1、 天津市红桥区天津市红桥区 2022-2023 学年九年级上期中学年九年级上期中考试考试数学试卷数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。 ）分。 ） 1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A4x+2255x Bx2+2x10 C D 2 （3 分）将一元二次方程 3x28x10 化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A3，8，10 B3，8，10 C3，8，10 D3，8，10 3 （3 分） 一元二次方程 x2+6x+40 可以转化为两个一元一次方程， 若其中一个一元一次方程为，
2、则另一个一元一次方程为（ ） A Bx+35 C Dx+35 4 （3 分）用配方法解方程 x210 x+90 时，配方所得的方程为（ ） A （x5）216 B （x5）216 C （x+5）216 D （x10）216 5 （3 分）一元二次方程 5x23xx+1 的实数根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 6 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两根分别为 x12，x23，则原方程可化为（ ） A （x2） （x3）0 B （x+2） （x+3）0 C （x2） （x+3）0 D （x+2） （x3）0 7 （3
3、 分）方程 x2+x5x+6 的两个实数根的和与积分别是（ ） A5，6 B4，6 C4，6 D1，6 8 （3 分）若点 A（1，y1） ，B（0，y2） ，C（1，y3）都在二次函数 y2x2+x1 的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By1y2y3 Cy3y1y2 Dy3y2y1 9 （3 分）已知二次函数 yx25x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程 x25x+m0 的两个实数根是（ ） Ax11，x21 Bx11，x24 Cx11，x20 Dx11，x25 10 （3 分）如图，将直角三角板 ABC 绕
4、顶点 A 顺时针旋转到ABC，点 B恰好落在 CA 的延长线上，B30，C90，则BAC为（ ） A90 B60 C45 D30 11 （3 分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树 400 棵，第三年共植树 625 棵设该校植树棵数的年平均增长率为 x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A625（1x）2400 B400（1+x）2625 C625x2400 D400 x2625 12 （3 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0）和点（0，3） ，且对称轴在 y 轴的左侧，有下列结论：a0；a+b3；抛物线经过点（1，0） ；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c
5、1 有两个不相等的实数根其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）抛物线 y2（x+3）2+5 的顶点坐标为 14 （3 分）二次函数 yx24x 的最小值为 15 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以是 （写出一个即可） 16（3 分） 如图， 以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时， 小球的飞行路线是一条抛物线 若不考虑空气阻力， 小球的飞行高度 h （单位： m） 与飞行时间 t （单位：
6、s） 之间具有函数关系： h5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 t s 17 （3 分）设 x1，x2是方程 x22x50 的两个实数根，则的值为 18 （3 分）如图，ABC是由ABC 绕点 O 逆时针旋转得到的，请用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形区域中作出点 O，并简要说明点 O 的位置是如何找到的（保留作图痕迹） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19解下列关于 x 的方程 （1） （2x+1）290； （2）x25x+20 20在平面直角坐标系
7、中，ABC 各顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）请在图中画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的图形ABC，并写出ABC各顶点的坐标； （2）请在图中画出ABC 绕点 O 顺时针旋转 180后的图形 21已知关于 x 的一元二次方程 2x25xm0（m 为常数） （1）若 x2 是该方程的一个实数根，求 m 的值； （2）当 m3 时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 22已知二次函数 yx2+2x+1 的图象为抛物线 C （1）写出抛物线 C 的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当 0 x3 时，求该二次函数的
8、函数值 y 的取值范围； （3）将抛物线 C 先向左平移 2 个单位长度、再向上平移 1 个单位长度后，所得抛物线为 C请直接写出抛物线 C的函数解析式 23 为落实国家 关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见 ， 某校准备在校园里利用围墙 （墙长 12m）和 21m 长的篱笆墙，围成、两块矩形劳动实践基地某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙） ，请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在区中留一个宽度 AE1m 的水池，且需保证总种植面积为 32m2，试分别确定 CG、DG 的长； （2）方案二：如图，使围成的两块矩形总
9、种植面积最大，请问 BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？ 24在ABC 中，ABAC，若 M 是 BC 边上任意一点，将ABM 绕点 A 逆时针旋转得到ACN，点 M 的对应点为点 N，连接 MN （1）如图，当B50时，求MAN 的大小； （2）如图，当 ABNC 时，求B 的大小； （3）如图，求证：AMNACN 25如图，已知抛物线过点 O（0，0） ，A（5，5） ，其对称轴为 x2 （1）求该抛物线的解析式； （2）若点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限 当OAB 的面积为 15 时，求点 B 的坐标； P 是抛物线上的动点，当 PAPB 取得最大值时，求点 P
10、的坐标 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。 ）分。 ） 1 （3 分）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A4x+2255x Bx2+2x10 C D 【分析】根据一元二次方程的定义，直接判断即可 【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、该方程为一元二次方程，故此选项不符合题意； C、该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意； D、分母中含有未知数，为分式方程，故此选项不符合题意 故选：B 【点评】 本题考查了一元二次方程 解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义 一元二次方程
11、的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 2 （3 分）将一元二次方程 3x28x10 化成一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A3，8，10 B3，8，10 C3，8，10 D3，8，10 【分析】根据一元二次方程的一般形式进行解答即可 【解答】解：将一元二次方程 3x28x10 化为一般形式为 3x28x100， 故二次项系数、一次项系数、常数项分别是 3，8，10 故选：D 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的一般形式， 关键是掌握一元二次方程的一般形式为 ax2+bx+c0（a0） 3 （3 分） 一元二次方程 x2+6
12、x+40 可以转化为两个一元一次方程， 若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ） A Bx+35 C Dx+35 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答 【解答】解：x2+6x+40， x2+6x4， x2+6x+94+9， （x+3）25， x+3， x+3或 x+3， 故选：C 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键 4 （3 分）用配方法解方程 x210 x+90 时，配方所得的方程为（ ） A （x5）216 B （x5）216 C （x+5）216 D （x10）216 【分析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可
13、解答 【解答】解：x210 x+90， x210 x9， x210 x+259+25， （x5）216， 故选：A 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键 5 （3 分）一元二次方程 5x23xx+1 的实数根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【分析】将原方程转化为一般形式，根据方程的系数结合根的判别式b24ac，可得出360，进而可得出原方程有两个不相等的实数根 【解答】解：将原方程化成一般形式 5x24x10， b24ac（4）245（1）360， 原方程有两个不相等的实数根 故选：A 【点评】
14、本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 6 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两根分别为 x12，x23，则原方程可化为（ ） A （x2） （x3）0 B （x+2） （x+3）0 C （x2） （x+3）0 D （x+2） （x3）0 【分析】根据根与系数的关系，直接代入计算即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+px+q0 的两根分别为 x12，x23， 2+3p，23q， p1，q6， 原方程可化为（x+2） （x3）0 故选：D 【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代
15、入计算 7 （3 分）方程 x2+x5x+6 的两个实数根的和与积分别是（ ） A5，6 B4，6 C4，6 D1，6 【分析】利用根与系数的关系求解即可 【解答】解：方程 x2+x5x+6 整理得：x24x60 设 x1，x2是一元二次方程 x24x60 的两根， 则 x1+x24，x1x26 故选：C 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2，x1x2 8 （3 分）若点 A（1，y1） ，B（0，y2） ，C（1，y3）都在二次函数 y2x2+x1 的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay2y1y3 By
16、1y2y3 Cy3y1y2 Dy3y2y1 【分析】先求得抛物线开口方向和对称轴再根据图象上的点距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小 【解答】解：二次函数 y2x2+x1， 该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x 点 A（1，y1） ，B（0，y2） ，C（1，y3）都在二次函数 y2x2+x1 的图象上，且三点离对称轴的距离按由远到近为：C、A、B， y2y1y3， 故选：A 【点评】此题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性 9 （3 分）已知二次函数 yx25x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ，则关于 x 的一元二次方程 x25x+m0
17、 的两个实数根是（ ） Ax11，x21 Bx11，x24 Cx11，x20 Dx11，x25 【分析】关于 x 的一元二次方程 x25x+m0 的两实数根，就是二次函数 yx25x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的两个交点的横坐标，根据一个交点的坐标和二次函数的对称轴，即可求出二次函数的图象与 x 轴的另一个交点的坐标 【解答】解：二次函数的解析式是 yx25x+m（m 为常数） ， 该抛物线的对称轴是：x， 又二次函数 yx25x+m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为（1，0） ， 根据抛物线的对称性可知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（4，0） ， 关于 x 的一元二次
18、方程 x25x+m0 的两实数根分别是 x11，x24 故选：B 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数的对称轴，关键是掌握二次函数的对称性 10 （3 分）如图，将直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转到ABC，点 B恰好落在 CA 的延长线上，B 30，C90，则BAC为（ ） A90 B60 C45 D30 【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可 【解答】解：B30，C90， CAB180BC60， 将直角三角板 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转到ABC， CABCAB60 点 B恰好落在 CA 的延长线上， BAC180CABCAB60 故选：B 【
19、点评】本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键 11 （3 分）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树 400 棵，第三年共植树 625 棵设该校植树棵数的年平均增长率为 x，根据题意，下列方程正确的是（ ） A625（1x）2400 B400（1+x）2625 C625x2400 D400 x2625 【分析】第三年的植树量第一年的植树量（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可 【解答】解：根据题意得：400（1+x）2625， 故选：B 【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键 12
20、（3 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过点（1，0）和点（0，3） ，且对称轴在 y 轴的左侧，有下列结论：a0；a+b3；抛物线经过点（1，0） ；关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c1 有两个不相等的实数根其中，正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】由抛物线对称轴在 y 轴左侧，且抛物线经过（1，0） ， （0，3）可得抛物线开口向上，从而判断，分别将（1，0） ， （0，3）代入解析式可得 a+b 与 c 的关系，从而判断，由抛物线的对称性可判断 【解答】解：抛物线对称轴在 y 轴左侧，且抛物线经过（1，0） ， （0，3） ， 抛物线开口向上，即 a0，正
21、确 将（0，3）代入 yax2+bx+c 得 c3， 将（1，0）代入 yax2+bx+c 得 a+b+c0， a+bc3，正确 抛物线对称轴在 y 轴左侧，点（1，0） ， （1，0）关于 y 轴对称， （1，0）不在抛物线上，错误 抛物线开口向上，13， 抛物线与直线 y1 有两个不同交点， ax2+bx+c1 有两个不相等的实数根，正确 故选：D 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 13 （3 分）抛物线 y2（x+3）2
22、+5 的顶点坐标为 （3，5） 【分析】根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案 【解答】解：y2（x+3）2+5 的顶点坐标为（3，5） 故答案为： （3，5） 【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式 ya（xh）2+k 的性质是解决本题的关键 14 （3 分）二次函数 yx24x 的最小值为 4 【分析】根据二次函数的性质解答即可 【解答】解：yx24x （x2）24， 当 x2 时，y 的最小值为4， 故答案为：4 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键 15 （3 分）若关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根，则
23、 m 的值可以是 1 （写出一个即可） 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，在 m 的范围内选一个即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x22x+m0 有两个不相等的实数根， （2）241m44m0， 解得：m1， 取 m1， 故答案为：1 【点评】本题考查了根的判别式，熟记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 16（3 分） 如图， 以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时， 小球的飞行路线是一条抛物线 若不考虑空气阻力， 小球的飞行高度 h （单位： m） 与飞行时间 t （单位： s） 之间具
24、有函数关系： h5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 t 2 s 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案 【解答】解：h5t2+20t5（t2）2+20， 且50， 当 t2 时，h 取最大值 20， 故答案为：2 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式 17 （3 分）设 x1，x2是方程 x22x50 的两个实数根，则的值为 14 【分析】由根与系数的关系，得到 x1+x22，x1x25，然后根据完全平方公式变形求值，即可得到答案 【解答】解：x1，x2是方程 x22x50 的两个实数根， x1+x22，x1x25， x12+x22（x
25、1+x2）22x1x2222（5）14； 故答案为：14 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握根与系数的关系得到 x1+x22，x1x25 18 （3 分）如图，ABC是由ABC 绕点 O 逆时针旋转得到的，请用无刻度直尺和圆规，在如图所示的矩形区域中作出点 O，并简要说明点 O 的位置是如何找到的（保留作图痕迹） 作线段 AA，BB的垂直平分线，交点 O 即为旋转中心 【分析】作线段 AA，BB的垂直平分线，交点 O 即为旋转中心 【解答】解：如图，作线段 AA，BB的垂直平分线，交点 O 即为旋转中心 故答案为：作线段 AA，BB的垂直平分线
26、，交点 O 即为旋转中心 【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 66 分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）分解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19解下列关于 x 的方程 （1） （2x+1）290； （2）x25x+20 【分析】 （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用公式法求解即可 【解答】解： （1） （2x+1）290， （2x+1）29， 2x+13， x11，x22； （2）x25x+20， a1，b5，c2， （5）2412170， x， ， 【点评】本题考查
27、了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 20在平面直角坐标系中，ABC 各顶点的坐标分别为 A（2，4） ，B（0，4） ，C（1，1） （1）请在图中画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的图形ABC，并写出ABC各顶点的坐标； （2）请在图中画出ABC 绕点 O 顺时针旋转 180后的图形 【分析】 （1）利用旋转变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A，B，C即可 【解答】解： （1）如图，ABC即为所求，A（4，2） ，B（
28、4，0） ，C（1，1） ； （2）如图，ABC即为所求 【点评】本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型 21已知关于 x 的一元二次方程 2x25xm0（m 为常数） （1）若 x2 是该方程的一个实数根，求 m 的值； （2）当 m3 时，求该方程的实数根； （3）若该方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 【分析】 （1）将 x2 代入原方程可求出 m 的值； （2）代入 m3，利用因式分解法可求出方程的实数根； （3）根据方程的系数结合根的判别式b24ac0，可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围 【解答】解： （1）将 x2
29、 代入原方程得 22252m0， 解得：m2， m 的值为2； （2）将 m3 代入原方程得 2x25x30， （2x+1） （x3）0， 解得：x1，x23， 当 m3 时，该方程的实数根为 x1，x23； （3）关于 x 的一元二次方程 2x25xm0 有两个相等的实数根， （5）242（m）0， 解得：m， m 的取值范围为 m 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）代入 x 的值，求出 m 的值； （2）利用因式分解法，求出方程的解； （3）牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根” 22已知二次函数 yx2+2x+1 的图象为
30、抛物线 C （1）写出抛物线 C 的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当 0 x3 时，求该二次函数的函数值 y 的取值范围； （3）将抛物线 C 先向左平移 2 个单位长度、再向上平移 1 个单位长度后，所得抛物线为 C请直接写出抛物线 C的函数解析式 【分析】 （1）把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得； （2）根据二次函数的性质可得出答案； （3）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式 【解答】解： （1）yx2+2x+1（x1）2+2， 抛物线 C 的开口向下，对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，2） ； （2）抛物线 C 的开口向下，对称轴为直线 x1，
31、 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x1 时，y2； 当 x3 时，y2； 当 0 x3 时，该二次函数的函数值 y 的取值范围是2y2； （3）将抛物线 C 先向左平移 2 个单位长度、再向上平移 1 个单位长度后，所得抛物线为 C：y（x1+2）2+2+1，即可 y（x+1）2+3 【点评】本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键 23 为落实国家 关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见 ， 某校准备在校园里利用围墙 （墙长 12m）和 21m 长的篱笆墙，围成、两块矩形劳动实践基地某数学兴趣小组设计了两
32、种方案（除围墙外， 实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙） ，请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图，全部利用围墙的长度，但要在区中留一个宽度 AE1m 的水池，且需保证总种植面积为 32m2，试分别确定 CG、DG 的长； （2）方案二：如图，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问 BC 应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【分析】 （1）设水池的长为 am，根据、两块矩形面积减水池面积等于种植面积列方程求解即可得出结论； （2）设 BC 长为 xm，则 CD 长度为 213x，得出面积关于 x 的关系式，利用二次函数的性质求最值即可 【解答】解： （1）（2112）33（m） ， 、两
33、块矩形的面积为 12336（m2） ， 设水池的长为 am，则水池的面积为 a1a（m2） ， 36a32， 解得 a4， DG4m， CGCDDG1248（m） ， 即 CG 的长为 8m、DG 的长为 4m； （2）设 BC 长为 xm，则 CD 长度为 213x， 总种植面积为（213x） x3（x27x）3（x）2+， 30， 当 x时，总种植面积有最大值为m2， 即 BC 应设计为m 总种植面积最大，此时最大面积为m2 【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练根据二次函数的性质求最值是解题的关键 24在ABC 中，ABAC，若 M 是 BC 边上任意一点，将ABM 绕点 A 逆时针旋
34、转得到ACN，点 M 的对应点为点 N，连接 MN （1）如图，当B50时，求MAN 的大小； （2）如图，当 ABNC 时，求B 的大小； （3）如图，求证：AMNACN 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得BACB50，由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得ACNABC，由三角形内角和定理可求ABC60； （3）由“SAS”可证ABMACN，可得ABCACN，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解 【解答】 （1）解：ABAC， BACB50， BAC80， 将ABM 绕点 A 逆时针旋转得到ACN， MANBAC80； （2）解：ABAC， BACB， 将ABM 绕点 A 逆
35、时针旋转得到ACN， ACNABC， ABCN， ACNCAB， ABCACBBAC， ABC+ACB+BAC180， ABC60； （3）证明：将ABM 绕点 A 逆时针旋转得到ACN， AMAN，MANBAC， BAMCAN， 又ABAC，AMAN， ABMACN（SAS） ， ABCACN， ABAC，AMAN，MANBAC， ABCAMN， AMNACN 【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键 25如图，已知抛物线过点 O（0，0） ，A（5，5） ，其对称轴为 x2 （1）求该抛物线的解析式
36、； （2）若点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限 当OAB 的面积为 15 时，求点 B 的坐标； P 是抛物线上的动点，当 PAPB 取得最大值时，求点 P 的坐标 【分析】 （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设 B（2，m） （m0） ，运用待定系数法求得直线 OA 的解析式为 yx，设直线 OA 与抛物线对称轴交于点 H，则 H（2，2） ，BHm2，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； 运用待定系数法求得直线 AB 的解析式为 yx+10，当 PAPB 的值最大时，A、B、P 在同一条直线上，联立方程组求解即可求得点 P 的坐标，利用两点间距离公式可求得
37、 AB，即 PAPB 的最大值 【解答】解： （1）抛物线过点 O（0，0） ，A（5，5） ，且它的对称轴为 x2， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（4，0） ， 设抛物线解析式为 yax（x4） ，把 A（5，5）代入，得 5a5， 解得：a1， yx（x4）x24x， 故此抛物线的解析式为 yx24x； （2）点 B 是抛物线对称轴上的一点，且点 B 在第一象限， 设 B（2，m） （m0） ， 设直线 OA 的解析式为 ykx， 则 5k5， 解得：k1， 直线 OA 的解析式为 yx， 设直线 OA 与抛物线对称轴交于点 H，则 H（2，2） ， BHm2， SOAB15， （m2）515， 解得：t8， 点 B 的坐标为（2，8） ； 设直线 AB 的解析式为 ycx+d，把 A（5，5） ，B（2，8）代入得： ， 解得：， 直线 AB 的解析式为 yx+10， 如图 2，当 PAPB 的值最大时，A、B、P 在同一条直线上， P 是抛物线上的动点， ， 解得：，（舍去） ， P（2，12） 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，利用三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键