1、黑龙江省齐齐哈尔市八校2022-2023学年高二上期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1.已知直线的方向向量，直线的方向向量，若，且，则的值是（ ）A.或3B.1或C.D.12.光线从点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射.这时反射线恰好过点，则BC所在直线的方程是（ ）A.B.C.D.3.已知，是两个定点，且（a是正常数），动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）A.椭圆B.线段C.椭圆或线段D.直线4.已知，则点A到直线BC的距离为（ ）A.B.1C.D.5.已知直三棱柱中，且直线与平面所成的角为45，D为的中点，则异面直线与AD所成角的余弦
2、值为（ ）A.B.C.D.6.已知点，若直线与线段AB有交点，则实数k的取值范围是（ ）A.B.C.D.7.已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为30的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.8.如图，三棱锥中，为边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，且，则PA与平面所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9.直线与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（ ）A.B.C.1D.10.已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，且，则（ ）A.的周长为12B.C.点P到x轴
3、的距离为D.11.圆和圆的交点为A，B，则有（ ）A.公共弦AB所在直线方程为B.线段AB中垂线方程为C.公共弦AB的长为D.P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为12.已知实数x，y满足方程，则下列说法错误的是（ ）A.的最大值为B.的最大值为C.的最大值为D.的最大值为三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.在平面直角坐标系xOy中，已知直线和直线，若与平行，则与之间的距离为_.14.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著九章算术商功，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在九章算术商功中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四
4、面体，其中平面，则四面体的外接球的表面积_.15.圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程为_.16.已知，为椭圆的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知直线，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l右上方.（1）求圆C的方程；（2）问题：是否存在_的直线被圆C截得的弦长等于？若存在，则求直线的方程；若不存在，请说明理由.请从下面给出的三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.过点；在x轴上的截距和在y轴上的截距相等；方程为.18.已知动点到直线的距离是它到
5、点的距离的2倍.（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）过点的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.19.如图，四边形是正方形，平面，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点.（1）求证：平面PED；（2）求平面与平面夹角的大小.20.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为.（1）求椭圆M的方程；（2）设直线与椭圆M交于A、B两点.若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值.21.椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离是.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线被圆截得的弦长为3，且l与圆E交于A，B两点，求面积S的最大值.22.如图（1），梯形中，
6、过A，B分别作，垂足分别为E，F.，.已知，将梯形沿AE，BF同侧折起，得空间几何体，如图（2）.（1）若.证明：平面.（2）若，.线段AB上存在一点P，满足CP与平面所成角的正弦值为，求AP的长.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1.B 2.A 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8.A二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9.AC 10.BCD 11.ABD 12.CD三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。）13. 14. 15. 16.8四、解答题17.（10分）【
7、解析】（1）依题意设所求圆的圆心C的坐标为，则，解得或（舍去）.故所求圆C的方程为.（5分）（2）由题意易得圆心C到直线的距离为.（6分）【方案一】选：直线过点.若直线的斜率不存在，则直线的方程为，易知符合题意；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，即，则，解得，此时直线的方程为.综上，存在符合题设的直线且其方程为或【方案二】选：直线在x，y两坐标轴上的截距相等.若直线的截距都为0，则直线过原点O即圆心C，不合题意；若直线的截距都不为0，不妨设直线的方程为，即.则有，解得.综上，存在符合题设的直线且其方程为.【方案三】选：直线方程为.（方法一）整理即，解方程组，解得，所以直线恒过定点，易知圆C
8、的圆心到直线最大距离为，不符合题意.所以，不存在符合题设的直线.（方法二）由题意，得整理，得，（*）因为，所以方程（*）无解，所以不存在符合题设的直线.（10分）18.（12分）【解析】（1）点到直线的距离，是到点的距离的2倍，则.所以，动点M的轨迹为椭圆，方程为.（5分）（2），设，由题知：，椭圆的上下顶点坐标分别是和，经检验直线m不经过这2点，即直线m斜率k存在.（7分）设直线m方程为：.联立椭圆和直线方程，整理得：，所以，直线m的斜率.（12分）19.（12分）【解析】（1）因为F，G分别为PB，EB中点，所以，又因为平面，平面，平面.（4分）（2）因为，平面，且，所以平面，又因为四边形
9、为正方形，所以DA，DC，DP两两垂直，故以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，.设平面的法向量为，则，即，取，可得，所以平面的一个法向量为，同理可取平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，又由，所以平面与平面夹角为.（12分）20.（12分）【解析】（1）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为，即，所以，可得，所以，椭圆M的方程为.（4分）（2）由（1）知，且由，消去x得，设、，则有，.（7分）因为以AB为直径的圆过点C，所以.由，得.将，代入上式，得.（10分）将代入上式，可得，整理可得，解得或
10、.（12分）21.（12分）【解析】（1）由题意可得，解得，即有椭圆的方程.（4分）（2）O到l的距离，.设，把代入椭圆方程得，（7分），当，即时，.（12分）22.（12分）【解析】（1）由已知得四边形是正方形，且边长为2，在图2中，由已知得，平面，又平面，又，平面.（4分）（2）在图2中，即面，在梯形中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，由勾股逆定理可得，则，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以EA，EF，EG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，.设平面的一个法向量为，由，得，取得，设，则，得设CP与平面所成的角为，所以.（12分）