1、广东省广州市番禺区二校联考九年级上期中诊断性调研数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转35得到，边，相交于点F，若，则的度数为（ ）A 60B. 65C. 72.5D. 1155. 如图，的直径，垂足为，连接并延长交于点，连接，则的度数为（ ）A. B. C. D. 6. 为增强学生身体素
2、质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 87. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（）A. 16B. 12C. 14D. 12或168. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）A. 3或1B. 3或1C. 3D. 19. 抛物线与坐标轴交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 310. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：；（m为实数）其中正确结论的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3
3、个D. 4个二、填空题（本大题共10题，每小题3分，共18分）11. 已知函数是二次函数，则的取值范围是_12. 点A（2，a）与点（b，3）关于原点对称，则a+b_13. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了_个人14. 如图，在中，点在上，则_15. 设a，b是方程x20220的两个实数根，则2ab的值为_16. 如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点、分别是、的中点，连接，则的最小值为_三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 用合适方法解下列方程：（1）（2）
4、18. 如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，的位置如图（1）画出将先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到；（2）画出将绕点顺时针方向旋转得到；19. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若满足，求实数的值20. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上（1）若，求旋转的角度的大小；（2）若，求的长度21. 如图，为的直径，过点作于点，交于点，（1）求证：为的中点；（2）若圆的半径为6，求弦的长22. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数对称
5、轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求ABC的面积23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为设垂直于墙的一边长为（1）当为何值时，菜园的面积为；（2）当为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？24. 在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得（1）如图1，当时，连接，连接交于点若平分，求证：；求的长（2）如图2，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；25. 已知抛物线和（1）如何将抛物线平移得到抛物线？（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点.请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接若，求点的横坐标若，直
6、接写出点横坐标（3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系广东省广州市番禺区二校联考九年级上期中诊断性调研数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共30分）1. 下列图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：平面内一个图形绕某点旋转后与初始图形重合，这个图形叫做中心对称图形；对所给选项进行判断即可得解【详解】解：A、是旋转对称图形，但不是中心对称图形；故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是旋
7、转对称图形，但不是中心对称图形；故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意故选D【点睛】此题考查中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答此题的关键2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】，所以，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.3. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】按
8、照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到，再向下平移2个单位长度，得到，整理得，故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键4. 如图，在中，以C为中心，将顺时针旋转35得到，边，相交于点F，若，则的度数为（ ）A. 60B. 65C. 72.5D. 115【答案】B【解析】【分析】由图形旋转变换的性质，可得A=D=30，再根据三角形的外角的性质，即可求解.【详解】以C为中心，将顺时针旋转35得到，ACD=35，A=D=30，=ACD+D=35+30=65，故选B.【点睛】本题主要考查
9、图形的旋转的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质，是解题的关键.5. 如图，的直径，垂足为，连接并延长交于点，连接，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由OA=OC，得OCA=A=30从而得BOC=OCA+A=60，再由CF是直径，则CDF=90，则FDCD，又因为ABCD，所以ABDF，所以CFD=BOC =60【详解】解：OA=OC，OCA=A=30，BOC=OCA+A=60，CF是O的直径，CDF=90，即FDCD，又ABCD，ABDF，CFD=BOC =60故选：C【点睛】本题考查直径所对圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形外角性质，平行线
10、的判定与性质，掌握直径所对圆周角是直角是解题的关键6. 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】设邀请 队参赛，根据“计划安排21场比赛，”可列出方程，解出即可【详解】解：设邀请 队参赛，根据题意得： ，解得： 或 （不合题意，舍去）答：邀请7队参赛故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键7. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（）A
11、. 16B. 12C. 14D. 12或16【答案】A【解析】【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长【详解】解方程，得：或，若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，故选A【点睛】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则8. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）A. 3或1B. 3或1C. 3D. 1【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，计算出再代入分式计算，即可求得【
12、详解】解：由根与系数的关系得： ，,即,解得：或,而当时，原方程，无实数根，不符合题意，应舍去， 故选C【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系应用，求得结果后需进行检验是顺利解题的关键9. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断【详解】当时，则抛物线与轴的交点坐标为，当时，解得，抛物线与轴的交点坐标为，所以抛物线与坐标轴有2个交点故选C【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次
13、方程10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：；（m为实数）其中正确结论的个数是（ ）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】【分析】由抛物线对称轴公式即可对进行判断；由抛物线的开口方向可判断a，结合抛物线的对称轴可判断b，根据抛物线与y轴的交点可判断c，进而可判断；由图象可得：当x=3时，y0，即9a+3b+c0，结合的结论可判断；由于当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，即（m为实数），进一步即可对进行判断，从而可得答案【详解】解：抛物线的开口向上，a0，抛物线的对称轴是直线x=1，b0，故正确；抛物线与y轴交于负半轴，c0，故正确；当x=3时，y0，9a+3b+c0
14、，整理即得：，故正确；当x=1时，二次函数y取最小值a+b+c，（m为实数），即（m为实数），故正确综上，正确结论的个数有4个故选：D【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与其系数间的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键二、填空题（本大题共10题，每小题3分，共18分）11. 已知函数是二次函数，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；【详解】解：函数是二次函数，解得：故答案为：【点睛】本题考查了二次函数，注意二次函数的二次项系数不能等于012. 点A（2，a）与点（b，3）关于原点对称，则a+b_【答案】【解
15、析】【分析】根据关于原点对称的两个点的特征：横纵坐标互为相反数，求出的值，再代入到代数式进行计算即可详解】解：点A（2，a）与点 （b，3）关于原点对称，故答案为：【点睛】本题考查根据字母的值，求代数式的值熟练掌握关于原点对称的点的特征是解题的关键13. 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了_个人【答案】12【解析】【分析】设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解【详解】解：设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x=169解得：x=12或x=-14（舍去）平均一人传染12人故答案为：12【点睛
16、】本题考查理解题意的能力，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解14. 如图，在中，点在上，则_【答案】【解析】【分析】画出的圆周角交于点，构造出的内接四边形；根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出的度数【详解】如图，画出的圆周角交于点，则四边形为的内接四边形，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，四边形为的内接四边形，故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键15. 设a，b是方程x20220的两个实数根，则2ab
17、的值为_【答案】2021【解析】【分析】根据方程根的定义，得出a2022，根据根与系数关系定理计算a+b=1，变形2ab（a）（a+b），代入求值即可【详解】解：a，b是方程x20220的两个实数根，a2022，a+b1，2ab（a）（a+b）202212021故答案为：2021【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系定理，代数式的基本变形，整体代入的思想，熟练运用根的定义和根与系数关系定理是解题的关键16. 如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点、分别是、的中点，连接，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】连接，交对称轴于点，先通过解方程，得，通
18、过，得，于是利用勾股定理可得到的长；再根据三角形中位线性质得，所以；由点在抛物线对称轴上，、两点为抛物线与轴的交点，得；利用两点之间线段最短得到此时的值最小，其最小值为的长，从而得到的最小值【详解】如图，连接，交对称轴于点，则此时最小 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，当时，解得：，即，当时，即， 点、分别是、的中点， ，点在抛物线对称轴上，、两点为抛物线与轴的交点，此时的值最小，其最小值为，的最小值为：故答案为：【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及利用轴对称求最短路线，用到了三角形中位线性质和勾股定理正确得出点位置，以及由抛物线的对称性得出是解题关键三、解答题（本大题共9小题，共72分
19、。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 用合适的方法解下列方程：（1）（2）【答案】（1），； （2），【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）用直接开平方法求解即可【小问1详解】解：因式分解得，或，解得：，；【小问2详解】解：方程两边同除以2得，方程两边同时开平方得，【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键18. 如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，的位置如图（1）画出将先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到；（2）画出将绕点顺时针方向旋转得到；【答案】（1）见解析； （2）见解析【解析】【分析】（1）根据平移的性质找出点A
20、、B、C的对应点、的位置，顺次连接即可；（2）根据旋转的性质找出点A、B、C的对应点、的位置，顺次连接即可【小问1详解】解：如图所示；【小问2详解】解：如图所示【点睛】本题考查了作图平移变换和旋转变换，掌握平移和旋转的性质，得出对应点的位置是解题的关键19. 已知关于x的一元二次方程（m为常数）（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若满足，求实数的值【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）求出的值，再根据根的判别式的内容判断即可；（2）把变形，再根据根与系数的关系得出代入方程，求出的值即可【详解】（1）证明：，不论何值，不论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
21、（2）解：有两个实数根，解得：或【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式和根与系数的关系等知识点，解题的关键是能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容20. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点落在边上（1）若，求旋转的角度的大小；（2）若，求的长度【答案】（1）旋转的角度为 （2）【解析】【分析】（1）由旋转的性质求出，由三角形内角和定理可得出答案； （2）由旋转的性质，从而可求出答案【小问1详解】解：将绕点C顺时针旋转得到， ； 旋转的角度为；【小问2详解】将绕点C顺时针旋转得到， ， 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，灵活运用旋转的性质是本题的关键21. 如图，为的直
22、径，过点作于点，交于点，（1）求证：为的中点；（2）若圆的半径为6，求弦的长【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；（2）根据垂径定理和勾股定理解答即可【小问1详解】证明；在中，于，在与中，是的中点；【小问2详解】解：圆的半径为6，由勾股定理得：，【点睛】本题考查了垂径定理，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，关键是根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理解答22. 如图，已知二次函数的图象经过点A(2，0)，B(0，-6)两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求AB
23、C的面积【答案】（1） （2）6【解析】【分析】（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据 可得出答案【小问1详解】解：（1）将点A（2，0）、B（0，6）代入得：，解得：，故这个二次函数的解析式为：【小问2详解】二次函数的解析式为：，二次函数的对称轴为x4，（4，0），B（0，6）OC4，点A（2，0），AC2，故【点睛】此题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形的面积，要注意掌握点的坐标与线段长度之间的转换23. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为设
24、垂直于墙的一边长为（1）当为何值时，菜园的面积为；（2）当为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）10； （2）当 时，菜园的面积最大，最大面积是 【解析】【分析】（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为 ，根据题意列出方程，即可求解；（2）设菜园的面积为 ，根据题意得，利用二次函数的最值，即可求解【详解】解：（1）设垂直于墙一边长为，则平行于墙的边长为 ，根据题意得： ，解得： ， ， ，即 ，不符合题意，舍去，当时，菜园的面积为；（2）设菜园的面积为 ，根据题意得： ， ，当 时， 的值最大，即菜园的面积最大，最大面积是 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次
25、函数的最值，明确题意，得到等量关系，注意配方法求最值在实际中的应用24. 在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转至的位置，使得（1）如图1，当时，连接，连接交于点若平分，求证：；求的长（2）如图2，连接，取的中点，连接猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；【答案】（1）见详解；（2）AGCD，理由见详解【解析】【分析】（1）过点F作FQBC于Q，判断出FAFQ，再判断出BADCAE，进而得出ABDACE（SAS），进而即可得到，由余角的性质和等量代换，可得BECCFE，CFCE ，由ABDACE得出BDCE2，进而即可得出结论；（2）延长BA至点M，使AMAB，连接EM，得出AGME，再判
26、断出ADCAEM（SAS），得出CDEM，即可得出结论【详解】解：（1）过点F作FQBC于Q，BE平分ABC，BAC90，FAFQ，ABAC，ABCACB45，FQCF，BACDAE180，DAEBAC90，BADCAE，由旋转知，ADAE，ABDACE（SAS），BDCE2，ABDACE45，BCE45+45=90；BCE=90，CBFBEC90，BE平分ABC，ABFCBF，ABFBEC90，BAC90，ABFAFB90，AFBBEC，AFBCFE，BECCFE，CFCE ，ABDACE，BDCE2，CFCE =BD=2，AFFQCF；（2）AGCD，理由：延长BA至点M，使AMAB，连接
27、EM，G是BE的中点，AG是的中位线，AGME，BACDAEBACCAM180，DAECAM，DACEAM，ABAM，ABAC，ACAM，ADAE，ADCAEM（SAS），CDEM，AGCD【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键25. 已知抛物线和（1）如何将抛物线平移得到抛物线？（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点.请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接若，求点的横坐标若，直接写出点的横坐标（3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、
28、均与轴不平行若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系【答案】（1）见解析；（2）点的横坐标为.（3）.【解析】【分析】(1)根据两个抛物线的顶点坐标即可确定平移方式；(2)如图1，设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，确定出点A、C、D的坐标，进而由，轴，可得，两点关于轴对称，设关于轴的对称点为，从而可得直线的解析式为，继而解方程组即可求得答案；如图2，设P，Q，分别表示出PQ长，AP2，再根据AP=PQ，得到关于m的方程，解方程即可求得答案；(3)如图3，分别求出直线NE、NE、MN的解析式，作轴交于点，表示出EF的长，继而根据三角形面积公式进行求解即可.【详解】(1)抛物线的顶
29、点坐标是(1，-4)，抛物线的顶点坐标是(0，0)，所以将先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到或将先向上平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度得到；(2)如图1，设抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，当x=0时，y=-3，当y=0时，x=-1或x=3，直线经过，轴，两点关于轴对称，设关于轴的对称点为，则，直线的解析式为，由，得，点的横坐标为；如图2，设P，Q，则有PQ=-=-m2+m+7，又A(3，0)，AP2=(3-m)2+()2=，AP=PQ，(-m2+m+7)2=，(m-3)(3m+7)2=，(m-3)2(3m+7)2=25(m-3)2，m3，(3m+7)2=25，m1=-，m2=-4(舍去)，m=-；(3)如图3，设直线的解析式为，由得，依题意有，直线的解析式为，同理，直线的解析式为，由得，直线的解析式为，作轴交于点，则，.【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了抛物线的平移、抛物线与直线的交点、待定系数法、勾股定理、三角形的面积等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，准确画出符合题意的图形，利用数形结合思想进行解答是解题的关键.