1、北京市昌平区2022- 2023学年九年级上期中质量监控数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 下列各组线段中，成比例的是（ ）A. 1，2，2，4B. 1，2，3，4C. 3，5，9，13D. 1，2，2，32. 抛物线yx22的顶点坐标是（）A （0，2）B. （2，0）C. （0，2）D. （2，0）3. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD1，则长AB为（）A. 1B. 1C. 2D. 24. 若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )A.
2、B. C. D. 5. 如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：16. 如图，ABCABC，AD 和 AD分别是ABC 和ABC的高，若 AD2，AD3，则ABC 与ABC的面积的比为（ ）A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：27. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ）A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，点，点的位置如图所示，抛物线经过，则下列说法不正确的是（ ）A. 抛物线的开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 点在抛物线对称轴左侧D. 抛物线的顶点
3、在第四象限二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式_10. 如图，ABCDEF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F已知AC=3，CE=5，DF=4，则BF的长为_11. 把二次函数y=x2-6x+5配成y=(x-h)2+k的形式是_12. 已知抛物线经过点，则_(填“”“ ”或“”).13. 如图，在ABC中，DE分别与AB、AC相交于点D、E，且DEBC，如果，那么=_14. 二次函数的部分图像如图所示，由图像可知，方程的解为_15. 据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“
4、小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示。如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm，则蜡烛火焰的高度是_cm16. 同学将如图所示的三条水平直线的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数的图像，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线_三、解答题（本题共12小题，第1722题，每小题5分，第2326题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17. 已知二次函数（1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（2）求该二次函数的图象与x轴交点18. 如
5、图，在中，为边上一点，求证：.19. 已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题：（1）判断和是否相似，并说明理由；（2）画一个三角形，它的三个顶点为中的个格点，并且与相似（要求：不写作法与证明）21. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x1012y3010（1）求这个二次函数的表达式；（2）画出这个二次函数的图象；（3）若，结合函数图象，直接写出x的取值范围22. 如图，将一个与正方形叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段上（不与C，
6、D两点重合），斜边的一部分与线段重合（1）图中与相似的三角形共有_个，分别是_；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与相似的证明23. 如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DFAE ，垂足为F，AB6，BC4，求AE，DF的长24. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起
7、点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由25. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据：x/m0102030405060y/m54.057.857.653.445233.0168下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们：（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是_的一部分（填“抛物线”或
8、“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为_m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点_（填写“高”或“低”）约_m（结果保留小数点后一位）26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A（1）直接写出点A的坐标；（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围27. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的
9、模型我们把它称为“一线三等角”模型应用：（1）如图2，中，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E求证：（2）如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点若，求的值28. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足yM，那么称这个函数是有上界函数在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界例如，图中的函数y（x3）22是有上界函数，其上确界是2（1）函数yx22x1和y2x3（x2）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；（2）如果函数yx2（axb，ba）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a1，求a的取值范围；（3）如果函数yx22ax2（1
10、x5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值北京市昌平区2022- 2023学年九年级上期中质量监控数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 下列各组线段中，成比例的是（ ）A. 1，2，2，4B. 1，2，3，4C. 3，5，9，13D. 1，2，2，3【答案】A【解析】【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段对选项一一分析，排除错误答案【详解】解：A、14=22，故选项符合题意；B、1423，故选项不符合题意；C、31359，故选项不符合题意；D、1322，故选项不符合题意故选：A【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的
11、时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等2. 抛物线yx22的顶点坐标是（）A. （0，2）B. （2，0）C. （0，2）D. （2，0）【答案】A【解析】【分析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式的形式，直接写出顶点坐标即可【详解】解：抛物线，抛物线的顶点坐标是（0，-2），故选A【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质3. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD1，则长AB为（）A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】C【解析】【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出
12、答案【详解】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数，故选：C【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型4. 若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是( )A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式.【详解】 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，y=-（x+3）2-2.故答案为A.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a0），确定其顶点坐
13、标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”5. 如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A. 1：2B. 1：3C. 2：1D. 3：1【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形的性质可以证明BEFDCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案【详解】解：由平行四边形的性质可知：ABCD，BEFDCF，点E是AB的中点， ，故选A【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型6. 如图，ABCABC，AD 和 AD分别是ABC 和ABC的高，若 AD2，AD3，则ABC 与ABC的面积
14、的比为（ ）A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：2【答案】A【解析】【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论【详解】AD和AD分别是ABC和ABC的高，若AD=2，AD=3，其相似比为2：3，ABC与ABC的面积的比为4：9；故选A【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的高的比等于相似比是解题的关键7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可【详解】解：由图象可
15、得抛物线的对称轴为x=-1.5，点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2），当-3x0时，y2，即当函数值y2时，自变量x的取值范围是-3x0故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键8. 在平面直角坐标系中，点，点的位置如图所示，抛物线经过，则下列说法不正确的是（ ）A. 抛物线的开口向上B. 抛物线的对称轴是C. 点在抛物线对称轴的左侧D. 抛物线的顶点在第四象限【答案】C【解析】【分析】由于抛物线常数项为0，所以图象经过原点，根据对称轴为直线，可知抛物线开口向上，点在对称轴的右侧，顶点在第四象限【详解】解：，时，图象经过原
16、点，又对称轴为直线，抛物线开口向上，点在对称轴的右侧，顶点在第四象限即A、B、D正确，C错误故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的顶点坐标是，对称轴是直线当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点也考查了二次函数图象上点的坐标特征二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，写出一个的解析式即可【详解】解：根
17、据题意，故符合题意故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键10. 如图，ABCDEF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F已知AC=3，CE=5，DF=4，则BF的长为_【答案】 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，求出BD，计算即可【详解】ABCDEF，即，解得：BD，则BFBD+DF故答案为【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键11. 把二次函数y=x2-6x+5配成y=(x-h)2+k的形式是_【答案】y=（x-3）2-4【解析】
18、【详解】，配方化为顶点式为：12. 已知抛物线经过点，则_(填“”“ ”或“”).【答案】3【解析】【分析】（1）设二次函数的表达式为，根据三组横坐标x和纵坐标y的值列出方程组求出a，b，c的值即可得到二次函数的表达式；（2）计算并补充出一些横坐标x和纵坐标y的对应值，然后在平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线连接即可；（3）根据二次函数的图象应用数形结合思想即可得到x的取值范围【详解】解：（1）设二次函数的表达式为将三组横坐标x，纵坐标y的值代入可得解得所以二次函数的表达式为（2）横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x2101234y8301038建立平面直角坐标系，描点并用平滑曲线连接即可得到
19、该二次函数的图象（3），即根据（2）中二次函数图象可以看出当或x3时，所以x的取值范围是或x3【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键22. 如图，将一个与正方形叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段重合（1）图中与相似的三角形共有_个，分别是_；（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与相似的证明【答案】（1）3， （2）选，理由见解析或选，理由见解析或选，理由见解析【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，即可求解；（2）根据相似三角形的判定定理及正方形的性质证明即可【小问1详解】
20、解：图中与相似的三角形共有3个，分别是；故答案为：3，【小问2详解】解：选，理由如下：四边形是正方形，；选，理由如下：四边形是正方形，；选，理由如下：四边形是正方形，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键23. 如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DFAE ，垂足为F，AB6，BC4，求AE，DF的长【答案】，【解析】【分析】直接利用矩形的性质结合相似三角形的判定方法得出，再利用相似三角形的性质得出答案【详解】解：四边形是矩形，又，是的中点，解得：【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确得出相似三角形24. 掷实
21、心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处（1）求y关于x的函数表达式；（2）根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2）该女生在此项考试中是得满分，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解
22、析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解【小问1详解】解当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，设，经过点(0， )，解得，y关于x的函数表达式为；【小问2详解】解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下对于二次函数，当y=0时，有，解得， (舍去)，6.70，该女生在此项考试中是得满分【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键25. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：m），竖直高度为y（单位：m），下面记录了甲
23、运动员起跳后的运动过程中的七组数据：x/m0102030405060y/m54.057.857.653.445.233.016.8下面是小明探究过程，请补充完整：（1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们：（2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是_的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为_m（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点；（3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点_（填写“高”或“低
24、”）约_m（结果保留小数点后一位）【答案】（1）见详解 （2）抛物线；10.1m （3）高；3.2m【解析】【分析】（1）根据题意画图即可；（2）根据图表求解即可；（3）根据图表求解即可；【小问1详解】解：如图，【小问2详解】根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分；结合图象，图象的最高点在10m到20m之间，可推断出水平距离约为10.1m时，甲运动员起跳后达到最高点；【小问3详解】61-57.8=3.2m乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高约3.2m【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质
25、，掌握相关知识是解题的关键26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A（1）直接写出点A的坐标；（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；（3）已知点，若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】(1)(0,-3);(2)B(2,-3);(3) 或【解析】【分析】（1）题干要求直接写出点A的坐标，将x=0代入即可求出；（2）由题意知点A、B关于对称轴对称，求出对称轴从而即可求点B的坐标；（3）结合函数图象，抛物线与线段PQ恰有两个公共点，分别对有两个公共点的情况进行讨论求解.【详解】解：（1）由题意抛物线与y轴交于点A ，将x=0代入求出坐标为； （2）；
26、 （3）当抛物线过点P（4,0）时， 此时，抛物线与线段PQ有两个公共点 当抛物线过点 时，a=1， 此时，抛物线与线段PQ有两个公共点 抛物线与线段PQ恰有两个公共点， 当抛物线开口向下时， 综上所述，当或时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点【点睛】本题考查二次函数图像相关性质，熟练掌握二次函数图像相关性质是解题的关键.27. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型应用：（1）如图2，中，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E求证：（2）如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点若，求的值
27、【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可；（2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，可证得，即可求解【小问1详解】证明：，在和中，；【小问2详解】解：如图，在的延长线上取点M，使，连接，四边形是平行四边形，【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键28. 对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足yM，那么称这个函数是有上界函数在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界例如
28、，图中的函数y（x3）22是有上界函数，其上确界是2（1）函数yx22x1和y2x3（x2）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；（2）如果函数yx2（axb，ba）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a1，求a的取值范围；（3）如果函数yx22ax2（1x5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值【答案】（1），1； （2）-1a1； （3）a的值为2.4【解析】【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；（2）由题意可知：-b+2y-a+2，再由-a+2=b，-b+22a+1，ba，即可求a的取值范围；（3）当a1时，27-10a=3，可得a=2.4（舍）；当a5时
29、，3-2a=3，可得a=0（舍）；当1a3时，27-10a=3，可得a=2.4；当3a5时，3-2a=3，可得a=0【小问1详解】y=x2+2x+1=（x+1）20，无上确界；y=2x-3（x2），y1，有上确界，且上确界为1，故答案为：，1；【小问2详解】y=-x+2，y随x值的增大而减小，当axb时，-b+2y-a+2，上确界是b，-a+2=b，函数的最小值不超过2a+1，-b+22a+1，a-1，ba，-a+2a，a1，a的取值范围为：-1a1；【小问3详解】y=x2-2ax+2的对称轴为直线x=a，当a1时，y的最大值为25-10a+2=27-10a，3为上确界，27-10a=3，a=2.4（舍）；当a5时，y的最大值为1-2a+2=3-2a，3为上确界，3-2a=3，a=0（舍）；当1a3时，y的最大值为25-10a+2=27-10a，3为上确界，27-10a=3，a=2.4；当3a5时，y的最大值为1-2a+2=3-2a，3为上确界，3-2a=3，a=0，综上所述：a的值为2.4【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键