1、贵州省黔东南六校联盟2022-2023学年高二上期中联考数学试题考查内容：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章、第二章。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1已知向量，则的值为A B9 C7 D72已知向是，且，则实数m的值为A2 B4 C2或4 D3直线的倾斜角为A B C D不存在4在平行六面体中，M，P分别是，的中点，则A B C D5已知直线l过点，且在两坐标轴的截距相等，则满足条件的直线l有A1条 B2条 C3条 D4条6关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是A B C D7已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则a，b，c的大小关系为A B C
2、D8在圆幂定理中有一个切割线定理；如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是A B C D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为A0 B1 C2 D110已知函数，则下列说法不正确的是A若的最小正周期是，则B当时，图象的对称中心的坐标都可以表示为C当时，D若在区间上单调递增，则11过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则A弦AB的长度的最小值为 B当弦
3、AB最短时弦所在的直线方程为C弦AB的长度的最小值为 D当弦AB最短时弦所在的直线方程为12已知正方体的边长为2，E，F，G，H分别为，BC，CD，的中点，则下列结论正确的是A B平面AEFC点到平面AEF的距离为2 D二面角EAFC的大小为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13过点作圆的切线，则切线方程为 14已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 15已知，且，则实数 16如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若，则点Q的轨迹围成图形的面积是 ；的最大值为 （本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题
4、，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17（本小题满分10分）已知点，H是ABC的垂心（1）求点C的坐标；（2）求ABC的外接圆的方程18（本小题满分12分）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点（1）求证：EF/平面ABCD；（2）求异面直线DE，BF所成角的余弦值19（本小题满分12分）2022年11月卡塔尔世界杯即将到来，这是世界足球的一场盛宴为了了解全民对足球的热爱程度，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了1000名观众进行对足球“喜爱度”的调查评分，将得到的分数分成6段：，得到如图所示的频率分布直方图（1）求m的值并估计这1000名观众评分的中位数；（2）若评分在“9
5、0分及以上”确定为“足球发烧友”，现从“足球发烧友”中按区间与两部分按比例分层抽样抽取5人，然后再从中任意选取两人作进一步的访谈，求这两人中至少有1人的评分在区间的概率20（本小题满分12分）如图，在四棱锥中PABCD中，ABCD，ADAB，平面ABCD平面PAD，E是PB的中点，F是DC上一点，G是PC上一点，且，（1）求证：平面EFG平面PAB；（2）若，求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值21（本小题满分12分）已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D是BC边上的中点，且ABC的面积为（1）求A的大小及的值；（2）若，求AD的长22（本小题满分12分）如图，已知图M：，点
6、为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B（1）求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值参考答案1D2C，由，得，解得或23C的斜率不存在，倾斜角为4C如图，5B时，即；时，即，共2条6A令，即表示以为圆心，半径为1的半圆（如图），令，表示与y轴交于点，斜率为m的直线，据题设知，直线的倾斜角的范围是，7B因为当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称，所以函数图象关于直线对称，所以，由，函数在区间上单调递增，所以8ABTAP，点T的轨
7、迹是圆，其方程是，过点P作该圆的切线PC，C为切点，则，由切割线定理得：，所以（当且仅当时取等）9AC直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求，故选AC10BCD当的最小正周期是时，则，故A选项正确；当时，所以令，解得，所以函数的对称中心的坐标为，故B选项不正确；当时，故C选项不正确；令，解得，所以函数的单调递增区间为，因为在区间上单调递增，所以，解得，另一方面，所以，又因为，所以由，得，由，得，所以的取值范围是，故D选项不正确11CD圆C的圆心为，半径为当ABPC时，弦AB最短，此时最短弦长为，即，此时弦AB所在的直线方程为12ABC以D为原点，DA所在直线为x轴，D
8、C所在直线为y轴，所在直线为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系则，A项正确，设为平面AEF的一个法向量，则，即，令，得，则，平面AEF，则B项正确；，点到平面AEF的距离，C项正确由图可知，平面AFC，所以是平面AFC的一个法向量，则，故二面角EAFC的大小不是，所以D项不正确13或直线的斜率不存在时满足，设切线方程为，即14圆的圆心为，且圆关于直线（a，b为大于0的常数）对称，所以直线过圆心，所以，又，所以（当且仅当，时，取“”）152由题意知，均为实数，则，即或又，则，则，故16，点Q在平面MGN上，分别取AB，的中点E，F，O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，因为正方体的棱长为4，所
9、以正六边形OFNEMG的边长为，所以点Q的轨迹围成图形的面积是由投影分析，的最大值为1217解：（1）设C点坐标为，不存在，即，点C的坐标为；（2）设ABC的外接圆方程为则ABC的外接圆的方程为18（1）证明：连几何体为正方体，EFBDEFBD，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD；（2）解：以D为坐标原点，向量，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为，DE，BF所成角的金弦值为19解：（1）因为，所以设y为观众评分的中位数，由前三组的概率和为0.375，前四组的概率和为0.625，知，所以，则；（2）以样本的频率作为
10、概率，评分在“90分及以上”确定为“足球迷发烧友”，现从“足球速发烧友”中按分层抽样抽取5人，则从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取3人，记为A，B，C，从评分在区间的“足球速发烧友”中抽取2人，记为a，b从5人中选取2人作进一步的访谈的所有事件为AB，AC，BC，Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，ab，共10个基本事件，这两人中至少有1人的评分在区间的基本事件有Aa，Ba，Ca，Ab，Bb，Cb，AB，AC，BC，共9个基本事件，则选取的2人中至少有1人的评分在区上的概率20解：（1）如图，取PA的中点M，连接MD，ME，则，又，所以，所以四边形MDFE是平行四边形，所以因为，所以，因为平
11、面ABCD平面PAD，平面平面，所以AB平面PAD，因为平面PAD，所以，因为，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB，（2）过点P作于点H，则PH平面ABCD，以H为坐标原点，HA所在直线为x轴，过点H且平行于AB的直线为y轴，PH所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz在等腰三角形PAD中，因为，所以，解得，则，所以，所以，易知平面ABCD的一个法向量为，所以，所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为21解：（1）在ABC中，由正弦定理得，可得，又，解得，；（2），由（1）得，在ABC中，用余弦定理得，在ABD和ACD中分别用余弦定理，由，得，即，解得22解：（1），故以P为圆心，为半径的圆P的方程为，显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，则直线AB的方程为，即，所以，所以直线AB过定点；（2）直线AB过定点，AB的中点为直线AB与直线MP的交点，设AB的中点为F点，直线AB过的定点为H点，易知HF始终垂直于FM，所以F点的轨迹为以HM为直径的圆，点F的轨迹方程为；（3）设切线方程为，即，故到直线的距离，即，设PA，PB的斜率分别为，则，把代入，得，则，故当时，取得最小值为