1、公因数与公倍数公因数与公倍数同步思维训练同步思维训练 一、解答题一、解答题 1求 5040 共有多少个约数？ 2四位数 A752 是 24 的倍数，A 最大是几？ 3 两个数的最小公倍数是 180，最大公约数是 30，已知其中一个数是 90，另一个数是多少？ 4有一箱苹果，如果每个小朋友分 3 个苹果，则多出 8 个苹果；如果每个小朋友分 5 个苹果，则少 6 个苹果问：有多少个小朋友分这些苹果？苹果一共有多少个？ 5某班有学生 63 人，一天上体育课排队，4 人一排多 2 人，5 人一排多 3 人，6 人一排多 4 人，这天上体育课的有多少人？缺勤的有多少人？ 6甲每 9 天到图书馆一次，乙
2、每 6 天到图书馆一次，7 月 29 日两人到图书馆请问几天后，两人又在图书馆见面？是什么时候？ 7已知九位数2007 12 2既是 9 的倍数，又是 11 的倍数；那么，这个九位数是多少？ 8一个房间的长是 3.6 米，宽是 2.4 米现在要在这个房间铺上相同的方砖 （1）每块方砖的边长最大是多少分米？ （2）这间房间一共需要多少块这样的方砖？ 9已知一个苹果重415千克，一个梨重524千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果和几个梨？ 10已知自然数A、B满足以下两个性质： A、B不互素；A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35那么A+B的最小值是多少？ 参考答案参考答案 160 个
3、 【分析】首先将 5040 分解质因数 因此 5040 的约数都可以表示成为 其中 a 的取值为 0，1，2，3，4；b 的取值为 0，1，2；c 的取值为 0，1；d 的取值为 0，1；因此 a，b，c，d 的可能取值个数分别为 5，3，2，2 【详解】 5040 的约数的个数为： （4+1） （2+1） （1+1） （1+1）=60（个） 答：5040 共有 60 个约数 27 【详解】解：24=3 2 2 2，A752 应该能被 3 整除 四位数 A752 是 24 的倍数， A+7+5+2=14+A 能被 3 整除 那 A 只可能是：7、4、1， 因为 A 在千位上，所以 A 最大是
4、7 【分析】24 分解成：3 2 2 2 因此：A752 应该能被 3 整除 也就是 A+7+5+2=14+A 能被 3 整除 那 A只可能是：7、4、1 所以，试算一下可得，A 最大为 7 360 【详解】解法一：18022 32 5，302 3 5. 对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从 22与 2 就知道， 一数中含 22， 另一数中含 2； 从 32与 3 就知道， 一数中含 32， 另一数中含 3， 从一数是 902 32 5.就知道另一数是 22 3 560. 解法二：另一数一定是最大公约数 30 的整数倍，也就是在下面这些数中
5、去找 30， 60， 90， 120，. 这就需要逐一检验，与 90 的最小公倍数是否是 180，最大公约数是否是 30.现在碰巧第二个数 60 就是逐一去检验，有时会较费力 4有 7 个小朋友分这些苹果，苹果一共有 29 个 【详解】试题分析：根据第一次分多出 8 个苹果，第二次分少 6 个苹果，可知两次分配相差 8+6=14 个，这是因为第二次比第一次每人多分了 53=2 个苹果，所以有小朋友：14 2=7 人；苹果数就好求了，据此解答 解答：解： （8+6） （53） =14 2 =7（个） 3 7+8=29（个） 答：有 7 个小朋友分这些苹果，苹果一共有 29 个 点评：盈亏问题的解
6、答思路是：盈亏问题的基本数量关系：一次有余（盈） ，一次不够（亏） ，可用公式： （盈+亏） （两次每人分配数的差）=人数 558 人 5 人 【分析】4 人一排多 2 人，5 人一排多 3 人，6 人一排多 4 人可理解为：4 人一排少 2 人，5 人一排少 2 人，6 人一排少 2 人，出勤人数是 4，5，6 的公倍数减去 2。 【详解】4，5，6 的公倍数是 60 60258（人） 63585（人） 答：这天上体育课的有 58 人，缺勤的有 5 人。 618 天后，两人又在图书馆见面，是 8 月 16 日 【详解】9 和 6 的最小公倍数是 18，所以 18 天后，两人又在图书馆见面，7
7、 月 29 日向后推 18 天是 8 月 16日答：18 天后两人又在图书馆见面，是 8 月 16 日两人下一次在图书馆见面间隔的天数一定是 9 和 6 的最小公倍数，因此求出两个数的最小公倍数就是间隔的天数，然后从 7 月 29 日向后推算即可确定是什么时候 7200731212 【详解】 设原数2007 12 2ab， 9|2007 12 2ab4ab或者13a b ， 11|2007 12 2ab20a22(071 b)0或者(071 b)(2202)a112ab 或者9ba根据两数和差同奇偶，得：42abab31ab或者139abba211ab不成立.所以，2007 12 2ab200
8、731212。 8 （1）12 分米 （2）6 块 【分析】 （1）3.6 米=36 分米，2.4 米=24 分米，要求每块方砖的边长最大是多少分米，就是求 36 和 24 的最大公约数； （2）要求这间房间一共需要多少块这样的方砖，用房间的面积除以每块方砖的面积即可解答此题的关键是运用求最小公倍数的方法求出每块方砖边长，进而解决问题 【详解】解： （1）3.6 米=36 分米，2.4 米=24 分米 36=2233 24=2223 36 和 24 的最大公约数是 2 2 3=12 答：每块方砖的边长最大是 12 分米 （2） （3624）（1212） =864144 =6（块） 答：这间房间
9、一共需要 6 块这样的方砖 9苹果 25 个，梨 32 个 【分析】本题实质上就是一个求分数的最小公倍数的问题，这类问题有固定的解法，一般地，对于两个分数 ab和 cd，它们的最小公倍数是a,c(b,d)，这里a，c代表 a，c 的最小公倍数， （b，d）代表 b，d 的最大公约数 【详解】方法一: 直接使用分数最小公倍数的公式 根据上述分析本题实质上是求415和524的最小公倍数 由上面给出的结论知道这个数是4 515 24，（ ，）203 所以苹果和梨的总重量都是 20/3 千克 因此苹果个数是20425315个 梨的个数是20532324个 方法二：列方程 设苹果有 x 个，梨有 y 个
10、 所以415x524y，推出 xy2532 故 x 最小是 25，y 最小是 32 415x415 25203 所以总重量是203千克 1025 【详解】因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是 35，所以 35 是两数最大公约数的倍数它们的最大公约数可能是 5 和 7（因为两数不互质，所以不为 1） 如果A、B的最大公约数是 5，则A、B的最小公倍数是 30，此时有A=10、B=15 或A=5、B=30；如果A、B地最大公约数是 7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A=7、B=28 所以AB的最小值为10 1525 【点睛】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数充分应用最大公约数与最小公倍数的关系，并分类讨论多种可能性，考察推理思维的周密性和严谨性，最终找到最小值