1、 四川省自贡市贡井区二校联考九年级上期中考试数学试卷四川省自贡市贡井区二校联考九年级上期中考试数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 12018 年 5 月 21 日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为 200 公里、远地点高度为 40 万公里的预定轨道将数据 40 万用科学记数法表示为（ ） A4104 B4105 C4106 D0.4106 2下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B （xy）2x2y2 C （x2y）3x6y3 D （x）2x3x6 3在平面直角坐标系中，点 P（3，5）关于原点
2、对称的点的坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 4下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 5下列说法中，正确的是（ ） A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等 6已知O 的半径为 6，A 为线段 PO 的中点，当 OP10 时，点 A 与O 的位置关系为（ ） A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定 7在半径为 13 的O 中，弦 ABCD，弦 AB 和 CD 的距离为 7，若 AB24，则 CD 的长为（ ） A10 B4 C10 或 4 D10 或 2 8一条弦分圆
3、周为 5：7，这条弦所对的圆周角为（ ） A75 B105 C60或 120 D75或 105 9圆的最大的弦长为 12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离 d，那么（ ） Ad6cm B6cmd12cm Cd6cm Dd12cm 10如图，已知O 是ABD 的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD58，则BCD 等于（ ） A16 B32 C58 D64 11如图，AB 为O 的直径，C 为O 外一点，过点 C 作O 的切线，切点为 B，连接 AC 交O 于 D，C38点 E 在 AB 右侧的半圆上运动（不与 A、B 重合） ，则AED 的大小是（ ） A19 B38 C
4、52 D76 12如图，四边形 ABCD 内接于O，如果它的一个外角DCE64，那么BOD（ ） A128 B100 C64 D32 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13分解因式：3a26ab+3b2 14关于 x 的分式方程1 的解是 15如图，已知 AB、CD 是O 的直径，AOE32，那么COE 的度数为 度 16如图，AB、AC、BD 是O 的切线，P、C、D 为切点，如果 AB5，AC3，则 BD 的长为 17如图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC，CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为，CD4，则弦 AC 的长为 18直角三角
5、形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 19 （8 分）如图是一块残缺的圆铁片，请你找出它所在圆的圆心，并把这个圆画完整 （不写作法，保留作图痕迹） 20 （8 分）先化简，再求值： （+1） ，其中 x 是不等式组的整数解 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连接 AC，交O 于点 F，求证：ABAC 22 （8 分）一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分） ，测量时只测到桥下水面宽 AB 为 16m（如图） ，桥拱最高处离水面 4m （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后
6、，桥下面河面宽度为 12m，问水面涨高了多少？ 23 （10 分）如图，O 上依次有 A，B，C，D 四个点，连接 AB，AD，BD，延长 AB 到点 E，使 BEAB，连接 EC，F 是 EC 的中点，连接 BF求证：BFBD 24 （10 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且PDAPBD （1）判断直线 PD 是否为O 的切线，并说明理由； （2）如果BDE60，PD，求 PA 的长 25 （12 分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销甲商场所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物中超过 100 元后
7、的价格部分打 8 折 （1）以 x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 26 （14 分）如图，直线 AB 经过O 上的点 C，直线 AO 与O 交于点 E 和点 D，OB 与O 交于点 F，连接 DF、DC已知 OAOB，CACB，DE10，DF6 （1）求证：直线 AB 是O 的切线；FDCEDC； （2）求 CD 的长 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 4 分，共分，共 48 分）分） 12018 年 5 月 21 日，西昌卫星
8、发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为 200 公里、远地点高度为 40 万公里的预定轨道将数据 40 万用科学记数法表示为（ ） A4104 B4105 C4106 D0.4106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数万10000104 【解答】解：40 万4105， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 2下列计算正确的是（ ） Ax2+x2x4 B （xy）2x2y2 C （x2y）3x6
9、y3 D （x）2x3x6 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断 【解答】解：A、原式2x2，不符合题意； B、原式x22xy+y2，不符合题意； C、原式x6y3，符合题意； D、原式x2x3x5，不符合题意 故选：C 【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 3在平面直角坐标系中，点 P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（ ） A （3，5） B （3，5） C （3，5） D （3，5） 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答 【解答】解：点 P（3，5）关于原点对称的点的坐标是（3，5） ， 故选：C
10、 【点评】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数 4下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； D既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关
11、键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 5下列说法中，正确的是（ ） A等弦所对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C圆心角相等，所对的弦相等 D弦相等所对的圆心角相等 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析 【解答】解：A、在一个圆中一条弦所对的弧有两条，等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误； B、相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确； C、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误； D、在同圆或等圆中，弦相等所对的圆心角相等，故本选项错误 故选：B 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆
12、和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 6已知O 的半径为 6，A 为线段 PO 的中点，当 OP10 时，点 A 与O 的位置关系为（ ） A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定 【分析】知道 OP 的长，点 A 是 OP 的中点，得到 OA 的长与半径的关系，求出点 A 与圆的位置关系 【解答】解：OP10，A 是线段 OP 的中点， OA5，小于圆的半径 6， 点 A 在圆内 故选：C 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据 OP 的长和点 A 是 OP 的中点，得到 OA5，小于圆的半径，可以确定点 A 的位置 7在半径为 13 的O 中，弦 ABCD，弦 AB 和 C
13、D 的距离为 7，若 AB24，则 CD 的长为（ ） A10 B4 C10 或 4 D10 或 2 【分析】根据题意画出图形，由于 AB 和 CD 的位置不能确定，故应分 AB 与 CD 在圆心 O 的同侧和 AB与 CD 在圆心 O 的异侧两种情况进行讨论 【解答】解：当 AB 与 CD 在圆心 O 的同侧时，如图 1 所示： 过点 O 作 OFCD 于点 F，交 AB 于点 E，连接 OA，OC， ABCD，OFCD， OEAB， AEAB2412， 在 RtAOE 中， OE5， OFOE+EF5+712， 在 RtOCF 中，CF5， CD2CF2510； 当 AB 与 CD 在圆心
14、 O 的异侧时，如图 2 所示： 过点 O 作 OFCD 于点 F，反向延长交 AB 于点 E，连接 OA，OC， ABCD，OFCD， OEAB， AEAB2412， 在 RtAOE 中， OE5， OFEFOE752， 在 RtOCF 中，CF， CD2CF22 故 CD 的长为 10 或 2 故选：D 【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解 8一条弦分圆周为 5：7，这条弦所对的圆周角为（ ） A75 B105 C60或 120 D75或 105 【分析】首先根据题意作出图形，由一条弦分圆周为 5：7，则可求得AOB 的度数，又由圆周角定理，可求得AC
15、B 的度数，然后根据圆的内接四边形的性质，即可求得ADB 的度数，继而求得答案 【解答】解：如图，弦 AB 分O 的圆周为 5：7， AOB360150， ACBAOB75， ADB180ACB105， 这条弦所对的圆周角为：75或 105 故选：D 【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧、圆心角的关系此题难度不大，注意数形结合思想的应用 9圆的最大的弦长为 12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离 d，那么（ ） Ad6cm B6cmd12cm Cd6cm Dd12cm 【分析】根据直线与圆的位置关系来判定圆最长弦为 12cm，则可知圆的直径为 12cm，那么圆的半径
16、为 6cm至此可确定直线与圆相交时，d 的取值范围 【解答】解：由题意得： 圆的直径为 12cm，那么圆的半径为 6cm 则当直线与圆相交时，直线与圆心的距离 d6cm 故选：A 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离 d 的取值范围 10如图，已知O 是ABD 的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD58，则BCD 等于（ ） A16 B32 C58 D64 【分析】根据圆周角定理得到ADB90，求出A 的度数，根据圆周角定理解答即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ADB90， A90ABD32， 则BCDA32， 故选：
17、B 【点评】本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理是解题的关键 11如图，AB 为O 的直径，C 为O 外一点，过点 C 作O 的切线，切点为 B，连接 AC 交O 于 D，C38点 E 在 AB 右侧的半圆上运动（不与 A、B 重合） ，则AED 的大小是（ ） A19 B38 C52 D76 【分析】首先连接 BD，由 AB 为O 的直径，BC 是O 的切线，根据圆周角定理与切线的性质，可得ADB90，ABBC，又由同角的余角相等，易证得ABDC，再由圆周角定理证得AEDABD，最后等量代换可得结论 【解答】解：连接 BD， AB 为O 的直径，BC 是O 的切线， ADB90，
18、ABBC， C+BACBAC+ABD90， ABDC， AEDABD， AEDC38 故选：B 【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 12如图，四边形 ABCD 内接于O，如果它的一个外角DCE64，那么BOD（ ） A128 B100 C64 D32 【分析】由四边形 ABCD 内接于O，可得BAD+BCD180，又由邻补角的定义，可证得BADDCE由圆周角定理继而求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 内接于O， BAD+BCD180， BCD+DCE180， BADDCE64， BOD2BAD128 故选：A 【点评】此题考
19、查了圆的内接四边形的性质注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 13分解因式：3a26ab+3b2 3（ab）2 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解 【解答】解：3a26ab+3b2 3（a22ab+b2） 3（ab）2 故答案为：3（ab）2 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 14关于 x 的分式方程1 的解是 x1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方
20、程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x2x2+xx22x， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的解， 故答案为：x1 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 15如图，已知 AB、CD 是O 的直径，AOE32，那么COE 的度数为 64 度 【分析】根据等弧所对的圆心角相等求得AOECOA32，所以COEAOE+COA64 【解答】解：， （已知） AOECOA（等弧所对的圆心角相等） ； 又AOE32， COA32， COEAOE+COA64 故答案是：64 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，两个圆心
21、角、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等 16如图，AB、AC、BD 是O 的切线，P、C、D 为切点，如果 AB5，AC3，则 BD 的长为 2 【分析】由于 AB、AC、BD 是O 的切线，则 ACAP，BPBD，求出 BP 的长即可求出 BD 的长 【解答】解：AC、AP 为O 的切线， ACAP， BP、BD 为O 的切线， BPBD， BDPBABAP532 故答案为：2 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键 17如图，直线 AB 与O 相切于点 A，AC，CD 是O 的两条弦，且 CDAB，若O 的半径为
22、，CD4，则弦 AC 的长为 2 【分析】首先连接 AO 并延长，交 CD 于点 E，连接 OC，由直线 AB 与O 相切于点 A，根据切线的性质，可得 AEAB，又由 CDAB，可得 AECD，然后由垂径定理与勾股定理，求得 OE 的长，继而求得 AC 的长 【解答】解：连接 AO 并延长，交 CD 于点 E，连接 OC， 直线 AB 与O 相切于点 A， EAAB， CDAB， CEA90， AECD， CECD42， 在 RtOCE 中，OE， AEOA+OE4， 在 RtACE 中，AC2 故答案为：2 【点评】此题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理以及平行线的性质此题难度适中，注意
23、掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 18直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是 10 或 8 【分析】 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点， 那么半径为斜边的一半， 分两种情况： 16 为斜边长；16 和 12 为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径 【解答】解：由勾股定理可知： 当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径为 8； 当两条直角边长分别为 16 和 12，则直角三角形的斜边长20， 因此这个三角形的外接圆半径为 10 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10 故答案为：10 或 8 【
24、点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆 三、解答题（共三、解答题（共 78 分）分） 19 （8 分）如图是一块残缺的圆铁片，请你找出它所在圆的圆心，并把这个圆画完整 （不写作法，保留作图痕迹） 【分析】在圆弧上任意取三个点 A，B，C，连接 AB，BC，作线段 AB，BC 的垂直平分线交于点 O，以O 为圆心，OA 为半径作O 即可 【解答】解：如图，O 即为所求 【点评】本题考查作图应用与设计作图，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，正确寻找圆心的位置，属于中考常考题型 20 （8 分）先化简，再求值： （+
25、1） ，其中 x 是不等式组的整数解 【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，再根据 x 是不等式组的整数解，然后即可得到 x 的值，再将使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （+1） ， 由不等式组，得1x1， x 是不等式组的整数解， x1，0， 当 x1 时，原分式无意义， x0， 当 x0 时，原式 【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法 21 （8 分）如图，AB 是O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DCBD，连接 AC，交O 于点 F，求证：ABAC 【分析】连接
26、 AD，根据直径所对的圆周角是直角，得ADB90，再根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可证明 【解答】证明：连接 AD， AB 是O 的直径， ADB90， ADBC， DCBD， AD 垂直平分 BC， ABAC 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记直径所对的圆周角是直角是解题的关键 22 （8 分）一座桥，桥拱是圆弧形（水面以上部分） ，测量时只测到桥下水面宽 AB 为 16m（如图） ，桥拱 最高处离水面 4m （1）求桥拱半径； （2）若大雨过后，桥下面河面宽度为 12m，问水面涨高了多少？ 【分析】已知到桥下水面宽 AB 为 16m，即是已知圆的弦长，已知桥拱最高处离
27、水面 4m，就是已知弦心距，可以利用垂径定理转化为解直角三角形的问题 【解答】解： （1）如图所示，设点 O 为 AB 的圆心，点 C 为的中点， 连接 OA，OC，OC 交 AB 于 D，由题意得 AB16m，CD4m， 由垂径定理得 OCAB，ADAB168（m） ， 设O 半径为 xm，则在 RtAOD 中， OA2AD2+OD2，即 x282+（x4）2， 解得 x10，所以桥拱的半径为 10m； （2）设河水上涨到 EF 位置（如上图所示） ， 这时 EF12m，EFAB，有 OCEF（垂足为 M） ， EMEF6m， 连接 OE，则有 OE10m， OM8（m） ODOCCD104
28、6（m） ， DMOMOD862（m） 【点评】上涨高度即是弦心距的差是正确解本题的关键 23 （10 分）如图，O 上依次有 A，B，C，D 四个点，连接 AB，AD，BD，延长 AB 到点 E，使 BEAB，连接 EC，F 是 EC 的中点，连接 BF求证：BFBD 【分析】连接 AC，利用三角形中位线定理得出 BFAC，再利用圆心角定理得出，推出 DBAC，进而得出 BFBD 【解答】证明：连接 AC， ABBE， 点 B 为 AE 的中点， F 是 EC 的中点， BF 为EAC 的中位线， BFAC， ， ， BDAC， BFBD 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形中位
29、线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用三角形中位线定理解决问题 24 （10 分）如图，AB 是半圆的直径，O 为圆心，AD、BD 是半圆的弦，且PDAPBD （1）判断直线 PD 是否为O 的切线，并说明理由； （2）如果BDE60，PD，求 PA 的长 【分析】 （1） 要证是直线 PD 是为O 的切线， 需证PDO90 因为 AB 为直径， 所以ADO+ODB90，由PDAPBDODB 可得ODA+PDA90，即PDO90 （2）根据已知可证AOD 为等边三角形，P30在 RtPOD 中运用三角函数可求解 【解答】解： （1）PD 是O 的切线理由如下： AB 为直径， AD
30、B90， ADO+ODB90 PDAPBDODB， ODA+PDA90即PDO90 PD 是O 的切线 （2）BDE60，ADB90， PDA180906030， 又 PD 为半圆的切线，所以PDO90， ADO60，又 OAOD， ADO 为等边三角形，AOD60 在 RtPOD 中，PD， OD1，OP2， PAPOOA211 【点评】此题考查了切线的判定及三角函数的有关计算等知识点，难度中等要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可 25 （12 分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销甲商场
31、所有商品按 9 折出售，乙商场对一次购物中超过 100 元后的价格部分打 8 折 （1）以 x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？ 【分析】 （1）根据题意，可以分别写出两家商场对应的 y 关于 x 的函数解析式； （2）根据（1）中函数关系式，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱 【解答】解： （1）由题意可得， y甲0.9x， 当 0 x100 时，y乙x， 当 x100 时，y乙100+（x100）0.80.8x+20
32、， 由上可得，y乙； （2）当 0 x100 时，此时选择甲商场购物更省钱； 当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即 100 x200，此时选择甲商场购物更省钱； 当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时两家商场购物一样； 当 0.9x0.8x+20 时，得 x200，即此时选择乙商场购物更省钱 【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 26 （14 分）如图，直线 AB 经过O 上的点 C，直线 AO 与O 交于点 E 和点 D，OB 与O 交于点 F，连接 DF、DC已知 OAOB，CACB，
33、DE10，DF6 （1）求证：直线 AB 是O 的切线；FDCEDC； （2）求 CD 的长 【分析】 （1）欲证明直线 AB 是O 的切线，只要证明 OCAB 即可 首先证明 OCDF，再证明FDCOCD，EDCOCD 即可 （2）作 ONDF 于 N，延长 DF 交 AB 于 M，在 RTCDM 中，求出 DM、CM 即可解决问题 【解答】 （1）证明：连接 OC OAOB，ACCB， OCAB， 点 C 在O 上， AB 是O 切线 证明：OAOB，ACCB， AOCBOC， ODOF， ODFOFD， AOBODF+OFDAOC+BOC， BOCOFD， OCDF， CDFOCD， ODOC， ODCOCD， ADCCDF （2）作 ONDF 于 N，延长 DF 交 AB 于 M ONDF， DNNF3， 在 RTODN 中，OND90，OD5，DN3， ON4， OCM+CMN180，OCM90， OCMCMNMNO90， 四边形 OCMN 是矩形， ONCM4，MNOC5， 在 RTCDM 中，DMC90，CM4，DMDN+MN8， CD4 【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型