1、山东省烟台市2022-2023学年高二上期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）ABCD2已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（ ）ABCD3已知点，若，则的值为（ ）A2BC0或D0或24以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）ABCD5如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，则（ ）ABCD6若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（ ）A相离B相切C相交D不确定7如图，和均是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则异面直线与夹角的大小为（ ）ABCD8设过点的直线与圆
2、相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜率的取值范围为（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列命题正确的有（ ）A若空间向量，与任意一个向量都不能构成基底，则B若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面C若构成空间的一组基底，则也是空间的一组基底D若构成空间的一组基底，则，共面10圆与圆相交于，两点，则（ ）A的直线方程为B公共弦的长为C圆与圆的公切线长为D线段的中垂线方程为11已知直线与圆相交于，两点，则（ ）A的面积为定值BC圆上总存在3个点到直线的距离为2D线段中点的轨迹方程是12如图，在四棱锥中，是以为斜
3、边的等腰直角三角形，为的中点，则下列结论正确的有（ ）A平面B平面平面C点到平面的距离为D二面角的正弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知直线与平行，则实数的值为_14已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为_15在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为_16中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cun）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥已知此四棱锥的侧棱长为米，侧面与底面的夹角为30，则此四棱锥相邻两个侧面的夹角的余弦值为_
4、四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知圆经过两点，且圆心在直线上（1）求圆的标准方程；（2）若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程18（12分）如图，四边形是边长为2的菱形，平面，且（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小19（12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点（1）求直线到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值20（12分）已知圆（1）若圆与圆外切，求的值；（2）当时，由直线上任意一点作圆的两条切线，（，为切点），试探究四边形的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由21（12分）在如
5、图所示的几何体中，与为全等的等腰直角三角形，四边形为正方形，且，已知平面平面（1）求证：；（2）已知，为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值22（12分）如图，经过原点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一个交点为（1）当点坐标为时，求直线的方程；（2）记点关于轴对称点为（异于点，），求证：直线恒过轴上一定点，并求出该定点坐标；（3）求四边形的面积的取值范围参考答案一、选择题BADDACCB二、选择题9AC10ACD11ABD12ACD三、填空题131141516四、解答题17解：（1）由题知，所求圆的圆心为线段的垂直平分线和直线的交点线段的中点坐标为，直线的斜率，所以，的
6、垂直平分线的方程为即联立得，解得圆心半径所以，圆的标准方程为（2）由题意知圆心到直线的距离为，当直线斜率存在时，设直线方程为，即所以，解得所以，直线的方程为当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意所以，直线的方程为或18解：（1）证明：连接，因为四边形是菱形，所以又因为平面，平面，所以因为，所以，平面因为平面，所以，（2）设，取的中点，则，由（1）知，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量，则，所以，所以，取设直线与平面夹角为，所以，所以，直线与平面夹角的大小为19解：（1）连接交于点，连接因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面所以点到平面
7、的距离即为直线到平面的距离.由题知，两两垂直，所以，以为坐标原点，分别以，所在的直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以，设面的一个法向量，则，即，所以，取又，所以，点到平面的距离为即直线到平面的距离为（2）由（1）知，平面的一个法向量又，设平面的一个法向量面，则，即，所以，取设平面与平面的夹角为，则所以，平面与平面夹角的余弦值为20解：（1）圆的方程可化为：，所以，即方程可化为：，因为两圆外切，所以，即，解得，符合题意（2）由题意可知四边形外接圆是以中点为圆心，为半径的圆设，则圆的方程为，整理得：，式子可化为：联立方程，整理得：，解得，或所以，外接圆恒过定点和21解：（1）证明：因为
8、四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以平面又因为平面，平面平面，所以（2）由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系由（1）知，可设，且，所以，设平面的一个法向量，则，即，所以，取设直线与平面所成的角为，则，当且仅当，即时，等号成立所以，直线与平面所成角的正弦值的最大值为22解：（1）当点坐标为时，直线的斜率为2，因为，所以的斜率为所以，直线的方程为，即（2）证明：设，由题意可知，直线斜率存在且不为零，所以，可设直线方程为联立方程，消得，由韦达定理可得，又直线的方程，令，得又由，可得，所以，直线恒过轴上一定点（3）当直线斜率不存在时，当直线斜率存在时，可设直线的方程为，所以，圆心到直线的距离为，所以，直线的方程可设为整理得，圆心到直线的距离为，所以，所以，令，所以，上式可化为：，所以，综上，的取值范围是