1、天津市河西区2022-2023学年高二上期中数学试题一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.1. 已知直线倾斜角是，则该直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 2. 已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是（ ）A. B. C. D. 以上都不能3. 直线的一个方向向量为（ ）A. B. C. D. 4. 已知点，为轴上一点，且，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 5. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 6. 已知直线(3a2)x(14a)y80与(5a
2、2)x(a4)y70垂直，则实数a=（ ）A 0B. 1C. 0或1D. 0或17. 已知，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D. 8. 判断圆与圆位置关系为（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含9. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分、共30分.请将答案填在题中横线上.10. 已知，则向量的坐标为_.11. 经过，两点的直线的斜率_.12. 椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于_.13. 直线被圆截得弦的长为_14. P
3、A，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_15. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是_.三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.（1）求圆方程；（2）求圆关于直线对称的圆的方程.17. 如图所示，在三棱柱中，和都是边长为2的正方形，平面平面，点G、M分别是线段AD、BF的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18. 已知椭圆的焦距为1，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过椭圆的左焦点作
4、倾斜角为的直线，直线与椭圆交于，两点，点为椭圆的右焦点，求的面积.天津市河西区2022-2023学年高二上期中数学试题一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.1. 已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】由斜率和倾斜角关系可直接得到结果.【详解】由题意知：直线斜率.故选：A.2. 已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是（ ）A. B. C. D. 以上都不能【答案】C【解析】【分析】根据空间向量基本定理判断一组向量是否共面，即可判断这组向量能否作为空间的基底.【详解】，与，
5、共面，不能与，共同构成空间向量的一组基底易知均能与，共同构成空间向量的一组基底故选:C【点睛】本题考查了利用空间向量基本定理判定一组向量能否作为基底，属于基础题.3. 直线的一个方向向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线的方程，先求斜率，结合直线的方向向量的定义，即可得到答案【详解】解：因为斜率，结合选项可知直线的一个方向向量为故选：4. 已知点，为轴上一点，且，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设，根据，列出方程即可求解.【详解】设，则，由，得，解得，故故选：B5. 在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量
6、中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.【详解】如图，因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC中点，所以，所以.故选：C6. 已知直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则实数a=（ ）A. 0B. 1C. 0或1D. 0或1【答案】C【解析】【详解】试题分析：两直线互相垂直，满足，整理为，解得或，故选C.考点：直线的位置关系7. 已知，则向量在向量上的投影向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据投影向量的定义直接计算求解【详解】解： 向量在向量上的投影向量为故选：B8.
7、 判断圆与圆的位置关系为（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含【答案】B【解析】【分析】根据圆一般式方程分别求出两圆的圆心、半径及圆心距，再判断圆心距与两圆的半径和(差)之间的关系即可得结论.【详解】解：因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，圆心距为，所以两圆内切.故选：B.9. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】方法一：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.
8、方法二：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分、共30分.请将答案填在题中横线上.10. 已知，则向量的坐标为_.【答案】【解析】【分析】空间向量线性运算的坐标表示，直接求值.【详解】已知，则.故答案为：11. 经过，两点的直线的斜率_.【答案】【解析】【分析】根据两点间的斜率公式求解即可【详解】由题经过,两点的直线的斜率故答案为：12. 椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于_.【答案】14【解析】【分析】设左、右焦点为,利用椭圆的定义即得解.【详解】设左、右
9、焦点为, 设，由题得因为，所以.所以点P与另一个焦点的距离等于14.故答案为：1413. 直线被圆截得弦的长为_【答案】【解析】【详解】试题分析：将圆的方程化为标准式，可得，利用点到直线的距离可以求得弦心距为，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为考点：直线被圆截得的弦长14. PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，它们之间每两条的夹角都是60，则直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为_【答案】【解析】【详解】设直线PC与平面PAB所成的角为，根据三余弦定理得15. 动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，则动点的轨迹方程是_.【答案】【解析】【分析】设动点，用坐标表示已知条件并化简即可【详解
10、】设，则，化简得：，故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹方程，解题方法是直接法，即设动点坐标为，用坐标表示出题中动点满足的几何条件，然后化简即可三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切.（1）求圆的方程；（2）求圆关于直线对称的圆的方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）设圆心为，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，且，由此可构造方程求得圆心坐标和半径，进而得到圆方程；（2）设圆心关于直线的对称点为，根据连线与直线垂直、中点在直线上可构造方程组求得点坐标，又半径不变，由此可得对称的圆的方程
11、.【小问1详解】由题意可设圆的圆心为，圆与直线相切，且过点，解得：，圆心，半径，圆的方程为：.【小问2详解】设圆心关于直线对称的点为，则，解得：，即，圆关于直线对称的圆的方程为：.17. 如图所示，在三棱柱中，和都是边长为2的正方形，平面平面，点G、M分别是线段AD、BF的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）找到的中点，构造平行四边形，通过线线平行证明线面平行；（2）建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴的A-xyz空间直角坐标系，找到对应面的法向量代入面面角公式计算公式计算即可.小问1详解】如图作线段的
12、中点H，连接，是的中位线，且，点G是线段AD的中点，且，四边形是平行四边形，且平面，平面，平面.【小问2详解】如图建立以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AF为z轴的A-xyz空间直角坐标系.设平面的法向量为，设平面的法向量为，可得，令，则，故，综上：平面与平面夹角的余弦值为.18. 已知椭圆的焦距为1，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆交于，两点，点为椭圆的右焦点，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用焦距和离心率求出，然后利用，求出，最后得出标准方程；（2）先求出直线的方程，然后联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理得出，的值，然后计算的面积即可.【小问1详解】由题可知，得，因为，所以，所以椭圆的标准方程的标准方程为，即.【小问2详解】由题可知，直线的斜率为，所以直线的方程为，可化为，设，联立，得，由韦达定理得，.