1、北京市房山区2022-2023学年度高二上期中数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。（1）已知，则向量的坐标是（A） （B） （C） （D）（2）已知长方体中，则异面直线与的距离是（A） （B） （C） （D）（3）已知，且，则的值是（A） （B） （C） （D）（4）如果空间向量不共线，且，那么的值分别是（A） （B） （C） （D）（5）在正方体中， 分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（A）相交（B）平行（C）垂直（D）异面（6）用、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.则正确命题是（A）（B）（C）（D）（7）设平面与平
2、面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且.则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（8）如图，空间四边形中，点在上，且，为的中点，则 （A） （B） （C） （D）（9）在四面体中，分别是，的中点.若，则与所成角的度数是（A） （B） （C） （D）（10）正方体的棱长为，点分别为线段，上的动点，则下列结论中不正确的是 （A）平面 （B）平面平面 （C）点到平面的距离为定值 （D）直线与平面所成角的正弦值为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（11）已知空间向量，则_.（12）若向量，则_.（13）设，分别是空
3、间两直线，的方向向量，则直线，所成角的大小为_.（14）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_.（15）已知平面和直线，给出条件：；.（i）当满足条件_时，有；（ii）当满足条件_时，有.（填所选条件的序号）（16）如图，在长方体中，点在侧面上若点到直线和的距离相等，则的最小值是_. 三、解答题：本大题共5小题，每题14分，共70分。（17）（本小题分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，过的平面与侧棱的交点分别是.（）证明：；（）若底面，求证：平面. （18）（本小题分）在如图所
4、示的几何体中，正方形与梯形所在平面相交，（）证明：平面；（）若平面，试求异面直线与所成角的余弦值（19）（本小题分）如图，矩形中， ，分别在线段和上，将矩形沿折起记折起后的矩形为，且平面平面（）求证：； （）若，求证：平面平面 （20）（本小题分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，/平面，.()求证：为的中点；()求平面与平面所成角的大小（21）（本小题分）如图所示，在正方体中，是棱的中点()求直线和平面所成角的正弦值；()在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。题号12345678910答案（B）（C）（A）（C
5、）（A）（C）（A）（B）（D）（D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。（11） （12） （13） （14） （15）， （16）三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。解：（17）（）证明：因为底面是正方形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 又因为平面， ， 所以. .6分（）证明:方法1 综合法因为底面，底面， 所以. 因为底面是正方形， 所以. 因为平面， 所以平面. .14分方法2：向量法（）因为底面，底面是正方形，所以两两垂直.以为原点，建设如图所示的空间直角坐标系，因为=，则.直线的方向向量为， . 设平面的法向量为，则，令，则，.所以.因为，z
6、所以平面. .14分yx (18) （）证明：方法1：取的中点,并连接，则. 又因为， 所以. 又因为， 所以. 所以四边形为平行四边形.所以，.因为四边形为正方形，所以，=.所以，.所以四边形为平行四边形.所以又因为，,所以平面. .7分方法2：因为四边形为正方形，所以.又因为，且，所以.因为平面，所以平面. .7分（II）因为平面，平面，所以因为四边形为正方形，所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则所以所以直线的方向向量为，直线的方向向量为设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为 .14分xyz(19)解：（）因为是矩形，且，所以四边形是矩形.所以.又因为平面
7、平面平面平面，平面.所以平面.因为平面，所以.因为是矩形，且，所以四边形是矩形.所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以. .7分（）证明：因为是矩形，且， 所以四边形，是矩形. 所以. 由（）可知，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，四边形是矩形所以四边形为正方形.所以 因为平面， 所以 平面 因为平面， 所以平面平面 .14分 （20）解：（）证明：设交点为，连接因为平面，平面平面，所以因为是正方形，所以为的中点所以为的中点 .7分（）取的中点，连接因为，所以又因为平面平面，且平面，所以平面因为平面，所以因为是正方形，所以如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则即令，则，于是平面的法向量为所以由题知平面与平面平面所成的角为锐角，所以它的大小为 .14分 (21)解：设正方体的棱长为，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系()依题意，得，)，所以，在正方体中，因为平面，所以是平面的一个法向量设直线与平面所成的角为，则故直线与平面所成的角的正弦值为 .6分()在棱上存在点，使平面证明如下：依题意，得，设是平面的一个法向量，则由得所以取，得设是棱上的点，则又，所以而平面，所以平面为的中点这说明在棱上存在点 (的中点)，使平面 .14分