落在 x 轴的负半轴上，则旋转角为 120 【分析】由 A（3，0） ，B（0，） ，得出 OA3，OB，利用 tanOAB 求出OAB30，得出BCO30，最后利用三角形内角和求出答案 【解答】解：A（3，0） ，B（0，） ， OA3，OB， tanOAB， OAB30， BCO30， ABC1803030120 故答案为 120 12如图，在 RtABC 中，BAC90，B60，ABC可以由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到 （点 B与点 B 是对应点， 点 C与点 C 是对应点） ， 连接 CC， 则CCB的度数是 15 【
24、分析】先根据三角形内角和计算出ACB906030，由于ABC 由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到，根据旋转的性质得到 ACAC，CABCAB90，ACB30，则ACC为等腰直角三角形，得到ACC45，然后利用CCBACCACB计算即可 【解答】解：BAC90，B60， ACB906030， ABC 由ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到， ACAC，CABCAB90，ACB30， ACC为等腰直角三角形， ACC45， CCBACCACB453015 故答案为 15 13已知电路 AB 由如图所示的开关控制，闭合 a，b，c，d，e 五个开关中的任意两个，则使电路形成通路的概率是 【分
25、析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与使电路形成通路的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：列表得： （a，e） （b，e） （c，e） （d，e） （a，d） （b，d） （c，d） （e，d） （a，c） （b，c） （d，c） （e，c） （a，b） （c，b） （d，b） （e，b） （b，a） （c，a） （d，a） （e，a） 一共有 20 种等可能的结果，使电路形成通路的有 12 种情况， 使电路形成通路的概率是： 故答案为： 14 一个函数满足过点 （0， 1） ， 且当 x0 时， y 随 x 的增大而减小， 该函数可以为 yx+1，（不唯一）
26、 【分析】 若函数为一次函数时， 当 x0， y 随 x 增大而减小， 说明 k0， 只要满足 k0 的值即可， 把 （0，1）代入解析式可得函数解析式 【解答】解：当 x0 时，y 随 x 的增大而减小， k0， 可设 k1， 过点（0，1） ， 设函数解析式为 ykx+b（k0） ， 将 k1， （0，1）代入得 b1， yx+1， 故答案为 yx+1（答案不唯一，需满足 k0 即可） 15已知抛物线 yx2（m+1）x 与 x 轴的一个交点的横坐标大于 1 且小于 2，则 m 的取值范围是 0m1 【分析】根据函数解析式求出二次函数与 x 轴两个交点的坐标，根据坐标大于 1 且小于 2
27、确定 m 的取值范围即可 【解答】解：令 yx2（m+1）x0， 解得：x0，xm+1， 抛物线与 x 轴的两个交点为（0，0）和（m+1，0） ， 其中一个交点的横坐标大于 1 且小于 2， 1m+12， 即 0m1， 故答案为：0m1 16如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y（m）与运行的水平距离 x（m）满足关系式 ya（x6）2+h已知球网与 O 点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m若球能越过球网，又不出边界，则 h 的取值范围为 【分析】把点 A 坐标代入 ya（
28、x6）2+h 得 y（x6）2+h，由题意得：当 x9 时，y2.43，当 x18 时，y0，即可求解 【解答】解：点 A（0，2） ，将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：2a（06）2+h， 解得：a， 抛物线的表达式为 y（x6）2+h， 由题意得：当 x9 时，y（x6）2+h（96）2+h2.43， 解得：h； 当 x18 时，y（x6）2+h（186）2+h0， 解得：h， 故 h 的取值范围是 h 故答案为：h 三、解答题（共三、解答题（共 52 分）分） 17 （4 分）用适当的方法解下列方程： （1）2x2180 （2） （m1）21+m0 【分析】 （1）利用直接开平方法求解
29、比较简便； （2）利用因式分解法求解比较简便 【解答】解： （1）移项，得 2x218， 所以 x29， 所以 x3 所以 x13，x23 （2） （m1）2+（m1）0， （m1） （m1+1）0 m（m1）0 m0 或 m10 m10，m21 18 （5 分）已知关于 x 的一元二次方程 x22kx+k210 （1）不解方程，判断此方程根的情况； （2）若 x2 是该方程的一个根，求代数式2k2+8k+5 的值 【分析】 （1）利用根的判别式b24ac 判断即可 （2）将 x2 代入一元二次方程 x22kx+k210，整理得 k24k3，再将2k2+8k+5 变形为2（k24k）+5，代入
30、求值即可 【解答】解： （1）b24ac（2k）24（k21）4k24k2+440， 此一元二次方程有两个不相等的实数根 （2）将 x2 代入一元二次方程 x22kx+k210， 得 44k+k210， 整理得 k24k3， 2k2+8k+5 2（k24k）+5 2（3）+5 11 19 （5 分）如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，D 是 AB 边上一点（点 D 与 A，B 不重合） ，连结 CD，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CE，连结 DE 交 BC 于点 F，连接 BE （1）求证：ACDBCE； （2）当BDE25时，求BEF 的度数 【分析】 （1）由旋转
31、的性质可得 CDCE，DCE90ACB，由“SAS”可证ACDBCE，可得 BEAD，CBECAD45，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可求解 【解答】 （1）证明：将线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90得到线段 CE， CDCE，DCE90ACB， ACDBCE， ACB90，ACBC， CABCBA45， 在ACD 和BCE 中， ， ACDBCE（SAS） ， （2）解：ACDBCE， CBECAD45， ABEABC+CBE90， BDE25， BEF65 20 （4 分）已知二次函数 yx24x+3 （1）用配方法将 yx24x+3 化成 ya（xh）2+k 的形式； （
32、2）在平面直角坐标系 xOy 中画出该函数的图象； （3）当 0 x3 时，y 的取值范围是 1y3 【分析】 （1）运用配方法把一般式化为顶点式； （2）根据函数图象的画法画出二次函数图象即可； （3）运用数形结合思想解答即可 【解答】解： （1）yx24x+3（x2）21； （2）这个二次函数的图象如图： （3）当 0 x3 时，1y3 故答案为1y3 2112 月 4 日是全国法制宣传日下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表： 成绩 x 人数 班级 70 x75 75x80 80 x85 85x90 90 x95 95x100 一班 2
33、 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 0 1 4 7 7 1 四班 m 0 3 7 5 2 （1）频数分布表中，m 3 ； （2） 从 70 x75 中， 随机抽取 2 名学生， 那么所抽取的学生中， 至少有 1 人是一班学生的概率是多少？ 【分析】 （1）先求出九年级一班的学生为 20 人，各班人数相同，即可得出答案； （2）画树状图，再由概率公式求解即可 【解答】解： （1）九年级一班的学生为：2+0+3+7+8+020（人） ，各班人数相同， m20（0+3+7+5+2）3， 故答案为：3； （2）一班有 2 人，分别记为 A、B；四班有 3 人，分别记为 C、D、E
34、； 画树状图如图： 共有 20 个等可能的结果，所抽取的学生中，至少有 1 人是一班学生的结果有 14 个， 所抽取的学生中，至少有 1 人是一班学生的概率为 22 （5 分）某工厂设计了一款成本为 20 元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据： 销售单价 x（元件） 30 40 50 60 每天销售量 y（件） 500 400 300 200 （1）研究发现，每天销售量 y 与单价 x 满足一次函数关系，求出 y 与 x 的关系式； （2）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 45 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 8000 元？ 【
35、分析】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润单件利润销售量”可得关于 x 的一元二次方程，解之即可得 【解答】解： （1）设 ykx+b， 根据题意可得， 解得：， 则 y10 x+800； （2）根据题意，得： （x20） （10 x+800）8000， 整理，得：x2100 x+24000， 解得：x140，x260， 销售单价最高不能超过 45 元/件， x40， 答：销售单价定为 40 元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润 8000 元 23 （6 分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径
36、形状可以看作是抛物线的一部分若记水柱上某一位置与水管的水平距离为 d 米，与湖面的垂直高度为 h 米下面的表中记录了 d 与 h 的五组数据： d（米） 0 1 2 3 4 h（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5 根据上述信息，解决以下问题： （1）在下面网格（图 1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示 h 与 d 函数关系的图象； （2）若水柱最高点距离湖面的高度为 m 米，则 m 1.5 ； （3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过如图 2 所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，
37、顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于 0.5 米已知游船顶棚宽度为 3 米，顶棚到湖面的高度为 2 米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数） 【分析】 （1）建立坐标系，描点用平滑的曲线连接即可； （2）观察图象即可得出结论； （3）根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可 【解答】解： （1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图 1 所示： （2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为 x2，此
38、时最高， 即 m1.5， 故答案为：1.5 （3）根据图象可设二次函数的解析式为：ha（d2）2+1.5， 将（0，0.5）代入 ha（d2）2+1.5，得 a， 抛物线的解析式为：hd2+d+0.5， 设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：hd2+d+0.5+m， 由题意可知，当横坐标为 2+时，纵坐标的值大于 2+0.52.5， （）2+0.5+m2.5， 解得 m1.6， 水管高度至少向上调节 1.6 米， 0.5+1.62.1（米） ， 公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到 2.1 米才能符合要求 24 （6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（x1，y1） ，
39、B（x2，y2）在抛物线 yx2+（2a2）xa2+2a上，其中 x1x2 （1）求抛物线的对称轴（用含 a 的式子表示） ； （2）当 xa 时，求 y 的值； 若 y1y20，求 x1的值（用含 a 的式子表示） （3）若对于 x1+x24，都有 y1y2，求 a 的取值范围 【分析】 （1）抛物线的对称轴 x，计算即可； （2）将 xa 代入 yx2+（2a2）xa2+2a，计算即可；若 y1y20，则x2+（2a2）xa2+2a0，解方程并根据 x1x2，即可得出 x1的值 （3）由题意得出 x12，则只需讨论 x1a1 的情况，分两种情况：当 a1 时，又有两种情况：x1x2a1，x
40、1a1x2，分别结合二次函数的性质及 x1+x24 计算即可；当 a1 时，令 x1a1，x22，此时 x1+x24，但 y1y2，不符合题意 【解答】解： （1）抛物线的对称轴为直线 xa1； （2）当 xa 时，ya2+（2a2）aa2+2a a2+2a22aa2+2a 0； 当 y1y20 时，x2+（2a2）xa2+2a0， x2（2a2）x+a22a0， （xa+2） （xa）0， x1x2， x1a2； （3）方法一、当 a1 时， x1x2，x1+x24， x12，只需讨论 x1a1 的情况 若 x1x2a1， xa1 时，y 随着 x 的增大而增大， y1y2，符合题意； 若
41、x1a1x2， a12， 2（a1）4， x1+x24， x1+x22（a1） x12（a1）x2 x2（a1）x2时，y1y2，xa1 时，y 随着 x 的增大而增大， y1y2，符合题意 当 a1 时，令 x1a1，x22，此时 x1+x24，但 y1y2，不符合题意； 综上所述，a 的取值范围是 a1 方法二、 y1y2x12+（2a2）x1+x22（2a2）x2（x2x1） （x2+x1）+（2a2） （x1x2）（x1x2） （2a2x1x2）0， 2a2x1+x2， x1+x24， 2a24， a1 25 （7 分）已知MAN30，点 B 为边 AM 上一个定点，点 P 为线段 A
42、B 上一个动点（不与点 A，B 重合） ，点 P 关于直线 AN 的对称点为点 Q，连接 AQ，BQ，点 A 关于直线 BQ 的对称点为点 C，连接 PQ，CP （1）如图 1，若点 P 为线段 AB 的中点； 直接写出AQB 的度数； 依题意补全图形，并直接写出线段 CP 与 AP 的数量关系； （2）如图 2，若线段 CP 与 BQ 交于点 D 设BQP，求CPQ 的大小（用含 的式子表示） ； 用等式表示线段 DC，DQ，DP 之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）证明 PQPAPB，可得结论 图形如图所示：结论：PCPA证明APC90，可得结论 （2）如图 2 中， 连接 BC，CQ
43、证明 B， P， Q，C 四点共圆，推出CPBCQBAQB， 由APC+CPB180，推出PAQ+PDQ180，推出PDQ120，推出DQP+DPQ60，可得结论 如图 21 中，结论：CDDP+DQ连接 AD，在 AD 上取一点 T，使得 DTDP利用全等三角形的性质解决问题即可 【解答】解： （1）P，Q 关于 AN 对称， APAQ，PANQAN30， APQ 是等边三角形， PQPA， 点 P 为线段 AB 的中点， PBPA， PQPAPB， AQB90 图形如图所示：结论：PCPA 理由：AQB90，A，C 关于 BQ 对称， AQQC， PQQCAQ， CPA60， tan60，
44、 PCPA （2）如图 2 中，连接 BC，CQ A，C 关于 BQ 对称， BCBA，CQAQ， BQBQ， BQCBQA（SSS） ， BCQBAQ60，BQCBQA， APQ60， BPQ120， BPQ+BCQ180， B，P，Q，C 四点共圆， CPBCQBAQB， APC+CPB180， PAQ+PDQ180， PDQ120， DQP+DPQ60， CPQ60 如图 21 中，结论：CDDP+DQ 理由：连接 AD，在 AD 上取一点 T，使得 DTDP PAQ+PDQ180， A，P，D，Q 四点共圆， PDTPQA60， DTDP， PDT 是等边三角形， PDPT，DPTQP
45、A60， DPQTPA， PDPT，PQPA， DPQTPA（SAS） ， DQTA， ADDT+ATPD+DQ， A，C 关于 BQ 对称， DCAD， CDDP+DQ 26 （7 分） 对于平面直角坐标系 xOy 中的图形 W， 给出如下定义： 点 P 是图形 W 上任意一点， 若存在点 Q，使得OQP 是直角，则称点 Q 是图形 W 的“直角点” （1）已知点 A（6，8） ，在点 Q1（0，8） ，Q2（4，2） ，Q3（8，4）中， Q1和 Q3 是点 A 的“直角点” ； （2）已知点 B（3，4） ，C（4，4） ，若点 Q 是线段 BC 的“直角点” ，求点 Q 的横坐标 n
46、的取值范围； （3）在（2）的条件下，已知点 D（t，0） ，E（t+1，0） ，以线段 DE 为边在 x 轴上方作正方形 DEFG若正方形 DEFG 上的所有点均为线段 BC 的“直角点” ，直接写出 t 的取值范围 【分析】 （1）根据两点间距离公式和勾股定理的逆定理证明 OQ12+AQ12OA2，OQ32+AQ32OA2，可得OQ1A90，OQ3A90，再根据“直角点”的定义可得结论； （2）连接 OB，OC，取 BO 的中点 M，OC 的中点 N，分别以 M，N 为圆心，OB，OC 为直径作圆，由图可知，Q1，Q2为两个临界点，即可求得答案； （3）如图 2，分别以 OB，OC 为直径
47、作圆，确定正方形 DEFG 的极限位置如图 2 中的，当 t+10，即 t1 时，正方形 DEFG 位于正方形位置时，可得 t3，正方形 DEFG 位于正方形位置时，利用两点间距离公式和勾股定理可得 t1，即3t1同理可得：t3，即可求得答案 【解答】解： （1）点 Q1（0，8） ，Q2（4，2） ，Q3（8，4） ，点 A（6，8） ， OQ18， OQ2， OQ3， OA10， AQ16， AQ2， AQ3， OQ12+AQ12OA2，OQ32+AQ32OA2，OQ22+AQ22OA2， OQ1A90，OQ3A90， Q1和 Q3是点 A 的直角点； 故答案为：Q1和 Q3； （2）如图
48、 1 所示，连接 OB，OC，取 BO 的中点 M，OC 的中点 N， 分别以 M，N 为圆心，OB，OC 为直径作圆， 由图可知，Q1，Q2为两个临界点， 则xMQ2M4， 同理，2+2， 4n2+2； （3）如图 2，分别以 OB，OC 为直径作圆， 当 t+10，即 t1 时， 正方形 DEFG 位于正方形位置时，可得 t3， 正方形 DEFG 位于正方形位置时， F2（t+1，1） ，OF22+CF22OC2， （t+1）2+12+（t3）2+（14）242+42， 解得：t1或 t1+（舍去） ， 3t1 当 t0 时， 正方形 DEFG 位于正方形位置时， G3（t，1） ，OG32+BG32OB2， t2+12+（t+3）2+（14）232+42， 解得：t或 t（舍去） ， 正方形 DEFG 位于正方形位置时， E4（t+1，0） ， t+14， 解得：t3， t3， 综上所述，3t1或t3