1、 2022-2023 学年北京市通州区九年级学年北京市通州区九年级上期中数学试卷上期中数学试卷 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1已知 3y2x（y0） ，那么下列比例式中成立的是（ ） A B C D 2下列点坐标，是二次函数 y2（x1）24 图象的顶点坐标的是（ ） A （2，4） B （1，4） C （1，4） D （1，4） 3下列说法正确的是（ ） A任意两个矩形一定相似 B任意两个菱形一定相似 C任意两个正方形一定相似 D任意两个平行四边形一定相似 4如图，ABC 中，B60，AB6，BC8将ABC 沿图
2、中的 DE 剪开剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A B C D 5把二次函数 yx2的图象向左平移 2 个单位，然后向上平移 1 个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为（ ） Ay（x+2）2+1 By（x+2）21 Cy（x2）2+1 Dy（x2）21 6已知点（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3）都在函数 y2x2的图象上，则下列结论正确的是（ ） Ay3y2y1 By1y2y3 Cy1y3y2 Dy2y1y3 7 如图， 数学兴趣小组利用标杆 BE 测量学校古树 CD 的高度， 标杆 BE 高 1.5m， 测得 AB2m， BC14m，则古树 CD 的高度是
3、（ ） A9m B10m C12m D16m 8如图，在ABCD 中，点 E 是 AD 边上的点，线段 BE 与 AC 交于点 F，如果 AE：AD1：3，AF3，那么 AC 的长是（ ） A3 B6 C9 D12 9 一次函数 yax+b （a0） 与二次函数 yax2+bx+c （a0） 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 10在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分 “盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽” ，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规” 对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响
4、，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为 P，篮框中心点为 Q，他可以选择让篮球在运行途中经过 A，B，C，D四个点中的某一点并命中 Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ） APAQ BPBQ CPCQ DPDQ 二、填空题（共二、填空题（共 8 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 上（不与点 A，C 重合） ，只需添加一个条件即可证明ABC和BDC 相似，这个条件可以是 （写出
5、一个即可） 12如图，直线 l1l2l3，直线 l4，l5被直线 l1、l2、l3所截，截得的线段分别为 AB，BC，DE，EF，若AB4，BC6，DE3，则 EF 的长是 13若二次函数 yx22x+k 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 k 14已知二次函数 yx24x+7，将这个二次函数表达式用配方法化成 y（xh）2+k 的形式 15据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第 1 个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为 10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是 6cm，则蜡烛火焰的高度是 cm 1
6、6某工厂今年八月份医用防护服的产量是 50 万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为 x，那么十月份医用防护服的产量 y（万件）与 x 之间的函数表达式为 17 如图， 在ABC中， ACB90， CD是斜边AB上的高 如果AD3， BD2， 那么CD 的长为 18若函数 y（a1）x24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 三、解答题（三、解答题（19-24 题，每题题，每题 6 分；分；25-28 题，每题题，每题 7 分）分） 19 （6 分）已知 A（0，3） ，B（2，3）是二次函数 yx2+bx+c 图象上两点，求二次函数的表达式 20 （6 分）
7、如图，AC，BD 相交于的点 O，且ABOC 求证：AOBDOC 21 （6 分）如图，是小凯为估算鱼塘的宽 AB 设计的，在陆地上取点 C，D，E，使得 A，C，D 在同一条直线上，B，C，E 在同一条直线上，测得 CDAC，CEBC小凯测得 ED 的长为 10 米，求鱼塘的宽 AB 的长是多少米？（不写解题过程不给分） 22 （6 分）已知：如图，线段 AB 求作：点 C，D，使得点 C，D 在线段 AB 上，且 ACCDDB 作法：作射线 AM，在射线 AM 上顺次截取线段 AEEFFG，连接 BG； 以点 E 为圆心，BG 长为半径画弧，再以点 B 为圆心，EG 长为半径画弧，两弧在
8、AB 上方交于点 H； 连接 BH，连接 EH 交 AB 于点 C，在线段 CB 上截取线段 CDAC所以点 C，D 就是所求作的点 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：EHBG，BHEG， 四边形 EGBH 是平行四边形 （ ） （填推理的依据） EHBG，即 ECBG AC： AE：AG AEEFFG， AE AG ACABCD DBAB ACCDDB 23 （6 分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表所示： x 3 2 1 0 1 y 0 3 4 3 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面
9、直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当2x2 时，直接写出 y 的取值范围 24 （6 分）如图，ABBC，ECBC，点 D 在 BC 上，AB1，BD2，CD3，CE6 （1）求证：ABDDCE； （2）求ADE 的度数 25 （7 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为 x1，且其顶点在直线 y2x2上 （1）求抛物线的顶点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象 26 （7 分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况他以水平方向为 x 轴方向，1m 为单位长度， 建立了如图所示的平面直角坐标
10、系， 铅球从 y 轴上的 A 点出手， 运动路径可看作抛物线，在 B 点处达到最高位置，落在 x 轴上的点 C 处小明某次试投时的数据如图所示 （1）在图中画出铅球运动路径的示意图； （2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （3）若铅球投掷距离（铅球落地点 C 与出手点 A 的水平距离 OC 的长度）不小于 10m，成绩为优秀请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀 27 （7 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC90，过点 A 的射线与斜边 BC 交于点 D，且满足 DC2BD，CEAD 于点 E，求证：BECAEB 28 （7 分）给出如下规定：两个图形 G1和 G
11、2，点 P 为 G1上任一点，点 Q 为 G2上任一点，如果线段 PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1和 G2之间的距离 在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点 （1）点 A 的坐标为 A（1，0） ，则点 B（2，3）和射线 OA 之间的距离为 ，点 C（3，4）和射线 OA 之间的距离为 （2）点 E 的坐标为（1，1） ，将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转 90，得到射线 OF，在坐标平面内所有和射线 OE，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形 M 在坐标系中画出图形 M，并描述图形 M 的组成部分； （若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） 将抛物线 yx
12、22 与图形 M 的公共部分记为图形 N，射线 OE，OF 组成的图形记为图形 W，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离 参考答案与详解参考答案与详解 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 10 道小题，每小题道小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1已知 3y2x（y0） ，那么下列比例式中成立的是（ ） A B C D 【分析】利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答 【解答】解：A因为，所以 3x2y，故 A 不符合题意； B因为，所以 3y2x，故 B 符合题意； C因为，所以 3x2y，故 C 不符合题意； D因为，所以 xy6，故 D 不符合题意
13、； 故选：B 2下列点坐标，是二次函数 y2（x1）24 图象的顶点坐标的是（ ） A （2，4） B （1，4） C （1，4） D （1，4） 【分析】利用二次函数的性质解答 【解答】解：二次函数 y2（x1）24， 图象的顶点坐标为（1，4） ， 故选：D 3下列说法正确的是（ ） A任意两个矩形一定相似 B任意两个菱形一定相似 C任意两个正方形一定相似 D任意两个平行四边形一定相似 【分析】根据相似多边形的定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，逐一判断即可解答 【解答】解：A、因为任意两个矩形的各角相等，但各边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故 A 不符合
14、题意； B、因为任意两个菱形的各边成比例，但各角不一定分别相等，所以任意两个菱形不一定相似，故 B 不符合题意； C、因为任意两个正方形的各角分别相等，各边也成比例，所以任意两个正方形一定相似，故 C 符合题意； D、因为任意两个平行四边形的各角不一定相等，各边不一定成比例，所以任意两个平行四边形不一定 相似，故 D 不符合题意； 故选：C 4如图，ABC 中，B60，AB6，BC8将ABC 沿图中的 DE 剪开剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A B C D 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可 【解答】解：A、CC，DECB60， DECABC， 故 A 不符合题意； B、C
15、C，CDEB， CDECBA， 故 B 不符合题意； C、由图形可知，BEABAE624， BDBCCD853， ， ， 又BB， BDEBAC， 故 C 不符合题意； D、由已知条件无法证明ADE 与ABC 相似， 故 D 符合题意， 故选：D 5把二次函数 yx2的图象向左平移 2 个单位，然后向上平移 1 个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为（ ） Ay（x+2）2+1 By（x+2）21 Cy（x2）2+1 Dy（x2）21 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式 【解答】解：把二次函数 yx2的图象向左平移 2 个单位，然后向上平移 1 个单
16、位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为：y（x+2）2+1 故选：A 6已知点（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3）都在函数 y2x2的图象上，则下列结论正确的是（ ） Ay3y2y1 By1y2y3 Cy1y3y2 Dy2y1y3 【分析】把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得 y1、y2、y3，再比较其大小即可 【解答】解：点（1，y1） ， （2，y2） ， （3，y3）都在函数 y2x2的图象上， y12122，y22228，y32（3）218， y3y2y1， 故选：A 7 如图， 数学兴趣小组利用标杆 BE 测量学校古树 CD 的高度， 标杆 BE 高 1.5m， 测
17、得 AB2m， BC14m，则古树 CD 的高度是（ ） A9m B10m C12m D16m 【分析】先根据题意得出ABEACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 CD 的值 【解答】解：EBAC，DCAC， EBDC， ABEACD， ， BE1.5m，AB2m，BC14m， AC16m， ， CD12 古树 CD 的高度是 12m 故选：C 8如图，在ABCD 中，点 E 是 AD 边上的点，线段 BE 与 AC 交于点 F，如果 AE：AD1：3，AF3，那么 AC 的长是（ ） A3 B6 C9 D12 【分析】根据相似三角形对应边成比例求出 AF：FC1：3，根据 AF3，进
18、而可以解决问题 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，ADBC， ADBC， AEFCBF， AF：FCAE：BC， AE：AD1：3， AF：FC1：3， AF3， FC9， ACAF+FC12 故选：D 9 一次函数 yax+b （a0） 与二次函数 yax2+bx+c （a0） 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ） A B C D 【分析】根据一次函数和二次函数的性质可以判断 a、b 的正负，从而可以解答本题 【解答】解：在 A 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，故选项A 错误； 在 B 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a
19、0，b0，故选项 B 错误； 在 C 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，故选项 C 正确； 在 D 中，由一次函数图象可知，a0，b0，由二次函数图象可知，a0，b0，故选项 D 错误； 故选：C 10在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分 “盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽” ，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规” 对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：
20、如图所示，该球员的投篮出手点为 P，篮框中心点为 Q，他可以选择让篮球在运行途中经过 A，B，C，D四个点中的某一点并命中 Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ） APAQ BPBQ CPCQ DPDQ 【分析】分类讨论投篮线路经过 A，B，C，D 四个点时篮球上升阶段的水平距离求解 【解答】解：B，D 两点，横坐标相同，而 D 点的纵坐标大于 B 点的纵坐标，显然，B 点上升阶段的水平距离长； A，B 两点，纵坐标相同，而 A 点的横坐标小于 B 点的横坐标，等经过 A 点的篮球运行到与 B 点横坐标相同时，显然在 B 点上方，故 B 点上升阶段的水平距离长； 同理
21、可知 C 点路线优于 A 点路线， 综上：PBQ 是被“盖帽”的可能性最大的线路 故选：B 二、填空题（共二、填空题（共 8 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 16 分）分） 11如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 AC 上（不与点 A，C 重合） ，只需添加一个条件即可证明ABC和BDC 相似，这个条件可以是 ACBD （写出一个即可） 【分析】利用相似三角形的判定可求解 【解答】解：添加ACBD， 理由如下：ACBD，ACBBCD， ABCBDC， 故答案为：ACBD 12如图，直线 l1l2l3，直线 l4，l5被直线 l1、l2、l3所截，截得的线段分别为 AB，B
22、C，DE，EF，若AB4，BC6，DE3，则 EF 的长是 4.5 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可 【解答】解：l1l2l3， ， AB4，BC6，DE3， ， 解得：EF4.5， 故答案为：4.5 13若二次函数 yx22x+k 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 k 1 【分析】令 x22x+k0，求0 时 k 的值 【解答】解：令 x22x+k0， 抛物线与 x 轴只有一个交点， （2）24k0， 解得 k1， 故答案为：1 14 已知二次函数 yx24x+7， 将这个二次函数表达式用配方法化成 y （xh）2+k 的形式 y （x2）2+3 【分析
23、】将二次函数解析式化为顶点式 【解答】解：yx24x+7x24x+4+3（x2）2+3， 故答案为：y（x2）2+3 15据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第 1 个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为 10cm，像距为 15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是 6cm，则蜡烛火焰的高度是 4 cm 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答 【解答】解：设蜡烛火焰的高度是 xcm， 由相似三角形的性质得到： 解得 x4 即蜡烛火焰的高度是 4cm 故答案为：4 16某工厂今年八月份医用防护服的产量是 50 万件
24、，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量 y（万件）与 x 之间的函数表达式为 y50（1+x）2 【分析】根据平均增长问题，可得答案 【解答】解：根据题意得：y 与 x 之间的关系应表示为 y50（x+1）2 故答案为：y50（x+1）2 17如图，在ABC 中，ACB90，CD 是斜边 AB 上的高如果 AD3，BD2，那么 CD 的长为 【分析】利用射影定理得到 CD2ADBD，然后利用算术平方根的定义求解 【解答】解：ACB90，CD 是斜边 AB 上的高， CD2ADBD， 即 CD2326， CD0， CD 故答案为： 18若函数 y（a1）x
25、24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为 1 或 2 或 1 【分析】直接利用抛物线与 x 轴相交，b24ac0，进而解方程得出答案 【解答】解：函数 y（a1）x24x+2a 的图象与 x 轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b24ac164（a1）2a0， 解得：a11，a22， 当函数为一次函数时，a10，解得：a1 故答案为：1 或 2 或 1 三、解答题（三、解答题（19-24 题，每题题，每题 6 分；分；25-28 题，每题题，每题 7 分）分） 19 （6 分）已知 A（0，3） ，B（2，3）是二次函数 yx2+bx+c 图象上两点，求二次函数的表
26、达式 【分析】将 A、B 两点坐标代入解析式求出 b、c，用待定系数法求解即可 【解答】解：A（0，3） ，B（2，3）是二次函数 yx2+bx+c 图象上两点， ， ， 此二函数的解析式为：yx2+2x+3 20 （6 分）如图，AC，BD 相交于的点 O，且ABOC 求证：AOBDOC 【分析】根据相似三角形的判定解答即可 【解答】证明：AC，BD 相交于的点 O， AOBDOC， 又ABOC， AOBDOC 21 （6 分）如图，是小凯为估算鱼塘的宽 AB 设计的，在陆地上取点 C，D，E，使得 A，C，D 在同一条直线上，B，C，E 在同一条直线上，测得 CDAC，CEBC小凯测得 E
27、D 的长为 10 米，求鱼塘的宽 AB 的长是多少米？（不写解题过程不给分） 【分析】首先根据两边对应成比例且夹角相等可得DCEACB，再根据对应边成比例可得答案 【解答】解：CDAC，CEBC， ， DCEACB， DCEACB， ， ED10m， AB20m 鱼塘的宽 AB 的长是 20 米 22 （6 分）已知：如图，线段 AB 求作：点 C，D，使得点 C，D 在线段 AB 上，且 ACCDDB 作法：作射线 AM，在射线 AM 上顺次截取线段 AEEFFG，连接 BG； 以点 E 为圆心，BG 长为半径画弧，再以点 B 为圆心，EG 长为半径画弧，两弧在 AB 上方交于点 H； 连接
28、 BH，连接 EH 交 AB 于点 C，在线段 CB 上截取线段 CDAC所以点 C，D 就是所求作的点 （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹） ； （2）完成下面的证明 证明：EHBG，BHEG， 四边形 EGBH 是平行四边形 （ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ） （填推理的依据） EHBG，即 ECBG AC： AB AE：AG AEEFFG， AE AG ACABCD DBAB ACCDDB 【分析】 （1）根据已知作法作图即可； （2）根据证明补全即可 【解答】解： （1）依作法补全图形如下： （2）证明：EHBG，BHEG， 四边形 EGBH 是平行四边形 （
29、两组对边分别相等的四边形是平行四边形） （填推理的依据） ， EHBG，即 ECBG AC：ABAE：AG AEEFFG， AEAG ACABCD DBAB ACCDDB 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，AB， 23 （6 分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表所示： x 3 2 1 0 1 y 0 3 4 3 0 （1）求这个二次函数的表达式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当2x2 时，直接写出 y 的取值范围 【分析】 （1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为（1，4） ，则可设顶点式
30、ya（x+1）2+4，然后把点（0，3）代入求出 a 即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据 x2、2 时的函数值即可写出 y 的取值范围 【解答】解： （1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1，4） ， 设二次函数的解析式为：ya（x+1）2+4， 把点（0，3）代入 ya（x+1）2+4，得 a1， 故抛物线解析式为 y（x+1）2+4，即 yx22x+3； （2）如图所示： （3）y（x+1）2+4， 当 x1 时，y 有最大值 4 当 x2 时，y（2+1）2+45， 当 x2 时，y3， 当2x2 时，y 的取值范围是5y4 24 （6 分）如图，ABBC，ECBC，点
31、 D 在 BC 上，AB1，BD2，CD3，CE6 （1）求证：ABDDCE； （2）求ADE 的度数 【分析】 （1）利用“两边及夹角”法进行推理论证； （2）根据（1）中相似三角形的性质、补角的定义进行解答 【解答】 （1）证明：ABBC，ECBC，点 D 在 BC 上， ABDDCE90 AB1，BD2，CD3，CE6， ， ABDDCE； （2）由（1）知，ABDDCE，则BADEDC BAD+ADB90， ADB+EDC90 ADE180ADBEDC90 25 （7 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为 x1，且其顶点在直线 y2x2上 （1）求抛物线的顶
32、点坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象 【分析】 （1）把 x1 代入 y2x2 即可得到结论； （2）把抛物线的顶点坐标为（1，4）代入抛物线的解析式即可得到结论 （3）利用五点法画出图象即可 【解答】解： （1）把 x1 代入 y2x2 得，y4， 抛物线的顶点坐标为（1，4） ； （2）抛物线的顶点坐标为（1，4） ； 抛物线的解析式为：y（x1）24， 即抛物线的解析式为：yx22x3 （3）列表： x 1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 描点、连线画出函数图象如图： 26 （7 分）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅
33、球的运动情况他以水平方向为 x 轴方向，1m 为单位长度， 建立了如图所示的平面直角坐标系， 铅球从 y 轴上的 A 点出手， 运动路径可看作抛物线，在 B 点处达到最高位置，落在 x 轴上的点 C 处小明某次试投时的数据如图所示 （1）在图中画出铅球运动路径的示意图； （2）根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式； （3）若铅球投掷距离（铅球落地点 C 与出手点 A 的水平距离 OC 的长度）不小于 10m，成绩为优秀请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀 【分析】 （1）根据题意画出图象即可； （2）设该抛物线的表达式为 ya（x4）2+3，由抛物线过点 A 得到 16a+
34、32求得，于是得到结论； （3）根据题意解方程即可得到结论 【解答】解： （1）如图所示 （2）解：依题意，抛物线的顶点 B 的坐标为（4，3） ，点 A 的坐标为（0，2） 设该抛物线的表达式为 ya（x4）2+3， 由抛物线过点 A，有 16a+32 解得， 该抛物线的表达式为； （3）解：令 y0，得 解得，（C 在 x 轴正半轴，故舍去） 点 C 的坐标为（，0） 由，可得 小明此次试投的成绩达到优秀 27 （7 分）如图，ABC 中，ABAC，BAC90，过点 A 的射线与斜边 BC 交于点 D，且满足 DC2BD，CEAD 于点 E，求证：BECAEB 【分析】过 B 作 BFAD
35、 于 F，证ABFCAE（AAS） ，得 BFAE，AFCE，再证CDEBDF，得 CE2BF，再证 EFAEBF，得BEFEBF45，即可解决问题 【解答】证明：过 B 作 BFAD 于 F，则AFB90， BAF+ABF90， BAF+CAEBAC90， ABFCAE， CDAD， CEACED90， 在ABF 和CAE 中， ， ABFCAE（AAS） ， BFAE，AFCE， CEDBFD90，CDEBDF， CDEBDF， ， DC2BD， 2， CE2BF， AFCE2BF2AE， EFAEBF， BEFEBF45， AEB180BEF18045135，BECCED+BEF90+4
36、5135， BECAEB 28 （7 分）给出如下规定：两个图形 G1和 G2，点 P 为 G1上任一点，点 Q 为 G2上任一点，如果线段 PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 G1和 G2之间的距离 在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点 （1）点 A 的坐标为 A（1，0） ，则点 B（2，3）和射线 OA 之间的距离为 3 ，点 C（3，4）和射线OA 之间的距离为 5 （2）点 E 的坐标为（1，1） ，将射线 OE 绕原点 O 逆时针旋转 90，得到射线 OF，在坐标平面内所有和射线 OE，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形 M 在坐标系中画出图形 M，并描
37、述图形 M 的组成部分； （若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示） 将抛物线 yx22 与图形 M 的公共部分记为图形 N，射线 OE，OF 组成的图形记为图形 W，请直接写出图形 W 和图形 N 之间的距离 【分析】 （1）根据定义可知，B 点到射线 OA 的距离即 B 点到 x 轴的距离；C 点到射线 OA 的距离即 CO的长度； （2）由定义可知，EOF 的角平分线上的点与射线 OE、射线 OF 的距离相等，即为 y 轴的正半轴上点；再由定义可知，射线 OG、射线 OH，以及GOH 的内部区域到射线 OE、射线 OF 的距离均是点到O 点的距离； 根据题意画出图形，再结合可知图形 W 与
38、图形 N 之间的距离即为 OE 与 O 点的距离，求出 OE 即为所求 【解答】解： （1）B（2，3） ， B 点 x 轴的距离为 3， 点 B（2，3）和射线 OA 之间的距离为 3， C（3，4） ， CO5， 点 C（3，4）和射线 OA 之间的距离为 5， 故答案为：3，5； （2）如图 1：反向延长 OE，OF 得到射线 OG，OH， 图形 M 为 y 轴的正半轴、射线 OG、射线 OH，以及GOH 的内部区域； 如图 2，图形 N 为图中阴影部分， 由可知，图形 N 中的点到射线 OE、射线 OF 的距离相等， 图形 W 与图形 N 之间的距离即为 OE 与 O 点的距离， E（1，1） ， OE， 图形 W 与图形 N 之间的距离为