1、江苏省扬州市江都区二校联考八年级上第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出=AOB的依据是（）A. （SAS）B. （SSS）C. （ASA）D. （AAS）3. 如图，CD90，添加下列条件：ACAD；ABCABD；BCBD，其中能判定RtABC与RtABD全等的条件有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 若等腰三角形的一个角为50，则其他两个角的度数为（ ）A. 6565或50100B. 65 65或5080C. 6565或8
2、080D. 65或805. 如图所示两个三角形：和，其面积分别为，则（ ）A. B. C. D. 6. 如图，正方形网格中有M、N两点，在直线上求点P使最短，则点P应选在（ ）A. A点B. B点C. C点D. D点7. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个8. 规定：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形
3、三个角都相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”在中，是的等角分割线，则的度数不可能是（ ）A. 84B. 106C. 111D. 102二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 已知实数x，y满足|x2|+（y4）20，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_10. 如图，已知，则的度数为 _11. 如图，在中，将其折叠，使点A落在边CB上的点处，折痕为CD，则_12. 如图所示，中，直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F若，则_13. 在ABC是AB5，AC3，BC边的中线的取值范围是_. 14.
4、等腰三角形的三边长分别为：2x+1，x+3，11，则x=_15. 如图，在中，D是上一点，则_16. 如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E若DE=7，EC=3，则DB=_17. 如图，点A、B、C在一条直线上，和均为正三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：；与所夹锐角为60其中正确的有_（填上正确结论的序号）18. 如图，在ABC中，点C在直线l上点P从点A出发，在三角形边上沿ACB路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿BCA的路径向终点A运动点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到
5、达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 _秒时，与全等三、解答题（本大题共有10小题，共96分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 利用网格线作图：（1）在上找一点P，使点P到和的距离相等；（2）在射线上找一点Q，使20. 如图所示为及射线BA上一点D求作：等腰三角形，使线段为等腰三角形的底边，点P在的内部，且P点到两边的距离相等（保留作图痕迹，不写做法）21. 如图，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB / DE，AB =
6、DE，A = D（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE长22. 如图，过ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M作ABC另外两边AB、BC所在的直线的垂线，垂足分别为D、E，AD=CE，作射线BM求证：BM平分ABC23. 如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高（1）试说明AD垂直平分EF；（2）若AB6，AC4，SABC15，求DE的长24. 如图，点，在的边上，求证：25. 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论26. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC（0
7、90）现把小棒依次摆放两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（A1A2为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”）（2）设AA1A1A2A2A3，求的度数；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2AA1数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则1 ，2 ，3 ；（用含的式子表示）（4）若只能摆放5根小棒，求的范围27. 如图 ，已知锐角中，分别是边上的高，分别是线段的中点（1）求证：；（2）若，连结，求的度数；（3）猜
8、想与之间的关系，并证明你的猜想28. （1）【阅读理解】如图，已知中，点、是边上两动点，且满足，求证：我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系请你根据小明的思路写出完整的解答过程证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂
9、线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，求的度数； 试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值江苏省扬州市江都区二校联考八年级上第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故
10、此选项错误故选C【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出=AOB的依据是（）A. （SAS）B. （SSS）C. （ASA）D. （AAS）【答案】B【解析】【分析】利用作法得到，于是可根据“SSS”判定OCD，然后根据全等三角形的性质得到=AOB【详解】解：由作法，得，OCD( SSS)，=AOB故选：B【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）3. 如图，CD90，添加下
11、列条件：ACAD；ABCABD；BCBD，其中能判定RtABC与RtABD全等的条件有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】根据已知条件与全等三角形的判定定理即可分别判断求解【详解】解：CD90，AB=AB，ACAD，可用HL判定RtABC与RtABD全等；ABCABD，可用AAS判定RtABC与RtABD全等；BCBD，可用HL判定RtABC与RtABD全等；故选：D【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理4. 若等腰三角形的一个角为50，则其他两个角的度数为（ ）A. 6565或50100B. 65 65或5080C. 65
12、65或8080D. 65或80【答案】B【解析】【分析】分底角为50和顶角为50两种情况，再结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：当底角为50时，则顶角为：180-50-50=80，此时三角形的另外两个角的度数为50，80；当顶角为50时，则底角为：（180-50）2=65，此时三角形的另外两个角的度数为65，65；综上可知其他两个角的度数为50，80或65，65故选：B【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用5. 如图所示的两个三角形：和，其面积分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
13、析】分别作两个三角形长度为8 的边长上的高，然后利用三角函数可以表示出两个三角形的面积，最后对两个三角形的面积进行比较即可得到解答 【详解】解：如图，分别过A、F作ABC和 DEF 的高AM、FN，则，故选A【点睛】本题考查三角形面积与正弦值的综合应用，正确理解正弦函数的定义式并灵活运用是解题关键6. 如图，正方形网格中有M、N两点，在直线上求点P使最短，则点P应选在（ ）A. A点B. B点C. C点D. D点【答案】C【解析】【分析】利用轴对称思想，作出点M关于直线的对称点E，连接，其经过的点是C点，判断选择即可【详解】作出点M关于直线的对称点E，连接，其经过的点是C点， 故选C【点睛】本
14、题考查了线段和最短问题，熟练掌握轴对称性质，准确构造对称确定点的位置是解题的关键7. 如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】D【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解；【详解】解：与ABC成轴对称的格点三角形最多有6个故答案为：D【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴8. 规定：从三角形（不是等腰三角形）一
15、个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形三个角都相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”在中，是的等角分割线，则的度数不可能是（ ）A. 84B. 106C. 111D. 102【答案】D【解析】【分析】分是等腰三角形，和是等腰三角形，四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算【详解】解：当是等腰三角形，如图1，时，当是等腰三角形，如图2，时，当是等腰三角形，的情况不存在，当是等腰三角形，如图3，时，当是等腰三角形，如图4，时，设,则,则,由题意得，,解得，当是等腰三角形，
16、的情况不存在，的度数为111或84或106或92 ,不可能是102故选D【点睛】本题主要考查了“等角分割线”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9. 已知实数x，y满足|x2|+（y4）20，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是_【答案】10【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解【详解】解：实数x，y满足，x20，y40，x2，y4，以x，y的值为两边长的等腰三角形，若以x的值为腰长则有：22
17、44构不成三角形，故排除，等腰三角形的腰长为4边长为2，故此三角形的周长为：44210故答案为：10【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键掌握基本概念，属于中考常考题型10. 如图，已知，则的度数为 _【答案】#70度【解析】【分析】根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质即可得出答案【详解】解：，是的外角，故答案为：【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键11. 如图，在中，将其折叠，使点A落在边CB上的点处，折痕为CD，则_【答案】20【解析】【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出，根据折叠的性质可得，再
18、利用三角形外角的性质可得【详解】解：，折叠后点A落在边CB上的点处，折痕为CD，故答案为：20【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，掌握折叠前后对应角相等是解题的关键12. 如图所示，中，直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F若，则_【答案】7【解析】【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间关系，从而进行计算，即可得到答案；【详解】解：BEl，CFl，AEB=CFA=90EAB+EBA=90又BAC=90，EAB+CAF=90EBA=CAF在AEB和CFA中AEB=CFA，EBA=CAF，AB=AC，AEBCFAAE=CF，BE=AFAE+AF=BE+
19、CFEF=BE+CF，；故答案为：7【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等13. 在ABC是AB5，AC3，BC边的中线的取值范围是_. 【答案】1x4【解析】【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，根据SAS证ADCEDB，推出AC=BE=3，在ABE中，根据三角形的三边关系定理得出5+3AE5-3，即可得出答案【详解】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，AD是ABC中线，BD=DC，在ADC和EDB中AD=DE，ADC=EDB，CD=BD，ADCEDB（SAS），AC=BE=3，在ABE中，根据三角形三边关系定理得
20、：5+3AE5-3，22AD8，1AD4，故答案为1AD4【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，关键是通过作辅助线把已知条件和未知条件放在一个三角形中14. 等腰三角形的三边长分别为：2x+1，x+3，11，则x=_【答案】8或5【解析】【分析】因为2x1，x3，11是等腰三角形的三边长，但没有明确指明哪是腰，哪是底，因此要分类讨论【详解】解：当x32x1时，解得x2，则等腰三角形的三边为：5、5、11，因为551011，不能构成三角形，故舍去；当x311时，解得x8，则等腰三角形的三边为：11、17、11，能构成三角形；当2x111时，解得x5，则等腰三角形的三边为
21、：8、11、11，能构成三角形所以x的值是8或5故答案为：8或5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错15. 如图，在中，D是上一点，则_【答案】25【解析】【分析】设ADC，然后根据ACADDB，BAC105，表示出B和BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出ADC的度数，进而求得B的度数即可【详解】解：ACADDB，BBAD，ADCC，设ADC，BBAD ，BAC105，DAC105，在ADC中
22、，ADC+C+DAC180，2+105180，解得：50，BBAD25，故答案为：25【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键16. 如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线交于点O，过点O作DEBC，分别交AB、AC于点D、E若DE=7，EC=3，则DB=_【答案】4【解析】【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明，根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明，根据线段的和差即可得到结论【详解】证明：平分，；平分，故答案为：4【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线，解题的关键是掌握等
23、腰三角形中的相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段17. 如图，点A、B、C在一条直线上，和均为正三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：；与所夹锐角为60其中正确的有_（填上正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】由等边三角形的性质即可判定正确；由与可以证明，由全等三角形的性质可得正确；由的结论及三角形内角和可判定正确【详解】、均为正三角形，；，故正确；，故正确；，故正确；，故正确；设与交于点，如图所示，故正确；综上，正确；故答案：【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定及三角形内角和定理等知识，其中证明三角形全等是问题的
24、关键18. 如图，在ABC中，点C在直线l上点P从点A出发，在三角形边上沿ACB的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿BCA的路径向终点A运动点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 _秒时，与全等【答案】2或或8【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得，然后分不同情况求解关于运动时间t的方程即可【详解】解：与全等分以下五种情况：如图1，P在上，Q在上，要使，则需，设运动时间为t，解得：；如图2，
25、P在上，Q在上，解得：，此时点P在上，不符合题意；如图3，当P、Q都在上时， ，解得：；当Q到A点停止，P在上时，解得：；P和Q都在BC上的情况不存在P的速度是每秒1个单位每秒，Q的速度是2个单位每秒，P和Q都在BC上的情况不存在 故答案为2或 或8【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定定理以及分类讨论思想成为解答本题的关键三、解答题（本大题共有10小题，共96分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 利用网格线作图：（1）在上找一点P，使点P到和的距离相等；（2）在射线上找一点Q，使【答案】（1）见解析 （2）见解析【
26、解析】【分析】（1）根据网格特点先作出的角平分线与的交点就是点P；（2）作的垂直平分线与的交点就是点Q【小问1详解】如图，作出的角平分线与的交点为点P，点P就是所要求作的到和的距离相等的点，【小问2详解】如图所示，作的垂直平分线与的交点为点Q，点Q就是所要求作的使的点【点睛】本题主要考查了利用网格结构作角的平分线，线段的垂直平分线，找出相应的点是解题的关键20. 如图所示为及射线BA上一点D求作：等腰三角形，使线段为等腰三角形的底边，点P在的内部，且P点到两边的距离相等（保留作图痕迹，不写做法）【答案】见解析【解析】【分析】根据点P在的内部且P点到两边的距离相等，可知点P点在的角平分线上，根据
27、线段为等腰三角形的底边，可知，进而可得P点在线段的垂直平分线上，因此P点为的角平分线和线段的垂直平分线的交点【详解】解：如图，即为所求作法：先作的角平分线，再作线段的垂直平分线，交点即为P点证明：P点在的角平分线上，P点到两边的距离相等，P点在线段的垂直平分线上，是满足条件的三角形【点睛】本题考查尺规作图，掌握角平分线、线段垂直平分线的性质及作图方法是解题的关键21. 如图，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB / DE，AB = DE，A = D（1）求证：；（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长【答案】（1）见解析；（2）BE=3【解析】【分析】（1）根据平行线
28、的性质由ABDE得到ABCDEF，然后根据“ASA”可判断ABCDEF；（2）根据三角形全等的性质可得BCEF，由此可求出BECF，则利用线段的和差关系求出BE【详解】（1）证明：ABDEABCDEF在ABC和DEF中 ABCDEF（ASA）（2）解：ABCDEFBCEFBCECEFEC即BECFBF11，EC5BFEC6BECF6BE3【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键22. 如图，过ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M作ABC另外两边AB、BC所在的直线的垂线，垂足分别为D、E，AD=CE，作射线BM求证：BM平分ABC【答案】见解析【解
29、析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得出，再利用直角三角形的全等判定和性质证明即可，根据直角三角形的全等判定和性质证明即可【详解】证明：连接，在的垂直平分线上，和为直角三角形，在和中，； ，平分【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据线段的垂直平分线的性质得出23. 如图，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABD和ACD的高（1）试说明AD垂直平分EF；（2）若AB6，AC4，SABC15，求DE的长【答案】（1）见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答（2）根据 可以求得的长度【详解】（1）平分 ，在和中， ， 又 是线段
30、的垂直平分线；（2） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题24. 如图，点，在的边上，求证：【答案】见解析【解析】【分析】由等边对等角可得，由补角可得，利用（AAS）求得即可证明；【详解】证明：，ADB=180-ADE，AEC=180-AED，在和中，（AAS），BD=CE；【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质（AAS），掌握（AAS）的判定条件是解题关键25. 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论
31、【答案】等边三角形，证明见解析【解析】【分析】先证ABPACQ得APAQ，再证PAQ60，从而得出APQ是等边三角形【详解】解：APQ为等边三角形ABC为等边三角形，ABAC，在ABP与ACQ中，ABPACQ（SAS），APAQ，BAPCAQ，BACBAP+PAC60，PAQCAQ+PAC60，APQ是等边三角形【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明ABPACQ，是解题的关键26. 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC（090）现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使
32、小棒与小棒在端点处互相垂直（A1A2为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”）（2）设AA1A1A2A2A3，求的度数；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2AA1数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则1 ，2 ，3 ；（用含的式子表示）（4）若只能摆放5根小棒，求的范围【答案】（1）能；（2）22.5；（3）2，3，4；（4）1518【解析】【分析】（1）先根据已知条件BAC=（090）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可（3）本题需先根据A1A2
33、=AA1，得出A1AA2和AA2A1相等，即可得出1的值，同样道理得出2、3的值；（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可【详解】解：（1）根据已知条件BAC（090）小棒两端能分别落在两射线上，小棒能继续摆下去故答案为能；（2）A1A2A2A3，A1A2A2A3，A2A1A345，AA2A1+45，AA2A1，22.5；（3）A1A2AA1A1AA2AA2A1A2A1A31+12同理可得：2334故答案2，3，4；（4）由题意得：，1518【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键27. 如图 ，已
34、知锐角中，分别是边上的高，分别是线段的中点（1）求证：；（2）若，连结，求的度数；（3）猜想与之间的关系，并证明你的猜想【答案】（1）见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）连接，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质证明； （2）根据等腰三角形两底角相等表示出，然后根据平角等于求解，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形两底角相等表示出，然后根据平角等于表示出，整理即可得解【小问1详解】证明：如图，连接， 分别是边上的高，M是的中点， ， ， 又N为中点， ；【小问2详解】， 【小问3详解】， 【点睛】本题考查了直角
35、三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键28. （1）【阅读理解】如图，已知中，点、是边上两动点，且满足，求证：我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系请你根据小明的思路写出完整的解答过程证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，（2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点
36、同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为，求的度数； 试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值【答案】（1）见解析；（2）；不变，2【解析】【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论；（2）如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论；如图3，延长到，使，连接，证出，得到，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，绕点旋转至，（2）如图2，由题意：四边形是正方形，在和中的周长不随时间的变化而变化，如图3，延长到，使，连接，在和中，在和 中正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4的周长的周长是定值8【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键