1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 8 8 讲分式方程讲分式方程 一、单选题一、单选题 1照相机成像应用了一个重要原理，用公式 1=1+1 (vf)表示，其中 f 表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，v 表示胶片(像)到镜头的距离已知 f，v，则 =( ) A B C D 2众志成城， 抗击疫情， 某医护用品集团计划生产口罩 1500 万只， 实际每天比原计划多生产 2000 只，结果提前 5 天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产 万只口罩，根据题意可列方程为（ ） A1500+0.21500= 5 B1500=1500+2000+5 C1500+2000=150
2、0+ 5 D15001500+0.2= 5 3 （2022 丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的 2 倍，购买足球用了 5000元，购买篮球用了 4000 元，篮球单价比足球贵 30 元.根据题意可列方程 50002=4000 30，则方程中x 表示（ ） A足球的单价 B篮球的单价 C足球的数量 D篮球的数量 4 （2022 萧山模拟）师徒两人每小时共加工 35 个电器零件，徒弟做了 120 个时，师傅恰好做了 160 个.设徒弟每小时做 x 个电器零件，则根据题意可列方程为（ ） A120=16035 B12035=160 C120=16035+ D12035+=16
3、0 5 （2022 椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了 60 万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了 25%，提前 10 天完成任务.设原计划每天生产 x 万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（ ） A6060(1+25%)= 10 B60(1+25%)60= 10 C60(1+25%)60= 10 D6060(1+25%)= 10 6 （2022 舟山模拟）“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了 3 元钱车费，设原来参加游览的同学共
4、x 人，则所列方程为（ ） A1802 180 3 B180+2 180 3 C180 1802 3 D180180+2= 3 学科网（北京）股份有限公司 7 （2022 吴兴模拟）某书店分别用 500 元和 700 元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多 4 套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进 x 套，根据题意，列方程正确的是（ ） A500=7004 B5004=700 C500=700+4 D500+4=700 8 （2022 衢州模拟）若关于 x 的一元一次不等式组3 2 2( + 2) 2 5的解集为 6，且关于 y 的分式方程+21+381= 2的解是正整数，则所有满足条件
5、的整数 a 的值之和是（ ） A5 B8 C12 D15 9 （2022 宁海模拟）分式方程11=1+2的解为（ ） A = 1 B = 1 C = 3 D1= 1，2= 3 10 （2022 温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为 2400 元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊， 则每人比原来多支付 40元， 设原来有x人参加聚餐， 由题意可列方程 （ ） A2400+2=2400+ 40 B2400+40+ 40 =2400 C2400=24002+ 40 D2400+ 40 =24002 二、填空题二、填空题 11 （2022 台州）如图的解题过程中，第步出现错误，
6、但最后所求的值是正确的，则图中被污染的 x的值是 先化简，再求值： 34+ 1 ，其中 = 解：原式 =34 ( 4) + ( 4) = 3 + 4 = 1 12（2022 宁波）定义一种新运算： 对于任意的非零实数 a， b， a b= 1+1 若(x+1) x= 2+1 ， 则 x的值为 13 （2022 秀洲模拟）某班同学到距学校 12 千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的 3 倍，求自行车和汽车的速度。设自行车的速度为 x 千米时，则根据题意可列方程为 14 （2022 兰溪模拟）对于实数 a，b 定义
7、一种新运算“”为 =12，这里等式右边是实数运算例如13 =1123=113= 12，则方程(3) =19 2的解 15 （2021 北仑模拟） 方程2141= 1的解为 . 学科网（北京）股份有限公司 16 （2021 定海模拟）分式方程 +323=27 的解为 . 三、计算题三、计算题 17 （2021 湖州）解分式方程： 21+3= 1 18 （2021 青田模拟）解分式方程： 23 11 . 19 （2022 玉环模拟）解方程： 12+ 1 =32 20 （2022 金华模拟）解方程 12+ 3 =32 四、综合题四、综合题 21 （2022 衢州）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的
8、两款国产车 （1）用含 a 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54 元 分别求出这两款车的每千米行驶费用 若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元 问： 每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用） 22 （2022 乐清模拟）2022 年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”万众瞩目，硅胶是生产“冰墩墩”外壳的主要原材料.某硅胶制品有限公司的两个车间负责生产“冰墩墩”硅胶外壳，已知每天生产的硅胶外壳数量甲车间是乙车间的两倍，甲车间生产 8000 个所用的时间比乙车间生产 2000 个所用的时间
9、多一天. （1）求出甲、乙两车间每天生产硅胶外壳个数. （2）现有如下表所示的 A，B 两种型号硅胶外壳，该公司现有 378 千克的原材料用于生产外壳，并恰好全部用完. 型号 所需原材料 冰墩墩单价 A 99 克 198 元 B 90 克 192 元 学科网（北京）股份有限公司 若生产的 A，B 两种型号的外壳共 4000 个，求出 A，B 两种型号的外壳个数. 若生产的 A，B 两种型号的外壳若干个用于销售，且 A 型号的数量大于 B 型号的数量，则 A 型号外壳为多少个时，冰墩墩的销售金额最大.求出最大销售金额. 23 （2022 龙港模拟）温州某新开发景区管理委员会计划采购，两种休闲长椅
10、供游客景区内休息.已知一张型长椅可坐 3 人，一张型长椅可坐 5 人；型长椅单价是型长椅单价的 0.75 倍，用 8000 元购买型长椅的数量比用 4800 元购买型长椅的数量多 10 张.设景区计划购进张休闲长椅，总费用为元. （1）求，两种休闲长椅的单价. （2）当 = 300时，若要保证至少可容纳 1200 个座位，则应如何安排购买方案最节省费用？求出最低费用的值. （3）现总费用有 42000 元（可结余少许费用，不一定用完） ，问是否存在一种购买方式，使得可共容纳至少 1308 个座位？若有，请直接给出一种具体的购买方式，并写出相应的值；若没有，则说明理由. 24 （2022 乐清模
11、拟）学校趣味运动会组织跳绳项目，购买跳绳经费最多 95 元.某商店有 A，B，C 三个型号的跳绳，跳绳价格如下表所示，已知 B 型长度是 A 型两倍，C 型长度是 A 型三倍（同个型号跳绳长度一样） ，用 80 米绳子制作 A 型的数量比 120 米绳子制作 B 型的数量还多 5 根. 规格 A 型 B 型 C 型 单价（元/条） 4 6 9 （1）求三种型号跳绳的长度. （2）若购买三种跳绳经费刚好用完，其中 A 型和 B 型跳绳条数一样多，且所有跳绳总长度为 120米，求购买 A 型跳绳的数量. （3）若购买的跳绳长度总长度不少于 100 米，则 A 型跳绳最多买几条？ 25 （2022
12、温州模拟）某电商准备销售甲，乙两种特色商品已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价多 20 元，用 5000 元购进甲型商品的数量与用 4500 元购进乙商品的数量相等甲，乙两种商品的销售单价分别为在其进价基础上增加 60%和 50% （1）求甲、乙两种商品每件进价分别为多少元？ （2）该电商平均每天卖出甲商品 200 件，乙商品 100 件经调查发现，甲，乙两种商品销售单价都降低 1 元，这两种商品每天都可多销售 2 件，为了使每天获取更大的利润，该电商决定把甲，乙两种商品的销售单价都下降 m 元 在不考虑其他因素的条件下， 当 m 定为多少时， 才能使商店每天销售甲，乙两种商品获取的总利润最
13、大？ 学科网（北京）股份有限公司 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解： 1=1+1 v=fv+f （v-f）=fv vf 即 v-f0 =. 经检验： =是原方程的根. 故答案为：C. 【分析】方程两边同时乘以 fv，将分式方程转化为整式方程，再根据 vf 即 v-f0，可得到 的值，然后检验即可. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：设原计划每天生产 x 万只口罩，则实际每天生产（x+0.2）万只口罩， 根据题意得：15001500+0.2= 5. 故答案为：D. 【分析】设原计划每天生产 x 万只口罩，得出实际每天生产（x+0.2）万只口罩，再根据原计划用的天数-
14、实际用的天数=5，列出方程，即可得出答案. 3 【答案】D 【解析】【解答】解： 50002=4000 30 ， 由50002表示的是足球的单价，4000表示的是篮球的单价， x 表示的是篮球的数量. 故答案为：D. 【分析】由50002=4000 30的含义表示的是篮球单价比足球贵 30 元，结合“单价=金额 数量”，即可确定 x 的含义. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意，设徒弟每小时做 x 个电器零件，则 120=16035. 故答案为：A. 【分析】 设徒弟每小时做x个电器零件， 则师傅每小时做35-x个零件， 徒弟做120个所用的时间为120， 师 学科网（北京）股份有限
15、公司 傅做 160 个所用的时间为16035，然后根据所用时间相同即可列出方程. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：原计划每天生产 x 万只，则实际每天生产（1+25%）x 万只， 由题意得：6060(1+25%)= 10， 故答案为： D. 【分析】原计划每天生产 x 万只，则实际每天生产(1+25%)x 万只，原计划所用的时间为60，实际所用的时间为60(1+25%)，然后根据提前 10 天完成任务就可列出方程. 6 【答案】D 【解析】【解答】解：设原来参加游览的同学共 x 人，由题意得 180180+2= 3 ， 故答案为：D. 【分析】设原来参加游览的同学共 x 人，实际的人数为(
16、x+2)人，则原来每人的费用为180元，实际每人的费用为180+2元，然后根据每个同学比原来少摊了 3 元就可列出方程. 7 【答案】C 【解析】【解答】解：设该书店第一次购进 x 套， 根据题意可列方程：500=700+4， 故答案为：C. 【分析】设该书店第一次购进 x 套，根据题中的相对关系“ 第一次的进价=第二次的进价”可得关于 x的方程，结合各选项即可判断求解. 8 【答案】B 【解析】【解答】解：3 2 2( + 2) 2 5+2 不等式组的解集为： 6 5+2 6 0 5，且 + 5是 2 的倍数， 5 7，且 + 5是 2 的倍数， 整数 a 的值为-1， 1， 3， 5， 1
17、 + 1 + 3 + 5 = 8 故答案为：b. 【分析】分别解出两个关于未知数 x 的不等式，根据不等式组的解集为 6，可得5+2 0，据此求出整数a 的值，再相加即可. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：11=1+ 2， 1 = + 2 2 解得 x=3， 经检验，x=3 是原方程的解. 故答案为：C. 【分析】首先给方程两边同时乘以（x-1） ，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：设原来有 x 人参加聚餐，由题意可列方程： 2400+ 40 =24002. 故答案为：D. 【分析】根据题意可得计划每人的费用为2400元，
18、实际每人的费用为24002元，然后根据实际每人比原来多支付 40 元就可列出方程. 学科网（北京）股份有限公司 11 【答案】5 【解析】【解答】解：原式=34+44= 14 最后所求的值是正确的 14=-1 解之：x=5 经检验：x=5 是方程的解. 故答案为：5. 【分析】先通分计算，再由题意可得到14=-1；然后解方程求出 x 的值. 12 【答案】12 【解析】【解答】 解：由题意得： ( + 1) =1+1+1， 1+1+1=2+1， 1+1= 2， 解得 x=-12. 故答案为：-12. 【分析】根据新定义的运算法则得出( + 1) =1+1+1，则可列出方程1+1+1=2+1，然
19、后求解，即可得出答案. 13 【答案】12=123+12 【解析】【解答】解：设自行车的速度为 x 千米每时，则汽车的速度为 3x 千米每时， 由题意，得：12=123+12. 故答案为：12=123+12. 【分析】设自行车的速度为 x 千米每时，则汽车的速度为 3x 千米每时，由”半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达“，可列分式方程为12=123+12. 14 【答案】x=10 【解析】【解答】解：(3) =1(3)2=19， 19=19 2， 等式两边同时乘 9，得：1 = 1 2( 9)， 解得： = 10 学科网（北京）股份有限公司 经检验 = 10是原分式方程的解 方程(
20、3) =19 2的解是 = 10 故答案为：x=10. 【分析】根据定义的新运算可得(3) =1(3)2=19=19 2，求出 x 的值，然后进行检验即可. 15 【答案】x=-5 【解析】【解答】解：2141= 1 2x+4=x-1 x=-5， 经检验，x=-5 是分式方程的根. 故答案为：x=-5. 【分析】根据分式方程的解法步骤，去分母，移项，合并同类项，检验（根） ，即可求解. 16 【答案】x=-9 【解析】【解答】解：去分母，得： 7( + 3) = 2(2 3) 去括号，得： 7 + 21 = 4 6 移项、合并同类项，得： 3 = 27 系数化为“1”，得：x=-9 经检验 x
21、=-9 是原方程的解 所以原方程的解是 x=-9. 故答案为：x=-9. 【分析】首先将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后进行检验即可. 17 【答案】解：去分母得 2x-1=x+3， 解之：x=4 经检验 x=4 是原方程的根， 原方程的根为 x=4. 【解析】【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解；再检验可得方程的根. 18 【答案】解：方程两边都乘以最简公分母(x-3)(x-1)，得：2(x-1)=x-3 即 2x-2=x-3 解得：x=-1 把 x=-1 代入(x-3)(x-1)中，得(x-3)(x-1)=-4 (-2)=80 学科网（北京）股份有限公司
22、 所以原方程的解为：x=-1 【解析】【分析】直接按照解分式方程的步骤，先方程两边都乘以最简公分母(x-3)(x-1）化为整式方程，接着解整式方程得出 x 的值，然后再检验最简公分母是否为 0，最后得到方程的即可. 19 【答案】解：去分母得：x-1+（x-2）=3， 去括号得：x-1+x-2=3， 移项合并同类项得：2x=6， 系数化为 1 得：x=3， 检验：当 x=3 时，x-20， x=3 是原分式方程的解. 【解析】【分析】按分式方程解法步骤，依次进行去分母、去括号、移项合并同类项、系数化 1 及检验，即可求解分式方程. 20 【答案】解： 12+ 3 =32 ( 2)(12+ 3)
23、=(32)( 2)， 去分母：1+3(x-2)=x-3， 去括号：1+3x-6=x-3 移项：3x-x=-3+6-1， 合并同类项：2x=2， 系数化为 1：x=1， 经检验 x=1 是原方程的解. 【解析】【分析】将原方程去分母，去括号、移项、合并同类项、再将未知数系数化为 1，最后检验，即可求得 x 的值. 21 【答案】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为 600.6=36 元， 答：新能源车的每千米行驶费用为 36 元 （2）解：由题意得： 40936= 0.54 ， 解得 = 600 ， 经检验， = 600 是所列分式方程的解， 则 409=409600= 0.6 ， 36=366
24、00= 0.06 ， 答：燃油车的每千米行驶费用为 0.6 元，新能源车的每千米行驶费用为 0.06 元； 设每年行驶里程为 x 千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得： 0.6 + 4800 0.06 + 7500 ， 解得 5000 ， 学科网（北京）股份有限公司 答：每年行驶里程超过 5000 千米时，买新能源车的年费用更低. 【解析】【分析】 （1）利用第二个框中的电池电量，电价及续航里程，可求出新能源车的每千米行驶费用. （2）利用已知条件：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多 0.54 元，可得到关于 a 的方程，解方程求出 a 的值； 然后分别列式计算可求出这两款车的每千米行驶
25、费用； 设每年行驶里程为 x 千米时，根据买新能源车的年费用更低，可得到关于 x 的不等式，然后求出不等式的解集. 22 【答案】（1）解：根据已知，设甲、乙车间每天生产的数量分别为2、m 个 80002=2000+ 1 解得 = 2000 经检验符合题意， 甲、乙车间每天生产的数量分别为 4000 个、2000 个 （2）解：设生产 A 型号外壳 x 个，B 型号外壳 y 个，得 + = 400099 + 90 = 378000，解得 = 2000 = 2000 生产 A 型号外壳 2000 个，B 型号外壳 2000 个 设生产 A 型号外壳 x 个，B 型号外壳 y 个，销售金额为 w
26、元，得99 + 90 = 378000 = 4200 1.1， 4200 1.1，解得： 2000 = 198 + 192(4200 1.1) = 13.2 + 806400， = 13.2 y 可得 x 的范围，由 A 型号冰墩墩单价 数量+B 型号冰墩墩单价储量可得 w 与 x 的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答. 23 【答案】（1）解：设型长椅的单价为元，则型长椅的单价为0.75元，根据题意， 学科网（北京）股份有限公司 得8000=48000.75+ 10，解得 = 160，0.75 = 120， 答：，两种休闲长椅的单价分别为 120 元，160 元. （2）解：设型长椅买了
27、张，则型长椅买了(300 )张，根据题意， 得3 + 5(300 ) 1200，解得 150， 又 = 120 + 160(300 ) = 40 + 48000， 当 = 150时，最小，为 42000 元，此时，两种休闲长椅各购买 150 张. 答：，两种长椅各购买 150 张最节省费用，最低费用为 42000 元. （3）解：A，B 型长椅的数量可分别购买 0 张，262 张或 1 张，261 张或 2 张，261 张或 3 张，260 张或 6 张，258 张，的值为 262 或 263 或 264. 【解析】【解答】解： （3）设 A 型长椅买了 x 张，得出 B 型长椅买了（m-x）
28、张， 根据题意得：y=120 x+160（m-x）=42000， x=4m-1050，m=262+4， 3x+5（m-x）1308，3x+5（m-x）1308， 3x+5（262+4-x）1308，3（4m-1050）+5（m-4m+1050）1308， x6，m264， x，m 为正整数， 当 x=0 时，m=262，y=120 x+160（m-x）=4192042000， A，B 型长椅的数量可购买 0 张，262 张，m 的值为 262. 【分析】 （1）设 B 型长椅的单价为 a 元，得出 A 型长椅的单价为 0.74a 元，根据题意列出方程，解方程求出 a 的值，再进行检验，即可得出
29、答案； （2）设 A 型长椅买了 x 张，得出 B 型长椅买了（300-x）张，根据题意列出不等式，解不等式求出 x的取值范围，再列出 y 与 x 的函数关系式，根据一次函数的性质进行解答，即可得出答案； （3） 利用（2）的结论，得出 y=120 x+160（m-x）=42000，得出 x=4m-1050，m=262+4，再根据 3x+5（m-x）1308，得出 x，m 的取值范围，选择一种购买方式，并求出 m 的值，即可得出答案. 24 【答案】（1）解：设 A 型 x 米，则 B 型2，由题意可得 80=1202+ 5， 解得 = 4 A 型跳绳长 4 米，B 型跳绳长 8 米， C 型
30、跳绳长 12 米. （2）解：设购买 A 型跳绳 a 条，则购买 B 型跳绳 a 条，设购买 C 型跳绳 b 条，由题意可得： 4 + 8 + 12 = 1204 + 6 + 9 = 95 学科网（北京）股份有限公司 得12 + 12 = 12010 + 9 = 95 解得 = 5 = 5 购买 A 型跳绳 5 条. （3）解：设购买 A 型跳绳 m 条，购买 B 型跳绳 n 条，购买 C 型跳绳 t 条， 由题意可得4 + 8 + 12 1004 + 6+ 9 95 得8 + 12 100 46 + 9 95 4 化简得2 + 3 25 2+ 3 9543 所以25 2 + 3 9543 解
31、得 20， 购买 A 型跳绳最多 20 条. 【解析】【分析】 （1）设 A 型 x 米，则 B 型 2x 米，由题意可得用 80 米绳子制作 A 型的数量为80条，用 120 米绳子制作 B 型的数量为1202条， 结合“ 用 80 米绳子制作 A 型的数量比 120 米绳子制作 B 型的数量还多 5 根 ”可得关于 x 的方程，求解即可； （2）设购买 A 型跳绳 a 条，则购买 B 型跳绳 a 条，设购买 C 型跳绳 b 条 ，根据总长度为 120 米可得4a+8a+12b=120，根据购买跳绳经费最多 95 元可得 4a+6a+9b=95，联立求解即可； （3）设购买 A 型跳绳 m
32、条，购买 B 型跳绳 n 条，购买 C 型跳绳 t 条， 根据总长度不少于 100 米可得4m+8n+12t100，根据购买跳绳经费最多 95 元可得 4m+6n+9t95，联立求出 2n+3t 的范围，求出 m 的范围，据此解答. 25 【答案】（1）解：设乙商品的进价为 x 元/件，甲商品的进价为（x+20）元/件， 5000+20=4500 ，解得 =180 检验：x=180 是原方程的解且符合题意 x+20=200 答：一件甲，乙商品的进价分别为 200 元和 180 元 （2）解：由题意得甲商品售价为 200 1.6=320 元，乙商品售价为 180 1.5=270 元， 设商店每天
33、销售完甲、乙商品获取的总利润为 w，则： W=（120-m） （200+2m）+（90-m） （100+2m）=-4m2+120m+33000 当 m= 1202(4) =15 时，W最大=33900 元 学科网（北京）股份有限公司 答：当 m=15 元时，才能使商店每天销售完甲，乙两种商品获取的利润最大 【解析】【分析】(1)设乙商品的进价为 x 元件，甲商品的进价为(x+ 20)元件，根据 5000 元购进甲型商品的数量等于 4500 元购进乙商品的数量，建立关于 x 的方程求解，即可解答； (2)先分别计算出甲、乙两种商品的售价，再设商店每天销售完甲、乙商品获取的总利润为 W 元，然后根据“利润=（售价-进价） 数量”列出 W 和 m 的函数关系式，最后根据二次函数的性质最大值，即可解答