1、第九讲 逻辑推理 1.四年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛。比赛若干场后发现，除一班队员甲以外，其他每人已比赛过的场数各不相同，那么一班队员乙已赛过多少场？ 1、 掌握解决逻辑推理问题的两种方法：直接推理法、间接推理法； 2、 培养学员的逻辑推理能力，训练假设思想、排除思想、表格思想和比较思想； 3、培养学员严格的逻辑推理意识和矛盾意识，培养学员数学学习兴趣和良好的学习习惯。 逻辑推理的常用方法是假设法和排除法，运用定律是矛盾律、同一律、排中律。逻辑推理必须仔细分析题目条件，选择突破口，有时需要借助于图表，步步深入，才能
2、使问题得到较快的解决。 矛盾律是指同一对象在相同的时间条件下，不可能有两个相互矛盾的判断。 同一律是指某个概念的意义应是同一确定的概念。比如说一班的小丁数学考试得 98 分是班级第一名，而二班的小红这次数学考试也得了 98 分，从而判断她也该是第一名，这就错了，因为他们在不同的班级，不同的情况下，违背了同一律，从而导致推理错误。 排中律是说事物的性质不是有，就是无，没有第三种可能。 【解析】根据题意,有 11 名队员比赛场数各不相同,并且每人最多比赛 10 场,所以除甲外的 11 名队员比赛的场数分别为 010。已赛 10 场的队员与除已赛 0 场外的所有队员都赛过,所以已赛 10 场的队员与
3、已赛 0场的队员同班；已赛 9 场的队员与除已赛 0、1 场外的所有队员都赛过,所以已赛 9 场的队员与已赛 1 场的队员同班；同理,已赛 8、7、6 场的队员分别与已赛 2、3、4 场的队员同班；所以甲与已赛 5 场的队员同班,即乙赛过 5 场。 解答：乙赛过 5 场。 2.甲、乙、丙三人进行跑步比赛。A、B、C 三人对比赛结果进行预测，A 说:“甲肯定是第一名。 ”B 说:“甲不是最后一名。 ”C 说:“甲肯定不是第一名。 ”其中只有一人对比赛结果的预测是对的。预测对的是谁？ 【解析】A、C 的预测截然相反,必一对一错。因为只有一人对,不论 A、C 谁对,B 必错,所以甲是最后一名。 解答
4、：预测对的是 C。 1.甲、乙、丙三名同学参加了一次考试，试题共 5 道，都是判断题，正确的画“” ，错误的画“” ，他们的答卷如下表： 题号 学生 1 2 3 4 5 甲 乙 丙 成绩公布后，三人都得 80 分。那么这 5 道题的正确答案依次是怎样的？ 【解析】观察甲与乙的答案可知，甲、乙有 3 道题答案相同，2 道题答案不同因为每人都是 80 分，所以3 道答案相同的题都答对了，2 道答案不同的题各对了 1 道；由此可知第 2、4、5 题的答案分别是、；同理，乙、丙有 3 题答案相同，根据每人都是 80 分，所以 3 道答案相同的题都答对了，即第 1、4、5题的答案分别是、；同理，甲、丙也
5、有 3 题答案相同，这 5 道题有 1 题是错的，即第 3 是对的，通过以上分析进而整理得出正确答案。 解答：1 至 5 题的答案分别是：、。 2.一个箱子里放了若干顶帽子， 除 3 顶外其余都是红的， 除 4 顶外其余都是蓝的， 除 4 顶外其余都是黄的，除 4 顶外其余都是白的，箱子里一共有多少顶帽子？ 【解析】由题意可知，帽子颜色共有红、蓝、黄、白四种，又除 3 顶外其余都是红的，即蓝黄白3顶，同理可知，红黄白4 顶，红蓝白4 顶，红蓝黄4 顶。由此根据它们之间的数量关系即能求得共有多少顶。 解答：箱子里一共有 5 顶帽子。 3.有三个一样大小的立方体，每个立方体的六个面上都分别标有 l
6、6 这六个数字，那么当任意摆放时，三个立方体向上的三个面的数字之和有多少种不同的取值？ 【解析】 因为 1 到 6 数字是连续的， 所以我们只需要求出三个面的数字之和为最大的与最小的值就可以了，很显然最大的就是 666，最小的就是 111，中间的数是可以全部取到的，由此即可得出答案。 解答：有 16 种不同的取值。 4.某次考试满分是 100 分，A，B，C，D，E 五人参加了这次考试。 A 说： “我得了 94 分。 ” B 说： “我在 5 人中得分最高。 ” C 说： “我的得分是 A 和 D 的平均分。 ” D 说： “我的得分恰好是 5 人的平均分。 ” E 说： “我比 C 多得
7、2 分，并且 5 人中居第二。 ” 问：这 5 个人各得几分？ 【解析】 （1）分析 A，C，D 得分排序。C 是 A 和 D 的平均分，在 A 和 D 之间。 A、 若 AD， 则 CAD， 而 EC2， 根据 5DABCDE， 有 59494B9494 （942） ，解得 B92，与 B 是最高分矛盾。 B、若 AD，则 CD，D 为最低分，与 D 是 5 人平均分矛盾。 因此，只能是 DA，则有 ACD。A94 最低，另外 4 人在 95 到 100 分之间。 （2）分析 D 的分数。A94 为偶数，C 是 A 和 D 的平均分且为整数，则 D 得分为偶数，是 96 或 98。 若 D9
8、8，则 C（9498）296，EC296298B 是第一名，得分可能是 99，100， 当 B99 时，5 人平均分是（9499969898）597D，矛盾， 当 B100 时，5 人平均分是（94100969898）597。2D 矛盾， 所以 D98，只能是 D96 此时，C（9496）295，E95297，由 596（94B959697）进而计算得出结论。 解答：A，B，C，D，E 五人得分依次是 94，98，95，96，97。 5.太平洋某岛国的一个部落里只有两种人： 一种是永远说真话的老实人， 一种是永远说假话的骗子。 一天，这个部落的 2009 个人举行了一次圆桌会议，每个人都声称：
9、“我左右的两个人都是骗子”。第二天，会议继续进行， 但一人因病未能到会， 因此只有 2008 个人参加第二天的会议。 大家按照新的顺序坐了下来，此时，每个人都声称：“我左右的两个人都和我不是同一种人”。参加第一天圆桌会议的人之中共有多少位老实人？ 【解析】第一天的时候，考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有 1 个是老实人。可见每相邻的三个人中至少有 1 个老实人。由于 200936692，可以先选取两个人，其中至少有 1 个是老实人(即任意选取 1 个老实人，再选取一个与他相邻的人)，再将剩下的 2007 个人每相邻
10、的三人分为一组，共分成 669 组，那么每组中至少有 1 个老实人，所以第一天至少有 1669670 个老实人。 第二天的时候，还是考虑相邻的三个人，中间的人如果是老实人，那么他左右的两个人都是骗子；中间的人如果是骗子，那么他左右的两个人中至少有一个和他是同一种人，也就是说至少有一个是骗子，至多有一个是老实人。可见每相邻的三个人中至多有 1 个老实人。由于 200836691，可以先任意选取 1 个骗子，再将剩下的 2007 个人每相邻的三人分为一组，共分成 669 组，那么每组中至多有 1 个老实人，所以第二天至多有 669 个老实人。 由于第二天有一个人没来， 所以第一天比第二天至多多 1
11、 个老实人， 那么第一天至多有 6691670个老实人，而根据前面的分析，第一天至少有 670 个老实人，所以第一天恰好有 670 个老实人。 解答：第一天恰好有 670 个老实人。 1.小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都获得了其中的一门第一名，一门第二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩第一名的是谁？ 【解析】因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英语或数学，而小明已获得了数学第二名，不可能再获得数学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小明。 解答：获得英语第一名的是小明。 2.如图所示，有 12 个小
12、正方体，每个正方体 6 个面上分别写着数字 1、9、9、8、4、5，用这 12 个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个?并求这些面上的数字和。 【解析】先求看得见的个数，再求看不见的面的个数，同样，先求这 12 个小正方体各个面上的数字的和，再减去看得见的数字的和。这 12 个小正方体，共有面数 61272 个，图中看得见的面共有 34419个，故图中看不见的面有 721953 个，12 个小正方体各个面的数字的和为（199845）12432， 而图中看得见的数字的和为131， 所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432131303。 解答：看不见的那些小正方
13、体的面有 53 个，这些面上的数字和是 303。 3.ABCDEF 六位选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都与其他选手赛一场） ，每天同时在三张球台各进行一场比赛，已知第一天 B 对 D，第二天 C 对 E，第三天 D 对 F，第四天 B 对 C，问第五天 A 与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？ 【解析】第一天 B 和 D，第二天 C 对 E，说明 C 和 E 这两天都没和 B、D 交手；第三天 D 对 F，说明 C、E 还是没和 D 交手，所以剩下两天，他们将分别和 D 交手。第四天 B 对 C，说明只能是 E 对 D，A 对 F；第五天，C 对 D， 此时已推出 C 与 E、D、B 都交过手，只剩第一天，和第三天，A 和 F。第三天，D 对 F，所以 C 对A，B 对 E。第一天，C 对 F，B 对 D，A 对 E。 解答：第五天，A 对 B，C 对 D，E 对 F。 保罗埃尔德什。另译保罗爱多士（1913 年 3 月 26 日1996 年 9 月 20 日） ，匈牙利籍犹太人，发表论文高达 1475 篇，为现时发表论文数最多产的数学家（其次是欧拉）,曾和 511 人合写论文。埃尔德什虽然没有牛顿、希尔伯特、爱因斯坦那些经典科学大师们的名气，但是我们应该记住他，他创造的学术奇迹不是让其自己成为伟大的数学家，而是通过提问和协作造就无数的数学家，这个功劳应该被历史所记录。