1、 浙江省杭州市西湖区五校联考九年级上期中数学试卷浙江省杭州市西湖区五校联考九年级上期中数学试卷 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列函数是 y 关于 x 的二次函数的是（ ） Ayx By2x+3 Cyx23 Dy 2抛物线 y2（x3）2+2 的顶点坐标是（ ） A（3，2） B（3，2） C（3，2） D（3，2） 3下列叙述正确的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B三点确定一个圆 C相等的圆心角所对的弧相等 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 4如图，点 A，B，P 是O 上的三点，若AOB40，则APB 的
2、度数为（ ） A80 B140 C20 D50 5若扇形的半径为 3，圆心角为 160，则它的面积为（ ） A2 B3 C4 D9 6已知（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线 y2x28x+m 上的点，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1 7已知二次函数 yx22bx+b2+b5（b 为常数）的图象与 x 轴有交点，则 b 的取值范围是（ ） Ab5 Bb5 Cb5 Db5 8如图，在半径为 10 的O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 ABCD16，则 OP 的长为（ ） A6 B6 C8 D8 9如图，AB 为O 的直径，点
3、 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DEAB 于点 E，延长 DE 交O 于点 F，若 AC12，AE3，则O 的直径长为（ ） A10 B13 C15 D16 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x2，并与 x 轴交于 A，B 两点，若 OA5OB，则下列结论中： abc0； （a+c）2b20； 9a+4c0； 若 m 为任意实数，则 am2+bm+2b4a，正确的个数是（ ） A B C D 二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4，共，共 24 分）分） 11如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60后得到COD，若A
4、OB15，则AOD 的度数为 12把抛物线 y2x2+1 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位所得的抛物线的解析式为 13函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示： 当 y0 时，x 的取值范围是 ； 方程 ax2+bx+c3 的解是 14如图，已知O 为四边形 ABCD 的外接圆，O 为圆心，若BCD120，ABAD2cm，则O 的半径长为 15 如图， 有长为 24 米的篱笆， 一边利用墙 （墙的最大可用长度为 3 米） ， 当花圃的宽 AB 为 米时，围成的花圃面积最大，最大面积为 平方米 16如图，正方形 ABCD 和等边AEF 都内接于圆 O，EF 与 BC，CD
5、别相交于点 G，H若 AE6，则 EG的长为 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17如图，用直尺和圆规作ABC 的外接圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 18如图，在O 中，过半径 OD 的中点 C 作 ABOD 交O 于 A、B 两点，且 AB （1）求 OD 的长； （2）计算阴影部分的面积 19已知二次函数的图象的顶点坐标为（3，2），且与 y 轴交于（0，） （1）求函数的解析式； （2）若点（p，m）和点（q，n）都在该抛物线上，若 pq5，判断 m 和 n 的大小 20如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，连接 A
6、D，BD， （1）求证：ADCABD （2）作 OFAD 于点 F，若O 的半径为 5，OE3，求 OF 的长 21某商家销售一款商品，该商品的进价为每件 80 元，现在的售价为每件 145 元，每天可销售 40 件商场规定每销售一件需支付给商场管理费 5 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件若每件商品降价 x 元，每天的利润为 y 元，请完成以下问题的解答 （）用含 x 的式子表示：每件商品的售价为 元；每天的销售量为 件； （）求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？ 22已知二次函数 yax2+bx+ba（a0）
7、（1）若 ab 时，求二次函数与 x 轴的交点坐标； （2）若 a0，二次函数的对称轴为直线 x2，求该函数的最小值（用字母 a 表示）； （3）若该抛物线与直线 yax+a（a0）交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当 x10 x2时，都有 y1y2，求证：b2a 23 已知 P 是O 上一点， 过点 P 作不过圆心的弦 PQ， 在劣弧 PQ 和优弧 PQ 上分别有动点 A、 B （不与 P、Q 重合），连接 AP、BP若APQBPQ （1）如图 1，当APQ45，AP1，BP2时，求O 的半径； （2）在（1）的条件下，求四边形 APBQ 的面积； （3）如图 2，连接 AB，交
8、 PQ 于点 M，点 N 在线段 PM 上（不与 P、M 重合），连接 ON、OP，若NOP+2OPN90，探究直线 AB 与 ON 的位置关系，并说明理由 参考答案参考答案 一、选择题（本题共有一、选择题（本题共有 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1下列函数是 y 关于 x 的二次函数的是（ ） Ayx By2x+3 Cyx23 Dy 【分析】根据形如 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）的函数，叫做二次函数进行分析即可 解：A、yx 不是二次函数，故此选项错误； B、y2x+3 不是二次函数，故此选项错误； C、yx23 是二次函数，故此选项正确
9、； D、y不是二次函数，故此选项错误； 故选：C 2抛物线 y2（x3）2+2 的顶点坐标是（ ） A（3，2） B（3，2） C（3，2） D（3，2） 【分析】根据 ya（xh）2+k，顶点坐标是（h，k）可得答案 解：抛物线 y2（x3）2+2 的顶点坐标是（3，2）， 故选：B 3下列叙述正确的是（ ） A平分弦的直径垂直于弦 B三点确定一个圆 C相等的圆心角所对的弧相等 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 【分析】利用垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理、圆的轴对称性质等知识分别判断后即可确定正确的选项 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意； B、不在同
10、一条直线上的三个点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故原命题正确，符合题意， 故选：D 4如图，点 A，B，P 是O 上的三点，若AOB40，则APB 的度数为（ ） A80 B140 C20 D50 【分析】直接利用圆周角定理求解 解：APBAOB4020 故选：C 5若扇形的半径为 3，圆心角为 160，则它的面积为（ ） A2 B3 C4 D9 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案 解：S扇形4 故选：C 6已知（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线 y
11、2x28x+m 上的点，则（ ） Ay1y2y3 By3y2y1 Cy3y1y2 Dy2y3y1 【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题 解：抛物线 y2x28x+m 的对称轴为 x2，且开口向下，x2 时取得最大值 41，且4 到2 的距离大于1 到2 的距离，根据二次函数的对称性，y3y1 y3y1y2 故选：C 7已知二次函数 yx22bx+b2+b5（b 为常数）的图象与 x 轴有交点，则 b 的取值范围是（ ） Ab5 Bb5 Cb5 Db5 【分析】将抛物线解析式化为顶点式，根据图象开口方向及顶点坐标求解 解：yx22bx+b2+b5（xb）2+b5，
12、 抛物线开口向上，顶点坐标为（b，b5）， 当 b50 时，抛物线与 x 轴有交点， 解得 b5 故选：A 8如图，在半径为 10 的O 中，AB，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为 P，且 ABCD16，则 OP 的长为（ ） A6 B6 C8 D8 【分析】作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接 OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得 OM 的长，然后判定四边形 OMPN 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得 OP 的长 解：作 OMAB 于 M，ONCD 于 N，连接 OP，OB，OD， ABCD16， BMDN8， OMON6， ABCD， DPB90， OMAB 于 M，ON
13、CD 于 N， OMPONP90 四边形 MONP 是矩形， OMON， 四边形 MONP 是正方形， OP6 故选：B 9如图，AB 为O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DEAB 于点 E，延长 DE 交O 于点 F，若AC12，AE3，则O 的直径长为（ ） A10 B13 C15 D16 【分析】连接 OF，首先证明 ACDF12，设 OAOFx，在 RtOEF 中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 解：如图，连接 OF DEAB， DEEF， 点 D 是弧 AC 的中点， ， ， ACDF12， EFDF6，设 OAOFx， 在 RtOEF 中，则有 x262+（x
14、3）2， 解得 x， AB2x15， 故选：C 10如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线 x2，并与 x 轴交于 A，B 两点，若 OA5OB，则下列结论中： abc0； （a+c）2b20； 9a+4c0； 若 m 为任意实数，则 am2+bm+2b4a，正确的个数是（ ） A B C D 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 y 轴交点可得 a，b，c 的符号及 a 与 b 的关系，从而判断，由 OA5OB 及对称轴可得点 B 坐标，从而判断，由 x2 时 y 取最小值可判断 解：抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴为直线 x2， b4a0， 抛物线与 y 轴
15、交点在 x 轴上方， c0， abc0，错误 设抛物线对称轴与 y 轴交点为 E（2，0），则 OE2， OA5OB， OE2OB，即点 B 坐标为（1，0）， x1 时，yab+c0， （a+c）2b2（a+c+b）（ab+c）0，正确 a+b+c5a+c0， c5a， 9a+4c11a0，正确 x2 时 y 取最小值， am2+bm+c4a2b+c，即 am2+bm+2b4a，正确 故选：B 二、填空题（本题共有二、填空题（本题共有 6 小题，每小题小题，每小题 4，共，共 24 分）分） 11如图，将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60后得到COD，若AOB15，则AOD 的度数为
16、45 【分析】根据角的和差定义计算即可； 解：将AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 60后得到COD， DOB60， AOB15， AOD601545 故答案为 45 12 把抛物线y2x2+1向左平移2个单位， 再向下平移3个单位所得的抛物线的解析式为 y2x2+8x6 【分析】把抛物线 y2x2+1 向左平移两个单位得到抛物线 y2（x+2）2+1 的图象，再向下平移 3 个单位得到抛物线 y2（x+2）2+13 的图象，化简即可 解：把抛物线 y2x2+1 向左平移两个单位得到抛物线 y2（x+2）2+1 的图象， 再向下平移两个单位得到抛物线 y2（x+2）2+13 的图象， 化简即得
17、 y2x2+8x6， 故答案是：y2x2+8x6 13函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示： 当 y0 时，x 的取值范围是 x5 或 x1 ； 方程 ax2+bx+c3 的解是 x14，x20 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（5，0），然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可； 抛物线与 y 轴的交点为 （0， 3） ， 利用抛物线对称性得到抛物线过点 （4， 0） ， 从而得到方程 ax2+bx+c3 的解 解：抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0）， 而抛物线的对称轴为直线 x2， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（5，0）
18、， 当 y0 时，x 的取值范围是 x5 或 x1； 方程 ax2+bx+c3 的解为 x14，x20 故答案为 x5 或 x1；x14，x20 14如图，已知O 为四边形 ABCD 的外接圆，O 为圆心，若BCD120，ABAD2cm，则O 的半径长为 cm 【分析】连接 BD，作 OEAD，连接 OD，先由圆内接四边形的性质求出BAD 的度数，再由 ADAB可得出ABD 是等边三角形，则 DEAD1cm，ODEADB30，根据锐角三角函数的定义即可得出结论 解：连接 BD，作 OEAD 于 E，连接 OD， O 为四边形 ABCD 的外接圆，BCD120， BAD60 ADAB2cm， A
19、BD 是等边三角形 DEAD1cm，ODEADB30， ODcm 故答案为cm 15如图，有长为 24 米的篱笆，一边利用墙（墙的最大可用长度为 3 米），当花圃的宽 AB 为 7 米时，围成的花圃面积最大，最大面积为 21 平方米 【分析】 设 AB 的长度为 x 米， 则矩形 ABCD 的边长 BC243x 利用矩形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的性质来求最值 解：设 AB 的长度为 x 米，面积为 S 米2，则 墙的最大可用长度为 3 米， 243x3， 解得 x7 S（243x）x3（x4）2+48 30， 函数 S3（x4）2+48 的开口方向向下， 当 x7 时，S最大21
20、 故答案是：7；21 16如图，正方形 ABCD 和等边AEF 都内接于圆 O，EF 与 BC，CD 别相交于点 G，H若 AE6，则 EG的长为 3 【分析】连接 AC、BD、OF，AC 与 EF 交于 P 点，则它们的交点为 O 点，如图，利用正方形和等边三角形的性质得到COF60，ACBD，BCA45，利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OPOFOC，OPPF，从而得到 PCOP，然后利用PCG 为等腰直角三角形得到PGPC，从而得到 EG 的长 解：连接 AC、BD、OF，AC 与 EF 交于 P 点，则它们的交点为 O 点，如图， 正方形 ABCD 和等边AEF 都内接于圆
21、O， COF60，ACBD，BCA45， EFBD， ACEF， PEPFEF3， 在 RtOPF 中，OPOFOC， OPPF， PCOP， PCG 为等腰直角三角形， PGPC， EGPEPG3 故答案为：3 三、解答题（本题共有三、解答题（本题共有 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17如图，用直尺和圆规作ABC 的外接圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【分析】根据外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，知它是三角形边的垂直平分线的交点，则作其两边的垂直平分线，以交点为圆心，交点到其中一个顶点的距离为半径的圆是三角形的外接圆 解：如图所示： 18如图，在O 中，过半径 O
22、D 的中点 C 作 ABOD 交O 于 A、B 两点，且 AB （1）求 OD 的长； （2）计算阴影部分的面积 【分析】（1）根据垂径定理得到 ACBCAB，再利用三角函数的定义求出COB60，则根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OC1，OB2OC2，从而得到 OD 的长； （2）根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积S扇形BODSCOB进行计算 解：（1）ABOD， OCB90，ACBCAB， 点 C 为 OD 的中点， OCOB， cosCOB， COB60， OCBC1， OB2OC2， ODOB2； （2）阴影部分的面积S扇形BODSCOB 1 19已知二次函数的图象的顶点
23、坐标为（3，2），且与 y 轴交于（0，） （1）求函数的解析式； （2）若点（p，m）和点（q，n）都在该抛物线上，若 pq5，判断 m 和 n 的大小 【分析】（1）由二次函数图象的顶点坐标为（3，2），设解析式为 ya（x3）22，将（0，）代入即得答案； （2）根据二次函数的性质即可得到结论 解：（1）二次函数图象的顶点坐标为（3，2）， 设所求二次函数的解析式为 ya（x3）22， 图象过（0，）， a（03）22， 解得 a， 所求二次函数的解析式为 y（x3）22； （2）y（x3）22， 抛物线开口向上，对称轴为直线 x3， pq5， mn 20如图，AB 是O 的直径，弦 C
24、DAB 于点 E，连接 AD，BD， （1）求证：ADCABD （2）作 OFAD 于点 F，若O 的半径为 5，OE3，求 OF 的长 【分析】（1）利用等角的余角相等证明即可； （2）利用勾股定理求出 DE，AD，再利用相似三角形的性质求解即可 【解答】（1）证明：AB 是直径， ADB90， ABCD， DEB90， ADC+CDB90，CDB+ABD90， ADCABD； 解法二：ABCD，AB 是直径， ， ADCABD （2）解：如图，连接 OD 在 RtOED 中，DE4， 在 RtADE 中，AD4， sinA， ， OF 21某商家销售一款商品，该商品的进价为每件 80 元，
25、现在的售价为每件 145 元，每天可销售 40 件商场规定每销售一件需支付给商场管理费 5 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件若每件商品降价 x 元，每天的利润为 y 元，请完成以下问题的解答 （） 用含 x 的式子表示： 每件商品的售价为 （145x） 元； 每天的销售量为 （2x+40） 件； （）求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】 （I）根据售价原售价降价可得销量每件商品的售价，根据 40降价后减少的量可得每天的销售量； （II）根据每天售出的件数每件盈利利润，即可得到的 y 与 x 之间的函数关
26、系式，即可得出结论 解：（I）由题意可知：每件商品的售价为：（145x）元；每天的销售量为：（40+2x）件； 故答案为：（145x），（40+2x）； （II）根据题意可得：y（145x805）（2x+40）， 2x2+80 x+2400， 2（x20）2+3200， a20， 函数有最大值， 当 x20 时，y 有最大值为 3200 元，此时售价为 14520125 元， 售价为 125 元时利润最大，最大利润是 3200 元 22已知二次函数 yax2+bx+ba（a0） （1）若 ab 时，求二次函数与 x 轴的交点坐标； （2）若 a0，二次函数的对称轴为直线 x2，求该函数的最小值
27、（用字母 a 表示）； （3）若该抛物线与直线 yax+a（a0）交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当 x10 x2时，都有 y1y2，求证：b2a 【分析】（1）把 ba 代入函数解析式，再令 y0 求解 （2）由抛物线对称轴为直线 x可得 b 与 a 的等量关系，再将二次函数解析式化为顶点式求解 （3）由 x10 x2时，y1y2可得 a0，即抛物线开口向上，由点 A，B 在 y 轴两侧可得抛物线与 y 轴交点在直线与 y 轴交点下方，进而求解 解：（1）若 ab，则 yax2+bx+baax2+ax， 令 ax2+ax0， 解得 x10，x21， 二次函数图象与 x 轴交点坐
28、标坐标为（1，0），（0，0） （2）a0， 抛物线开口向上， 抛物线对称轴为直线 x2， b4a， yax2+bx+baax24ax5aa（x2）29a， 抛物线顶点坐标为（2，9a）， 函数最小值为9a （3）x10 x2时，y1y2， 一次函数 yax+a 中 y 随 x 增大而增大， a0，抛物线开口向上， 把 x0 代入 yax+a 得 ya， 直线与 y 轴交点坐标为（0，a）， 把 x0 代入 yax2+bx+ba 得 yba， 抛物线与 y 轴交点坐标为（0，ba）， 抛物线与直线交点在 y 轴两侧， 点（0，ba）在点（0，a）下方， baa， 解得 b2a 23 已知 P
29、是O 上一点， 过点 P 作不过圆心的弦 PQ， 在劣弧 PQ 和优弧 PQ 上分别有动点 A、 B （不与 P、Q 重合），连接 AP、BP若APQBPQ （1）如图 1，当APQ45，AP1，BP2时，求O 的半径； （2）在（1）的条件下，求四边形 APBQ 的面积； （3）如图 2，连接 AB，交 PQ 于点 M，点 N 在线段 PM 上（不与 P、M 重合），连接 ON、OP，若NOP+2OPN90，探究直线 AB 与 ON 的位置关系，并说明理由 【分析】（1）连接 AB，由已知得到APBAPQ+BPQ90，根据圆周角定理证得 AB 是O 的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得
30、半径； （2）由（1）知 AB 是O 的直径，得到APB90，推出AOQ90，根据勾股定理求出 AB，再根据四边形 APBQ 的面积化成 RtAPB 和 RtAQB 的和，即可得解： （3）连接 OA、OB、OQ，由APQBPQ 证得，即可证得 OQAB，然后根据三角形内角和定理证得NOQ90，即 NOOQ，即可证得 ABON 解：（1）连接 AB， APQBPQ45， APBAPQ+BPQ90， AB 是O 的直径， AB3， O 的半径为； （2）连结 AB，AQ，OQ，BQ， AB 是O 的直径， APB90， APQ45， AOQ90， S四APBQSAPB+SAQB PBAP+ABOQ 21+3 +； （3）ABON， 证明：连接 OA、OB、OQ， APQBPQ， ， AOQBOQ， OAOB， OQAB， OPOQ， OPNOQP， OPN+OQP+NOP+NOQ180， 2OPN+NOP+NOQ180， NOP+2OPN90， NOQ90， NOOQ， ABON