1、 2022-2023 学年天津市北辰区九年级学年天津市北辰区九年级上上期中数学试卷期中数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 24 分）分） 1下列各届冬奥会会徽图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列方程属于一元二次方程的是（ ） Ax3+1x2 Bx2+x10 Cx30 D 3将方程 x26x+10 配方后，原方程可变形为（ ） A（x3）28 B（x3）210 C（x+3）210 D（x+3）28 4方程 2x25x+30 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等
2、的实数根 5将抛物线 yx2先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后的抛物线解析式为（ ） Ay（x+1）2+2 By（x+1）22 Cy（x1）2+2 Dy（x1）22 6如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 y（x2）2+6，则水柱的最大高度是（ ） A2 B4 C6 D2+ 7 设 A （2， y1） ， B （1， y2） ， C （2， y3） 是抛物线 yx22x+c 上的三点， y1， y2， y3的大小关系为 （ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 8如图，OAB 绕点 O 逆时针旋转 80到OCD 的位置，已知
3、AOB45，则AOD 等于（ ） A55 B45 C40 D35 9如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长 40 米、宽 34 米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 960 平方米则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则根据题意，列方程为（ ） A（402x）（34x）960 B403440 x34x+2x2960 C（40 x）（342x）960 D403440 x234x960 10二次函数 yx2+2x+1 与 y 轴的交点坐标是（ ） A（0，1） B（0，1） C（1，0） D（1，0） 11点 P（3，2）关于原点对称的点 Q 的坐标为（
4、 ） A（3，2） B（3，2） C（32） D（3，2） 12如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x1，以下 4 个结论： abc0； （a+c）2b2； a+bm（am+b），其中 m1； 4a+2b+c0 其中正确结论的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13方程 3x28x+10 的一次项系数是 14一元二次方程（x4）（x+9）0 的较小的根为 15抛物线 yx24x+2 的对称轴是 16若二次函数 y（m+2）x2+3
5、x+m24 的图象经过原点，则 m 17如图，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 20得到OCD，若点 B 在 CD 上，则OBA 18已知实数 m，n（mn）满足等式 m22m10，n22n10，则的值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，小题，19-24 每题每题 8 分，分，25 题题 10 分，共分，共 58 分）分） 19解方程： （1）x24x30； （2）x（2x5）4x10 20在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为 A（2，1），B（3，3），C（0，4）画出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1 21已知关于 x 的一元二次方程 2x2+x+m0
6、（m 为常数） （1）若 x1 是该方程的一个实数根，求 m 的值和该方程的另一个实数根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 22在ABC 中，ACB120，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，得EDC，D，E 分别是点 B，A 的对应点记旋转角为 （）如图 1，连接 AD，若 BC6，AC8，30，求 AD 的长； （）如图 2，连接 BD，若 60，求证：BDAC 23某商品现在的售价是每件 60 元，每周可卖出 300 件市场调查反映：若调整价格，每涨价 1 元，每周可少卖出 10 件已知该商品的进价是每件 40 元 设该商品每件涨价 x 元（0 x30） （1）根据题
7、意填写表： 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现在 60 20 300 203006000 涨价后 60+x 20+x （2）若计划每周的利润为 6160 元，该商品每件应涨价多少？ 24如图，直线 y1x1 和抛物线 y2x2+bx+c 都经过点 A（1，0），B（3，2） （1）求抛物线的解析式和顶点 P 的坐标； （2）直接回答，当 x 为何值时，不等式 x2+bx+cx1 25如图，抛物线 yx2bx+c 交 x 轴于点 A（1，0），交 y 轴交于点 B，对称轴是直线 x2 （1）求抛物线的解析式； （2）若在抛物线上存在一点 D，使ACD 的面积为 8
8、，请求出点 D 的坐标 （3）点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 24 分）分） 1下列各届冬奥会会徽图案中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据中心对称图形的概念判断把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形 解：选项 A、B、D 都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形
9、选项 C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形 故选：C 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与自身重合 2下列方程属于一元二次方程的是（ ） Ax3+1x2 Bx2+x10 Cx30 D 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可 解：A、方程中未知数的最高次数是 3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、只含有 1 个未知数，未知数的最高次数是 2，故该选项符合题意； C、方程中未知数的最高次数是 1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：B
10、 【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程是解题的关键 3将方程 x26x+10 配方后，原方程可变形为（ ） A（x3）28 B（x3）210 C（x+3）210 D（x+3）28 【分析】 将常数项移到方程的右边， 两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案 解：x26x+10， x26x1， 则 x26x+91+9，即（x3）28， 故选：A 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关
11、键 4方程 2x25x+30 的根的情况是（ ） A没有实数根 B只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【分析】先计算根的判别式的值，即可根据根的判别式的意义判断方程根的情况 解：（5）2423252410， 方程有两个不相等的实数根 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 5将抛物线 yx2先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后的抛物线解析式为（ ） Ay（x+1）2+2 By（x+1）22 Cy
12、（x1）2+2 Dy（x1）22 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可 解：yx2先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位， 平移后的抛物线的顶点坐标为（1，2）， 所得抛物线的解析式为 y（x+1）2+2 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便 6如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为 y（x2）2+6，则水柱的最大高度是（ ） A2 B4 C6 D2+ 【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案 解：抛物线形水柱，其解析式为 y（x2）
13、2+6， 水柱的最大高度是：6 故选：C 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确理解二次函数顶点坐标的意义是解题关键 7 设 A （2， y1） ， B （1， y2） ， C （2， y3） 是抛物线 yx22x+c 上的三点， y1， y2， y3的大小关系为 （ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy3y1y2 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据各点到对称轴的距离的大小关系求解 解：yx22x+c， 抛物线开口向上，对称轴为直线 x1， 1（2）2111， y1y3y2 故选：B 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函
14、数与方程及不等式的关系 8如图，OAB 绕点 O 逆时针旋转 80到OCD 的位置，已知AOB45，则AOD 等于（ ） A55 B45 C40 D35 【分析】本题旋转中心为点 O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角BOD 即为旋转角，利用角的和差关系求解 解：根据旋转的性质可知，D 和 B 为对应点，DOB 为旋转角，即DOB80， 所以AODDOBAOB804535 故选：D 【点评】本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等 9如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长 40 米、宽 34 米的矩形，为便于管理，
15、要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为 960 平方米则小道的宽为多少米？若设小道的宽为 x 米，则根 据题意，列方程为（ ） A（402x）（34x）960 B403440 x34x+2x2960 C（40 x）（342x）960 D403440 x234x960 【分析】根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为（402x）米，宽为（34x）米，然后根据长方形的面积长宽，即可列出相应的方程 解：由题意可得， （492x）（34x）960， 故选：A 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题
16、简单化 10二次函数 yx2+2x+1 与 y 轴的交点坐标是（ ） A（0，1） B（0，1） C（1，0） D（1，0） 【分析】 利用二次函数与 y 轴相交就是把 y0 代入二次函数中， 解方程求出 x 的值 从而得到交点坐标 解：二次函数 yx2+2x+1 与 y 轴相交， x0， y0+0+11 则二次函数 yx2+2x+1 与 y 轴的交点坐标是（0，1） 故选：B 【点评】解答此类题目要抓住抛物线与坐标轴交点的特点 11点 P（3，2）关于原点对称的点 Q 的坐标为（ ） A（3，2） B（3，2） C（32） D（3，2） 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可
17、得答案 解：点 P（3，2）关于原点对称的点 Q 的坐标为（3，2）， 故选：C 【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律 12如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x1，以下 4 个结论： abc0； （a+c）2b2； a+bm（am+b），其中 m1； 4a+2b+c0 其中正确结论的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，分别观察 x2，x1，x1 时的函数值，进而
18、对所得结论进行判断即可 解：由图象可知：a0，c0， 0， b0， abc0，故正确； 当 x1 时，y0，当 x1 时，y0， ab+c0，a+b+c0， （ab+c）（a+b+c）0， （a+c）2b2，故正确； 当 x1 时，y 的值最大此时，ya+b+c， 而当 xm 时，yam2+bm+c，其中 m1， 所以 a+b+cam2+bm+c， 故 a+bam2+bm，即 a+bm（am+b），故错误 由对称知，当 x2 时，函数值大于 0，即 y4a+2b+c0，故正确； 故选：B 【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 yax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向
19、、对称轴和抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13方程 3x28x+10 的一次项系数是 8 【分析】根据一元二次方程的一般形式得出答案即可 解：方程 3x28x+10 的一次项系数是是8， 故答案为：8 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c0（a、b、c 为常数，a0） 14一元二次方程（x4）（x+9）0 的较小的根为 x9 【分析】利用因式分解法求出方程的解，即可求出较
20、小的根 解：由方程（x4）（x+9）0， 可得 x40 或 x+90， 解得：x14，x29， 所以一元二次方程（x4）（x+9）0 的较小的根为 x9， 故答案为：x9 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及方程的根，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 15抛物线 yx24x+2 的对称轴是 直线 x2 【分析】把二次函数化为顶点式的形式，进而可得出结论 解：二次函数可化为 y（x2）22， 对称轴是直线 x2， 故答案为：直线 x2 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键 16若二次函数 y（m+2）x2+3x+m24 的图象经过原点，则 m 2 【分
21、析】将（0，0）代入解析式求出 m 的值，由 y（m+2）x2+3x+m24 为二次函数可得 m+20，进而求解 解：将（0，0）代入 y（m+2）x2+3x+m24 得 m240， 解得 m2， m+20， m2， m2， 故答案为：2 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的概念 17如图，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 20得到OCD，若点 B 在 CD 上，则OBA 80 【分析】由旋转的性质可得DOB20，OBOD，DOBA，由等腰三角形的性质可求解 解：将OAB 绕点 O 逆时针旋转 20得到OCD， DOB20，OBOD，DOBA， OB
22、DD80， OBA80， 故答案为：80 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键 18已知实数 m，n（mn）满足等式 m22m10，n22n10，则的值是 4 【分析】根据题意可知：m，n 是关于 x 的一元二次方程 x22x10 的两个实数根，利用根与系数的关系可得出 m+n2，mn1，再将其代入+中，即可求出结论 解：实数 m，n（mn）满足等式 m22m10，n22n10， m，n 是关于 x 的一元二次方程 x22x10 的两个实数根， m+n2，mn1， +4 故答案为：4 【点评】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，牢记“两根之和等于，
23、两根之积等于”是解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，小题，19-24 每题每题 8 分，分，25 题题 10 分，共分，共 58 分）分） 19解方程： （1）x24x30； （2）x（2x5）4x10 【分析】 （1） 利用解一元二次方程配方法， 当二次项系数为 1 时， 常数项等于一次项系数一半的平方，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答 解：（1）x24x30， x24x3， x24x+43+4， （x2）27， x2， x2或 x2， x12+，x22； （2）x（2x5）4x10， x（2x5）2（2x5）0， （2x5
24、）（x2）0， 2x50 或 x20， x12.5，x22 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键 20在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为 A（2，1），B（3，3），C（0，4）画出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1 【分析】根据旋转的性质即可画出ABC 关于原点 O 成中心对称的A1B1C1 解：如图，A1B1C1即为所求 【点评】本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质 21已知关于 x 的一元二次方程 2x2+x+m0（m 为常数） （1）若 x1 是该方程的一个实数根，求 m 的值和该方程的另一
25、个实数根； （2）若该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 【分析】（1）把 x1 代入原方程，得到关于 m 的方程，即可求 m 的值，再利用根与系数的关系即可求另一根； （2）利用根的判别式进行求解即可 解：（1）x1 是该方程的一个实数根， 212+1+m0， 解得：m3， 原方程为：2x2+x30， 令方程的另一实数根为 y，则有： 1+y， 解得：y； （2）方程有两个不相等的实数根， 1242m0， 解得：m 【点评】本题主要考查根与系数的关系，根的判别式，解答的关键是对相应的知识的掌握与灵活运用 22在ABC 中，ACB120，将ABC 绕点 C 顺时针旋转，得EDC，D，
26、E 分别是点 B，A 的对应点记旋转角为 （）如图 1，连接 AD，若 BC6，AC8，30，求 AD 的长； （）如图 2，连接 BD，若 60，求证：BDAC 【分析】（I）由旋转 30知ACD90，再利用勾股定理即可； （II）若 60，则CBD 是等边三角形从而CBD60，即可解决问题 【解答】（）解：BCD30，ACB120， ACD90， EDC 是ABC 旋转得到的， EDCABC BCCD6， 在 RtADC 中，根据勾股定理， 得 ； （）证明：由（）知，BCCD， 又BCD60， CBD 是等边三角形 CBD60， 又ACB120， CBD+ACB180， ACBD 【点评
27、】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，平行线的判定等知识，熟练掌握旋转前后图形是全等的是解题的关键 23某商品现在的售价是每件 60 元，每周可卖出 300 件市场调查反映：若调整价格，每涨价 1 元，每周可少卖出 10 件已知该商品的进价是每件 40 元 设该商品每件涨价 x 元（0 x30） （1）根据题意填写表： 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现在 60 20 300 203006000 涨价后 60+x 20+x （30010 x） （20+x）（30010 x） （2）若计划每周的利润为 6160 元，该商品每件应涨价多少？ 【分析】（1）利用每周的
28、销量30010每件上涨的价格，即可用含 x 的代数式表示出每周销量，再利用每周利润每件利润每周销量，即可用含 x 的代数式表示出每周利润； （2）根据每周的利润为 6160 元，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 解：（1）依题意得：该商品每件涨价 x 元时，每件利润为（20+x）元，每周销量为（30010 x）件，每周利润为（20+x）（30010 x）元 故答案为：（30010 x）；（20+x）（30010 x） （2）依题意得：（20+x）（30010 x）6160， 整理得：x210 x+160， 解得：x12，x28 答：该商品每件应涨价 2 元或 8 元 【点评】
29、本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含 x 的代数式表示出每周销量及每周利润；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程 24如图，直线 y1x1 和抛物线 y2x2+bx+c 都经过点 A（1，0），B（3，2） （1）求抛物线的解析式和顶点 P 的坐标； （2）直接回答，当 x 为何值时，不等式 x2+bx+cx1 【分析】（1）将 A、B 点的坐标值代入抛物线 y2x2+bx+c 便可求得结果； （2）利用抛物线与一次函数图象的性质，可直接写出结果 解：（1）直线 y2x2+bx+c 经过点 A（1，0），B（3，2） ， 解得， 抛物线的
30、解析式为 y2x23x+2， y2（x）2， 抛物线的顶点 P（，）； （2）由函数图象可知，当 x1 或 x3 时，抛物线 y2x2+bx+c 在直线 y1x1 上方， 当 x1 或 x3 时，x2+bx+cx1 【点评】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，一次函数和图象与性质，利用函数图象求得不等式的解析，关键是综合应用一次函数与二次函数的性质解题 25如图，抛物线 yx2bx+c 交 x 轴于点 A（1，0），交 y 轴交于点 B，对称轴是直线 x2 （1）求抛物线的解析式； （2）若在抛物线上存在一点 D，使ACD 的面积为 8，请求出点 D 的坐标 （3）点 P 是抛物线对称
31、轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）根据抛物线经过点 A（1，0），对称轴是直线 x2 列出方程组，解方程组求出 b、c 的值即可； （2）设 D（m，n），列出方程即可解决问题； （3）因为点 A 与点 C 关于直线 x2 对称，根据轴对称的性质，连接 BC 与 x2 交于点 P，则点 P 即为所求，求出直线 BC 与 x2 的交点即可 解：（1）由题意得， 解得， 抛物线的解析式为yx24x+3； （2）设 D（m，n）， 由题意2|n|8， n8 当 n8 时，x24x+38，解得 x5 或1， D（5，8）或（1，8）， 当 n8 时，x24x+38，方程无解， 综上所述，D（5，8）或（1，8） （3）点 A 与点 C 关于 x2 对称， 连接 BC 与 x2 交于点 P，则点 P 即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点 C 的坐标为（3，0）， yx24x+3 与 y 轴的交点为（0，3）， 设直线 BC 的解析式为：ykx+b， ， 解得， 直线 BC 的解析式为：yx+3， 则直线 BC 与 x2 的交点坐标为：（2，1） 点 P 的坐标为：（2，1） 【点评】本题考查二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题